[2] Coordenadas Cilindricas e esféricas

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Paraná - Campus Paranaguá 
Rua Antonio Carlos Rodrigues, 453 – Bairro: Porto Seguro CEP 83.215-750 - Paranaguá – Pr. - Fone/ Fax: (41) 3721-8300 
 
 
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Capitulo 2 
Coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
São necessárias três coordenadas para estabelecer a localização de um ponto no espaço 
tridimensional. A Fig. (1) apresenta três possibilidades: (a) coordenadas retangulares (x,y,z) de um 
ponto P, (b) coordenadas cilíndricas ( r,θ,z) de P e (c) coordenadas esféricas (ρ,θ,ϕ) de P. Em 
um sistema de coordenadas retangulares, as coordenadas podem ser quaisquer números reais, mas 
no sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas há restrições sobre os valores admissíveis das 
coordenadas, de acordo com a Fig. (1). 
 
 
Figura 1. Sistemas de coordenadas 
 
 
2.1. Superfícies constantes 
 
Em coordenadas retangulares, as superfícies representadas por equações da forma 
x = x0 , y = y0, z = z0 
onde x0 , y0 e z0 são constantes, são planos paralelos ao plano yz, ao plano xz e ao plano xy, 
respectivamente, Fig. (2). Em coordenadas cilíndricas, as superfícies representadas por equações 
da forma 
 
 
 
 
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r = r0 ,θ = θ0 e z= z0 
onde r0 , θ0 e z0 são constantes mostradas na Fig. (3). 
Em coordenadas esféricas, as superfícies representadas por equações da forma 
ρ = ρ0 ,θ= θ0 e ϕ= ϕ0 
onde ρ0 , θ0 e ϕ0 são constantes, mostradas na Fig. (4). 
 
 
 
Figura 2. Superfícies constantes em coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
Figura 3. Superfícies constantes em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
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Figura 4. Superfícies constantes em coordenadas esféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2. Convertendo coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3. Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas