Sistemas de Numeração em Circuitos Digitais

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AULA 01: SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
Circuitos digitais 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Aula 01: Sistemas de numeração 
AULA 01: SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
Circuitos digitais 
Temas 
Conversão binário-decimal 
1 
Conversão decimal-binário 
2 
Adição em números binários 
3 
Subtração em 
números binários 
4 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
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Circuitos digitais 
Quando ouvimos a palavra números, automaticamente, todos nós a associamos ao sistema decimal com o 
qual estamos acostumados a operar. 
 
Esse sistema está fundamentado em certas regras que são a base para qualquer outro. 
 
Nesta disciplina, vamos estudar essas regras e aplicá-las aos seguintes sistemas de numeração: 
 
Binário; 
Hexadecimal. 
Introdução 
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O número decimal 573 também pode ser representado da seguinte forma: 
 
573 = 500 + 70 + 3 ou 573 = 5 x 102 + 7 x 101 + 3 x 100 
 
Como seria, então, o número 1024? 
Sistema decimal 
1 x 103 = 1000 
0 x 102 = 0 
2 x 101 = 20 
4 x 100 = 4 
1000 + 0 + 20 + 4 = 1024 
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Como vimos, no sistema decimal, um dígito tem, na realidade, dois significados: 
 
O valor propriamente dito; 
A posição no número (peso). 
 
Por exemplo, no número 1024, o dígito 2 representa 2 x 10 = 20, devido à posição que ocupa. 
 
Esse princípio é aplicável a qualquer sistema de numeração em que os dígitos possuem pesos determinados 
por seu posicionamento. 
Sistema decimal 
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Um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte forma: 
Sistema decimal 0123 .0.1.2.3...... BdBdBdBdBdnN N 
N  Representação do número na base B; 
dn  Dígito na posição n; 
B  Base do sistema utilizado; 
n  Valor posicional do dígito. 
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Exemplo 
 
No sistema decimal, o número 1587 é representado como: 
Sistema decimal 
0123
0123
10.710.810.510.11587
.0.1.2.3

 BdBdBdBdN
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O sistema binário utiliza dois dígitos (base 2) para representar qualquer quantidade. 
 
De acordo com a definição de um sistema de numeração qualquer, o número binário 1101 pode ser 
representado da seguinte forma: 
 
1101 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 
 
Através do exemplo anterior, podemos notar que, no sistema binário, a quantidade de dígitos necessária 
para representar um número qualquer é muito maior quando comparada ao sistema decimal. 
 
A grande vantagem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, estes são 
facilmente representados por uma chave aberta e uma fechada. 
 
Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto um conjunto de 8 bits é 
denominado BYTE. 
 
 
 
 
Sistema binário 
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A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é efetuada adicionando, 
simplesmente, os pesos dos dígitos binários 1. 
 
Exemplos 
a) 11010 (B) 
 
Solução 
11010 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 
11010 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 
11010 = 26 (D) 
 
b) 1100100 (B) 
 
Solução 
1100100 = 1 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 
1100100 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 
1100100 = 100 (D) 
Conversão binário-decimal 
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Para converter um número decimal em binário, dividimos aquele sucessivamente por 2 (base do sistema 
binário), até que o último quociente seja 1. 
 
Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número binário equivalente. 
 
Exemplos 
a) 23 (D) 
 
Solução 
23:2 5:2 
Quociente 1: 11 Quociente 3: 2 
Resto 1: 1 Resto 3: 1 
 
11:2 2:2 
Quociente 2: 5 Quociente 4: 1 
Resto 2: 1 Resto 4: 0 
Conversão binário-decimal 
23 (D) = (QUOCIENTE 4)  1 
 (RESTO 4)  0 
 (RESTO 3)  1 
 (RESTO 2)  1 
 (RESTO 4)  1 
 
23 (D)  10111 
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Circuitos digitais 
Para converter um número decimal em binário, dividimos aquele sucessivamente por 2 (base do sistema 
binário), até que o último quociente seja 1. 
 
Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número binário equivalente. 
 
Exemplos 
b) 52 (D) 
 
Solução 
52:2 13:2 3:2 
Quociente 1: 26 Quociente 3: 6 Quociente 5: 1 
Resto 1: 0 Resto 3: 1 Resto 5: 1 
 
26:2 6:2 
Quociente 2: 13 Quociente 4: 3 
Resto 2: 0 Resto 4: 0 
Conversão decimal-binário 
52 (D) = (QUOCIENTE 5)  1 
 (RESTO 5)  1 
 (RESTO 4)  0 
 (RESTO 3)  1 
 (RESTO 2)  0 
 (RESTO 1)  0 
 
52 (D)  111100 
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No sistema binário, a adição é efetuada da mesma forma que no sistema decimal. Devemos observar, 
entretanto, que o transporte (vai um) ocorre quando temos: 
Adição em números binários 
A + B Soma Transporte 
0 + 0 0 Não 
0 + 1 1 Não 
1 + 0 1 Não 
1 + 1 0 Sim 
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Exemplos 
 
Adicione os seguintes números binários: 
 
a) 101110 + 100101 
Adição em números binários 
Vai um 1 1 1 
Número A 1 0 1 1 1 0 
Número B 1 0 0 1 0 1 
Resultado 1 0 1 0 0 1 1 
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Exemplos 
 
Adicione os seguintes números binários: 
b) 1001 + 1100 
Adição em números binários 
Vai um 1 
Número A 1 0 0 1 
Número B 1 1 0 0 
Resultado 1 0 1 0 1 
ATENÇÃO! 
O termo transporte (vai um) – utilizado para indicar o envio de um dígito para a posição imediatamente 
superior do número – é chamado de CARRY. A partir de agora, em lugar do vocábulo em português, usaremos 
essa palavra de origem inglesa por ser encontrada na literatura técnica. 
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As regras básicas para subtração são equivalentes à subtração decimal, como mostra a tabela a seguir: 
Subtração em números binários 
A - B Subtração Transporte 
0 - 0 0 Não 
0 - 1 1 Sim 
1 - 0 1 Não 
1 - 1 0 Não 
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Exemplos 
 
Subtraia os seguintes números binários: 
 
a) 111 - 101 
Subtração em números binários 
Vai um 
Número A 1 1 1 
Número B 1 0 1 
Resultado 0 1 0 
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Exemplos 
 
Subtraia os seguintes números binários: 
 
b) 1101 - 1010 
Subtração em números binários 
Vai um 1 
Número A 1 1 0 1 
Número B 1 0 1 0 
Resultado 0 0 1 1 
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O processo de subtração efetuado na maioria dos computadores digitais é realizado através da 
representação de números negativos. 
 
Por exemplo, a operação 7 - 5 pode ser representada por 7 + (-5). 
 
Observe que, na segunda demonstração, a operação executada é uma adição de um número positivo com 
um negativo. 
 
Os números binários negativos são representados pelo segundo complemento. 
 
Vejamos como isso é feito: 
 
O segundo complemento de um número binário é obtido adicionando-se 1 ao primeiro complemento deste. 
 
O primeiro complemento é obtido complementando, simplesmente, os dígitos que formam o número. 
Subtração em números binários 
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Exemplos 
 
a) 1001 
Subtração em números binários 
Número 1 0 0 1 
1º Complemento 0 1 1 0 
2º Complemento 1 
Resultado 0 1 1 1 
O número 9 (1001) tem como segundo complemento 0111. O segundo complemento é a representação 
negativa do número binário, ou seja, -9 é representado como 0111. 
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Circuitos digitais 
Exemplos 
 
b) 1101 
Subtração em números binários 
Número 1 1 0 1 
1º Complemento 0 0 1 0 
2º Complemento 1 
Resultado 0 0 1 1 
O número 13 (1101) tem como segundo complemento 0011. O segundo complemento é a representação 
negativa do número binário, ou seja, -13 é representado como 0011. 
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Exemplos 
 
Subtraia os seguintes números em binários: 
 
a) 13 - 7 
 
 
Subtração em números binários 
Convertendo 7 em binário 
 
7:2 7  0111 
Quociente: 3 
Resto 1: 1 
 
3:2 
Quociente: 1 
Resto 2: 1 
Convertendo 13 em binário 
 
13:2 3:2 
Quociente: 6 Quociente: 1 
Resto 1: 1 Resto 3: 1 
 
6:2 13  1101 
Quociente: 3 
Resto 2: 0 
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Circuitos digitais 
Exemplos 
 
Convertendo 7 em -7 
Subtração em números binários 
Número 0 1 1 1 
1º Complemento 1 0 0 0 
2º Complemento 1 
Resultado 1 0 0 1 
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Exemplos 
 
Subtraia os seguintes números em binários: 
 
a) 6 - 9 
 
Convertendo 6 em binário Convertendo 9 em binário 
 
6:2 3:2 9:2 4:2 
Quociente: 3 Quociente: 1 Quociente: 4 Quociente: 2 
Resto 1: 0 Resto 2: 1 Resto 1: 1 Resto 2: 0 
 
6  110 2:2 9  1001 
 Quociente: 1 
 Resto 3: 0 
Subtração em números binários 
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Circuitos digitais 
Exemplos 
 
Convertendo 9 em -9 
Subtração em números binários 
Número 1 0 0 1 
1º Complemento 0 1 1 0 
2º Complemento 1 
Resultado 0 1 1 1 
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Exemplos 
 
Executando a equação 6 + (-9) 
Subtração em números binários 
Transporte 1 1 
Número 13 0 1 1 0 
Número -9 0 1 1 1 
Resultado 1 1 0 1 
ATENÇÃO! 
Se não existe transporte no resultado da soma (1101), devemos encontrar o segundo complemento desse 
número e acrescentar o sinal negativo (-). 
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Exemplos 
 
Convertendo 1101 em complemento de dois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 6 - 9 = -3, ou seja, -0011. 
Subtração em números binários 
Número 1 1 0 1 
1º Complemento 0 0 1 0 
2º Complemento 1 
Resultado 0 0 1 1 
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Circuitos digitais 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Conversão hexadecimal-decimal; 
 
Conversão decimal-hexadecimal; 
 
Conversão hexadecimal-binário; 
 
Conversão binário-hexadecimal; 
 
Números Decimais Codificados em 
Binário (BCD); 
Números binários menores do que 1; 
 
Número decimal com vírgula em 
binário. 
 AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.