UA 9 Matemática -

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 9 
 
 
 
Funções (Parte 3) 
 
 
 
 
 
 
 
Compreender conceitos, definições, representações e 
características diversas de funções exponenciais e 
logarítmicas, bem como aplicações dessas funções. 
Reconhecimento do fenômeno função em situações 
que envolvem o trabalho com expoentes, na relação 
entre as variáveis de determinadas formas de 
associação, diferenciando o fenômeno exponencial do 
linear. 
Reconhecer e operar corretamente com gráficos, 
tabelas e expressões algébricas nas situações em que 
se aplicam as funções exponenciais e logarítmicas, em 
especial aquelas que envolvem os juros compostos. 
 
 
2 
 
 
 
Funções (Parte 3) 
 
Apresentação 
 
Com o estudo realizado nas duas UAs anteriores, você adquiriu 
conhecimentos básicos de função, desde a sua ideia central (forma de 
associação entre duas – ou mais – variáveis) até a forma como esse fenômeno 
pode ser estudado (lei algébrica, gráfico, tabela etc). 
E você viu tipos muito conhecidos de funções que associam duas 
variáveis, que são as funções polinomiais de 1º e de 2º graus, das quais até já 
havíamos falado na UA 7 (como no exemplo das canecas com , e do 
exemplo de ). Ainda na UA 7, você teve contato com outros tipos de 
funções, que não são polinomiais, como √ e 
1
𝑥
. 
Chegou o momento de finalizarmos, ao menos com mais intensidade, 
nosso estudo de funções, com mais dois tipos de funções que também não são 
polinomiais, porém possuem muitas aplicações na Gestão Empresarial, tanto 
em contextos da Microeconomia, quanto em processos produtivos que podem 
ser articulados ao uso da Estatística. 
E que funções são essas? Estamos falando das funções exponenciais e 
logarítmicas. Não se assuste com o nome “logaritmo”! Não faremos uma 
revisão de tudo o que inclui esse assunto, mas usaremos o básico desse 
conceito, com poucas propriedades, para que você possa resolver alguns 
problemas com auxílio de uma calculadora científica. Que tal? Essa notícia é 
boa demais, concorda? 
 
 
3 
 
Para Começar 
 
O termo exponencial não é estranho para você. Provavelmente você já 
leu ou ouviu alguma informação como estas: 
 “O número de usuários da internet cresceu exponencialmente nos 
últimos anos.” 
 “A tecnologia evolui em ritmo exponencial.” 
 “A informação se propagou de forma exponencial.” 
 “Houve um aumento exponencial da taxa de juros no primeiro semestre 
do ano.” 
 “Os carros tiveram perda exponencial de valor no ano passado.” 
 “A população das bactérias cresceu exponencialmente no período.” 
 “Ao longo do tempo, os recursos diminuíram exponencialmente.” 
 
Essas afirmações envolvem a ideia de aumento ou decréscimo 
exponencial. Todas elas passam um sentido de ascensão ou de queda rápida. 
Pois bem! A função exponencial retrata exatamente estes contextos. 
A fim de iniciarmos a conversa sobre outras características desta função, 
assista ao primeiro minuto do primeiro vídeo que disponibilizamos em 
“Navegando por aí”: a evolução exponencial na realidade corporativa. 
É possível perceber que o palestrante usou dois termos matemáticos 
para se referir às formas de pensamento com respeito à evolução e à mudança: 
linear e exponencial. Para entender a distinção entre eles, vamos aproveitar as 
ideias que ele coloca sobre a sequência de números que ele dá como exemplo: 
 2, 4,... 
 
 
4 
No vídeo ele colocou dois exemplos de continuidade para essa 
sequência: 
1) 2, 4, 6, 8, 10... 
2) 2, 4, 8, 16, 32... 
No primeiro caso: a partir do segundo termo, cada termo da sequência é 
igual ao termo anterior mais 2. Essa ideia pode ser escrita como: , cujo 
comportamento já foi estudado nas UAs 7 e 8. É um modelo linear, em que 
 indica a posição do número na sequência e o valor do número na posição . 
Figura 1: Modelo linear 
𝒙 
(posição) 
𝒚 𝟐𝒙 
(valor) 
1 2 
2 4 
3 6 
4 8 
5 10 
6 12 
⋮ ⋮ 
 
No segundo caso: a partir do segundo termo, cada termo da sequência é 
igual ao termo anterior multiplicado por 2. Essa ideia pode ser escrita como: 
 𝑥. Este é um modelo exponencial, em que indica a posição do número 
na sequência e o valor do número na posição . 
 
Figura 2: Modelo exponencial 
𝒙 
(posição) 
𝒚 𝟐𝒙 
(valor) 
1 2 
2 4 
3 8 
4 16 
5 32 
6 64 
⋮ ⋮ 
 
 
 
5 
Perceba que no modelo linear, enquanto aumenta de 1 em 1, 
 aumenta em relação a numa proporção de 2 para 1. Já no caso exponencial, 
não há proporcionalidade, pois enquanto aumenta de 1 em 1 os valores de 
vão dobrando, e isso faz com que aumente mais rápido que (variação de 
 é bem maior que a variação de ). 
Os dois modelos de referência usados na fala do entrevistado são 
funções utilizadas em muitos outros contextos. O modelo linear foi tratado na 
UA8, e na UA9 trataremos com mais detalhes do modelo exponencial. Nesse 
momento, vamos lhe oferecer duas opções: (1) prosseguir a leitura do texto e, 
ao terminar a Unidade, terminar de assistir ao vídeo e ter uma compreensão 
melhor dos termos e ideias que ele transmite (o vídeo é interessante e tem 
aproximadamente 5 minutos); (2) terminar de assistir ao vídeo agora e voltar 
aqui para continuarmos a falar mais sobre as funções exponenciais. 
Muito bem! Na seção “Fundamentos”, preste muita atenção à definição 
da função exponencial, aos seus possíveis gráficos e às suas demais 
características. Particularmente nós, autores, consideramos esta função a mais 
bela da Matemática. A função logarítmica está estreitamente ligada à função 
exponencial: a função logarítmica acompanha a função exponencial 
simetricamente, sabia? Esta parte da disciplina é realmente fascinante... por 
isso, você não pode perder nenhuma informação! Vamos em frente! 
 
 
 
6 
ATENÇÃO 
 
Observe as funções: 𝑓(𝑥) 𝑥 e 𝑓(𝑥) 𝑥 
Estas duas funções são diferentes! A primeira é uma função do 
2° grau (o 𝑥 está na base da potência). A segunda é uma função 
exponencial (o 𝑥 está no expoente da potência). 
E também: 
 𝑓(𝑥) 𝑥3 e 𝑓(𝑥) 3𝑥 são diferentes. 
𝑓(𝑥) 𝑥4 e 𝑓(𝑥) 4𝑥 são diferentes. 
𝑓(𝑥) 𝑥
1
3 e 𝑓(𝑥) 
1
3
 
𝑥
 são diferentes. 
Fundamentos 
 
1. Função Exponencial 
 
1.1 A parte teórica e algumas generalizações para uma função 
exponencial 
Na seção “Para começar” você viu um exemplo de função exponencial: 
 𝑥 . Vamos, agora, definir uma generalização da função exponencial. 
Definimos a função exponencial pela expressão algébrica 𝑓( ) 𝑎𝑥 
em que 𝑎 é um numero real positivo e diferente de 1 (𝑎 ∈ ℝ+
∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1), para 
todo real (ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais). 
Primeiramente, veja o nome dessa função e perceba o porquê dele: 
trataremos agora com funções que possuem uma variável no expoente de um 
número real (daí o nome exponencial!). Perceba, também, que a base não será 
um número qualquer, deve ser um número positivo e diferente de 1. 
Veja alguns exemplos de funções exponenciais: 
a) 
  xxf 5
 b)
  xxf )4,0(
 c) 
 xy 5
 d) 
 
3
 
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
Bem, apenas para detalhar um pouco mais as condições estabelecidas 
para a base 𝑎: 
 A base 𝑎 não será zero; não haveria utilidade de se trabalhar com 𝑥, 
uma vez que, para qualquer expoente positivo que elevemos o número , 
sempre obteremos como resposta e, portanto, teremos a função 
constante. Veja: 
 1 3 
Além disso, expoente negativo seria um problemão: iríamosobter um 
resultado “proibido”, como no exemplo a seguir: 
 −1 
1
 
 (𝑛ã𝑜 𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑒) 
E ainda, no caso de expoente igual a zero com base , teríamos a forma 
indeterminada: 0. 
 A base 𝑎 valendo 1, também não teria utilidade; se pensarmos em 1𝑥, 
perceberemos que para qualquer expoente teremos 1 (a função 
constante, novamente). 
11 1 1 1 1−1 1 1− 1 
 Para fechar estes detalhes técnicos, veja que a base 𝑎 também não pode 
ser negativa, uma vez que, quando elevamos um número negativo ao 
expoente par, obtemos um número positivo e, se elevarmos a um expoente 
ímpar, teremos um número negativo. Isso irá conferir pontos, ora positivos, 
ora negativos, gerando pontos isolados, não formando uma curva 
específica. Para piorar, há inúmeros valores para os quais esse cálculo não 
existiria nos reais. 
Ou seja, nesta UA, nem se preocupe em analisar uma expressão da 
forma 𝑓( ) 𝑎𝑥 que não esteja nas condições citadas anteriormente, pois elas 
não aparecerão no texto (com 𝑎 negativo, valendo 0 ou 1), entendeu? 
 
 
8 
ATENÇÃO 
Veja que não estamos nos referindo aos valores da variável 𝑥, que 
neste nosso estudo será o expoente. Estamos nos referindo aos 
valores que a BASE poderá assumir. A variável 𝑥 pode assumir 
qualquer valor real, combinado? Observe também que na forma geral 
da função exponencial o valor de a é constante, e só pode ser 
número positivo e diferente de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, analisando os valores que podemos atribuir à base 𝑎, 
iremos destacar os seguintes intervalos ilustrados na Figura 3. 
 
Figura 3: intervalos de valores de 𝑎 que utilizaremos em 
funções da forma 𝑎𝑥 (𝑎 ∈ ℝ+
∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1) 
 
 
 
 
 
 
 
Bem, vamos por a “mão na massa”, construindo dois gráficos de funções 
exponenciais: uma função com base sendo um número maior que 1, e outra 
função com base entre 0 e 1. 
Seja a função exponencial 𝑥, para todo real. Note que a base é 
maior que 1, ou seja, 𝑎 > 1, pois, 𝑎 . O Quadro 1 mostra os cálculos de 
vários valores de para alguns valores de : 
 
 1 
𝒂 
 < 𝑎 < 1 𝑎 > 1 
 
 
9 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
0
1
2
Quadro 1: cálculo de valores e pares obtidos para 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja com muita atenção a última coluna do Quadro 1; realize o exercício 
de observar aqueles pares ordenados representados agora na Figura 4. 
 
Figura 4: gráfico da função dada por 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos representado na Figura 4 o gráfico da função dada por 𝑥, 
para todos os valores possíveis para (todos os reais). É imprescindível notar 
que conforme os valores de aumentam, os valores de também aumentam. 
Assim, se cresce conforme cresce, então estamos lidando com uma função 
crescente. E isso é válido: toda função exponencial que possui uma base 
maior que 1 (𝑎 > 1) é uma função crescente. Outra importante observação: o 
𝑦 𝑥 
𝑥 
𝑦 
 𝑓( ) 𝑥 pares ordenados 
− 
𝑓(− ) − 
1
 
 
1
4
 (− 
1
4
) 
−1 
𝑓(−1) −1 
1
 1
 
1
 
 (−1 
1
 
) 
 𝑓( ) 0 1 
 
( 1) 
1 𝑓(1) 1 
 
(1 ) 
 𝑓( ) 4 
 
( 4) 
 
 
 
10 
gráfico está acima do 𝑒𝑖 𝑜 , percebe? Isso quer dizer que esta função é 
positiva, só assume valores positivos para . E, portanto, tem como conjunto-
imagem: ℝ+
∗ . 
O gráfico da função 𝑎𝑥 para 𝑎 > 1 tem sempre esse 
comportamento: passa pelo ponto (0;1) e parece um “tobogã infinito” 
(descendo para quem olha da direita para a esquerda). O gráfico nunca encosta 
no 𝑒𝑖 𝑜 . E quanto maior o valor de 𝑎, mais inclinada é a curva, ou seja, mais 
rapidamente os valores de aumentam. Bacana, não acha? 
Bem, como será uma função exponencial que tem a base sendo um 
número real menor que 1? Mais especificamente, como relatamos antes, 
teremos uma base 𝑎 tal que < 𝑎 < 1. Antes de verificar o próximo exemplo, 
perceba estes cálculos: ,11 ,1, e veja que ,1 , 1. Ou seja, quando 
aumentamos o expoente do número 0,1, o resultado diminuiu. 
Vamos então ao nosso segundo exemplo de função exponencial, dado 
pela lei 
1
 
 
𝑥
. Note que 𝑎 
1
 
 e essa base está compreendida entre 0 e 1 
(equivale ao número decimal 0,5). Acompanhe os cálculos no Quadro 2, e veja 
os pares ordenados na última coluna desse quadro. 
 
Quadro 2: cálculo de valores e pares obtidos para 
1
 
 
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓( ) pares ordenados 
− 
𝑓(− ) (
1
 
)
− 
 
1
 − 
 4 
(− 4) 
−1 
𝑓(−1) (
1
 
)
−1
 
1
 −1
 1 
(−1 ) 
 
𝑓( ) (
1
 
)
0
 1 
( 1) 
1 
𝑓(1) (
1
 
)
1
 
1
 
 (1 
1
 
) 
 
𝑓( ) (
1
 
)
 
 
1
 
 
1
4
 ( 
1
4
) 
 
 
 
11 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
0
1
2
Acompanhe estes pontos na Figura 5. 
 
Figura 5: gráfico da função dada por 
1
 
 
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos representado na Figura 5 o gráfico da função dada por 
1
 
 
𝑥
, 
para todos os valores possíveis para (todos os reais). Perceba que, usando a 
base 
1
 
, obtivemos uma função decrescente, pois quando aumentamos os 
valores de , os respectivos valores de diminuem. E isso sempre ocorrerá 
quando o valor da base estiver compreendido entre 0 e 1. 
Neste caso, o gráfico também está acima do 𝑒𝑖 𝑜 . Esta função é 
positiva, só assume valores positivos para . E, portanto, tem como conjunto-
imagem: ℝ+
∗ . 
O gráfico da função 𝑎𝑥 para < 𝑎 < 1 tem sempre esse 
comportamento: passa pelo ponto (0;1) e também parece um “tobogã infinito” 
(só que agora descendo para quem olha da esquerda para a direita). O gráfico 
nunca “encosta” no 𝑒𝑖 𝑜 . Quanto menor o valor de 𝑎, mais inclinada (mais 
próxima do 𝑒𝑖 𝑜 ) a curva será (isso significa que quanto menor o valor de 𝑎 , 
a função decresce mais rapidamente). 
Reunimos, no quadro “Conceito” a seguir, os principais resultados 
discutidos nos exemplos sobre as funções exponenciais: 
 (
1
 
)
𝑥
 
 
 
 
 
12 
CONCEITO 
A função exponencial tem forma geral 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥, para 
a ∈ ℝ+
∗ e a ≠ 1. Tem como domínio: ℝ. Tem como conjunto-imagem: 
ℝ+
∗ . Passa pelo ponto (0;1). Não possui raízes. 
Para 𝑎 > 1, teremos uma função exponencial crescente. 
Para < 𝑎 < 1, teremos uma função exponencial decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os modelos exponenciais aparecem em diferentes contextos: dinâmica 
de populações, aplicações financeiras, decaimento radioativo, depreciação de 
bens etc. Nas aplicações das funções exponenciais, em geral, aparece um valor 
constante multiplicando a potência. Por exemplo: 𝑓( ) 𝑀. 𝑎𝑥 . Perceba que, 
quando o valor da função é 𝑀 (o valor constante). 
 
1.2 Uma aplicação importante da função exponencial 
 
Neste item mostraremos a você uma importante aplicação deste assunto, 
que tem a ver com a Matemática Financeira. Como é o rendimento de uma 
aplicação financeira? Vamos simular uma situação: 
Imagine que Teófilo depositou R$ 1000,00 numa aplicação que possui 
um excelente rendimento, no 5º dia do mês de janeiro; esse valor de R$ 
1000,00 chamamos de Capital ( 0). Vamos supor que não haja variação na taxa 
de juros e que ela sempre será de 2% (0,02) ao mês; na Matemática Financeira 
costumamos usar a letra 𝑖 para essa taxa percentual. 
Passados 3 meses, no dia 5 de abril, Teófilo obtém um extrato para 
verificar seu saldoe visualiza os seguintes dados no demonstrativo: 
 
 
 
 
 
13 
Quadro 3: cálculo de valores para uma aplicação de R$ 1000,00 
com juros de 2% ao mês 
 Data Juros (𝐽) Cálculo do Saldo Saldo ( ) 
0 Janeiro 1 , ( 0) 
1 Fevereiro 1 , ∙ , , (𝐽1 0 ∙ 𝑖) 1 , + , ( 0 + 𝐽1) 1 , ( 1) 
2 Março 1 , ∙ , ,4 (𝐽 1 ∙ 𝑖) 1 , + ,4 ( 1 + 𝐽 ) 1 4 ,4 ( ) 
3 Abril 1 4 ,4 ∙ , ,8 (𝐽3 ∙ 𝑖) 1 4 ,4 + ,8 ( + 𝐽3) 1 61, ( 3) 
 
Vamos detalhar os cálculos que estão nesse quadro. No dia 5 de cada 
mês, Teófilo terá direito à correção. O cálculo dos juros (𝐽) desse primeiro mês 
é o seguinte: 
𝐽1 0 ∙ 𝑖 1 ∙ % 1 ∙
 
1 
 1 ∙ , 𝑅$ , 
Esses juros, no valor de 𝑅$ , , será incorporado à quantia que foi 
depositada, concorda? Assim, após um mês o valor será: 
 1 1 + 𝑅$ 1 , 
Veja que o valor confere com o da tabela, mas agora podemos avançar 
em nosso conhecimento matemático. Vamos tentar descrever todo o processo 
em uma única expressão matemática? Com uma lei de formação poderemos 
calcular o saldo previamente, antes de qualquer número de meses que ainda 
serão decorridos. 
Os próximos parágrafos mostrarão como chegamos a uma expressão 
geral; não se preocupe em “decorar” essas passagens, ok? Nos exercícios você 
perceberá que o mais importante será aplicar corretamente tal expressão, com 
uso de calculadora. Vamos lá: 
Note que 1 é equivalente ao capital aplicado mais os juros do 1º mês, 
ou seja, 1 0 + 𝐽1. Mas devemos lembrar que 𝐽1 0 ∙ 𝑖, dessa forma 
podemos escrever a expressão assim: 
 1 0 + 0 ∙ 𝑖 
Se colocarmos 0 em evidência, vamos ter: 
 
 
14 
 1 0 + 𝐽1 0 + 0 ∙ 𝑖 0 ∙ (1 + 𝑖) 
Para obter o saldo do 2º mês ( ) vamos proceder da mesma forma, 
porém, para calcular os juros, teremos que utilizar o saldo anterior 1, veja: 
 1 + 𝐽 1 + 1 ∙ 𝑖 1 ∙ (1 + 𝑖) 
Seguindo a mesma lógica para o 3º mês ( 3), teremos: 
 3 + 𝐽3 + ∙ 𝑖 ∙ (1 + 𝑖) 
Dessa forma, os cálculos para os três meses serão: 
 1 0 ∙ (1 + 𝑖) [1] 
 1 ∙ (1 + 𝑖) [2] 
 3 ∙ (1 + 𝑖) [3] 
Devemos observar que o valor 1 da expressão [2] está definido na 
expressão [1], certo? Fazendo a substituição de [1] em [2] teremos: 
 
 0 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) 0 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) 
 
 
 
Logo: 
 
 0 ∙ (1 + 𝑖)
 
 
 
Substituindo este valor na expressão [3], vamos obter: 
 
 3 0 ∙ (1 + 𝑖)
 ∙ (1 + 𝑖) 0 ∙ (1 + 𝑖)
 ∙ (1 + 𝑖) 
 
Logo: 
 3 0 ∙ (1 + 𝑖)
3 
 
Veja que o fator (1 + 𝑖) é elevado exatamente ao expoente do mês em 
que incide os juros, percebeu? Sendo assim, se generalizarmos o cálculo do 
saldo para um mês qualquer, ou seja, o mês , obteremos: 
𝑦1 
(1 + 𝑖) 
𝑦 (1 + 𝑖)
3 
 
 
15 
 
 ( ) 0 ∙ (1 + 𝑖)
𝑥 
 
Observe que (1 + 𝑖) é um valor constante, assim, podemos dizer que 
(1 + 𝑖) 𝑎, logo: 
 ( ) 0 ∙ 𝑎
𝑥 
Não é lindo demais? Esta é expressão (lei) de uma função 
exponencial. 
Se voltarmos ao caso da aplicação financeira de Teófilo, vemos que 
 0 𝑅$ 1 , e 𝑎 (1 + 𝑖) (1 + , ) 1, . Substituindo esses valores 
na função, vamos obter: 
 ( ) 1 ∙ (1, )𝑥 
 
O termo (1, )𝑥 é chamado de fator de capitalização. Este fator 
indica o quanto o valor de equivale em relação a 1000. 
Com base nessa função, vamos confirmar os valores obtidos na tabela 
anterior? Os cálculos serão: 
 
 (1) 1 ∙ (1, )1 1 ∙ 1, 𝑅$ 1 , (aumento de 2% no período) 
 ( ) 1 ∙ (1, ) 1 ∙ 1, 4 4 𝑅$ 1 4 ,4 (aumento de 4,04% no período) 
 (3) 1 ∙ (1, )3 1 ∙ 1, 61 𝑅$ 1 61, (aumento de 6,12% no período) 
 
Todos os valores coincidem, sendo assim, conseguimos sintetizar todo o 
processo em uma única expressão, cuja relação é feita entre tempo e dinheiro 
e, a regra de associação, é uma função exponencial. Sabemos agora que, se 
Teófilo quiser saber seu saldo após 8 meses de aplicação, bastará a ele pensar 
na expressão: (8) 1 ∙ (1, )8 1171,66. 
Note que estamos fazendo 8 na função mencionada acima. Simples! 
 
 
16 
A expressão ( ) 0 ∙ (1 + 𝑖)
𝑥 é a famosa fórmula para se calcular um 
montante após aumentos sucessivos com taxa 𝑖 a juros compostos. Se forem 
descontos sucessivos, a expressão fica ( ) 0 ∙ (1 − 𝑖)
𝑥, e na Matemática 
Financeira há formas famosas de se apresentar esse cálculo. Veja dois formatos 
para essa mesma lei: 
𝑽𝒇 𝑽𝟎. (𝟏 ± 𝒑)
𝒏 
(onde Vf é o valor final, Vo é o valor inicial e p é a taxa percentual); e 
𝑴 𝑪. (𝟏 ± 𝒊)𝒏 
(onde M é o montante, que é valor final, e C é o capital inicial) 
 
Atenção, querida(o) estudante: não são outras fórmulas! São leis 
equivalentes, apenas as nomenclaturas dos termos dessas fórmulas é que 
podem ser diferentes. 
Agora vamos dar uma olhadinha nos logaritmos... 
 
2. Função Logarítmica 
 
2.1 O conceito de Logaritmo 
 
Logaritmo... essa palavra te assusta? Não deveria. Pois é apenas um 
nome dado a um conceito matemático e, segundo pesquisadores da história da 
Matemática, tem origem grega e aparece em trabalhos do século XVII. Veremos 
agora o porquê da necessidade de usarmos logaritmos e o porquê deles sempre 
estarem mencionados com modelos exponenciais. 
Comecemos com uma equação do 3º grau que você conseguirá resolver 
tranquilamente. Tão tranquilamente que podemos até “escrever” uma equação 
sem a simbologia matemática. Quer ver? Olhe só: “determine um número que 
elevado ao cubo resulta em 8”. 
Simbolicamente, temos: 3 8 
 
 
17 
Descobriu? Pensou em ? Acertou! Esta é a única solução real para 
essa equação. Você acabou de resolver uma equação do 3º grau! Mas agora, 
veja que perguntaremos algo sutilmente diferente: “dois elevado a qual número 
resulta em 8?”. Veja que, simbolicamente, recaímos numa equação exponencial: 
 𝑥 8 
Por meio de tentativas, você sabe que a resposta é 3. Mas, qual é a 
técnica para resolver essa equação? 
A ideia é ter potências de mesma base igualadas. Veja a resolução dessa 
equação: 
 𝑥 8  𝑥 3  3 
Realmente 2 elevado a 3 resulta 8. 
Pois é... mas nem sempre é fácil assim. Quer ver o susto que você vai 
levar? Veja a equação a seguir: 
1 𝑥 3 
Qual é esse valor de ? Perceba que ele não é um número que você 
encontra de forma imediata. Você se assustou com razão, mas temos uma 
notícia boa para você: não há como você encontrar esse número, assim, por 
“adivinhação”. 
Há algumas décadas, resultados de equações como essas eram obtidos 
por meio de consultas a enormes tabelas. Hoje, você tem disponível a 
calculadora científica que lhe permite realizar facilmente operações e chegar a 
esse valor de , bastando conhecer um pouco de teoria matemática. É bom que 
hoje tudo esteja mais fácil, não é mesmo? 
Muito bem, voltemos à equação. Perceba que esse número é um valor 
situado entre 0 e 1. Por quê? Retomemos coisas que você estudou na UA 5: 
lembra que 1 0 1? E não é verdade que 1 1 1 ? 
Como 1 < 3 < 1 , e estamos com a igualdade 1 𝑥 3 em mãos, temos: 
1 < 3 < 1  1 0 < 3 < 1 1  1 0 < 1 𝑥 < 1 1 
Dessa última desigualdade, concluímos que < < 1 . 
 
 
18 
Fique tranquilo(a), pois você não precisará agora nos dizer quanto vale 
 ; ao contrário, nós vamos te contar: ele é um número irracional, e vale 
0,4771… Não se preocupe em saber como se chega a esse valor, afinal isso nos 
renderia mais umas duas ou três UAs de Matemática. 
Muito bem: do que estamos falando? Esses valores de que satisfazem 
as equações exponenciaisanteriores são logaritmos. Veja só: 
 
 𝑥 8  3 
 1 𝑥 3  ,4771 
 
Bem, você não viu símbolo do logaritmo (que você deve ter estudado em 
seu 1º ou 2º ano do Ensino Médio) nas equações anteriores, mas isso porque 
deixamos para escrever agora a simbologia do logaritmo. Veja: 
 
8 3 equivale a log 8 3 
 3 1 0,4771 equivale a log10 3 ,4771 
 
O logaritmo pode ser entendido como sendo o expoente para o qual 
uma base precisa ser elevada para que se obtenha um número específico. Por 
exemplo, podemos entender logaritmo visualizando a relação entre os números 
4 e 16. Note que ambos podem se relacionar pela igualdade 
1642 
. 
É como se perguntássemos: “4 elevado a qual número que resulta 16?”. 
 
log4 16 ? 
 
O expoente 2 é definido como sendo o logaritmo de 16 na base 4; 
completando a escrita anterior, temos: 
 
log4 16 
 
 
 
19 
CONCEITO 
Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais e positivos, com 𝑎 ∈ ℝ+
∗ , 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 ∈ ℝ+
∗ , 
o logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 é o número 𝑥 tal que 𝑎𝑥 𝑏, ou seja, 
log𝑎 𝑏 𝑥. 
 
log𝑎 𝑏 𝑥 ⇔ 𝑏 𝑎
𝑥 
Ou seja, pensamos assim: 4 elevado a 2 é igual a 16. Veja os nomes 
desses termos: 16 é o logaritmando (ou antilogaritmo), 4 é a base do logaritmo 
e 2 é o próprio logaritmo, pois é o expoente 2 que deixa 4 igual a 16. 
 
 
 
log4 16 
 
 
 
 
 
Vamos ver se você entendeu? Treine agora mesmo, sem medo. Calcule o 
valor dos logaritmos a seguir. Logo em seguida daremos a resposta, mas faça 
ANTES de ver a resposta, senão você não terá treinado nada, ok? Vamos lá: 
log7 49 log3 7 log7 7 log7(
1
7
) 
 
Pronto? Muito bem, confira as respostas: 
log7 49 log3 7 3 log7 7 1 log7(
1
7
) −1 
 
Depois de toda essa conversa, escrevemos a seguir a definição formal de 
logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logaritmando 
Base 
Logaritmo ou expoente 
 
 
20 
Você é uma pessoa de sorte, pois há problemas em que você nem 
chegará a calcular o logaritmo da forma que fizemos até aqui, conforme você 
não poderá deixar de ver em nosso item “Antena Parabólica”. Isso decorre dos 
seguintes fatos: (1) você usará a calculadora científica; (2) você usará 
propriedades operatórias, que te apresentaremos agora, a partir do próximo 
parágrafo. Não usaremos todas as propriedades, mas vale a pena ver as quatro 
que escolhemos, inclusive, porque às vezes vemos alunos resolvendo o mesmo 
problema de formas diferentes, porque trabalharam com propriedades 
diferentes. Vamos lá! 
 
2.2 Propriedades dos logaritmos 
 
Apresentaremos propriedades dos logaritmos, contudo, não 
demonstraremos as identidades. Mas se sua curiosidade matemática for muito 
grande, você terá, no “Navegando por Aí”, uma indicação de site para você ver 
essas demonstrações. 
 
a) Logaritmo de um produto: log ( ∙ ) log + log 
Exemplo: log 15 log (3 ∙ 5) log 3 + log 5 
 
b) Logaritmo de um quociente: log 
 
 
 log − log 
Exemplo: log 
7
5
 log 7 − log 5 
 
c) Logaritmo de uma potência: log 
 𝑛 ∙ log 
Exemplo: log37 7 ∙ log3 
 
Nossa! Cadê a base deste logaritmo? É dez! 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Mudança de Base (mudança da base 𝑎 para a base ): 
log 
log 
log 𝑎
 
 
Você pode perceber que a calculadora científica apresenta as teclas de 
logaritmo na base 1 e na base 𝑒, e não apresenta nas outras bases. A 
calculadora financeira apresenta apenas a tecla de logaritmo na base 𝑒. Esta 
propriedade de mudança de base permite que você calcule logaritmo em 
qualquer base, usando as teclas disponíveis. 
Por exemplo: como calcular o log4 13 com a calculadora científica? Você 
pode usar log ou ln : 
ATENÇÃO 
Há dois logaritmos mais usados pelas Ciências: o de base 10 e o de 
base 𝑒. Por serem os mais usados, possuem notações especiais: 
 O logaritmo de base 10 pode ser escrito omitindo-se a base. 
Assim, log3 equivale a log10 3 (perceba que é um fenômeno 
que também existe na radiciação com índice 2: √7
2
 √7). 
Você localiza essa função na calculadora científica como log 
 O número 𝑒 (de Euler) é irracional, assim como 𝜋, e vale 
aproximadamente 2,7182. O logaritmo na base 𝑒, chamado de 
logaritmo natural ou logaritmo neperiano (de John Napier), 
também tem notação especial: ln 7 = log𝑒 7. 
Você localiza essa função na calculadora científica como ln 
 
 
 
22 
Usando log: log4 13 = 
log 13
log 4
 = 1,8502... (mudança da base 4 para a base 10) 
Usando ln: log4 13 = 
ln 13
ln 4
 = 1,8502... (mudança da base 4 para a base 𝑒 ) 
 
Para chegar a um resultado mais preciso, realize a operação completa e 
deixe para fazer um arredondamento no final. Execute: 
𝑙𝑜𝑔 13 dividido por 𝑙𝑜𝑔 4 igual a ...... ou 
𝑙𝑛 13 dividido por 𝑙𝑛 4 igual a ...... 
 
2.3 A função logarítmica 
 
 
Nesta seção você verá as características da função logarítmica. A função 
logarítmica é definida pela lei log . Para determinar as condições para a 
base 𝑎, o seu domínio e o seu conjunto imagem, vale lembrar a equivalência: 
 
log ⇔ 𝑎
 
Perceba que 𝑎 trata-se de uma função exponencial (neste caso 
temos em função de ). Esta função é definida para todo 𝑎 real positivo e 
diferente de 1 (𝑎 ∈ ℝ+
∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1), real e real positivo. Considerando a 
equivalência, estas mesmas condições valem para a função logarítmica. 
Desta forma, podemos definir a função logarítmica pela lei log 
para a ∈ ℝ+
∗ e a ≠ 1. O seu domínio é ℝ+
∗ e seu conjunto imagem é ℝ. 
Vejamos os possíveis gráficos da função logarítmica. 
Tomemos como exemplo, primeiramente, a função: log . Note 
que a base 𝑎 é maior que 1. Acompanhe a obtenção dos pares ordenados 
no Quadro 4 para alguns valores de . Acompanhe, também, suas respectivas 
representações na Figura 6. 
 
 
 
23 
1 2 3 4
-2
-1
1
2
1
2
0
 
Quadro 4: cálculo de valores e pares obtidos para log 
 
 
Figura 6: gráfico da função dada por log 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 6 apresenta o gráfico da função log , para todos os 
valores de reais positivos. Perceba que cresce conforme cresce, então 
estamos lidando com uma função crescente. E isso é válido: toda função 
logarítmica que possui uma base maior que 1 (𝑎 > 1) é uma função crescente. 
Observe tem o gráfico fica à direita do 𝑒𝑖 𝑜 e aí você pode visualizar o 
domínio desta função: ℝ+
∗ . 
O gráfico da função log para 𝑎 > 1 tem sempre esse 
comportamento: passa pelo ponto (1;0) e faz essa curva, variando apenas a 
inclinação dependendo do valor de 𝑎. O gráfico nunca “encosta” no 𝑒𝑖 𝑜 . 
 
 log pares ordenados 
1
4
 
 log (
1
4
) ⇔ (
1
4
) ⇔ − ∴ − (
1
4
 − ) 
1
 
 
 log (
1
 
) ⇔ (
1
 
) ⇔ −1 ∴ −1 (
1
 
 −1) 
1 log 1 ⇔ 1 
 ∴ (1 ) 
2 log ⇔ 
 ⇔ 1 ∴ 1 ( 1) 
4 log 4 ⇔ 4 
 ⇔ ∴ (4 ) 
 
 log 
 
 
24 
Agora, vamos considerar a função log1
2
 . Observe que 𝑎 
1
 
 , logo 
 < 𝑎 < 1. Acompanhe o Quadro 5 e a Figura 7: 
 
 
Quadro 5: cálculo de valores e pares obtidos para log1/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: gráfico da função dada por log1/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 7 apresentao gráfico da função log1
2
 , para todos os 
valores de reais positivos. Perceba que decresce conforme cresce, então 
1 2 3 4
-2
-1
1
2
1
2
 
 
 
 𝑓( ) pares ordenados 
4 
 log1
 
4 ⇔ 4 (
1
 
)
 
⇔ − ∴ − 
(4,− ) 
2 
 log1
 
 ⇔ (
1
 
)
 
⇔ − 1 ∴ −1 
( ,−1) 
1 
 log1
 
1 ⇔ 1 (
1
 
)
 
⇔ − 0 ∴ 
(1, ) 
1
 
 log1
 
(
1
 
) ⇔ (
1
 
) (
1
 
)
 
∴ 1 (
1
 
, 1) 
1
4
 log1
 
(
1
4
) ⇔ (
1
 
)
 
 (
1
 
)
 
∴ (
1
4
, ) 
 
 log1
 
 
 
 
25 
CONCEITO 
A função logarítmica tem forma geral 𝑓(𝑥) log𝑎 𝑥, para 
a ∈ ℝ+
∗ e a ≠ 1. Tem como domínio: ℝ+
∗ . Tem como conjunto imagem: 
ℝ. Passa pelo ponto (1;0). 
Para 𝑎 > 1, teremos uma função logarítmica crescente. 
Para < 𝑎 < 1, teremos uma função logarítmica decrescente. 
PAPO TÉCNICO 
As funções exponencial 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 e logarítmica 𝑔(𝑥) log𝑎 𝑥 são 
chamadas de funções inversas. Você percebeu, nos quadros 4 e 5, que 
os valores de 𝑥 da função 𝑓 são iguais aos valores de 𝑦 da função 𝑔? Veja 
também que e os valores de 𝑦 da função 𝑓 são os valores de 𝑥 da função 
𝑔. Por exemplo, em 𝑓(𝑥) 𝑥 tivemos o ponto (1,2), e na função 
𝑔(𝑥) log 𝑥 teremos o ponto (2,1). Entendeu o porquê da palavra 
inversa? 
 
estamos lidando com uma função decrescente. E isso sempre ocorrerá com a 
função logarítmica quando o valor da base estiver compreendido entre 0 e 1. 
Neste caso, o gráfico também está à direita do 𝑒𝑖 𝑜 refletindo seu 
domínio: ℝ+
∗ . 
O gráfico da função log para < 𝑎 < 1 tem sempre esse 
comportamento: passa pelo ponto (1;0) e faz esse tipo de curva. O gráfico 
nunca encosta no 𝑒𝑖 𝑜 . 
Reunimos os principais resultados discutidos nos exemplos sobre as 
funções logarítmicas no quadro Conceito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muito bem! Agora, compare os valores dessas duas funções logarítmicas 
com as respectivas funções crescentes e decrescentes exponenciais. Note que 
as coordenadas dos seus pares ordenados estão invertidas! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Observe atentamente o comportamento do gráfico da função 
exponencial e da função logarítmica para 𝑎 > 1. Você percebe que eles são 
simétricos? Observe a figura 8 e veja, num mesmo plano cartesiano, os dois 
gráficos e uma reta passando pelo primeiro e terceiro quadrantes, formando 
45° com o 𝑒𝑖 𝑜 (sentido anti horário). Tomando essa reta como referência 
(como se fosse um espelho), os gráficos são reflexos um do outro. Nessa figura 
representamos o caso em que ambas são funções crescentes, mas acontece o 
mesmo para o caso em que são decrescentes ( < 𝑎 < 1). Não é lindo? 
 
Figura 8: gráficos das funções dadas por 𝑥 e log 
 
 
2.4 Uma aplicação dos logaritmos 
 
Vamos nos divertir com uma interessante questão de vestibular: 
(IBMEC 2000) Segundo uma pesquisa, realizada em uma cidade do 
interior de Mato Grosso, o número de pessoas que toma conhecimento de 
determinado fato t meses após ele ter ocorrido é dado por f(t) 
 0 000
1+10.3−t
 . Qual 
o número de dias necessários para que 4 pessoas tomem conhecimento de 
um fato ocorrido nessa cidade? 
1
1
0
1
1
0
𝑦 𝑥 
𝑦 log 𝑥 
x 
y 
 
 
27 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Se o número de pessoas que toma conhecimento de determinado fato t meses 
após ele ter ocorrido é dado por f(t) 
 0 000
1+10.3−t 
 , então queremos o valor de 𝑡 
de forma que 4 
 0 000
1+10.3−t 
 
Temos uma equação para resolver. 
Multiplicando ambos os membros da equação por 1 + 1 . 3−t , ficamos com: 
4 . (1 + 1 . 3−t ) 
Dividindo ambos os membros por 4 : 
1 + 1 . 3−t 5 
Como queremos o valor de 𝑡, vamos isolá-lo no primeiro membro. 
Primeiro, subtraímos 1 de ambos os membros. Obtemos: 
1 . 3−t 4 
Dividindo ambos os membros por 10: 
3−t ,4 
O 𝑡 está no expoente, logo, vamos aplicar logaritmos: 
log 3−t log ,4 
Agora aplicamos a 3ª propriedade operatória (veja no final da página 20) 
−t. log3 log ,4 
−t 
log ,4
log3
 
t − 
log ,4
log3
 
t − 
log0,4
log3
 ,834 4 (meses) 
Multiplicando esse valor por 30, concluímos que em 25 dias, 4000 pessoas 
tomam conhecimento de um fato ocorrido nessa cidade. 
 
 
 
28 
 
Ah... você acha que acabou? Não. Agora é hora de ANTENA 
PARABÓLICA! Levante-se, faça um alongamento, coma uma fruta e volte em 5 
minutos para ler os textos que preparamos para você, que incluem o uso da 
calculadora científica do Windows, ok? Até já! 
 
Glossário 
Exponencial: diz-se da função (real ou complexa) definida por uma potência 
de base constante e expoente variável (real ou complexa). 
Logaritmo: expoente ao qual se deve elevar o número escolhido para base 
para se obter o número dado. 
 
 
Antena Parabólica 
 
Caríssima(o) estudante: neste texto mostraremos a você aquilo que você 
pode verificar no vídeo: o uso da calculadora do Windows. Claro que você pode 
acompanhar este texto e fazer as operações com a sua calculadora 
científica. Daí você já aproveita e treina para a avaliação que está chegando, 
que tal? Vamos lá! 
 
Problema: 
O capital inicial de R$ 4.500,00, será aplicado a uma taxa de 1% a.m. Calcule: 
(a) O montante após 17 meses de aplicação. 
(b) Após quanto tempo o montante duplicará seu valor. 
 
 
 
29 
RESOLUÇÃO: 
(a) Usaremos a fórmula de juros compostos: 
𝑽𝒇 𝑽𝟎. (𝟏 ± 𝒑%)
𝒏, ou mesmo: 
𝑴 𝑪. (𝟏 ± 𝒊%)𝒏 
Porém usaremos o “+” dessa fórmula, pois trata-se de aumentos sucessivos. 
Teremos então: 
𝑴 𝟒𝟓𝟎𝟎. (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏)𝟏𝟕 
𝑴 𝟒𝟓𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟏)𝟏𝟕 
Vamos fazer (1, 1)17 na calculadora científica do Windows, acompanhe os 
passos logo abaixo, e verifique o resultado: 
𝑽𝒇 𝟒𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟎𝟒 
E o resultado fica: 
𝑽𝒇 5.329,37 
 
1º) 2º) 
 
 
 
3º) 4º) 
 
5.329,37 
 
 
30 
 
(b) Vamos calcular após quanto tempo o montante duplicará seu valor. Veja 
a sequência que montamos no vídeo: 
 
Mas como vamos resolver essa equação? É agora que entrarão os 
logaritmos! Veja: se 1, 1 , então é verdade que 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔1, 1 . 
 
Ou seja, mais que 69 meses. A sequência na calculadora fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Ah... viu como não é tão difícil como você imaginava? 
 
 
 
31 
Não deixe de realizar essas operações com a sua calculadora, 
combinado? E agora... que tal praticar bastante essas ideias todas, fazendo os 
exercícios do Momento da Verdade? 
 
E agora José? 
 
Muito bem! Chegou a hora de fazer uma avaliação de todas as nossas 9 
Unidades de Aprendizagem, não é mesmo? Não deixe de se preparar para essa 
avaliação, revendo os conceitos de todas as nossas aulas e, se você tiver 
tempo, será ótimo se você puder refazer os exercícios que trabalhamos nessas 
unidades. 
Boa avaliação para você! Depois dela, voltaremos com a UA 11, com um 
assunto que não é difícil, mas talvez lhe seja uma novidade: Lógica. Vai ser 
divertido brincar com nosso pensamento, porém o assunto não será totalmente 
novo, já que você estudou bastante a lógica dos conjuntos, ok? 
Grande abraço e até a próxima! 
 
 
 
 
32 
Referências 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Matemática para Administração. Rio de 
Janeiro: LTC, 2002. 
HAZZAN; MORETTIN; BUSSAB. Introdução ao Cálculo para 
Administração, Economia. São Paulo: Saraiva, 2009. 
MUROLO, A. Matemática aplicada à Administração,Economia e 
Contabilidade. São Paulo: Thomson Pioneira, 2004. 
NOÉ, Marcos. Aplicações de uma função de 1º grau. Disponível em: 
http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-uma-funcao-1grau.htm 
[s.d.]. Acesso em: 2/2012. 
PORTO EDITORA. Infopédia. Disponível em: 
 http://www.infopedia.pt/linguaportuguesa/ . [s.d.]. Acesso em: 2/2012. 
SILVA, F. C. M.; ABRAO, M. Matemática básica para decisões 
administrativas. São Paulo: Atlas, 2008. 
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos 
superiores. São Paulo: Atlas, 2006. 
YOUSSEF, A. N., FERNANDEZ, V. P. Matemática Conceitos e Fundamentos. 
São Paulo: Scipione, 1993.