AP1 A1 2014 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – A´LGEBRA I
Questa˜o 1 [2,0 pontos] Sejam A,B,C e D conjuntos tais que A 6= ∅ e B 6= ∅. Mostre que:
A ⊂ B e C ⊂ D se, e somente se, A× C ⊂ B ×D.
Soluc¸a˜o: Suponha primeiro que A ⊂ B e C ⊂ D. Como queremos mostrar que A× C ⊂ B ×D,
tomamos um elemento (a, c) ∈ A×C e mostraremos que (a, c) ∈ B×D. De fato, se (a, c) ∈ A×C,
enta˜o a ∈ A e c ∈ C. Como A ⊂ B temos a ∈ B. Como C ⊂ D temos c ∈ D. Donde a ∈ B e
c ∈ D, logo (a, c) ∈ B ×D. Conclusa˜o, A× C ⊂ B ×D.
Por outro lado, suponha que A × C ⊂ B × D. Queremos mostrar que A ⊂ B e C ⊂ D. Para
tal, tomamos elementos a ∈ A e c ∈ C gene´ricos. O par ordenado (a, c) pertence a A× C. Como
A × C ⊂ B × D, temos (a, c) ∈ B × D. Ou seja, a ∈ B e c ∈ D. Donde segue que A ⊂ B e
C ⊂ D.
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Uma progressa˜o aritme´tico-geome´trica e´ uma sequeˆncia de nu´meros reais
(an) tal que a1 e´ dado e, para todo n ∈ N, tem-se que
an+1 = qan + r,
onde q e r sa˜o nu´meros reais dados, com q 6= 1. Mostre, utilizando Induc¸a˜o Matema´tica, que:
an = a1q
n−1 + r
qn−1 − 1
q − 1 .
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ va´lida para n = 1 pois a expressa˜o fica
a1q
1−1 + r
q1−1 − 1
q − 1 = a1.
Mostraremos agora que se a expressa˜o vale para algum nu´mero natural n ≥ 1, enta˜o ela vale tambe´m
para n+ 1. Sabemos que an+1 = qan + r e, por hipo´tese de induc¸a˜o que
an = a1q
n−1 + r
qn−1 − 1
q − 1 .
Substituindo a segunda na primeira obtemos
an+1 = q(a1q
n−1 + r
qn−1 − 1
q − 1 ) + r = a1q
n + r
(
qn − q
q − 1
)
+ r = a1q
n + r
(
qn − q + q − 1
q − 1
)
.
Ou seja,
an+1 = a1q
n + r
(
qn − 1
q − 1
)
.
E a expressa˜o fica provada pelo Teorema de Induc¸a˜o Matema´tica.
A´LGEBRA 1 AP1 2
Questa˜o 3 [2,0 pontos] Considere a, b,m e n ∈ Z com m > 1 e n > 1. Mostre que:
a ≡ bmodm e a ≡ bmodn se, e somente se, a ≡ bmodmmc (m,n) .
Soluc¸a˜o: Usando a linguagem de ideais apresentada no mo´dulo temos
a ≡ b(mod m) e a ≡ b(mod n)⇔ a− b ∈ m · Z e a− b ∈ n · Z⇔
⇔ a− b ∈ mmc(m,n) · Z⇔ a ≡ b(mod mmc(m,n)).
A justificativa para a passagem da primeira para a segunda linha e´ o Teorema 3 da Aula 6 (pa´gina
70 do Mo´dulo).
Questa˜o 4 [2,0 pontos] Calcular o resto da divisa˜o manualmente pode ser bastante trabalhoso
para nu´meros grandes.
(a) [1,0 ponto] Sem fazer contas, apenas olhando o divisor e o dividendo, quantos sa˜o os poss´ıveis
restos para a divisa˜o de 201407072014 por 3232? Que teorema voceˆ utilizou para responder a`
pergunta anterior?
(b) [1,0 ponto] Explique como usar uma calculadora de quatro func¸o˜es (+, −, × e /) para encontrar
o resto da divisa˜o de dois nu´meros.
Soluc¸a˜o:
(a) O Teorema da Divisa˜o de Euclides afirma em particular que o resto da divisa˜o de um nu´mero
inteiro n por um inteiro d 6= 0 e´ um natural menor que ou igual a d. Portanto, os restos poss´ıveis
sa˜o 0, 1, 2, · · ·, 3231. Ou seja, 3232 restos poss´ıveis.
(b) Efetue a divisa˜o, subtraia do resultado encontrado a sua parte inteira, multiplique pelo divisor,
o resultado e´ o resto. De fato, do Teorema da Divisa˜o de Euclides, dados inteiros n e d 6= 0,
existem q e r nu´meros inteiros tais que r ∈ {0, 1, · · · , d− 1} e n = qd+ r. Dividindo ambos os
membros por d obtemos n
d
= q+ r
d
. Observe que q e´ a parte inteira do resultado da divisa˜o obtido
na calculadora. Subtraindo q em ambos os membros da equac¸a˜o acima obtemos n
d
− q = r
d
,
multiplicando por d encontramos o valor do resto r.
Questa˜o 5 [2,0 pontos] Considere a seguinte relac¸a˜o R no conjunto dos inteiros:
xRy ⇔ x− y ∈ 10 · Z.
(a) [1,0 ponto] Prove que esta e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em Z.
(b) [1,0 ponto] Descreva a partic¸a˜o determinada em Z por esta relac¸a˜o, isto e´, o conjunto das classes
de equivaleˆncia de R.
Soluc¸a˜o:
(a) Mostraremos que a relac¸a˜o R e´ reflexiva, sime´trica e transitiva.
• reflexividade. Dado x ∈ Z, vale xRx pois x− x = 0 ∈ 10 · Z.
• simetria. Se xRy, enta˜o x− y ∈ 10 · Z, logo y − x ∈ 10 · Z, donde yRx.
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A´LGEBRA 1 AP1 3
• transitividade. Se xRy e yRz, enta˜o x − y ∈ 10 · Z e y − z ∈ 10 · Z, ou seja, existem
m e n inteiros tais que x − y = 10m e y − z = 10n, somando as igualdades obtemos
x− z = 10(m+ n), logo x− z ∈ 10 · Z e xRz.
(b) Uma possibilidade e´ simplesmete listar todas as classes. Temos:
[0] = {· · · ,−30,−20,−10, 0, 10, 20, 30, · · ·}
[1] = {· · · ,−29,−19,−9, 1, 11, 21, 31, · · ·}
[2] = {· · · ,−28,−18,−8, 2, 12, 22, 32, · · ·}
[3] = {· · · ,−27,−17,−7, 3, 13, 23, 33, · · ·}
· · · · · · · · · · · ·
[9] = {· · · ,−21,−11,−1, 9, 19, 29, 39, · · ·}.
Como facilmente se observa, todos os nu´meros inteiros esta˜o listados acima, enta˜o na˜o ha´ outras
classes.
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