Terceira Lista de CDI 3 Derivadas Parte I Engenharia Civil (1)

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Terceira Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
Derivadas - Parte I
Professor: Marcelo Roberto Mana (mana.marcelo@gmail.com.br)
Curso: Engenharia: Civil
Entrega: No dia da P1
ATENÇÃO!: O Trabalho Deve ser Entregue Em Papel A4 Com Capa
Questões:
1. Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
a) f(x, y) = 2x4y3 − xy2 + 3y + 1 b) f(x, y) = (x3 − y2)5 c) f(r, s) =√r2 + s2
d) f(x, y) = xey + y sinx e) f(u,w) = arctan u
w
f) f(x, y, z) = x2y3z4 + 2x − 5yz
g) f(x, y, z) = xyzexyz h) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4 i) z = cosxy
j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2) k) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2) l) w = xyz
x + y + z
2. Considere a função z = xy2
x2 + y2 . Mostre que x∂z∂x + y∂z∂y = z.
3. Sejam z = ex2+y2 , x = ρ cos θ e y = ρ sin θ. Verifique que:
∂z
∂ρ
= ex2+y2(2x cos θ + 2y sin θ)
4. Seja f(x, y) = ∫ x2+y2
0
e−t2dt. Calcule ∂f
∂x
(x, y) e ∂f
∂y
(x, y).
5. Seja f ∶ RÐ→ R diferenciável e seja g dada por g(x, y, z) = f(r), onde r = ∣∣(x, y, z)∣∣. Mostre
que:
x
∂g
∂x
+ y∂g
∂y
+ z∂g
∂z
= r.f ′(r)
6. Seja f(x, y) = ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(x2 + y2) sin 1
x2 + y2 se (x, y) ≠ (0,0)
0 se (x, y) = (0,0)
a) Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
b) Prove que f é diferenciável em (0,0).
7. Verifique que f(x, y) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x4
x2 + y2 se (x, y) ≠ (0,0)
0 se (x, y) = (0,0) é uma função diferenciável.
8. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no
ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1,1, f(1,1))
b) f(x, y) = x2 + y2 em (0,1, f(0,1))
9. Seja z = xex2−y2 . Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa
de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002. Estime o erro cometido nesta aproximação.
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