Quinta Lista de CDI 3 Integração Múltipla Parte I Engenharia Civil (3)

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Quinta Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
Cálculo Vetorial - Integração Múltipla - Parte I
Professor: Marcelo Roberto Mana (mana.marcelo@gmail.com)
Curso: Engenharias: Ambiental, Civil, Computação e Elétrica
Entrega: No dia da P2
ATENÇÃO!: O Trabalho Deve ser Entregue Em Papel A4 Com Capa
Questões:
1. Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule ∫ ∫
A
f(x, y)dxdy sendo f(x, y) igual a:
a) x + 2y b) √x + y c) 1
x + y d) x2 + y
2. Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d].
Demonstre que:
∫ ∫
A
f(x)g(y) dxdy = ⎛⎝
b∫
a
f(x)dx⎞⎠⎛⎝
d∫
c
g(y)dy⎞⎠
onde A é o retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.
3. Calcule:
(a) ∫ ∫
A
xy2 dxdy, onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3
(b) ∫ ∫
A
x cos 2y dxdy, onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, −pi
4
≤ y ≤ pi
4
4. Calcule ∫ ∫
B
e−y2 dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (0,1).
5. Calcule ∫ ∫
B
y dxdy onde B é o conjunto dado:
a) B = {(x, y) ∈ R2∣ − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x + 2} b) B = {(x, y) ∈ R2∣x2 + 4y2 ≤ 1}
6. Inverta a ordem de integração:
a)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x∫
0
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx b)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x∫
x2
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx c)
e∫
1
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x∫
lnx
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx
d)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
y∫−√y f(x, y)dx
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦dy e)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
y+3∫
y
f(x, y)dx⎤⎥⎥⎥⎥⎦dy
7. Calcule:
a) ∫ ∫
B
sin(x2 + y2)dxdy onde B é o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0
b)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
x∫
0
x
√
x2 + 3y2 dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx
c) ∫ ∫
B
(x2 + 2y) dxdy onde B é o círculo x2 + y2 ≤ 4
8. Calcule a rotacional.
a)
Ð→
F (x, y, z) = −yÐ→i + xÐ→j + zÐ→k
b)
Ð→
F (x, y, z) = xÐ→i + yÐ→j + xzÐ→k
c)
Ð→
F (x, y, z) = yzÐ→i + xzÐ→j + xyÐ→k
d)
Ð→
F (x, y) = (x2 + y2)Ð→i
e)
Ð→
F (x, y) = xyi⃗ − x2Ð→j
9. Calcule o divergente do campo vetorial dado.
a)
Ð→v (x, y) = −yÐ→i + xÐ→j
b)
Ð→u (x, y, z) = xÐ→i + yÐ→j + zÐ→k
c)
Ð→
F (x, y, z) = (x2 − y2)Ð→i + sin(x2 + y2)Ð→j + (arctan z)Ð→k
10. Calcule o Laplaciano da função ϕ dada.
a) ϕ(x, y) = xy
b) ϕ(x, y) = ln(x2 + y2)
c) ϕ(x, y) = arctan x
y
, y > 0
d) ϕ(x, y) = 1
4
ex
2−y2
2