Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala


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f
1y ® -y2 
 f
2y ® -y1 
 f
3y ® -y3 
f
1z ® z2 
f
2z ® z1 
f
3z ® z3 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -45 - 
A equação matricial fica: 
C2 Þ 
f 
3 
f 
3 
f 
3 
f 
2 
f 
2 
f 
2 
f 
1 
f ' 
1 
f 
1 
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 = 
100000000
010000000
001000000
000000100
000000010
000000001
000100000
000010000
000001000
-
-
-
-
-
-
 Ä 
i
3
i
3
i
3
i
2
i
2
i
2
i
1
i
1
i
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 Þ ctot (C2) = -1 
 
4.7.3 - Reflexão sxz 
Os três átomos não mudam de posição, apenas as coordenadas y são 
invertidas. As mudanças de coordenadas estão apresentadas na Figura 52. 
 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
sxz
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
 
Figura 52 - Substituição das coordenadas devido à reflexão no plano xz na molécula 
de SO2 
 
Posição 1f Posição 2f Posição 3f 
f
1x ® x1 
f
2x ® x2 
f
3x ® x3 
 f
1y ® -y1 
 f
2y ® -y2 
 f
3y ® -y3 
f
1z ® z1 
f
2z ® z2 
f
3z ® z3 
 
Observa-se que x e z não mudam, portanto, a equação matricial fica: 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -46 - 
sxz Þ 
f 
3 
f 
3 
f 
3 
f 
2 
f 
2 
f 
2 
f 
1 
f ' 
1 
f 
1 
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 = 
100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001
-
-
-
 Ä 
i
3
i
3
i
3
i
2
i
2
i
2
i
1
i
1
i
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 Þ ctot (sxz) = 3 
 
4.7.4 - Reflexão syz 
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1
y1
x1
syz
z3
y3
x3
z2
y2
x2
z1 y1
x1
 
Figura 53 - Substituição das coordenadas devido à reflexão no plano yz na molécula 
de SO2 
 
Posição 1f Posição 2f Posição 3f 
f
1x ® -x2 
f
2x ® -x1 
f
3x ® -x3 
 f
1y ® y2 
 f
2y ® y1 
 f
3y ® y3 
f
1z ® z2 
f
2z ® z1 
f
3z ® z3 
 
A equação matricial fica: 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -47 - 
sxz Þ 
f 
3 
f 
3 
f 
3 
f 
2 
f 
2 
f 
2 
f 
1 
f ' 
1 
f 
1 
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 = 
100000000
010000000
001000000
000000100
000000010
000000001
000100000
000010000
000001000
-
-
-
 Ä 
i
3
i
3
i
3
i
2
i
2
i
2
i
1
i
1
i
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 Þ ctot (syz) = 1 
 
O Sistema ctot é, portanto: 
C2v E C2 sxz syz 
ctot 9 -1 3 1 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -48 - 
5 - REPRESENTAÇÕES REDUTÍVEIS E IRREDUTÍVEIS 
 
O conjunto de matrizes de todos os elementos do grupo C2v {E, C2, syz e sxz} 
é chamado de representação do grupo e como todas as matrizes podem ser 
reduzidas a matrizes menores, portanto, a representação (conjunto de matrizes 
correspondentes à {E, C2, syz e sxz} é uma representação redutível. 
Uma representação n dimensional (no caso do SO2 igual a 9) é dita redutível 
se existe uma transformação linear que decompõe todas as matrizes da representação 
em forma de bloco como, por exemplo : 
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
nnnj
jnjj
ii1i
i111
AA
AA
AA
AA
L
MM
L
L
MM
L
 
Se por outro lado, a representação não pode ser reduzida à forma de blocos 
por uma combinação linear, então se diz que a mesma é uma representação 
irredutível. 
O traço das matrizes 9 x 9, correspondente à {E, C2, syz e sxz} é a soma dos 
termos da diagonal, portanto, os traços para as transformações dos deslocamentos de 
coordenadas são: 
 
ctot (E) = 9 ctot (C2) = -1 ctot (sxz) = 3 ctot (syz) = 1 
 
O conjunto de traços é chamado caráter da representação, no caso do SO2, 
tem-se: 
C2v E C2 sxz syz 
ctot 9 -1 3 1 
 
Existem duas fórmulas que permitem calcular, diretamente, os caracteres da 
representação redutível de um determinado grupo pontual. As mesmas vêm dadas por: 
 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -49 - 
(Equação 1) ctot = mr (1 + 2 cosq) Þ Para rotações próprias 
(Equação 2) ctot = mr (-1 + 2 cosq) Þ Para rotações impróprias 
onde: mr = número de núcleos que não mudam na operação 
 q = ângulo na qual se realiza a operação 
 
No caso do SO2 \u2013 simetria C2v, tem-se: 
Operações próprias: E e C2 
Para E Þ mr = 3 e q = 360o 
 ctot = mr (1 + 2 cosq) 
 ctot = 3 (1 + 2 cos(360o)) 
 ctot = 9 
 
Para C2 Þ mr = 1 e q = 180o 
 ctot = mr (1 + 2 cosq) 
 ctot = 1 (1 + 2 cos(180o)) 
 ctot = -1 
 
Operações impróprias: sxz e syz 
Para sxz Þ mr = 3 e q = 0o 
 ctot = mr (-1 + 2 cosq) 
ctot = 3 (-1 + 2 cos(0o)) 
 ctot = 3 
 
Para syz Þ mr = 1 e q = 0o 
 ctot = mr (-1 + 2 cosq) 
ctot = 1 (-1 + 2 cos(0o)) 
 ctot = 1 
 
Portanto: 
C2v E C2 sxz syz 
ctot 9 -1 3 1 Þ Caracteres da Representação Redutível 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -50 - 
Empregando as fórmulas anteriormente citadas, podemos encontrar os 
caracteres da representação redutível de qualquer molécula. Seja por exemplo a 
molécula de amônia (NH3) que pertence ao grupo de ponto C3v. 
 
N
H(1)
(3)H
(2)H
sv1
sv2
sv3
z
y
x
C3
 
Figura 54 - Elementos de simetria presentes na molécula de NH3 
 
Operações próprias: E e C3 
Para E Þ mr = 4 e q = 360o 
 ctot = mr (1 + 2 cosq) 
 ctot = 4 (1 + 2 cos(360o)) 
 ctot = 12 
Para C3 Þ mr = 1 e q = 120o 
 ctot = mr (1 + 2 cosq) 
 ctot = 1 (1 + 2 cos(120o)) 
 ctot = 0 
 
Operações impróprias: sv 
Para sv Þ mr = 2 e q = 0o 
 ctot = mr (-1 + 2 cosq) 
ctot = 2 (-1 + 2 cos(0o)) 
 ctot = 2 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -51 - 
Portanto, os caracteres da representação redutível da molécula de amônia 
serão: 
C3v E 2C3 3sv 
ctot 12 0 2 
 
Um critério para saber se uma representação ctot é redutível ou não, é o 
seguinte: 
 
(Equação 3) Se 
2
totå c (R) > h, a representação é redutível; 
(Equação 4) Se 
2
totå c (R) = h, a representação é irredutível; 
Onde: h = ordem do grupo = número de elementos de simetria 
R = número de operações de simetria da clase. 
 
Para a molécula de SO2, grupo pontual C2v , onde h = 4, tem-se: 
 
C2v (1)E (1)C2 (1)sxz (1)syz 
ctot 9 -1 3 1 
Obs.: Os números entre parênteses são as quantidades de operações da 
classe de simetria, portanto: 
(1).92 + (1).(-1)2 + (1).32 + (1).12 > 4 Þ Representação Redutível 
 
Para a molécula de amônia, tem-se: 
C3v (1)E (2)C3 (3)sv 
ctot 12 0 2 
 
(1).122 + (2).02 + (3).22 > 6 Þ Representação Redutível 
 
Os caracteres da representação redutível para a molécula de NH3 
correspondem aos traços das seis matrizes 12 x 12 { }3v2v1v-33 , , ,C ,C ,E sss+ . Como 
matrizes de mesma classe são equivalentes e apresenta o mesmo caráter (traço), 
então a operação E apresenta traço igual a 12, enquanto as duas operações C3 
apresentam traço igual a zero e as três operações sv apresentam traço igual a 2. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -52 - 
Quando uma molécula pertence a um grupo que não tem eixo de simetria 
maior que 2, a mesma faz parte de um grupo não degenerado. 
As operações realizadas em moléculas de baixa simetria (grupos não 
degenerados) podem mudar de sinal (+1 ou -1) com a operação de simetria. Por 
exemplo: 
 
y1 
operação de 
simetria 
(+1) y1 
y1 é simétrica em relação
Marcela
Marcela fez um comentário
fçvida fudida
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