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Capítulo 2 Vetores 
Geometria Analítica 
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CAPÍTULO 2 
Vetores 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
 
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, 
deslocamento e velocidade são grandezas que são representadas por vetores, mas um vetor pode 
ser bem mais do que isso. Ao longo de alguns cursos, por exemplo, Geometria Analítica, Álgebra 
Linear e Física, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. 
 
2.2 Segmentos Orientados 
 
Chamamos de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em um 
ponto e sua extremidade em outro. 
 
O segmento de reta representado tem sua origem no ponto 𝐴 e sua extremidade no ponto 𝐵. 
Comentário: Dizemos que um segmento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (𝐴 ≡
𝐵). 
 
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Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto. 
 
Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura a seguir, dizemos 
que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes. 
Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido 
quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a orientação é 
oposta, dizemos que os segmentos são opostos. 
 
 Dizemos que dois segmentos são equipolentes quando eles possuem o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 
2.3 Vetores 
 
Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e 
extremidade em outro. Na figura a seguir, o segmento AB é chamado de vetor AB e indicado por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
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Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são iguais se e somente se, os dois segmentos orientados que os 
representam forem equipolentes. Na figura a seguir os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são iguais, isto é, 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
2.4 Operações com Vetores 
 
Adição de vetores 
Dados dois vetores 𝒂 e 𝒃, consideremos uma seta qualquer que represente 𝒂. Tomemos o ponto 
final dessa seta como o ponto inicial de uma seta que represente 𝒃. Definimos a soma de 𝒂 com 𝒃, 
que representamos por 𝒂 + 𝒃, como sendo o vetor representado pela seta que tem por ponto inicial 
o ponto inicial da seta que representa 𝒂, e por ponto final o ponto final da seta que representa 𝒃, 
como mostra a figura a seguir. 
 
A operação que associa aos vetores 𝒂 e 𝒃, o vetor 𝒂 + 𝒃, é chamada de adição de vetores, 
ou adição vetorial. Os vetores 𝒂 e 𝒃 que formam a soma 𝒂 + 𝒃 são chamados componentes 
vetoriais do vetor 𝒂 + 𝒃. Essa regra de obter a soma de dois vetores é chamada de regra do 
triângulo. Na figura acima fica claro porque a adição vetorial é chamada assim. 
 
A adição vetorial goza de algumas propriedades muito importantes que enunciamos a seguir. 
 A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores 𝒂 e 𝒃, temos: 
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 
 A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores 𝒂, 𝒃 e 𝒄, temos: 
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) 
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 O vetor nulo 𝟎 é o elemento neutro da adição vetorial, isto é, para qualquer vetor 𝒂, temos: 
𝒂 + 𝟎 = 𝒂 
 Para cada vetor a existe o vetor oposto −𝒂, que satisfaz a igualdade: 
𝒂 + (−𝒂) = 𝟎 
 
Subtração de vetores 
A diferença de dois vetores 𝒂 e 𝒃 é o vetor 𝒂 − 𝒃 que se obtém somando ao vetor 𝒂 o oposto do 
vetor 𝒃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação por um Número Real 
Dado um vetor 𝒂 ≠ 𝟎 e um número 𝑘 ≠ 0, chama-se produto do número real 𝑘 pelo vetor 𝒂 o vetor 
𝒑 = 𝑘. 𝒂, tal que: 
 Módulo: |𝒑| = |𝑘. 𝒂| = |𝑘||𝒂|; 
 Direção: a mesma de 𝒂; 
 Sentido: o mesmo de 𝒂 se 𝑘 > 0, e contrário ao de 𝒂 se 𝑘 < 0. 
 
Propriedade de multiplicação por um número real 
Se 𝒂 e 𝒃 são vetores quaisquer e 𝑘1 e 𝑘2 números reais, temos: 
 𝑘1(𝑘2𝒂) = (𝑘1𝑘2)𝒂 (associativa) 
 (𝑘1+𝑘2)𝒂 = 𝑘1𝒂 + 𝑘2𝒂 (distributiva em relação à adição) 
 𝑘1(𝒂 + 𝒃) = 𝑘1𝒂 + 𝑘1𝒃 (distributiva em relação à adição de vetores) 
 
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Ângulo de dois vetores 
O ângulo de dois vetores 𝒂 e 𝒃 não nulos é o ângulo 𝜃 formado pelas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 e tal que 
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. 
 
 
 
 
 
 Se 𝜃 = 𝜋, 𝒂 e 𝒃 têm a mesma direção e sentidos contrários; 
 
 
 
 
 
 Se 𝜃 = 0, 𝒂 e 𝒃 têm mesma direção e mesmo sentido; 
 
 
 
 
 
 Se 𝜃 =
𝜋
2
, 𝒂 e 𝒃 são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo1. Dados os vetores 𝒂, 𝒃 e 𝒄, de acordo com a figura a seguir, construir o vetor 
𝒅 = 2𝒂 − 3𝒃 + 0,5𝒄. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2. O paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 é determinado pelos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, sendo 𝑀 e 𝑁 pontos 
médios dos lados 𝐷𝐶 e 𝐴𝐵, respectivamente. Completar convenientemente: 
(a) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
(b) 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
(c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
(d) 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
(e) 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 
(f) 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 0,5𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
 
2.5 Atividades 
Exercício 1. Dados os vetores �⃗� e 𝑣 da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: 
(a) �⃗� − 𝑣 
(b) 𝑣 − �⃗� 
(c) −𝑣 − 2�⃗� 
(d) 2�⃗� − 3𝑣 
 
Exercício 2. Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , como na figura a seguir, apresentar um representante de 
cada um dos vetores: 
(a) 4�⃗� − 2𝑣 − �⃗⃗� 
(b) �⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� 
(c) 2𝑣 − (�⃗� + �⃗⃗� ) 
 
Exercício 3. Sabendo que o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 é de 60°, determinar o ângulo formado 
pelos vetores: 
(a) �⃗� e −𝑣 
(b) −�⃗� e 𝑣 
(c) −�⃗� e −𝑣(d) 2�⃗� e 3𝑣 
𝒂 
𝒃 
𝒄 
𝑴 
𝑩 
𝑪 𝑫 
𝑨 𝑵 
�⃗� 
𝑣 
�⃗� 
𝑣 
�⃗⃗�