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CAPÍTULO 1 
Conjuntos numéricos, plano cartesiano, 
produto cartesiano e relações binárias 
 
 
 
1. Conjuntos Numéricos 
 
 1.1 Conjunto dos Números Naturais (ℕ ) 
 É o conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,............}. 
 Um subconjunto de N, que merece destaque é : *ℕ = {x ∈ ℕ | x > 0} = {1, 2, 3, 4,......} 
 
1.2 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ ) 
 É o conjunto ℤ = { ........, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...........}. 
 Alguns subconjuntos de ℤ merecem destaque: 
1) Conjunto dos Inteiros não-nulos ( *ℤ ) 
 *ℤ = {x ∈ ℤ | x ≠ 0} = {......,−3, −2, −1, 1, 2, 3,.....} 
 
2) Conjunto dos inteiros não-positivos (
−
ℤ ) 
 
−
ℤ = {x ∈ ℤ | x ≤ 0} = {......, −4, −3, −2, −1, 0} 
 
3) Conjunto dos inteiros não-negativos ( +ℤ ) 
 +ℤ = {x ∈ ℤ | x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, 4,......} = ℕ 
 
 
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4) Conjunto dos inteiros positivos ( *+ℤ ) 
 *+ℤ = {x ∈ ℤ | x > 0} = {1, 2, 3, 4,......} = 
*
ℕ 
 
5) Conjunto dos inteiros negativos ( *
−
ℤ ) 
 *
−
ℤ = {x ∈ ℤ | x < 0} = {......, − 4, −3, −2, −1} 
 
 1.3 Conjunto dos Números Racionais (ℚ ) 
 ℚ = {
b 
a | a, b∈ℤ e b ≠ 0}. Assim ℚ é um conjunto que engloba todas as frações. Observe 
que os inteiros são frações aparentes, como por exemplo : 4 = = = = ......
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 e portanto são 
racionais. 
 Exemplos : 
 1) 0,25 é racional, pois pode ser representado como razão de dois números inteiros : 
0,25 = 1/4 = 2/8 = etc. 
 2) 3 é racional, pois pode ser representado como razão de dois inteiros : 3 = 3/1 = 6/2 = etc. 
 3) 0,353535... é racional, pois pode ser representado como razão de dois inteiros : 
0,353535.... = 35/99 ( é uma dízima periódica com período 35). 
 
1.4 Conjunto dos Números Irracionais ( I = −ℝ ℚ ) 
 Número Irracional é toda dízima não-periódica (parte decimal infinita e sem um período). Um 
número irracional não pode ser representado por uma razão de dois inteiros. 
 Exemplos : 
 1) =2 1,414213562...... é irracional 2) 3 = 1,73205080..... é irracional 
 3) =3 5 1,709975947..... é irracional 4) pi = 3,141592654..... é irracional 
 5) e = 2,718281828......é irracional 
 
1.5 Conjunto dos Números Reais (ℝ ) 
 É qualquer número racional ou irracional, ou seja, I= ∪ℝ ℚ . 
 ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ 
 I∪ =ℚ ℝ 
 I∩ = ∅ℚ 
 
ℝ 
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2. Intervalos Reais 
Sejam a e b ∈ ℝ tais que a < b 
 
Intervalo fechado 
{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} = [a,b] 
 
Ex.: [0,3] = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 3} 
 
Intervalo aberto 
 
{ x ∈ ℝ | a < x < b} = ]a,b[ = (a,b) 
 
Ex.: ]0,3[ = (0,3) = {x ∈ ℝ | 0 < x < 3} 
 
 Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda 
 { } [ [x a x b a, b∈ ≤ < =ℝ 
 
 Ex.: [1,2[ = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 2} 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
 { } ] ]x a x b a, b∈ < ≤ =ℝ 
 
 Ex.: ]1,2] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 2} 
 
 Intervalos ilimitados 
 [a, +∞[ = [a,+∞) 
 ]a, +∞[ = (a, +∞) 
 ] -∞,b] = (-∞,b] 
 ] -∞, b[ = (-∞, b) 
 
 
 
3. Plano Cartesiano 
 
 É o plano formado por duas retas perpendiculares. Cada reta representa o conjunto dos 
números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1 Coordenadas de um Ponto 
 
 ( , )P a b são as coordenadas do ponto P 
 a → abscissa do ponto P 
 b→ ordenada do ponto P 
 (a, b) pode se chamado, também, de par ordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Produto Cartesiano 
 
 Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de a por B o 
conjunto BA × cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento 
pertence a e o segundo elemento pertence a B. 
{ }ByAxyxBA ∈∧∈=× |),( 
obs: BA × lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”. 
obs: ∅=∅×A ∅=×∅ B ∅=∅×∅ 
obs: Se BA ≠ então ABBA ×≠× . 
obs: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então BA × é um 
conjunto com nm ⋅ elementos. 
 
5. Relação Binária 
 
{ }xRyBAyxR |),( ×∈= 
Domínio: 
É o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 
Imagem: 
É o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo P(a, b), temos que: 
a > 0 e b > 0 → P ∈ 1º quadrante 
a < 0 e b > 0 → P ∈ 2º quadrante 
a < 0 e b < 0 → P ∈ 3º quadrante 
a > 0 e b < 0 → P ∈ 4º quadrante 
 
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6. Atividades 
Exercício 1 
Preencha os parênteses com V (verdadeiro) ou F (falso) 
 a) ( ) 2 ∈ ]0, 3[ 
 b) ( ) 1 ∈ ]0, 1[ 
 c) ( ) pi ∈ [2 2 , ]
2
7 
 d) ( ) (2− )3 ∈ [
2
1 , 1[ 
 e) ( ) 0 ∉ [−1, 1[ 
 f) ( ) {3, 5} ⊂ ]2, 6] 
 g) ( ) {1, 4} ⊂ [0, 4[ 
 h) ( ) (1, 3] ⊂ (2, 3] 
 
Exercício 2 
Considere o ponto P=(1, 4). Dê as coordenadas dos pontos A, B, C e D: 
 
a) A – situado 2 unidades à direita e 3 unidades abaixo do ponto P. 
b) B – situado 2 unidades à esquerda e 3 unidades acima do ponto P. 
c) C – situado 2 unidades à direita e 3 unidades acima do ponto P. 
d) D – situado 2 unidades à esquerda e 3 unidades abaixo do ponto P. 
 
Exercício 3 
Usando a notação de intervalo, escreva o subconjunto de ℝ formado pelos números reais; 
a) Maiores que 3. 
b) Menores que ( - 1 ). 
c) Maiores ou iguais a 2. 
d) Menores ou iguais a 5. 
e) Maiores que 2 e menores ou iguais a 7. 
 
Exercício 4 
Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: 
a) [ ]5, 11 b) ( ]7, 3− c) ( )8,0− d) [ )2, + ∞ 
e) ( ), 5−∞ f) [ )2, 3− g) ( ], 9−∞ 
 
Exercício 5 
Dados os intervalos [ ]1, 5= −A , ] ]2, 6=B e [ )0, 7=C , determinar: 
a) ∩A B b) ∩A C c) ∩B C d) ∩ ∩A B C 
e) ∪A B f) ∪A C g) −A B h) −B C 
 
 
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Exercício 6 
Dados os conjuntos: A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, representar pelos elementos e pelo 
gráfico cartesiano os seguintes produtos: 
a) A x B b) B x A c) A x C d) C x A e) B2 f) C2 
 
Exercício 7 
Dados os conjuntos: 
{ }= ∈ ≤ ≤ℝ |1 3A x x 
{ }= ∈ − ≤ ≤ℝ | 2 2B x x 
{ }= ∈ − < ≤ℝ | 4 1C x x 
representar graficamente os seguintes produtos: 
a) A x B b) B x C c) A x C d) C x B e) A2 f) C2 
 
Exercício 8 
Sabendo que { } ⊂ 2(1,2), (4,2) A e ( )2n A = 9, represente pelos elementos o conjunto A2. 
 
Exercício 9 
Se { }− ⊂ 2(1, 2),(3,0) A e ( )2n A = 16, represente pelos elementos o conjunto A2. 
 
Exercício 10 
Considerando ⊂A B , { }− − ⊂ ×(0,5),( 1,2),(2, 1) A B e × =( ) 12n A B represente ×A B pelos seus 
elementos. 
 
Exercício 11 
Sendo { }= ∈ ∧ ≤ℤ*A x x 1 e { }+= ∈ ∧ ≤ℤB x y 2 . O número de elementos de ×A B é igual a: 
a) 2 b)3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
Exercício 12 
Enumere os pares ordenados das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em 
B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} definidas por: 
a) x R y ⇔ x + y = 2 
b) x R y ⇔ |x| = |y| 
c) x R y ⇔ (x – y)2 = 1 
d) x R y ⇔ x + y > 2 
 
Exercício 13 
Estabelecer o domínio e imagem das seguintes relações: 
a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)} b) {(2, 1), (1, -3), (5, 2 )} 
c) {(3, 1
2
), ( 5
2
, -1), ( 3
2
, 0)} d) {(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)} 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
Dados os conjuntos { }= ∈ ≤ ≤ℝ |16A x x , { }= ∈ ≤ ≤ℝ |2 10B y y represente as seguintes relações 
binárias no gráfico cartesiano: 
a) { }= ∈ × =( , ) |R x y A B x y 
b) { }= ∈ × =( , ) | 2S x y A B y x 
c) { }= ∈ × = +( , ) | 2T x y A B y x 
d) { }= ∈ × + =( , ) | 7V x y A B x y 
 
Exercício 15 
A figura abaixo mostra o gráfico de uma relação R. Dê o domínio e a imagem de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 
O gráfico de uma relação R é a curva representada abaixo. Dê o domínio e o conjunto imagem de 
R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 17 
(Prefeitura do Rio/2010) Os conjuntos A e B possuem, respectivamente, n e 4n subconjuntos 
distintos. Se o número de elementos de A é igual a 20, então o número de elementos de B é: 
(A) 80 
(B) 40 
(C) 38 
(D) 22 
 
 
 
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Exercício 18 
(SEE-RJ/2010) O número de subconjuntos de A = {1, 2, 3, 4} que contém ou o elemento 2 ou o 
elemento 3 é: 
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 
 
Exercício 19 
(SEE-RJ/2007) Sejam A o conjunto dos números naturais de 3 algarismos e N o conjunto dos 
números naturais. A função f: A→N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n. O conjunto B é 
formado pelos valores de n, tais que f(n) = 4. O número de elementos de B é: 
 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 
 
7. Gabarito 
1) a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) F h) V 
2) a) A = (3, 1) b) B = (-1, 7) c) C = (3, 7) d) D = (-1, 1) 
3) a)  +∞ 3; b)  −∞ − ; 1 c)  +∞ 2; d)  −∞ ;5 e)   2;7 
4) a) { }∈ ≤ ≤ℝ 5 11x x b) { }∈ − < ≤ℝ 7 3x x c) { }∈ − < <ℝ 8 0x x 
 d) { }∈ ≥ℝ 2x x e) { }∈ <ℝ 5x x f) { }∈ − ≤ <ℝ 2 3x x 
 g) ( ]{ }−∞ ∈ <ℝ, 9 9x x 
5) a) ] ]2;5 b) [ ]0;5 c) ] ]2;6 d) ] ]2;5 e) [ ]−1;6 f) [ [−1;7 
 g) [ ]−1;2 h) ∅ 
6) a) A x B = {(1, -2), (1,1), (3, -2), (3, 1), (4, -2), (4, 2)} 
 
 
 
 
 
b) B x A = {(-2, 1), (-2, 3), (-2, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) A x C = {(1, -1), (1, 0), (1, 2), (3, -1), (3, 0), (3, 2), (4, -1), (4, 0), (4, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) C x A = {(-1, 1), (-1, 3), (-1, 4), (0, 1), (0, 3), (0, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
e) B2 = {(-2, 2), (-2, 1), (1, -2), (1, 1)} 
 
 
 
 
 
 
 f) C2 = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 2), (2, -1), (2, 0), (2, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
8) A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} 
9) A2= {(-2, -2), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 3), (0, -2), (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, -2), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (3, -2), (3, 0), (3, 1), (3, 3)} 
10) A x B = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 2), (-1, 5), (0, -1), (0, 0), (0, 2), (0, 5), (2, -1), (2, 0), (2, 2), (2, 5)} 
11) E 
12) a) R = {(-2, 4), (-1, 3), (0, 2), (1, 1)} 
 b) R = {(-2, -2), (-2, 2), (-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -2), (2, 2)} 
 c) R = {(-2, -1), (-2, -3), (-1, -2), (0, -1), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 1)} 
 d) R = {(-1, 4), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} 
 
 
 
 
 
 
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13) a) D = {1, 2} e Im = {1, 3, 4} 
 b) D = {1, 2, 5} e Im = {-3, 1, 2 } 
 c) D = { 3
2
, 5
2
, 3} e Im = {-1, 0, 1
2
} 
 d) D = {-2, -1, 2, 3} e Im = {-7, 1, 4} 
 
14) a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
15)  = ∈ − 5;3D x e  = ∈  Im 1;9y 16)  = ∈ − 3;2D x e  = ∈  Im 0;4y 
17) D 18) C 19) E