Aula Ondas

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Fenômenos Fenômenos 
OndulatóriosOndulatórios
Prof. Dra. Lucimara MartinsProf. Dra. Lucimara Martins
Fenômenos ondulatórios
Ondas em uma corda esticada
Comprimento de onda, período e frequência
Ondas eletromagnéticas
Velocidade da luz
Ondas sonoras
Velocidade do som
Princípio de superposição e interferência de ondas
Efeito Doppler
Quando pingos de chuva caem nas 
águas calmas de um lago, percebemos 
a formação de perturbações na 
superfície (ondas) que se propagam 
radialmente para fora a partir do 
ponto de impacto das gotas:
Introdução
Comportamento similar é visto se 
atirarmos uma pedra na superfície 
de um lago.
Introdução
 Muitos outros fenômenos ondulatórios são observados na natureza.
 Entretanto, muitas de suas características são partilhadas por todos os 
tipos de ondas.
 Uma dessas características é o fato de que ondas não transportam 
matéria de um ponto ao outro no espaço, mas apenas energia e 
momento.
Exemplo 1: uma folha flutuando na superfície da água 
se deslocará para cima e para baixo, e também de um 
lado para outro, na passagem de uma onda. Entretanto, 
o deslocamento total da folha será igual a zero!
Exemplo 2: “onda humana” produzida pelos torcedores 
num estádio (os torcedores não saem de seus lugares).
4
Utilizando o que Einstein e Infeld escreveram sobre o fenômeno onda, 
podemos fazer o seguinte paralelo:
 Uma fofoca que comece em São Miguel, rapidamente chega à Anália 
Franco (boca a boca), mesmo que nem sequer uma pessoa que a espalha 
se desloque entre os dois pontos. Há dois movimentos diferentes: o da 
fofoca, de São Miguel até a Anália Franco, e o das pessoas que a 
espalham. O que está se deslocando nesse caso, não é a matéria, mas uma 
informação.
Introdução
 O conceito de onda é abstrato. Quando se observa o onda no lago, o que 
se vê é um rearranjo da superfície da água. Se não houvesse água, não 
haveria onda (assim como não há onda sonora sem ar).
No caso das ondas mecânicas, onda corresponde à propagação de uma 
perturbação em um meio qualquer.
Introdução
Introdução
Podemos dividir os movimentos ondulatórios em dois tipos:
Ondas mecânicas:
Energia e momento são transportados por meio de uma perturbação do 
meio onde ocorre a propagação devido a este possuir propriedades 
elásticas;
Precisam de um meio material para se propagar (longitudinais ou 
transversais);
Ex.: som.
Iniciemos nossos estudos sobre características gerais de uma onda usando o caso 
de pulsos ondulatórios em cordas...
Ondas eletromagnéticas:
Energia e momento são transportados por campos elétricos e magnéticos;
NÃO precisam de um meio material para se propagar (vácuo);
Perturbação na direção perpendicular ao movimento (transversais);
Velocidade de propagação igual à da luz (~300.000 km/s);
• Ex.: luz.
Propagação de ondas unidimensionais: o exemplo da corda
Considere uma corda sob tensão e fixa numa parede:
Produza uma deformação (pulso) nesta corda:
Note que a ondulação formada se desloca em direção da parede:
À medida que o pulso se desloca, ele se 
alarga gradualmente. Este efeito, conhecido 
como dispersão, ocorre em maior ou menor 
grau com todas as ondas exceto às ondas 
eletromagnéticas no vácuo.
Desprezaremos este efeito no nosso curso.
Propagação de ondas unidimensionais: o exemplo da corda
Velocidade do pulso v depende da natureza da corda (densidade 
linear μ) e da tensão aplicada a ela T:
Ou seja, aumentando-se T e mantendo fixo o valor de µ, aumenta-
se o valor de v;
µ
Tv =
Por outro lado, aumentando-se μ e mantendo fixo o valor de T, 
diminui-se o valor de v;
Exercício 1
Mostrar que as unidades de √(T/μ) são metro por segundo quanto T está 
em newtons (N) e μ em quilograma por metro (kg/m).
Façamos a análise dimensional do termo :
µ
T
Por outro lado, 1 N (unidade de força no SI) corresponde a 1 kg .m/s² no 
SI. Assim:
[ ]
[ ] ==


µµ
TT
=
mkg
N
kg
mN ⋅
=
⋅
=
⋅
kg
m
s
mkg
kg
mN
2 =2
2
s
m
s
m
(c.q.d.)
s
mT
=


∴
µ
Exercício 2
Uma corda de piano tem 0,7 m de comprimento e 5 g de massa. A tração 
na corda é de 500 N.
a) Qual é a velocidade das ondas tranversais na corda?
b) Para reduzir-se de um fator 2 a velocidade da onda, sem alterar a 
fração, qual a massa de fio de cobre que deveria ser enrolada em 
torno da corda de piano?
a) Do enunciado temos que:
b) Se a velocidade é reduzida por um fator 2, ou seja, vb=132,3 m/s, a densidade 
linear µb do novo fio deverá ser aumentada para:
Exercício 3
É aplicada uma tensão de 80 N em uma corda de densidade 0,05 kg/m. 
Qual a velocidade da onda que viaja nesta corda?
 Imagine uma onda se deslocando para a direita com velocidade constante 
v em uma corda longa.
 O pulso se move ao longo do eixo x e o 
deslocamento transversal da corda (o meio) é no eixo y.
 A forma do pulso pode ser representado por uma 
função do tipo:
Ondas em uma dimensão
( ) ondadefunçãotxfy →= ,
 Ou seja, a posição vertical (y) de qualquer ponto da corda depende de x e 
do tempo t.
 Considere o ponto P na corda, especificado pela 
sua posição em x. No instante t = 0, sua posição vertical 
é y = 0.
 Conforme a onda passa, o valor de y aumenta e 
depois diminui.
 A função de onda y representa o valor da coordenada y de um ponto P do 
meio em um instante qualquer t.
 Como a velocidade da onda é v, ela anda um distância 
em x = vt. 
 Medindo em um sistema de referência em repouso, 
se a forma da onda não se altera:
Ondas em uma dimensão
( )vtxfy −=
Se a corda se move na direção oposta:
( )vtxfy +=
vt
Um pulso de onda se movimentando para a direita ao longo do eixo x é 
representado pela função de onda abaixo. Encontro a posição y de um 
ponto P em x = 2 nos instantes t = 0, 1 e 2 s.
Exercício 4
( ) ( ) 13
2, 2 +−
=
tx
txy
 Imagine-se em um barco na água. Conforme ondas passam pelo barco, ele 
sobre e desce.
Propriedades do movimento ondulatório
 O ponto onde o barco mais sobe é chamado de pico da onda e a distância 
entre dois picos é o comprimento da onda.
 O comprimento de onda (λ), na verdade, é a 
distância mínima entre dois pontos idênticos 
em ondas adjacentes.
 O intervalo de tempo, em segundos, entre a 
passagem de duas ondas (ou dois pontos 
idênticos) adjacentes por um determinado 
ponto é o período (T) da onda.
 O inverso do período, a frequência (f) da onda, é o número de vezes que 
um dado ponto da onda passa por um ponto em uma unidade de tempo.
f
1
=ν
O comprimento de onda (λ) se relaciona com a sua frequência da seguinte 
maneira: 
Propriedades do movimento ondulatório
v é a velocidade da onda, que depende do meio e das propriedades desse.
O deslocamento máximo da onda (ou a “altura 
do seu pico) é a sua amplitude A.
fv ⋅= λ
Por exemplo, a velocidade do som no ar à 
temperatura ambiente é aproximadamente 
343 m/s.
Se o período de oscilação da onda for dado em segundos, a frequência será 
dada em Hertz (Hz = 1 s-1)
Exercício 3
Uma onda se propaga com uma velocidade de 2,5 m/s. Se o período de 
oscilação da onda é de 0,4 ms, calcule:
a) A frequência da onda;
b) Seu comprimento de onda.
a) A frequência da onda está dada por:
b) Seu comprimento de onda pode ser calculado via:
18
Muitos fenômenos ondulatórios da natureza não podem ser descritos por 
uma movimento de onda simples, mas devem ser analisados considerando 
uma combinação de várias ondas.
Superposição e Interferência
Para analisar essascombinações, pode-se usar o Princípio de Superposição.
Se duas ou mais ondas se movem em um mesmo meio, a função de onda 
resultante em qualquer ponto é a soma algébrica das funções de onda 
individuais.
Ondas que obedecem esse princípio são chamadas ondas lineares e aquelas 
que o violam são não-lineares.
Uma consequência do princípio de superposição é que duas ondas podem 
passar através uma da outra sem ser destruídas ou modificadas.
Superposição e Interferência
Por exemplo, se duas pedras são 
jogadas em um lago ao mesmo 
tempo, suas ondas não se 
destroem, mas passam uma pela 
outra.
Da mesma maneira, duas ondas 
sonoras de fontes diferentes 
quando se encontram passam 
uma pela outra.
Duas ondas diferentes, com funções y1 e y2, se movendo em sentido 
contrário com mesma velocidade v irão se superpor.
Superposição e Interferência
Quando elas começam a se 
sobrepor a função de onda 
representando a onda resultante 
será:
E o deslocamento no eixo y será a 
soma dos dois deslocamentos.
21 yyyR +=
Como as duas ondas deslocam a 
corda na direção y positiva, a 
interferência é construtiva.
Se os deslocamentos das cordas são em direção oposta, a interferência é 
destrutiva.
 Ondas como formato das da figura abaixo são chamadas ondas senoidais, 
pois suas curvas são as mesma da função sen x.
Ondas senoidais
 A curva laranja representa a onda em t = 0 e 
a azul em t +Δt.



= xAy λ
pi2sin
 onde A é a amplitude da onda λ é o seu 
comprimento.
 A função que descreve esse tipo de onda 
pode ser escrita:
Se a onda se move para a direita com velocidade v:
( )


−= vtxAy λ
pi2sin
 Por definição, uma onda percorre a distância de um comprimento de onda 
 λ em um período T.
Ondas senoidais
 Portanto, a velocidade da onda, seu período e 
seu comprimento estão relacionados da 
seguinte maneira:
T
v λ=


 


−=
T
txAy λpi2sin
→

 


−= t
T
xAy λλ
pi2sin →

 


−= t
T
xAy λ
λ
λpi2sin
Pode-se perceber que a onda terá em qualquer t o mesmo valor de y em x, 
x+λ, x+2λ , ...e o mesmo valor de y para qualquer x em t, t+T, t+2T, ...
É possível, ainda, expressar a função de onda de outras maneiras a partir da 
definição de duas outras quantidades: o número de onda angular k e a 
frequência angular ω.
Ondas senoidais
→

 


−=
T
txAy λpi2sin
λ
pi2
=k
T
pi
ω
2
=
Pode-se escrever ainda:
→


−=
T
txAy piλ
pi 22sin
( )tkxAy ω−= sin
T
f 1=
k
v ω= fv λ=
Uma onda senoidal se desloca na direção positiva do eixo x com uma 
amplitude de 15,0 cm, comprimento de onda de 40,0 cm e frequência de 
8,00 Hz. O deslocamento vertical do meio em t=o e x=o é também 15,0 cm. 
Encontre o número de onda angular, o período, a frequência angular e a 
velocidade da onda.
Exercício 5
Exemplo mais importante de ondas longitudinais;
Ondas sonoras
 À medida que uma onda sonora viaja pelo meio material, ela induz 
variações na densidade de partículas e pressão neste, ao longo da direção de 
seu deslocamento;
criação de regiões de alta e baixa pressão
Se a fonte de som vibra senoidalmente, as 
variações de pressão induzidas também terão este 
comportamento 
Super slow-mo cymbal crash.flv
Time Warp - Lars Urlrich Plays Drums.flv
Time Warp Metallica Robert Trujillo.mp4
Ondas sonoras
Ondas sonoras são usualmente divididas em três categorias, de acordo com 
sua frequência:
Ondas audíveis: com frequência no intervalo de sensibilidade do ouvido humano 
(20 – 20000 Hz);
Infrassom: ondas com frequência abaixo do limiar inferior da audição humana 
(Elefantes podem usar infrassons para se comunicar quando separados por 
distâncias de quilômetros);
Ultrassom: ondas com frequência acima do limiar superior da audição humana.
EQUIPAMENTO DE ULTRASSOM
Geralmente utilizam frequências entre 2 a 14 MHz
Exemplo de imagem obtida numa ultrassonografia
As frequências das notas musicais na quarta oitava:
Ondas sonoras
Dó (261,63 Hz)
Ré (293,66 Hz)
Mi (329,63 Hz)
Fá (349,23 Hz)
Sol (392,00 Hz)
Lá (440,00 Hz)
Si (493,88 Hz)
Intervalos de frequência para ondas sonoras produzidas por diferentes 
intrumentos musicais/vozes:
Ondas sonoras
No caso do ar, as ondas sonoras se propagam com velocidade:
Ondas sonoras
m/s
C273
1331 


+= 
C
s
Tv
ar
T = 0 C ⁰ → vs,ar = 331 m/s
T = 10 C ⁰ → vs,ar = 337,01 m/s
T =20 C ⁰ → vs,ar = 342,91 m/s
Quebrando a barreira do som (v>vs,ar)...
Ondas sonoras
Cone esbranquiçado é constituído de 
gotas de água que se condensaram 
devido à súbita queda de pressão do ar 
produzida pela passagem da frente de 
choque.
Num inverno rigoroso, Mozart toca incessantemente a tecla lá do piano 
(4ªoitava) para se certificar que o piano está afinado aos seus ouvidos. Se a 
temperatura da sala é de 5,0 C, calcular o comprimento de onda do som. Qual ⁰
seria seu valor se a sala fosse aquecida à temperatura de 25,0 C?⁰
Exercício 6
Vimos anteriormente que a tecla lá da 4a. oitava possui frequência de 440 Hz.
Por falar em aviões, vocês já notaram como ficamos quase 
surdos do lado de uma turbina?
Ondas sonoras
Esta sensação tem haver com a intensidade da onda sonora;
O limiar de audição do ouvido humano corresponde, em 
termos de potência por unidade de área, a 10-12 W/m² (em 
termos de pressão, 2,92 x 10-5 N/m2);
O limiar de audição de 
audição dolorosa, a potência 
por unidade de área é de 1 
W/m² (em termos de pressão, 
29,2 N/m²);
Ondas sonoras
Devido à grande faixa de intensidades e da resposta do ouvido a estímulos sonoros ser 
logarítmica, usa-se uma escala logarítmica β para descrever o nível de intensidade de uma 
onda acústica denominada decibel (db):
A intensidade de uma onda (sonora 
ou não) decresce com o quadrado 
da distância à fonte emissora.




=
0
log10
I
Iβ
onde I é intensidade da onda e I
0
 é o 
nível de referência associado ao 
limiar da audição humana (10-12 
W/m2).
Por isso, ficamos quase surdos do lado de uma turbina mas quase não a escutamos 
se estivermos numa distância de alguns quilômetros...
Duas máquinas idênticas são posicionadas numa mesma distância em relação a 
um operário. A intensidade do som emitida por cada máquina na posição do 
operário é de 2,0 x 10-7 W/m². Encontre o nível do som detectado pelo operário 
quando:
a) apenas uma das máquinas está ligada;
b) quando as duas estão operando.
Exercício 7
a) Se apenas uma das máquinas está ligada, o nível do som para o operário será:
b) Quando as duas máquinas são ligadas, a intensidade do som dobra, tal que:
Radiação eletromagnética
Vamos iniciar nossa discussão sobre radiação eletromagnética relembrando 
a evolução do conceito de luz ao longo da história;
• A natureza da luz no século XVII:
– Caráter corpuscular (Isaac Newton);
– Caráter ondulatório (Christian Huygens);
• Decomposição da luz branca em suas 
componentes (cores do arco-íris):
Radiação eletromagnética
Ole Roemer (1675): mede pela primeira vez a velocidade de 
propagação da luz;
Como??? Através da diferença de duração do eclipse de Io 
por Júpiter devido ao movimento da Terra em torno do Sol;
Os eclipses ocorriam antes do previsto quando a Terra 
estava mais próxima de Júpiter e depois do previsto quando 
a Terra estava mais longe;
Diferença nos intervalos medidos devido ao tempo 
necessário para a luz se propagar;
Radiação eletromagnética
Mas a luz é onda ou partícula??? Até o século XIX, a natureza corpuscular 
da luz (Newton) é a idéia mais aceita;
Posteriormente, Augustin-Jean 
Fresnel confirma os resultados 
de Young.
Maspor volta de 1800 Thomas Young, por meio de um 
experimento de fenda dupla, observa o fenômeno de 
interferência (difração) da luz: comportamento ondulatório;
Radiação eletromagnética
Por volta de 1860, James Clark Maxwell unifica o magnetismo com 
a eletricidade em uma única teoria: Eletromagnetismo;
As equações de Maxwell, na forma como as conhecemos, foram publicadas no 
“A Treatise on Electricity and Magnetism” em 1873:
01
41
0
4
:ldiferenciaForma
=
∂
∂
+×∇
=
∂
∂
−×∇
=⋅∇
=⋅∇
t
B
c
E
J
ct
E
c
B
B
E







pi
piρ
( ) ∫∫
∫∫∫
∫
∫∫
⋅
∂
∂
−=⋅×+
⋅=⋅
∂
∂
−⋅
=⋅
=⋅
SC
SSC
S
VS
danB
tc
ldBE
danJ
c
danE
tc
ldB
danB
dvdanE




1
41
0
4
:integralForma
β
pi
ρpiLei de Gauss
Lei de Faraday
Lei de Ampère
Lei de Gauss para 
o magnetismo
Radiação eletromagnética
Por volta de 1862, James Clark Maxwell mostra através de 
sua teoria que a velocidade de propagação de uma onda 
eletromagnética corresponde à da luz:
Em 1889, Heinrich Hertz produz ondas eletromagnéticas (ou 
radiação eletromagnética) em laboratório (ondas de rádio).
0101 2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−∇=
∂
∂
−∇
t
E
c
B
t
B
c
E




Radiação eletromagnética
Uma carga elétrica em repouso gera um 
campo elétrico a sua volta:
Se a carga estiver em movimento, gera-se 
campo magnético (E e B variáveis no 
tempo);
Por outro lado, carga acelerada emite radiação 
(eletromagnética), a qual é formada pela oscilação 
dos campos E e B: onda eletromagnética:
B
E
direção de propagação
Radiação eletromagnética
Características básicas de uma onda eletromagnética:
– Campos E e B perpendiculares entre si;
– Direção de propagação perpendicular às oscilações dos 
campos: ondas transversais;
– Não necessita de um meio material para se propagar 
(perfeita para a Astronomia!), diferentemente das ondas 
longitudinais (som, por exemplo);
Radiação eletromagnética
Como quantificar matematicamente uma onda eletromagnética?
– Amplitude de oscilação do campo 
eletromagnético (A);
A
– Comprimento de onda da oscilação (λ);
λ
– Velocidade de propagação da onda (c);
c
• Mas como estas duas últimas variáveis se relacionam?
λν=c
sendo ν é a frequência de oscilação da radiação e m/s10997925,2 8×=c
Espectro eletromagnético
WMAP (5 anos)
Credit: NASA / WMAP Science 
Team
Espectro eletromagnético
Rádio e microondas:
– AM: 500–1700 kHz;
– FM: 87–108 MHz;
– TV (VHF): 30–300 MHz;
– TV (UHF), celular: 300–3000 MHz;
– Hidrogênio neutro: 1400 MHz (21 cm);
– Monóxido de carbono (CO): 115, 230, 345 GHz;
ROI
Jupiter
1.4 GHz 
(VLA)
Espectro eletromagnético
Infravermelho:
– IV distante: 20–300 μm;
– IV médio: 1,4–20 μm;
– IV próximo: 0,7–1,4 μm;
(extraído de Jatenco-
Pereira)
Espectro eletromagnético
Visível (3800–7400 Å):
– vermelho (740–625 nm);
– laranja (590–625 nm);
– amarelo (565–590 nm);
– verde (500–565 nm);
– azul (485–500 nm);
– anil (440–485 nm);
– violeta (380–440 nm);
LNA
Espectro eletromagnético
Ultravioleta:
– UV próximo: 200–380 nm;
– UV distante: 10–200 nm (120–6,2 eV);
SOHO
So
l
Espectro eletromagnético
Raios-X:
– raios-X moles: 0,1–10 keV;
– raios-X duros: 10–100 keV;
Centro da 
Galáxia
(CHANDRA)
Jupiter
(CHANDR
A)
Espectro eletromagnético
Raios-γ: 100 GeV – 100 TeV
The High Energy Stereoscopic System 
(HESS)
Kes75 – 
SNR
(HESS)
(extraído de Jatenco-
Pereira)
FERMI Gamma-ray 
Space Telescope
Radiação eletromagnética
A nossa atmosfera não deixa passar todo o espectro eletromagnético;
• Isto leva ao conceito de janela atmosférica:
Exercício 8
Calcule:
a) o comprimento de onda de uma onda eletromagnética de frequência 
de 840 kHz;
b) a frequência de uma onda eletromagnética de comprimento de onda 
de 5 µm.
a) A frequência da onda está dada por:
b) Seu comprimento de onda pode ser calculado via:
Efeito Doppler
Quando a fonte emissora da onda e o seu receptor têm um movimento relativo um 
ao outro, a frequência observada no receptor não é a mesma que a frequência do 
emissor;
• Quando os dois se aproximam, a frequência observada é maior que a 
frequência emitida;
• Quando os dois se afastam, a frequência observada é menor que a 
frequência emitida;
• Este fenômeno é conhecido como efeito Doppler (ou efeito Doppler-Fizeau);
• Analisemos melhor este efeito...
DRK Rettungsdienst Mittelhessen - Doppler-Effekt - Martinshorn
 (Stadt).flv
Para encerrar
Acompanhem este vídeo e se surpreendam com este fenômeno ondulatório...
54
Il crollo del ponte Tacoma (1940).flv