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Elementos de Álgebra Linear - Plácido Andrade

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ELEMENTOS DE
A´LGEBRA LINEAR
Pla´cido Andrade
UFC
Centro de Cieˆncias
Departamento de Matema´tica
29 de novembro de 2006
i
Em memo´ria de
Hugo Lourinho de Andrade
ii
PREFA´CIO
Esse livro foi elaborado como um texto para um segundo curso de A´lgebra Linear
oferecido aos alunos do Curso de Matea´tica da Universidade Federal do Ceara´.
Embora na˜o seja imprescind´ıvel e´ conveniente que o leitor ja´ tenha feito um curso
ba´sico de A´lgebra Linear ou que tenha conhecimentos de Geometria Anal´ıtica com
tratamento vetorial. A apresentac¸a˜o feita em quatorze cap´ıtulos e´ auto-suficiente, ex-
ceto na parte que trata de polinoˆmios, entretanto, a maioria absoluta das propriedades
utilizadas sobre polinoˆmios e´ do conhecimento dos estudantes desde o Ensino Me´dio.
O principal objetivo deste texto e´ estudar operadores lineares em espac¸os vetoriais
de dimensa˜o finita com eˆnfase nas representac¸o˜es matriciais. Os to´picos foram elabo-
rados de modo a permitir adaptac¸o˜es a qualquer curso com carga ho´ra´ria entre 60h e
90h semestrais. Os cap´ıtulos 7, 12, 13 e 14 devem ser omitidos pois sa˜o cap´ıtulos de
refereˆncia. Dependendo do n´ıvel da turma e da carga hora´ria semestral os cap´ıtulos
1,2 e 3 podem ser considerados cap´ıtulos de revisa˜o.
Para maior clareza, os operadores normais sa˜o estudados separadamente, primeiro
em espac¸os Euclidianos e posteriormente em espac¸os unita´rios. Ao longo do texto
intercalamos dezenas de exerc´ıcios, fatos simples que sera˜o utilizados no corpo da
demonstrac¸a˜o de uma proposic¸a˜o logo a seguir, ficando ao crite´rio do expositor apre-
senta´-los ou na˜o.
Desejo agradecer aos colegas do Departamento de Matema´tica da Universidade
Federal do Ceara´ pelas sugesto˜es oferecidas.
Fortaleza, 17 de agosto de 2006
Pla´cido Francisco de Assis Andrade
Suma´rio
1 Espac¸os vetoriais 1
1.1 Espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Conjunto de geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Coordenadas de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Transformac¸o˜es lineares 24
2.1 Transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Espac¸o das transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Teorema do nu´cleo e da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Isomorfismos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Matriz de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Representac¸a˜o matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Representac¸a˜o de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8 Mudanc¸a de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Subespac¸os invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Espac¸o dual 54
3.1 Funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Subespac¸o perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Teorema do posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
iii
iv
4 Operadores e polinoˆmios 66
4.1 Polinoˆmio minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Polinoˆmio caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Fatorac¸a˜o do polinoˆmio minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Polinoˆmio minimal de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Decomposic¸a˜o prima´ria 80
5.1 Decomposic¸a˜o prima´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Corola´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Subespac¸os c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Espac¸os c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Decomposic¸a˜o c´ıclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.6 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Representac¸a˜o de Jordan (A) 100
6.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Operadores diagonaliza´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Operadores nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4 Decomposic¸a˜o c´ıclica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Representac¸a˜o de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Representac¸a˜o de Jordan (B) 120
7.1 Complexificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2 Espac¸o A- simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 Decomposic¸a˜o c´ıclica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 Decomposic¸a˜o c´ıclica IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Espac¸os Euclidianos 134
8.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3 Aˆngulos entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4 Espac¸os Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.5 Representac¸a˜o de um funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.6 Operador transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
v
9 Operadores normais 151
9.1 Operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2 Decomposic¸a˜o normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3 Operadores sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4 Decomposic¸a˜o c´ıclica normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.5 Representac¸a˜o de operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.6 Representac¸a˜o matricial dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.7 Operadores antisime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.8 Operadores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.9 Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.10 Operador que preserva a estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.11 Comparando estruturas Euclidianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.12 Decomposic¸a˜o polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.13 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10 Espac¸os unita´rios 183
10.1 Espac¸os unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.2 O operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3 Operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4 Operadores autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.5 Operadores unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.6 Decomposic¸a˜o polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11 Formas bilineares 194
11.1