Sistemas Lineares

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SISTEMAS LINEARES 
 
01. Equação Linear 
Uma relação de igualdade do t ipo 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
recebe a deno minação de equação l inear , na qual 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 são incógni tas , 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 
são coeficientes e o número 𝑏 é chamado de termo independente . 
A solução de uma equação l inear é uma n-upla ordenada (𝜆1, 𝜆2, ⋯ , 𝜆𝑛) que se caracter iza 
por sat is fazer a equação , ou seja , por t ransformar a equação em uma se ntença verdadei ra, 
quando as componentes 𝜆1, 𝜆2, ⋯ , 𝜆𝑛 subst i tuem, respect ivamente, as incógni tas 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛. 
Ex. : A quádrupla (2, 1, 3, 4) é solução da equação l inear 3𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 16, pois 
3.2 + 5.1 − 3 + 2.4 = 16. Note que e la não é a única so lução dessa equação , po is , por 
exemplo, (1, 0, −5, 4) também a sa t is faz. 
02. Sistema de Equações Lineares 
Considere m e n números intei ros, sendo 𝑚 ≥ 2. Um sistema 𝑺 de equações l ineares , ou 
simplesmente um s is tema l inear 𝑺, é um conjunto de 𝑚 equações l ineares , possuindo, cada 
uma delas, 𝑛 incógnitas, escr i tas na forma 
𝑆 ∶ 
{
 
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
− −− − − − −− − − −− − − − −−
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
. 
03. Forma Matric ial e Solução de um Sistema de Equações Lineares 
Um sistema 𝑆, como o apresentado ac ima, pode ser representado na fo rma denominada 
matric ial , escrevendo -se, s implesmente, 𝑆 ∶ 𝐴. 𝑋 = 𝐵, onde 
𝐴 = [ 
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
 
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
 
⋯
…
⋱
…
 
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
 ] , 𝑋 = [ 
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 ] e 𝐵 = [ 
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
 ], 
sendo 𝐴 a matriz princ ipal do sistema. 
A so lução de um sistema l inear é , por tanto , uma matr iz coluna 
𝛼 = [ 
𝛼1
𝛼2
⋮
𝛼𝑛
 ] 
 
 
que se caracter iza por sat i s fazer todas as suas equações, ou seja , por transformar todas as 
equações do s istema em sentenças verdadei ras, quando as componentes 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 
subst i tuem, respect ivamente, as incógni tas 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 em cada uma dessas equações. 
Ex. : 𝛼 = [ 
−2
−1
 1
 ] é solução do sis tema l inear 𝑆 ∶ { 
 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 = 1
 𝑥1 − 2𝑥2 = 0
 𝑥2 + 4𝑥3 = 3
 . 
Observe que 
𝛼′ = [ 
4
2
1
 ], 
apesar de sat i s fazer as equações 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 = 1 e 𝑥1 − 2𝑥2 = 0, não é so lução do mesmo 
sis tema, já que não transforma 𝑥2 + 4𝑥3 = 3 em uma sentença verdadeira , pois 2 + 4.1 ≠ 3. 
04. Sistemas de Equações Lineares Equivalentes 
Sistemas 𝑆1 e 𝑆2 são di tos equivalentes , se toda so lução de 𝑆1 fo r solução de 𝑆2, e vice -
versa. 
Ex. : Como 𝛼 = [ 
2
4
 ] é a única so lução dos s i stemas 𝑆1 : { 
2𝑥 − 𝑦 = 0
−𝑥 + 𝑦 = 2
 e 𝑆2 : { 
3𝑥 − 𝑦 = 2
 𝑥 + 𝑦 = 6
 , es tes 
são equiva lentes. 
O s istema 𝑆3 : { 
𝑥 + 𝑦/2 = 4
2𝑥 + 𝑦 = 8
 t ambém possui 𝛼 como so lução , mas não é equivalente aos 
dois anter iores po r apresentar 𝛽 = [ 
1
6
 ] como outra solução que , por sua vez, não sa t i s faz 
as equações de 𝑆1 e 𝑆2. 
05. Classif icação dos S istemas de Equações Lineares 
05.1. Quanto à existência e ao número de so luções 
Um sis tema S que não possui so lução é chamado de incompatível ou impossível . 
Quando S tem so lução , e le é denominado compat íve l ou possível . 
O s is tema compatíve l será determinado , se apresentar so lução única . Caso 
contrár io , ou seja , se apresentar mais de uma so lução, o si stema compat ível será 
indeterminado . 
05.2. Quanto à natureza dos termos independentes 
Se são nulos todos os termos independentes de um s is tema S , então este é chamado 
de homogêneo . O s istema não -homogêneo é aquele no qual pelo menos um dos 
termos independentes não é nulo. 
Todo sistema l inear homogêneo com 𝑛 incógnitas é compat ível , pois a matr iz 
coluna nula de ordem 𝑛×1, chamada de so lução t r iv ial , sa t i s fará , evidentemente, 
suas equações. 
 
 
 
06. Resolução de Sistemas de Equações Lineares 
06.1. Sistemas co m o mesmo número de equações e incógnitas e matriz pr incipal 
não-singular 
06.1.1. A Regra de Cramer 
Se um s is tema S possui o número de equações igua l ao de incógnitas , sua 
matr iz pr incipa l é quadrada. O de terminante dessa matr iz é comumente 
chamado de determinante pr incipa l do s i stema. Diz -se, então, que 𝑆 é um 
sis tema normal , se seu determinante pr inc ipa l não é nulo , ou seja , se sua 
matr iz pr incipal é não -s ingular . 
Supondo -se, portanto, 𝑆 um s istema normal , a Regra de Cramer t raduz-se 
em proced imento para obtenção de sua so luç ão. 
Regra de Cra mer (Gabriel Cramer – 1704-1752) 
Considere um s is tema 𝑆, de 𝑛 equações e 𝑛 incógni tas, representado por 
𝐴. 𝑋 = 𝐵. Se a matr iz 𝐴, de ordem 𝑛×𝑛, tem determinante não nulo , então 𝑆 
tem solução única 𝛼 = [ 𝛼1 𝛼2 … 𝛼𝑛 ] 𝑡, sendo , portanto, co mpat íve l 
determinado, e , para cada 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, 
𝛼𝑖 = 
|𝐴𝑖|
|𝐴|
 , 
onde 𝐴𝑖 é a matr iz que se ob tém ao substi tuir -se, ordenadamente, a i -
és ima coluna da matr iz 𝐴 pelas entradas da matr iz coluna 𝐵. 
Ex. : Vamos ap licar a Regra de Cramer na resolução do sis tema 
𝑆 ∶ {
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
4𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 1
 6𝑥 + 5𝑦 + 5𝑧 = −3
. 
Na forma matr icial , 𝑆 f ica 
[ 
2 1 3
4 3 5
6 5 5
 ] . [ 
𝑥
𝑦
𝑧
 ] = [
 1
 1
−3
 ], 
onde [ 
2 1 3
4 3 5
6 5 5
 ] = 𝐴 e [
 1
 1
−3
 ] = 𝐵. 
Como |𝐴| = −4 ≠ 0, vemos que uti l ização da Regra de Cramer para 
obtenção da (única) so lução de 𝑆 é viáve l . 
Temos, então, 
𝐴1 = [ 
 1 1 3
 1 3 5
−3 5 5
 ] ⇒ |𝐴1| = 12, 
𝐴2 = [ 
2 1 3
4 1 5
6 −3 5
 ] ⇒ |𝐴2| = −4 e 
 
 
 
𝐴3 = [ 
2 1 1
4 3 1
6 5 −3
 ] ⇒ |𝐴3| = −8. 
Ass im, 𝛼1 = 
12
−4
 = −3, 𝛼2 = 
−4
−4
 = 1, 𝛼3 = 
−8
−4
 = 2 e a solução de 𝑆 é 
dada pe la matr iz coluna 
𝛼 = [ 
−3
 1
 2
 ] . 
06.1.2. O Método de Gauss-Jordan 
Se um s istema S é escr i to na forma matr ic ia l como 
[ 
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑛1
 
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
 
⋯
…
⋱
…
 
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
 ] . [ 
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 ] = [ 
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
 ], 
chamamos 
[𝐴|𝐵] = [ 
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑛1
 
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
 
⋯
…
⋱
…
 
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
 | 
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
 ] 
de matriz aumentada de 𝑆. 
O método de Gauss -Jordan consis te em transformar a matr iz pr incipal do 
si s tema, não -s ingular e interna à matr iz aumentada, na matr iz identidade , 
por meio de operações elementares que, igualmente apl icadas à matr iz 
coluna 𝐵, farão com que es ta apresente como entradas a solução do 
sis tema. 
Ex. : Vol temos ao si stema do exemplo anter ior para resolvê -lo pelo método 
de Gauss -Jordan. 
Temos, então, 
[𝐴|𝐵] = [ 
2 1 3
4 3 5
6 5 5
 | 
 1
 1
−3
 ]. 
 
Ass im, 
[𝐴|𝐵] = [ 
2 1 3
4 3 5
6 5 5
 | 
 1
 1
−3
 ] (𝐿1 ↔ 𝐿2) ~ [ 
4 3 5
2 1 3
6 5 5
 | 
 11
−3
 ] (−3𝐿2 + 𝐿1 → 𝐿1) ~ 
 
 
 
[ 
−2 0 −4
 2 1 3
 6 5 5
 | 
−2
 1
−3
 ] (𝐿1 + 𝐿2 → 𝐿2) ~ [ 
−2 0 −4
 0 1 −1
 6 5 5
 | 
−2
−1
−3
 ] (−1/2𝐿1 → 𝐿1) ~ 
[ 
1 0 2
0 1 −1
6 5 5
 | 
 1
−1
−3
 ] (−6𝐿1 + 𝐿3 → 𝐿3) ~ [ 
1 0 2
0 1 −1
0 5 −7
 | 
 1
−1
−9
 ] (−5𝐿2 + 𝐿3 → 𝐿3) 
~ [ 
1 0 2
0 1 −1
0 0 −2
 | 
 1
−1
−4
 ] (−1/2𝐿3 → 𝐿3) ~ [ 
1 0 2
0 1 −1
0 0 1
 | 
 1
−1
 2
 ] (𝐿3 + 𝐿2 → 𝐿2) ~ 
[ 
1 0 2
0 1 0
0 0 1
 | 
1
1
2
 ] (−2𝐿3 + 𝐿1 → 𝐿1) ~ [ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 | 
−3
 1
 2
 ] . 
Se representarmos a matr iz aumentada obt ida por [𝐶|𝐷], a val idade do 
método de Gauss f ica e s tabe lec ida pelo seguinte teorema: 
06.1.3. Teorema 
Se a matr iz aumentada de um sis tema l inear 𝐶. 𝑋 = 𝐷 é obtida da matr iz 
aumentada do sistema l inear 𝐴.𝑋 = 𝐵 por meio de operações elementares 
sobre l inhas , ou sobre colunas, então esses s is temas são equi valentes. 
Portanto, tendo em vista a matr iz aumentada [𝐶|𝐷], acima, corresponder 
ao s i stema l inear 
𝑆 ∶ {
 𝑥 = −3
𝑦 = 1
𝑧 = 2
, 
e ter sido ob tida da matr iz aumentada do s is tema or iginal por meio de 
operações elementares sobre l inhas, segue , pe lo teorema anter ior , que 
𝛼 = [−3 1 2 ]𝑡 
também é solução de 
𝑆 ∶ {
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
4𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 1
 6𝑥 + 5𝑦 + 5𝑧 = −3
. 
06.2. Sistemas co m o mesmo número de equações e incógnitas e matriz pr incipal 
singular ou co m número de equações dist into do número de incógnitas 
06.2.1. O Método de Gauss-Jordan 
Quando um s istema l inear apresenta o mesmo número de equações e 
incógni tas e matr iz pr incipa l s ingular ou número de equações d is t into do 
número de incógni tas , não se pode, evidentemente, fazer uso da Regra de 
Cramer ou apl icar o método de Gauss -Jordan tendo por fim conver ter a 
matr iz pr inc ipal do si stema em matr iz identidade. Registrando -se, 
portanto , uma dessas duas s i tuações, ap lica -se o método de Gauss -Jordan 
 
 
à correspondente matr iz aumentada até transformar a mat r iz pr incipal 
or igina l em uma matr iz reduzida à fo rma de escada para, assim, obter -se 
um s is tema equivalente e mais s imples de ser resolvido . 
Exemplos 
1) Considere o s is tema l inear aba ixo, cuja matr iz p r incipal é singular : 
𝑆 ∶ {
𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 1
 4𝑦 − 2𝑧 = 3
 2𝑦 − 𝑧 = 2
. 
De acordo com o proced imento exposto apresentado , temos 
[𝐴|𝐵] = [ 
1 2 5
0 4 −2
0 2 −1
 | 
1
3
2
 ] (−2𝐿3 + 𝐿2 → 𝐿2) ~ [ 
1 2 5
0 0 0
0 2 −1
 | 
 1
−1
 2
 ] 
(−𝐿3 + 𝐿1 → 𝐿1) ~ [ 
1 0 6
0 0 0
0 2 −1
 | 
−1
−1
 2
 ] (𝐿2 ↔ 𝐿3) ~ [ 
1 0 6
0 2 −1
0 0 0
 | 
−1
 2
−1
 ] 
(1/2𝐿2 → 𝐿2) ~ [ 
1 0 6
0 1 −1/2
0 0 0
 | 
−1
 1
−1
 ]. 
Dessa forma, concluímos que o s is tema or igina l 𝑆 é impossível , ou 
seja , não tem solução, por ser equiva lente ao si s tema l inear 
𝑆′ ∶ {
 𝑥 + 6𝑧 = −1
 𝑦 − 1/2𝑧 = 1
 0 = −1
. 
 
2) O método de Gauss -Jordan nos mostra que o s i stema de três equações 
e quatro incógnitas dado por 
𝑆 ∶ { 
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 3
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 8
 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = −1
 
é compatível inde terminado. 
De fato , ut i l izando operações e lementares sobre l inhas , ver i ficamos 
que a matr iz aumentada de 𝑆 
[ 
1 3 1
2 −2 1
3 1 2
 1
 2
−1
 | 
 3
 8
−1
 ] 
é equivalente à matr iz 
[ 
1 0 5/8
0 1 1/8
0 0 0 
0
0
1
 | 
 3/4
−1/4
 3
 ] 
 
 
e , ass im, para cada valor do esca lar 𝜆, a co luna 
[
 
 
 
 
 
 
3
4
−
5
8
𝜆
−
1
4
−
1
8
𝜆
𝜆
 3
 
]
 
 
 
 
 fornece 
uma so lução de 𝑆. 
07. Característ icas e Grau de Liberdade 
07.1. Característ icas 
Dado um s istema l inear 𝑆, denotemos por 𝐴 sua matr iz aumentada, por 𝐴′ a matr iz 
l inha reduzida à forma de escada equiva lente a 𝐴 e por 𝑉 a matr iz dos coefic ientes 
extra ída de 𝐴′. 
Dizemos que o número 𝐶𝐴 de l inhas não nulas de 𝐴′ é a característ ica da matr iz 
𝐴, e que o número 𝐶𝑉 de l inhas não nulas da matr iz 𝑉 é a caracter í s t ica dessa 
matr iz . É claro que 𝐶𝐴 ≥ 𝐶𝑉. 
Considerando -se, portanto, os do is exemplos anter iores, temos, para o pr imeiro, 
𝐶𝐴 = 3 e 𝐶𝑉 = 2. Assim, 𝐶𝐴 > 𝐶𝑉 e o si s tema é incompat ível . Quanto ao segundo 
exemplo, temos 𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 = 3 e o s i stema é compatível . 
07.2. Característ icas e Número de Variáveis de um Sistema Linear Compatíve l 
Se 𝑆 é um s is tema l inear compat ível com 𝑛 var iáve is , ou incógnitas, tem-se 
𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 ≤ 𝑛. Podemos, então, ver i ficar que sendo 𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 = 𝑛, 𝑆 será 
determinado. Caso contrár io , ou seja , sendo 𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 < 𝑛 , 𝑆 será indeterminado . 
No segundo exemplo ao qual nos re fer imos acima, observamos que 𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 = 3 e 
𝑛 = 4 . 
07.3. Grau de Liberdade de um Sistema Linear Compat íve l 
Como vimos, sendo 𝑆 um s istema l inear compatível com 𝑛 var iáve is, o u 
incógni tas, 𝐶𝐴 = 𝐶𝑉 ≤ 𝑛. À d i ferença 𝑔 = 𝑛 − 𝐶𝐴 damos o nome de grau de 
l iberdade do si stema 𝑆 . No caso do s istema compatíve l apresentado ac ima, temos 
𝑔 = 4 − 3 = 1. 
Evidente que o grau de l iberdade informa o número de incógni tas às quais podem 
ser atr ibuídos valores, de modo a serem obtidos os das demais var iáve is do 
si s tema. 
 
□□□□□□