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Equações diferenciais II
Parte I (Transformada de Laplace)
Aula 7
Andrey M. Pupasov-Maksimov
Universidade Federal de Juiz de Fora
pupasov.maksimov@ufjf.edu.br
25 de Março de 2015
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 25 de Março de 2015 1 / 17
Plano de aula
1
Função de Dirac
2
Propriedades de δ(t)
3
EDO com função δ(t) como a termo forçante
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Motivação
Consideramos uma sistema linear sob ação de força externa f (t)
y ′′(t) + vy ′(t) + ω2y(t) = f (t)
Suponhamos
f (t) = 0 , t < t
0
,
f (t) = 0 , t > t
0
+ T ,
T é duração de força externa.
Definimos a medida de intensidade de força externa (I chama-se o impulso)
como o integral
I (tin, tfin) =
∫ tfin
tin
f (t)dt
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Impacto. Exemplo de um ponto material.
Consideramos o segundo Lei de Newton
ma = f , a =
dv
dt
=
d2x
dt2
Nesse caso
I (tin, tfin) =
∫ tfin
tin
f (t)dt = m
∫ tfin
tin
dv
dt
dt = mvfin −mvin = ∆p ,
O resultado de ação de força externa é a mudança de momento p!
Impacto é um interação entre um objecto e força externa com duração
T = tfin − tin → 0, quando ∆p = const > 0
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Definição de função Delta de Dirac
Consideramos uma família de funções
δT (t; tin) =
1
T
[utin (t)− utfin (t)]
Figura:
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Definição de função Delta de Dirac
O impulso total para funções δT (t; tin) é sempre 1, e não depende sobre T
e tin,
I (−∞,∞) =
∞∫
−∞
δT (t; tin)dt = 1
Denotaremos o limite lim
T→0
δT (t; tin) = δ(t; tin), Quando tin = 0,
denotaremos δ(t; 0) simplesmente pelo δ(t), então δ(t; tin) = δ(t − tin)
Diz-se que o limite δ(t) é uma função generalizada,
δ(t) = 0 , t 6= 0 ,
δ(0) = ∞ ,
∞∫
−∞
δ(t)dt = 1 .
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Propriedades de função de delta
1) Filtragem
∞∫
−∞
δ(t − τ)f (t)dt = f (τ)
b∫
a
δ(t − τ)f (t)dt = f (τ) , a < τ < b ,
b∫
a
δ(t − τ)f (t)dt = 0 , τ /∈ [a, b] .
Exemplos:
∞∫
−∞
δ(t)tdt = 0 ,
∞∫
−∞
δ(t) cos tdt = 1 .Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 25 de Março de 2015 7 / 17
Propriedades de função de delta
1) Filtragem (Prova)
∞∫
−∞
δ(t − τ)f (t)dt = lim
T→0
∞∫
−∞
δT (t, τ)f (t)dt = lim
T→0
1
T
τ+T∫
τ
f (t)dt =
Usando a teorema de valor médio (em forma integral)
∃ξ ∈ [a, b] =⇒
∫ b
a
f (x)dx = (b − a)f (ξ) ,
recebemos lim
T→0
1
T
τ+T∫
τ
f (t)dt =
lim
T→0
1
T
(τ + T − τ)f (ξ ∈ [τ, τ + T ]) = lim
T→0
f (ξ ∈ [τ, τ + T ]) = f (τ)
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Propriedades de função de delta
2) Paridade
δ(−t) = δ(t)
Exercício. Mostrar que para todo função f (t)
∞∫
−∞
δ(t)f (t)dt =
∞∫
−∞
δ(−t)f (t)dt
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Representações de δ(t)
1) Descontinua
δ(t) = lim
T→0
1
T
[
u(t +
T
2
)− u(t − T
2
)
]
,
2) Lorentziana
δ(t) = lim
n→∞
1
pi
n
1+ n2tt
,
3) Gaussiana
δ(t) = lim
n→∞
n√
pi
e
−n2tt ,
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Representação de δ(t) usando um núcleo geral
4) Seja φ(t),
∞∫
−∞
φ(t)dt = 1, definimos uma sequencia φh(t) = nφ(nt).
Temos ∞∫
−∞
φn(t)dt =
∞∫
−∞
φ(tn)dnt = 1 ,
e
lim
n→∞φn(t) =
{
0 , t 6= 0 ,
∞ , t = 0 .
Então
δ(t) = lim
n→∞φn(t) .
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Representações de δ(t)
Lorentziana, n = 1, 2, 3, 4, 10
δ(t) = lim
n→∞
1
pi
n
1+ n2tt
,
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Representações de δ(t)
Lorentziana, n = 1, 2, 3, 4, 10, 50
δ(t) = lim
n→∞
1
pi
n
1+ n2tt
,
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Transformada de Laplace de δ(t)
Consideramos τ ≥ 0
L{δ(t − τ)} (s) =
∫ ∞
0
δ(t − τ)e−stdt =
∫ ∞
−∞
δ(t − τ)e−stdt = e−sτ
Em particular,
L{δ(t)} (s) = 1 .
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Exercicio
Determinar
lim
T→0
L
{
1
T
[
u(t +
T
2
)− u(t − T
2
)
]}
(s) =
= lim
T→0
1
T
[
L
{
u(t +
T
2
)
}
(s)− L
{
u(t − T
2
)
}
(s)
]
=
= lim
T→0
1
T
[
e
sT
2
s
− e
−sT
2
s
]
= lim
T→0
2
sT
sinh
[
sT
2
]
= 1 .
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Função δ(t) como a termo forçante
Problema 1. Resolva o PVI
y ′′ + 2y ′ + 2y = 2δ(t − pi) , y(0) = 0 , y ′(0) = 0 .
Resolução.
1) Aplicamos a transformada de Laplace para LE e LD de EDO
L{y ′′ + 2y ′ + 2y} = L{2δ(t − pi)} .
Então (
s2 + 2s + 2
)
Y (s) = 2e−spi .
2) Determinamos imagem de solução
Y (s) = 2
1
s2 + 2s + 2
e
−spi
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3) Estudamos zeros de denominador, D = 4− 8 = −4 < 0 =⇒, podemos
complementar o quadrado s2 + 2s + 2 = (s + 1)2 + 1.
4) Aplicamos a transformada inversa y(t) = L−1 {Y (s)} (t),
L−1
{
2
1
(s + 1)2 + 1
e
−spi
}
(t)
Usando 2 teorema de deslocamento L−1 {F (s)e−spi} (t) = upif (t − pi),
onde F (s) = 2 1
(s+1)2+1
, então
f (t) = L−1
{
2
1
(s + 1)2 + 1
}
(t) = 2e−t sin t
5) Resposta
y(t) = L−1 {Y (s)} (t) = 2e−(t−pi) sin(t − pi)upi(t)
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