Lista 6 Polar

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Lista 6
Ca´lculo B
18 de setembro de 2018
Exercı´cio 1
a) Encontre as coordenadas polares possı´veis para o ponto P com coordenadas cartesianas (−2, 2√3).
b) Determine as coordenadas polares, com r > 0 e 0 ≤ θ < 2pi, para os pontos com coordenadas
cartesianas (2, 2) e (−4√3, 4).
Exercı´cio 2 Determine a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar:
a) r =
4
2 − cosθ
b) r2 = cosθ
c) r =
4
1 − sinθ
d) r2 = sin 2θ
Exercı´cio 3 Determine uma equac¸a˜o polar que represente a curva descrita pela equac¸a˜o cartesiana:
a) x2 + y2 = a2
b) x + y = 1
c) 2xy = 1
d) y2 = 4(x + 1)
Exercı´cio 4 Estude a simetria das curvas:
a) C : r = −1 − 3 sin(2θ)
b) C : r = 2
1
c) C : r = 4 + 6 cosθ
d) C : r = 2 cosθ + sinθ
Exercı´cio 5 Encontre os pontos de intersec¸a˜o, em coordenadas cartesianas, das curvas descritas
pelas equac¸o˜es polares:
a) C1 : r = 2 e C2 : θ = pi4
b) C1 : r = cos2 θ e C2 : r = −1, θ ∈ [0, 2pi].
c) C1 : r = 2(1 − cosθ) e C2 : r = 2(1 + cosθ), θ ∈ [0, 2pi].
d) C1 : r = 2 cosθ e C2 : r = 2 sinθ, θ ∈ [0, pi].
e) C1 : r = 4 − 6 sinθ e C2 : θ = −pi3
f) C1 : r = 2 sin 3θ, θ ∈ [0, pi], e C2 : r =
√
3
Exercı´cio 6 Calcule a a´rea da regia˜o:
a) Limitada pela leminiscata C : r2 = a2 cos 2θ
b) Limitada pela leminiscata C : r2 = sin 2θ
c) Limitada pela rosa´cea C : r = 2 cos 3θ
d) Interior a` cardio´ide C1 : r = 1 − sinθ e exterior ao cı´rculo C2 : r = 1
e) Interior a` leminiscata C1 : r2 = 8 sin 2θ e exterior ao cı´rculo C2 : r = 2
f) Interior aos dois cı´rculos C1 : r = cosθ e C2 : r = sinθ
g) Interior ao cı´rculo C1 : r = sinθ e a` rosa´cea C2 : r = sin 2θ
h) Interior ao cı´rculo C1 : r = 3 cosθ e exterior a` cardio´ide C2 : r = 1 + cosθ
i) Exterior ao cı´rculo C1 : r = 3 cosθ e interior a` cardio´ide C2 : r = 1 + cosθ
j) Limitada pelo lac¸o interno da curva C : r = 1 + 2 sinθ
2
Exercı´cio 7 Determine o comprimento da curva:
a) C : r = 3, θ ∈ [0, pi].
b) C : r = e2θ, θ ∈ [0, 2pi].
c) C : r = 2 cosθ, θ ∈ [0, pi].
d) C : r = 2(1 + cosθ).
3
Respostas:
• 1] a)
(
4,
2pi
3
+ 2npi
)
ou
(
− 4, 5pi
3
+ 2npi
)
; b)
(
2
√
2,
pi
4
)
e
(
8,
5pi
6
)
.
• 2] a)3x2 − 8x + 4y2 = 16; b)(x2 + y2)3 = x2;
c)y =
x2 − 16
8
; d)(x2 + y2)2 = 2xy.
• 3] a)r = a; b) r = 1
cosθ + sinθ
;
c) r2 sin 2θ = 1; d) r =
−2
1 + cosθ
.
• 4] Sime´trica em relac¸a˜o ao po´lo; b) Possui as treˆs simetrias;
c) Sime´trica em relac¸a˜o ao eixo polar; d) Na˜o possui simetria.
• 5] a) P1 = (
√
2,
√
2), P2 = (−
√
2,−√2); b) P1 = (1, 0), P2 = (−1, 0);
c)P1 = (0, 2), P2 = (0, 0), P3 = (0,−2); d)P1 = (0, 0), P2 = (1, 1);
e)P1 = (0, 0), P2 =
(−4 + 3√3
2
,
4
√
3 − 9
2
)
, P3 =
(4 + 3√3
2
,
−4√3 − 9
2
)
;
f)P1 =
(√
3 cos
(pi
9
)
,
√
3 sin
(pi
9
))
, P2 =
(√
3 cos
(2pi
9
)
,
√
3 sin
(2pi
9
))
,
P3 =
(
− √3 cos
(4pi
9
)
,−√3 sin
(4pi
9
))
, P4 =
(
− √3 cos
(5pi
9
)
,−√3 sin
(5pi
9
))
,
P5 =
(√
3 cos
(7pi
9
)
,
√
3 sin
(7pi
9
))
, P6 =
(√
3 cos
(8pi
9
)
,
√
3 sin
(8pi
9
))
.
• 6] a)a2; b)1; c)pi; d)
(pi
4
+ 2
)
;
e)4
(√
3 − pi
3
)
; f)
(pi
8
− 1
4
)
; g)
(4pi − 3√3
16
)
;
h)pi; i)
pi
4
; j)
(
pi − 3
√
3
2
)
.
• 7]a)3pi; b)
√
5
2
(
e4pi − 1
)
; c)2pi; d)16.
4