raciocinio logico 4

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Núcleo Comum – ACE
Raciocínio Lógico e 
Matemático
Profª Mª Mariana da Silva Nogueira Ribeiro
TA 4
Conjuntos
Resumo
Unidade de Ensino: 4
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer métodos e técnicas de operações matemáticas 
para desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico de 
apoio à tomada de decisão.
Resumo:
Proporcionar ao aluno uma introdução às ideias básicas 
sobre a teoria de conjuntos. 
Introduzir conceitos básicos importantes para o conteúdo. 
Evidenciar a ideia intuitiva de conjunto, igualdade de 
conjuntos, conjunto vazio, inclusão e pertinência.
Palavras-chave:
elemento; conjunto; pertinência; 
inclusão; conjunto de 
conjuntos; conjunto vazio
Título da teleaula: Conjuntos
Teleaula nº: 4
Convite ao estudo
POR QUE ESTUDAR 
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS?
Convite ao estudo
Proporcionar uma introdução às ideias básicas sobre a 
teoria de conjuntos. 
Introduzir conceitos básicos importantes para o 
desenvolvimento do restante do conteúdo, assim como 
produto cartesiano.
VA Caminho de Aprendizagem
Conhecimentos prévios
Conjunto de todos os alunos de uma sala.
Conjunto de todas as casas de um quarteirão.
Conjunto dos números pares.
Conjunto de grupos de animais.
CONCEITO INTUITIVO 
DE CONJUNTO
Qualquer reunião de elementos 
que possui alguma característica 
em comum pode ser considerada 
um conjunto.
INFINITO FINITO
Conhecimentos prévios
A = {x | x é um número ímpar positivo 
menor que 10}
A = { , , , , } 1 ∈ A
2 ∉ A
Diagrama
de Venn
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Encarregado do setor 
administrativo da empresa 
de seu pai, Adriano é responsável 
por decidir sobre diversos 
assuntos. A empresa divulgou um 
edital de contratação de 
consultoria visando à solução de 
problemas relacionados à 
manipulação de dados através de 
programas específicos e 
utilização de planilhas 
eletrônicas.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Considere que você pleiteou a 
vaga e que foi selecionado para 
resolver os problemas que 
preocupam Adriano diariamente.
Vamos ajudá-lo?
Situação-Problema 1
Ao final de cada bimestre, Adriano 
é responsável pela coleta, organização, 
interpretação e síntese de informações 
referentes à empresa de seu pai.
Situação-Problema 1
Adriano precisa apresentar para os 
presentes na reunião a porcentagem de 
gasto com mão de obra por cargo e por 
departamento.
Dessa necessidade, ele pediu a você que 
construa a estatística. 
Problematizando a Situação-Problema 1
Conjunto A dos números naturais 
menores que 5
B = {0, 1, 2, 3, 4}
A = B, pois ambos têm os mesmos 
elementos.
Conjunto vazio→ C = ∅ ou C = { }
Conjunto unitário→ D = {capital 
do Brasil}
Conjunto universo→ U = {população
do Brasil}, do estudo da migração
Problematizando a Situação-Problema 1
A é subconjunto de B se, e somente se, todos 
os elementos de A pertencerem a B.
Resolvendo a Situação-Problema 1
PLANILHA ELETRÔNICA
Resolvendo a Situação-Problema 1
Resolvendo a Situação-Problema 1
Concluiu-se facilmente, desse modo, que o total 
gasto em cada cargo é:
Aprendiz: R$ 3.000,00 (= R$ 1.500 + R$ 1.500); 
Auxiliar: R$ 6.900,00 (= R$ 2.300 + R$ 2.300 + 
R$ 2.300);
Chefe: R$ 6.800,00 (= R$ 3.400 + R$ 3.400).
Fazendo uma comparação 
com o total de R$ 16.700,00,
Aprendiz: 18%; 
Auxiliar: 41%; 
Chefe: 41%.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Resolvendo a Situação-Problema 1
Adicionando os valores, temos que o total gasto com 
mão de obra por departamento é: 
Pintura, R$ 9.500,00 
(= R$ 2.300 + R$ 1.500 + R$ 3.400 + R$ 2.300); 
Produção, R$ 7.200,00 
(= R$ 3.400 + R$ 2.300 + R$ 1.500). 
O correspondente percentual é, 
aproximadamente:
Pintura, 57%; 
Produção, 43%.
Situação-Problema 2
Adriano recebeu a tarefa de implementar 
um plano de controle e prevenção de 
acidentes na empresa em que trabalha. 
Para ter mais detalhes sobre esses 
setores, ele solicitou informações aos 
respectivos gerentes.
 Nove pessoas trabalham 
exclusivamente na pintura.
 Sete pessoas trabalham 
exclusivamente no 
tratamento químico.
 Ao todo, trabalham nas duas 
seções 22 funcionários.
Situação-Problema 2
Para divulgar o plano de prevenção de acidentes com mais 
eficiência, Adriano decidiu que os funcionários que são 
capacitados para trabalhar nos dois setores serão os 
divulgadores das informações para a prevenção de 
acidentes. Como você determinaria a quantidade de 
funcionários que serão os divulgadores do plano de 
controle e prevenção de acidentes?
Problematizando a Situação-Problema 2
Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A∪ B = {x | x∈ A ou x∈ B}
Problematizando a Situação-Problema 2
Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
A∩ B = {x | x∈ A e x∈ B}
Problematizando a Situação-Problema 2
Dados os conjuntos A e B, a diferença de A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B.
A − B = {x | x∈ A e x∉ B}
Resolvendo a Situação-Problema 2
O tempo de treinamento 
dos funcionários é de 
aproximadamente 7 horas, o 
valor da hora de trabalho de 
cada um é R$ 22,00 e que o 
custo do serviço do técnico 
que realizará o treinamento é 
de 1,2 mil reais, qual deve ser 
a estimativa do valor gasto 
com o treinamento 
dessas pessoas?
Resolvendo a Situação-Problema 2
Nove pessoas trabalham exclusivamente na pintura.
Sete pessoas trabalham exclusivamente no 
tratamento químico.
Ao todo, trabalham nas duas seções 22 funcionários.
Resolvendo a Situação-Problema 2
Custo necessário para esse treinamento:
quantidade de pessoas que irá realizar o curso = 6 
valor da hora de cada uma = R$ 22,00 
7 horas de treinamento
valor pago ao técnico que irá realizar 
o treinamento = R$ 1.200
 (6 ⋅ 22) ⋅ 7 + 1 200 = 2 124. 
Logo, o custo total será 
de R$ 2 124,00 reais.
Situação-Problema 3
Adriano estava acompanhando Rogério, um de seus funcionários, 
no cálculo de horas excedentes em uma semana normal (5 dias úteis) 
de trabalho. O expediente padrão prevê 8 horas diárias de trabalho, 
com entrada às 08:00h e saída para o almoço às 12:00h; volta 
do almoço às 14:00h e fim do expediente às 18:00h.
Situação-Problema 3
Rogério registrou os seus horários de entrada e saída 
em uma planilha do Excel.
Situação-Problema 3
Aplicação de algumas fórmulas
Por que a célula I5 exibe 
o símbolo #########
e qual quantidade deveria 
aparecer nesse espaço?
Problematizando a Situação-Problema 3
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...}
MEDIDA 
UNITÁRIA
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
1) A soma de dois números naturais 
é um número natural.
2) A multiplicação de dois números 
naturais é um número natural.
3) Se n é um número natural, então 
n+1 é o sucessor de n e n é o 
antecessor de n+1
Problematizando a Situação-Problema 3
Inteiros não nulos: 
Z* = {..., −2, −1, 1, 2, ...}
Inteiros não negativos: 
Z + = {0, 1, 2, 3, ...}
Inteiros não positivos: 
Z— = {..., −3, −2, −1, 0}
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
NÚMEROS OPOSTOS
INTEIROS
Problematizando a Situação-Problema 3
RACIONAIS
= –2– 2
1
= 0,333…1
3
= 00
10
1) Todo número natural e todo 
número inteiro é um número 
racional.
Problematizando a Situação-Problema 3
1) Um número irracional não 
é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre 
um número irracional com 
um número racional é um 
número irracional.
IRRACIONAIS
É um número cuja representação
decimal têminfinitas casas não
periódicas depois da vírgula.
= 1,414213562... 2
Resolvendo a Situação-Problema 3
Vamos fazer os cálculos manualmente em busca de erros!
Célula I5 FÓRMULAFÓRMULA = (F5 - E5) + (C5 - B5)
= (F5 - E5) + (C5 - B5)
Mas, o dado da célula G5 foi inserido manualmente e o valor 
da célula H5 foi calculado com outra fórmula:
Os demais dados dessa linha foram 
manualmente inseridos.
Resolvendo a Situação-Problema 3
Conferindo o valor da célula H5, temos:
H5 = (F5 - E5) + (C5 - B5) = (18:03:00 -
13:58:00) + (12:01:00 - 8:56:00)
H5 = 4:05:00 + 3:05:00 = 7:10:00 
(valor correto)
Cálculo das horas de trabalho excedentes:
 I5 = H5 - G5 = 7:10:00 - 8:00:00 = 
(8:00:00 - 7:10:00) = 
-0:50:00 (hora negativa)
Resolvendo a Situação-Problema 3
Total “excedente” da semana 
= 0:08:00 + 0:10:00 + 0:11:00 + (-0:50:00) + 0:13:00
Total “excedente” da semana 
= 0:42:00 - 0:50:00
Total “excedente” da semana 
= -0:08:00
Situação-Problema 4
Buscando responder ao seu cliente 
se conseguiria entregar a quantidade 
solicitada no prazo exigido, Adriano 
resolveu verificar junto as anotações 
existentes no setor da produção 
a quantidade de peças produzidas.
A empresa em que Adriano trabalha produz determinada 
peça usinada que, para ficar pronta, passa por diversos 
processos em toda a cadeira de produção. Um de seus 
clientes fez um pedido de 3 000 unidades dessa peça 
usinada para 25 dias.
Situação-Problema 4
Perceba que em cada linha está anotada 
a produção acumulada dos dias anteriores.
No 4° dia está inclusa a quantidade 
produzida até o 3° dia. 
No 6° dia está inclusa a quantidade 
produzida até o 5° dia. 
No 11° dia está inclusa a quantidade 
produzida até o 10° dia. 
No 25º dia, a sua empresa dará 
conta de entregar o pedido de 
3000 unidades da peça solicitada?
Problematizando a Situação-Problema 4
O plano cartesiano é formado por uma região 
geométrica plana, cortada por duas retas 
perpendiculares entre si.
Retas 
perpendiculares
formam ângulos 
de 900 entre si.
Plano 
cartesiano.
Problematizando a Situação-Problema 4
As retas dividem o plano em quatro regiões 
chamadas quadrantes.
1º QUADRANTE
4º QUADRANTE3º QUADRANTE
2º QUADRANTE
Quadrantes 
Problematizando a Situação-Problema 4
A reta horizontal é denominada de eixo das 
abscissas e representada por x, x∈R.
A reta vertical é denominada de eixo das ordenadas 
e representada por y, y∈R.
x
y Eixo das 
abscissas.Eixo das 
ordenadas.
Problematizando a Situação-Problema 4
Denomina-se par ordenado ao par (x, y), no qual o primeiro 
elemento pertence ao eixo das abscissas e o segundo 
elemento pertence ao eixo das ordenadas.
O ponto de encontro das retas x e y é chamado de origem 
e é representado pelo par ordenado (0, 0), ou seja, x = 0 e y = 0.
x
y
+ + + +- - - - -
+
 
+
 
+
 
+
-
-
-
-
-
(+, +)(-, +)
(-, -) (+, -)
Origem do 
sistema 
cartesiano 
(0, 0).
0
Problematizando a Situação-Problema 4
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.
PRODUTO CARTESIANO
Resolvendo a Situação-Problema 4
Vamos utilizar a relação: 
Resolvendo a Situação-Problema 4
R relaciona os valores da primeira coluna (2º, 4º, 6º, 11º) 
com os da segunda coluna (240, 480, 720, 1 320)
No 25º dia a empresa dará conta de entregar o 
pedido de 3 000 unidades da peça solicitada? 
É possível afirmar que a 
entrega do pedido de 3 
000 peças poderá ser 
realizada daqui a 25 dias
Basta determinar o valor b relacionado ao valor a = 25
 b = 120a ⇒ b = 120 ⋅ 25 = 3 000
Provocando novas situações
Descreva um conjunto que:
Seja finito.
Seja infinito.
Tenha somente um elemento.
Seja vazio.
Diálogo do professor com alunos
VE Caminho de Aprendizagem