MecSolidos II Lista de Exercicios AMPLA 2018 1s v2 (1)

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Ministério da Educação 
Universidade Federal do Paraná 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Curso de Engenharia Mecânica 
 
 
Disciplina : TMEC020  ‐  Mecânica dos Sólidos II 
Professor :  Jucélio Tomás Pereira, D.Sc. 
 
 
Lista		de		Exercícios		e		Roteiro		de		Estudos	
 
 
Este  texto  tem  como  objetivo  principal  servir  de  guia  de  estudos  visando  um  melhor 
aprendizado  na  disciplina  TMEC020  (Mecânica  dos  Sólidos  2),  ministrada  pelo  Prof.  Jucélio 
Tomás junto ao Departamento de Engenharia Mecânica desta Universidade Federal do Paraná. 
Nesta segunda versão, o texto é acrescido de sugestões de leitura, sugestões de vídeos a serem 
assistidos  (apresentados  na  homepage  descrita  em  Pereira  (2017))  e  de  alguns  exercícios 
adicionais. Recomenda‐se a execução desta lista na sequência aqui apresentada. 
 
Boa sorte!! 
Bons estudos!! 
 
Referências utilizadas: 
1. HIBBELER, R. C., Resistência dos Materiais. 7ª. ed., Ed. Pearson, 2009. 
2. PEREIRA,  J.  T.,  Site  www.facebook.com/profile.php?id=100016624450339,  Acesso  em 
10/abr/2018. 
3. YOUTUBE. Site www.youtube.com. Endereços variados. 
	
Estado de Tensões 
 
LEITURA: 
Ler Seções 1.1 a 1.6 de Hibbeler (2009). 
 
VÍDEOS: 
O que é Mecânica do Contínuo: 
https://www.youtube.com/watch?v=no4wKHPN2c0 
 
Tensor de tensões: 
https://www.youtube.com/watch?v=pK5gLz5JGP8 
 
Introdução a estado de tensões: 
https://www.youtube.com/watch?v=uhSBb7cmZl0 
 
Reforçando os conceitos de estado de tensões e notação: 
https://www.youtube.com/watch?v=5yZNKGxe0H8&list=PL4kCxFVdSSQTrQ_WltLqPF1LVr1rwNaYs 
‐ 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (HIBBELER, 2009): 
1.4,  1.13,  1.14,  1.25,  1.26,  1.30,  1.46,  1.49,  1.54,  1.71,  1.78,  1.85,  1.86. 
 
	
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Ex. 1. Seja um estado plano de  tensões  (EPT),  já conhecido e posto na  forma geral através de uma 
matriz 2x2. Para este, explique os significados de: 
a) Tensões; 
b) Componente genérico Tij desse estado de tensões; 
c) Estado de tensões; 
d) Qual a representação matemática desse estado de tensões; 
e) Qual a representação gráfica (geométrica) do mesmo. 
	
	
Ex. 2. O  estado de  tensões descrito anteriormente  é decorrente de  esforços mecânicos aplicados à 
estrutura em análise (o sólido). Explique cuidadosamente (e exemplifique) os conceitos de: 
a) Forças externas de superfície; 
b) Forças externas de corpo. 
	
	
Carregamentos combinados em uma estrutura 
 
LEITURA: 
Torção pura:  Ler Seções 5.1 e 5.2 de Hibbeler (2009). 
Flexão pura:  Ler Seções 6.1 a 6.5 de Hibbeler (2009). 
Cisalhamento Transversal:  Ler Seções 7.1 a 7.4 de Hibbeler (2009). 
Cargas Combinadas:  Ler 8.1 e 8.2 de Hibbeler (2009). 
 
VÍDEOS: 
Torção pura:   https://www.youtube.com/watch?v=UlXQhZMvetg 
 
Flexão pura:   https://www.youtube.com/watch?v=q5aplQha1kI 
 
Cisalhamento Transversal:    https://www.youtube.com/watch?v=d_AGBg8CNQQ 
        https://www.youtube.com/watch?v=8ydZUTLNaE0 
 
Cargas Combinadas:  https://www.youtube.com/watch?v=U7K23vy9NAw 
      https://www.youtube.com/watch?v=j9s2zJ‐q3nk 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (HIBBELER, 2009): 
5.1,  5.18,  5.31,  6.20,  6.39,  6.43,  6.55  6.59,  6.102,  6.104,  6.105,  6.109 
7.1,  7.7,  7.10,  7.12,  7.13,   7.19,  8.4,  8.5,  8.6,  8.19,  8.26,  8.43,  8.45, 
8.50,  8.55,  8.57. 
	
Ex. 3. A placa de sustentação de uma placa, visualizada abaixo, está submetida a um carregamento 
provocado pela força do vento frontal à placa (no valor de 10.000 N) e seu próprio peso no valor 
de 5.000 N. O dimensionamento do poste de sustentação dessa placa envolve a determinação 
do estado de tensões em vários pontos críticos do poste. 
Para esse problema, obtenha o estado de tensões completo (3D) nos pontos A e B. 
 
Para  facilitar,  obtenha  o  valor  APROXIMADO  para  a  tensão  cisalhante  gerada  pelo  esforço 
cortante (caso o mesmo ocorra) através da expressão  med Força1,5 .Area   
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Ex. 4. Um  tubo  é  submetido  a  um  carregamento  como mostrado  na  figura  ao  lado. Determine  os 
estados  de  tensões  completos  (3D)  nos  pontos  A  e  B,  mostrados  na  seção  transversal  a‐a. 
Realize  a  representação  geométrica  de  cada  estado  de  tensões  tendo  como  referência  as 
direções Cartesianas especificadas na figura. 
 
Para efeito de comparação, obtenha o valor 
da  tensão  cisalhante  gerada  pelo  esforço 
cortante de duas maneiras: 
 Através  do  conceito  de  fluxo  de 
cisalhamento  (fornecido  no  capítulo  que 
trata de carregamento transversal ) e 
 de  maneira  APROXIMADA    através  da 
expressão  med Força1,5 .Area   
	
	
	
	
	
	
Ex. 5. Uma furadeira em operação é submetida a um carregamento característico e conhecido, como 
mostrado na figura abaixo: uma força de apoio do usuário (P) e o torque aplicado pela furadeira 
contra a parede (T). Obtenha os estados de tensões completos (3D) nos pontos A e B, mostrados 
na  seção  transversal  a‐a  da  broca.  Realize  a  representação  geométrica  de  cada  estado  de 
tensões tendo como referência as direções Cartesianas especificadas na figura. 
y
z
x
A
B
Seção a-a
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Transformação de tensões 
 
LEITURA: 
Transformação de Tensões:  Ler TODO o Capítulo 9 de Hibbeler (2009). 
 
VÍDEOS: 
 
Problema 2D:  https://www.youtube.com/watch?v=eZf9yw0IPmo 
    https://www.youtube.com/watch?v=eVxwcehWYyU 
 
Problema 3D:  https://www.youtube.com/watch?v=o‐YDenSoKGs 
 
Problema 3D:  https://www.youtube.com/watch?v=86mupA55nkE 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (HIBBELER, 2009): 
9.1,  9.2,  9.5,  9.10,  9.11,  9.15,  9.16  9.17,  9.20,  9.22,  9.23,   9.26,  9.28, 
9.31,  9.32,  9.33,  9.35,  9.41,  9.42,  9.51  9.52,  9.53,  9.59,  9.67,  9.70,  9.71, 
9.73,  9.74,  9.81,  9.82,  9.88  9.90,  9.95,  9.96,  9.99,  9.102. 
 
	
Ex. 6. Considere um ponto material onde é conhecido um estado plano de tensões (EPT) genérico (com 
componentes T11, T12 = T21 e T22). Defina um novo sistema de coordenadas (denotado x1’ – x2’), 
rotacionado  de  um  ângulo  genérico  ,  medido  no  sentido  anti‐horário  a  partir  do  eixo  de 
coordenadas  fixo  (original) x1. Pela construção de um pequeno elemento de volume em  torno 
desse ponto,  realize um corte segundo as direções Cartesianas do sistema gerado  (x1’ – x2’) e 
obtenha as componentes do estado de tensões nesse novo sistema (T’11, T’12 = T’21 e T’22). 
 
	
Ex. 7. Mostre  que  as  expressões  desse  novo  estado  de  tensões  (obtido  anteriormente)  recaem  na 
equação de um círculo (denominado Círculo de Mohr). 
	
Seção a-a
 P
 T
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Ex. 8. Tendo como referência o Círculo de Mohr genérico obtido anteriormente, obtenha as expressões 
para: 
a. Raio do círculo; 
b. tensão normal máxima (máx ); 
c. tensão normal mínima (mín ); 
d. tensão cisalhante máxima (máx ); 
e. ângulo de tensões principais; 
f. apresente, em um rascunhe do círculo, cada uma das grandezas anteriores. 
	
Ex. 9. Explique minuciosamente o que é estado de tensões principais?   Qual sua  importância em um 
problema da mecânica estrutural? 
	
Ex. 10. Construa o Círculo de Mohr para os estados de tensões dados a seguir e obtenha, para cada um 
deles, as variáveis: 
a. Raio do círculo; 
b. tensão normal máxima (máx ); 
c. tensão normal mínima (mín ); 
d. tensão cisalhante máxima (máx ); 
e. ângulo de tensões principais; 
f. realize a representação geométrica dos estados de tensões (com o elemento de volume 
na  orientação  adequada)  correspondentes  ao  estado  original,  tensões  principais  e 
tensão cisalhante máxima. 
 
  10.1)   20 , 60 ,T MPa
60 , 60 ,
      ;  
10.2)   60 , 60 ,T MPa
60 , 20 ,
      ; 
  10.3)  
0 , 100 ,
T MPa
100 , 0 ,
     ;10.4)   50 , 0 ,T MPa
0 , 50 ,
     ; 
  10.5)  
50 , 0 ,
T MPa
0 , 50 ,
    
. 
 
	
Ex. 11. Tendo  como  referência o  estado de  tensões descrito no Ex. 6,  realize o mesmo  corte  virtual, 
como descrito. Nessa  face gerada, ocorre um vetor de densidade de  forças, aqui denotado  nt  
(definido como vetor de tensões) e que pode ser escrito em relação ao sistema de coordenadas 
fixo x1 – x2. Para este problema: 
a. Obtenha a expressão final para o vetor de tensões  nt ; 
b. Explique minuciosamente o significado de vetor de tensões; 
c. Obtenha os vetores de tensões (e rascunhe) quando os vetores normais unitários  n  são 
dados por: 
c.1.   1n e ; 
c.2.   2n e . 
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Ex. 12. De  acordo  com  o  realizado  no  Ex.  11,  demonstre  como  se  dá  a  decomposição  do  vetor  de 
tensões genérico obtido  ( nt ) em dois vetores ortogonais: um vetor puramente normal à  face 
cortada  (denotado  nnt ) e outro vetor cisalhante  (“shear”) à  face  (denotado  nst ). Explique cada 
um dos termos envolvidos no processo e rascunhe‐os em um elemento de volume genérico. 
	
Ex. 13. Refaça os Ex. 11 e Ex. 12 para um estado de tensões genérico 3D. 
	
Ex. 14. Sejam o estado de tensões T e as direções normais N, fornecidos a seguir. Para esses problemas, 
rascunhe as soluções e obtenha: 
a. Vetor tensão atuante na face definida pela direção N; 
b. intensidade da tensão normal à face; 
c. intensidade da tensão cisalhante à essa face; 
d. vetor tensão normal à face; 
e. vetor tensão cisalhante à face. 
 
20 , 60 , 40 ,
T 60 , 60 , 15 , MPa
40 , 15 , 40 ,
       
 
14.1)  Direção:     T1,   0 ,   0 ,N ; 
14.2)  Direção:     T0 ,   1,   0 ,N ; 
14.3)  Direção:    T3 ,    4,   0 , N . 
	
Ex. 15. Sejam o estado de tensões T e as direções normais N, fornecidos a seguir. Para esses problemas, 
rascunhe as soluções e obtenha: 
a. Vetor tensão atuante na face definida pela direção N; 
b. intensidade da tensão normal à face; 
c. intensidade da tensão cisalhante à essa face; 
d. vetor tensão normal à face; 
e. vetor tensão cisalhante à face. 
 
20 , 60 , 40 ,
T 60 , 60 , 15 , MPa
40 , 15 , 40 ,
       
 
 
15.1)  Direção:        T0 ,8272,    0,4282,   0 ,3637N ; 
15.2)  Direção:      T0 ,2514,   0,2968 ,   0 ,9213N ; 
15.3)  Direção:       T0 ,5025 ,   0,8535,   0 ,1379N . 
Interprete e discuta a solução. 
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Ex. 16. Mostre  todos  os  passos  que  mostram  que  a  solução  do  problema  de  busca  das  tensões 
principais recai na solução de um problema de autovalores/autovetores? 
	
Ex. 17. O que são invariantes de um estado de tensões? 
	
Ex. 18. Para os estados de tensões fornecidos abaixo, obtenha: 
a. Tensões principais; 
b. tensão cisalhante máxima; 
c. rascunhe o Círculo de Moh: 
 
20 , 60 , 40 ,
T 60 , 60 , 15 , MPa
40 , 15 , 40 ,
       
;      
20 , 60 , 0 ,
T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 40 ,
       
;      
30 , 0 , 0 ,
T 0 , 40 , 0 , MPa
0 , 0 , 70 ,
      
. 
	
Ex. 19. Mostre  que  o  tensor  de  tensões  é  sempre  simétrico  (com  exceção  de  situações  totalmente 
peculiares e não estudadas em nosso curso). 
	
Transformação de deformações 
 
LEITURA: 
Transformação de Deformações:  Ler as Seções 10.1 a 10.5 do Capítulo 10 de Hibbeler (2009). 
 
VÍDEOS: 
Conceito de deformações: 
Deformações longitudinais:  https://www.youtube.com/watch?v=a6j01lcRQw4 
        https://www.youtube.com/watch?v=HU2o7K020qA 
 
Deformações cisalhantes:  https://www.youtube.com/watch?v=gXsxeWVuQYw 
        https://www.youtube.com/watch?v=Yk2heqGZsJU 
 
Obtenção das equações cinemáticas: 
 https://www.youtube.com/watch?v=Z6ASsoEFsdc 
        https://www.youtube.com/watch?v=NScWAS4sM_E 
 
Extensometria elétrica:  https://www.youtube.com/watch?v=9lWpPOGI42Y 
        https://www.youtube.com/watch?v=H2wrDB0XDNk 
        https://www.youtube.com/watch?v=‐UrPLafsets 
        https://www.youtube.com/watch?v=YBm_j232yUU 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (HIBBELER, 2009): 
10.1,  10.2,  10.5,  10.10,  10.11,  10.15,  10.16  10.17,  10.20,  10.22,  10.23,   10.26, 10.28, 
10.31,  10.32,  10.33,  10.35,  10.41,  10.42,  10.51  10.52,  10.53,  10.59,  10.67,  10.70,  10.71, 
10.73,  10.74,  10.81,  10.82,  10.88  10.90,  10.95,  10.96,  10.99,  10.102. 
	
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Ex. 20. O que é um filamento material. Qual a utilidade dessa definição? 
	
Ex. 21. Explique minuciosamente o que é deformação e quais são seus dois tipos fundamentais. 
	
Ex. 22. Dado o campo vetorial de deslocamentos    xu u , fornecido abaixo, represente o processo de 
deformação obtendo as posições finais do ponto‐base material P (descrito pelo vetor posição xo) 
e de 4 pontos no entorno do mesmo. Utilize um fator de escala para visualizar os deslocamentos 
dos pontos extremos dos filamentos QR  e  ST . 
Adote as dimensões      31 2x x 10 m . 
DICA: Para facilitar, use um papel quadriculado. 
 
Campo de deslocamentos:          
                
2
1 1 2 31 2
1 2 2 2
2 1 2 2 1
u x , x 2 x x
x x , x 10 m
u x , x 1 x x
u u u  
Ponto P:      o
1,
m
2,
x . 
Ponto Q:       
1
Q o
x
0
x x ,   Ponto R: 
     
1
R o
x
0
x x . 
Ponto S:       S o 2
0
x
x x ,   Ponto T:       T o 2
0
x
x x . 
	
Ex. 23. A partir das coordenadas finais (na configuração deformada) dos pontos P, Q, R, S e T, definidos 
no exercício anterior, obtenha: 
a. A deformação longitudinal do filamento material PR ; 
b. a deformação longitudinal do filamento PT ; 
c. a rotação no plano, e em relação ao eixo x3, do filamento PR  (denote‐o 1); 
d. a rotação no plano, e em relação ao eixo x3, do filamento PT  (denote‐o 2); 
e. a rotação média, definida em relação ao eixo x3, dos filamentos PR  e PT ; 
f. a deformação cisalhante (total), aqui denotada 12, dos filamentos PR  e PT . 
	
Ex. 24. Seja  um  problema  de  deformações  no  plano  (x1  –  x2),  no  qual  é  definido  o  campo  de 
deslocamento       1 2x x , xu u u . Seja, também, um filamento material genérico  PQ , muito 
pequeno, com início no ponto material P (cujas coordenadas são  1 2x , x ) e término no ponto Q 
(de coordenadas            1 1 2 2 1 2 1 2x x , x x x , x x , x ). Para esse problema: 
a) Obtenha  o  vetor  diferença  de  deslocamentos  desses  dois  pontos  (denotado   u ) 
utilizando  o  conceito  de  expansão  em  série  de  Taylor.  Rascunhe  graficamente  a 
resposta; 
b) caracterize a matriz gradiente de deslocamentos (aqui denotada u ) explicando porque 
possui esse nome; 
c) decomponha  a  matriz  gradiente  de  deslocamentos  em  suas  parcelas  simétrica 
(denotada  S u ) e antissimétrica (denotada  AS u ). 
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Ex. 25. Utilizando  o  resultado  do  exercício  anterior  e  3  pontos  (P,  Q  e  R),  defina  dois  filamentos 
genéricos, mas orientados segundo os eixos Cartesianos, na forma: 
Ponto P:   1P
2
x
x
    
x ,  Ponto Q:   1Q P
x
0
     
x x ,   Ponto R:   R P
2
0
x
     
x x . 
Filamento na direção Cartesiana e1: PQ ; 
Filamento na direção Cartesiana e2: PR . 
 
Para esse problema: 
a) Obtenha  o  vetor  diferença  de  deslocamentos  dos  dois  pontos  extremos  de  cada 
filamento e rascunhe as formas finais destes; 
b) obtenha a expressão para a deformação longitudinal do filamento PQ  (denomine‐a 11); 
c) obtenha a expressão para a deformação longitudinal do filamento PR  (denomine‐a 22); 
d) obtenha a expressão para a deformação cisalhante total (12) entre os dois filamentos; 
e) defina  completamente  a  expressão  que  fornece  a  matrizde  deformações  no  plano. 
Justifique o fato de a mesma ser simétrica; 
f) obtenha a rotação média desses dois filamentos em relação ao eixo Cartesiano x3; 
g) compare esses resultados com aqueles resultados obtidos no exercício 24, item c. 
	
Ex. 26. Utilizando o resultado do exercício anterior, generalize as expressões que fornecem a matriz de 
deformações em um problema 3D. 
	
Ex. 27. Utilizando  o  resultado  do  exercício  25,  generalize  as  expressões  que  fornecem  o  vetor  de 
rotações médias em relação aos três eixos Cartesianos. 
	
Ex. 28. Utilizando a definição de rotacional de um campo vetorial qualquer, obtenha a expressão para 
essa  variável  considerando um  campo  vetorial de deslocamentos genérico 3D. Compare esse 
resultado  com  as  expressões  para  as  rotações médias  obtidas  no  exercício anterior  e  com a 
parcela antissimétrica do gradiente dos deslocamentos (exercício 24, item c). 
	
Ex. 29. Aplique  os  resultados  obtidos  no  exercício  anterior  ao  campo  de  deslocamento  fornecido  no 
exercício 22, obtendo as deformações e a rotação média do ponto xo fornecido. Compare estes 
resultados com aqueles obtidos no exercício 23. 
	
Comportamento mecânico dos materiais 
 
LEITURA: 
Ler a Seção 10.6 do Capítulo 10 de Hibbeler (2009). 
 
VÍDEOS: 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (HIBBELER, 2009):  Ver a lista referente a deformações: 
10.1,  10.2,  10.5,  10.10,  10.11,  10.15,  10.16  10.17,  10.20,  10.22,  10.23,   10.26, 10.28, 
  Página 10 de 14
10.31,  10.32,  10.33,  10.35,  10.41,  10.42,  10.51  10.52,  10.53,  10.59,  10.67,  10.70,  10.71, 
10.73,  10.74,  10.81,  10.82,  10.88  10.90,  10.95,  10.96,  10.99,  10.102. 
	
Ex. 30. Faça uma pesquisa e obtenha as definições (e exemplos) de: 
a. Material elástico; 
b. material linear; 
c. material isotrópico; 
d. material anisotrópico; 
e. material viscoelástico; 
f. material viscoplástico; 
g. material hiperelástico. 
	
Ex. 31. Explique minuciosamente o que é material elástico, linear e isotrópico (MELI). 
	
Ex. 32. Obtenha a Lei de Hooke Generalizada (LHG) para um MELI. 
	
Ex. 33. Obtenha a forma inversa da equação obtida no exercício anterior. 
	
Ex. 34. Seja um MELI cujas propriedades materiais são: 
Módulo de elasticidade longitudinal: E = 208, GPa e 
Coeficiente de Poisson:  = 0,30. 
Obtenha o tensor de deformações completo para os estados de tensões dados em: 
a. 
20 , 60 , 0 ,
T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 40 ,
       
; 
b. 
30 , 0 , 0 ,
T 0 , 40 , 0 , MPa
0 , 0 , 70 ,
      
; 
c. 
      
0 , 0 , 0 ,
T 0 , 100 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
; 
d. 
      
0 , 100 , 0 ,
T 100 , 0 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
. 
	
Ex. 35. Partindo da questão #22.a, obtenha a parcela do vetor diferença de deslocamentos ( u ) que é 
somente na direção  longitudinal ao  filamento  (na direção do  versor que define  sua direção). 
Denote essa grandeza escalar como  nu . Observe que essa parcela representa o alongamento 
total do filamento. Assim: 
a. A  partir  desse  valor  e  do  comprimento  total  do  filamento,  obtenha  a  expressão  que 
fornece  a  deformação  longitudinal  do  filamento  que  está  com  uma  inclinação   
qualquer. Denote‐a . 
b. Aplique essa expressão aos filamentos colineares com as duas direções Cartesianas (com 
vistas à validação do resultado). 
	
Ex. 36. Pesquise  na  bibliografia  e/ou  internet  e  encontre  as  definições  para  extensometria  e 
extensômetros elétricos (ou strain‐gages) e rosetas. Mostre alguns tipos desses extensômetros e 
de rosetas. 
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Ex. 37. Seja  um  componente  mecânico  submetido  a  vários  esforços  mecânicos  e  adequadamente 
vinculado no  espaço. Em algum ponto de  seu  contorno  (superfície  externa),  é  instalada uma 
roseta  qualquer.  Em  geral,  o  plano  tangente  ao  sólido  nesse  ponto  de  instalação  é  definido 
como  sendo  plano  x1‐x2  e,  portanto,  a  direção  x3  é  normal  à  superfície.  Após  a  leitura  das 
deformações em cada extensômetro, pergunta‐se: 
a. Mostre as equações que possibilitam a obtenção das 3 deformações no plano tangente 
(x1‐x2); 
b. Obtenha a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na 
direção normal ao plano; 
c. Mostre as equações (justificando) que possibilitam obter a matriz de tensões completa 
no ponto (matriz 3x3); 
d. Como obter a matriz completa de tensões no ponto? 
	
Ex. 38. Seja  um  componente  mecânico  submetido  a  vários  esforços  mecânicos  e  adequadamente 
vinculado  no  espaço.  Em  seu  ponto  crítico,  é  instalada  uma  roseta  do  tipo  estrela,  como 
mostrada na Figura abaixo. Após a leitura das deformações em cada extensômetro, obtenha: 
a. A matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça; 
b. A matriz de deformações completa (3D) no ponto; 
c. A matriz de tensões completa no ponto; 
d. As três tensões principais no ponto; 
e. A tensão cisalhante máxima (máx ). 
 
Deformações lidas nos extensômetros: 
a = 10‐3 mm/mm 
b = ‐10‐3 mm/mm 
c = 2 . 10‐3 mm/mm 
Propriedades do material:    E = 208, GPa       = 0,30 
	
Ex. 39. Seja  um  componente  mecânico  submetido  a  vários  esforços  mecânicos  e  adequadamente 
vinculado no espaço. Em seu ponto crítico, é  instalada uma roseta do tipo retangular, onde o 
ângulo entre os pares de extensômetros a‐b e b‐c é 45o, como mostrada na Figura abaixo. Após 
a leitura das deformações em cada extensômetro, obtenha: 
a. A matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça; 
b. A matriz de deformações completa (3D) no ponto; 
c. A matriz de tensões completa no ponto; 
d. As três tensões principais no ponto; 
e. A tensão cisalhante máxima (máx ). 
 
Deformações lidas nos extensômetros: 
a = 10‐3 mm/mm 
b = ‐10‐3 mm/mm 
c = 2 . 10‐3 mm/mm 
Propriedades do material:    E = 208, GPa     = 0,30 
	
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Ex. 40. Enuncie e explique a 1ª. Lei da Termodinâmica quando aplicada a um corpo sólido submetido a 
carregamentos mecânicos. 
Quais foram as premissas adotadas em sala?  Justifique‐as. 
	
Ex. 41. Tendo como base um problema em estado plano de tensões e o material do tipo MELI, obtenha 
a  expressão  final  para  a  densidade  de  energia  de  deformação  (aqui  abreviada  por  DED  e 
denotada U) escrita em  função das  tensões e deformações. Estenda essa expressão para um 
problema geral 3D. 
	
Ex. 42. Explique o significado físico de: 
a. Densidade de energia de deformação (DED) ‐ U; 
b. Densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) ‐ Uv; 
c. Densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora (DEDs) ‐ Us. 
	
Ex. 43. Seja um problema genérico de  tensões/deformações 3D. Obtenha as expressões  finais para a 
densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) ‐ Uv ‐ e para a densidade de energia de 
deformação distorcional ou desviadora (DEDs) ‐ Us. 
	
Ex. 44. Se  no  problema  anterior  as  tensões  principais  no  ponto  ( 1 2 3, e      )  já  são  conhecidas, 
obtenha as expressões finais para a densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) ‐ 
Uv ‐ e para a densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora (DEDs) ‐ Us. 
	
Ex. 45. Para os estados de tensões dados abaixo, obtenha: 
a. Densidade de energia de deformação (DED) segundo a equação obtida na Questão #37; 
b. Densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) segundo a equação obtida na 
Questão #37; 
c. Densidade  de  energia  de  deformação  distorcional  ou  desviadora  (DEDs)  segundo  a 
equação obtida na Questão #37; 
d. Repita os itens a), b) e c), mas considerando as equações obtidas na Questão #40. 
 
Propriedades do material:      E = 208, GPa     = 0,30 
Estados de tensões: 
 
20 , 60 , 40 ,
T 60 , 60 , 15 , MPa40 , 15 , 40 ,
        
20 , 60 , 0 ,
T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 40 ,
        
30 , 0 , 0 ,
T 0 , 40 , 0 , MPa
0 , 0 , 70 ,
        
 
	
Ex. 46. Explique o significado de “critério de falha material para problemas estáticos”. Faça uma busca 
nos livros e/ou internet e enuncie 10 tipos diferentes destes critérios. 
	
Ex. 47. Sobre o critério de falha de Tresca, explique: 
  Página 13 de 14
a. Quem foi Henri Édouard Tresca? 
b. Qual o outro nome deste critério? 
c. Para que tipo de material este critério pode ser aplicado? 
d. Enuncie o conceito principal do critério; 
e. Coloque‐o na forma matemática. 
	
Ex. 48. Sobre o critério de falha de von Mises, explique: 
a. Quem foi Richard Edler von Mises? 
b. Quais as outras denominações deste critério? 
c. Para que tipo de material este critério pode ser aplicado? 
d. Enuncie o conceito principal do critério; 
e. Coloque‐o na forma matemática. 
	
Ex. 49. Plano octaédrico é o nome dado a qualquer uma das faces do octaedro regular gerado através 
de cortes, sobre um elemento de volume cúbico de tensões principais, por planos que possuem 
qualquer uma das direções normais unitárias  1, 1, 1 / 3   . Obtenha a relação entre a 
intensidade da tensão cisalhante nos planos octaédricos e a tensão efetiva de von Mises. 
	
Ex. 50. Para os estados de tensões dados abaixo, obtenha os coeficientes de segurança considerando 
falha material do tipo dúctil. 
 
Propriedades do material: 
  E = 208, GPa     = 0,30 
  Tensão de escoamento axial:  280, MPa. 
 
Estados de tensões: 
 
20 , 60 , 40 ,
T 60 , 60 , 15 , MPa
40 , 15 , 40 ,
        
20 , 60 , 0 ,
T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 40 ,
        
30 , 0 , 0 ,
T 0 , 40 , 0 , MPa
0 , 0 , 70 ,
        
	
Ex. 51. Para um problema de estado plano de tensões, obtenha MATEMATICAMENTE as superfícies de 
falha  material  segundo  os  critérios  de  Tresca  e  de  von  Mises.    Qual  é  o  critério  mais 
conservador.  Justifique. 
	
Ex. 52. Para os estados planos de  tensões dados abaixo, obtenha as  tensões principais e  represente 
cada um dos pontos no plano Cartesiano onde cada eixo é uma  tensão principal. Represente, 
também, as superfícies de falha de Tresca e de von Mises considerando a tensão de escoamento 
do material. Plote, também, as superfícies de falha utilizando a tensão admissível de projeto. 
 
Propriedades do material:    E = 208, GPa    � = 0,30 
  Tensão de escoamento axial:  300, MPa. 
Coeficiente de segurança:  3,0. 
  Página 14 de 14
 
Estados de tensões: 
 
 
       
1
20 , 60 , 0 ,
Ponto P :    T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
 
      
2
10 , 0 , 60 ,
Ponto P :    T 0 , 0 , 0 , MPa
60 , 0 , 80 ,
 
 
      
3
0 , 0 , 0 ,
Ponto P :    T 0 , 110 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
 
      
4
0 , 0 , 110 ,
Ponto P :    T 0 , 0 , 0 , MPa
110 , 0 , 0 ,
 
	
Ex. 53. Sobre o critério de falha de Rankine, explique: 
a. Quem foi William John Macquorn Rankine 
b. Qual o outro nome deste critério? 
c. Para que tipo de material este critério pode ser aplicado? 
d. Enuncie o conceito principal do critério; 
e. Coloque‐o na forma matemática; 
f. Represente‐o graficamente para um estado plano de tensões. 
	
Ex. 54. Para  os  estados  planos  de  tensões  dados  abaixo,  obtenha  os  coeficientes  de  segurança 
considerando falha frágil e represente os pontos de tensões na superfície de falha do material 
segundo o critério de Rankine. 
 
  Tensão de ruptura por tração:    rup tra   150, MPa. 
  Tensão de ruptura por compressão:   rup comp 500, MPa. 
Estados de tensões: 
 
 
       
1
20 , 60 , 0 ,
Ponto P :    T 60 , 60 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
 
      
2
10 , 0 , 60 ,
Ponto P :    T 0 , 0 , 0 , MPa
60 , 0 , 80 ,
 
 
      
3
0 , 0 , 0 ,
Ponto P :    T 0 , 110 , 0 , MPa
0 , 0 , 0 ,
 
      
4
0 , 0 , 110 ,
Ponto P :    T 0 , 0 , 0 , MPa
110 , 0 , 0 ,
 
	
Ex. 55. Mostre a obtenção da equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas (Eq. 12.8 do 
livro‐texto). Explique cada termo envolvido na dedução. 
	
Ex. 56. Explique as principais condições de contorno que aparecem em um problema de flexão de vigas. 
	
Resolva o Exemplo 12.1 do livro‐texto (exercício resolvido).