trabalho I I engiii Dia 02 05

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE
UBERABA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
90493 - 22 - T -
Prof. Dr. Adriano Dawison de Lima
Valor: 5,00 pontos
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ALUNO (A): ______________________________________________________________
ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS
Valor: 5,00 pontos
Atividade 1.
0,0,0a1,1,1.
2
Encontre
j x z 2
k
o trabalho
sobre a curva
rt
realizado
 t i t 2 j t 3 k
por
, de
R:29/60
Atividade 2. Encontre o trabalho realizado pela força
segmento de reta1,1 até2,3 .
Fxyi y x j
sobre o
R:25/6
Atividade 3. A força variável
F3x 4 yi4x 2 y j move
uma partícula ao

c :
 y( t ) 3t 2
,
0 t 2 ;1,0 a9,12.
Calcule o trabalho realizado se as distâncias são medidas em cm e a força é medida
em dinas.
R:440 ergs
1


F


 y


 x
2
 i




z


 y


longo
x
da
 )
curva


1
Calculamos integrais de escoamento da mesma maneira que calculamos
integrais de trabalho.
Atividade 4. O campo
Fxiz j yk .Encontre
rtcostit jsentk ;
de
o
0 t
velocidade
escoamento
1
2 . R: 2 2
de
ao
um
longo
fluído é
da hélice
Encontrando a circulação ao longo de uma circunferência.
Calculamos integrais de circulação do campo da mesma maneira que
calculamos integrais de trabalho.
Atividade 5. Encontre a circulação do campo
Fx yix j
ao longo da
circunferência
rtcostisent j , 0 t 2 .
R:
2
Teste das componentes para campos conservativos
Atividade 6. Determine se o campo vetorial é ou não conservativo.
a)
b)
c)
d)
Fx, yx yix 2 y j
Fx, y3 2xyix2 3y 2 j
Fx, y, zz 2 1i2 yz j2xz y 2k
Fx, y y i x j
Teorema:
Se Mx, y e Nx, y têm derivadas parciais primeiras contínuas em uma região
simplesmente conexa D, então a integral curvilíneac Mx, ydx Nx, ydy é
independente do caminho D se e somente se

yx .
2


M

N
Se
Mx, y, z
,
Nx, y, z
e
Px, y, z
têm derivadas parciais primeiras contínuas
em uma região simplesmente conexa
somente se :
D, então a integral curvilínea
é independente do caminho D se e
M
Y
M
z
N
z



N
X
P
x
P
Y .
Exemplo:
curvilíneac
e3 y

y 2sen x
Mostre
3xe3 y
 2 y cos xdy
que integral
é independente do caminho.
Solução
Fazendo
y e
 y 2sen x
N
x

3xe3 y 2 y cos x
Vemos que
M
y

3e
3 y 2 ysen x
N
x
Logo pelo o teorema, a integral curvilínea independe do caminho.
3

c
 M


x, y, z

dx


 N


x, y, z

dy


 P

x, y, z

dz

dx





M

 3
 y
Atividade 07. Use o teorema acima para provar
c F dr
não é independente do
caminho.
a) Fx, y4x yi 2xy3 j
b) Fx, y6x2 2xy2i2x2 5 j
c) Fx, ye xi3 e x sen y j
d)c5 ydx5xdyyz2dz
e)c2xydxx 2 z 2dy yzdz
f)ce x cos zdxxe y cos zdyxe y sen zdz
Atividade 08. Mostre quec F dr é independente do caminho determinando uma
função potencial f para F.
a) Fx, y 3x 2 y 2 i
b) Fx, y6xy2 2 yi6x2 y 2x j ;
c) Fx, y, z8xzi 1 6 yz3 j4x2 9 y 2 z 2k ;
d)
e)
f)
Fx, y, z y zix z jx yk ;
Fx, y, zy sec2 x ze xitg x je xk ;
Fx, y, z2x sen zi2 y sen z jx 2 cos z y 2 sen zk .
Teorema
Seja Fx, y Mx, yi Nx, y j contínua em uma região simplesmente conexa
aberta D, e seja C uma curva parcialmente suave em D com extremidades Ax1 , y1
e Bx2 , y2 . Se Fx, yfx, y , então
x2 , y 2
=
 f ( x, y )
= x1 , y1
4






x
3


 4
 y
3


 j
 ;


c
 M


x, y

dx


 N


x, y

dy


x
1
 , y
1


 F


 dr

 x
2
 , y
2


Atividade 09. De acordo com o teorema acima, mostre que a integral curvilínea é
independente do caminho e ache o seu valor:
a)
3, 1
b)
1, / 2
 e x senydx e x cos ydy
;
c)
 2, 1,3
 6xy3 2z 2dx 9x 2 y 2dy 4xz 1dz
d)
1, 1,2
3
2 z
 j2 ye 2 zk
a) Verifique se integral curvilíneac F dr é
independente do caminho, ache a
função potencial f para F.
b) Se F é um campo de forças, ache o trabalho realizado por F ao longo de
 0,1, a , 3, 2
qualquer curva C de
Referências –
Howard Anton, Irl Bivens; Stephen Davis – Cálculo volume II
Earl W. Swokowski – Cálculo com geometria analítica volume II
George B. Thomas – Cálculo volume II
5



1
,
2


 y
 2


 2
xy

dx




 x
 2


 2
xy

dy
 ;


0
,
0



1
,
0
,
2



4
,
0
,
3



 yz


 1

 dx




 xz


 1

dy




 xy


 1

dz
 .
Atividade 10.
 Seja
 F




y
 cos
 x

i




3
ysenx


 e




1




 2






 2





 .