5- DERIVADA Cadeia, log, exp, trigo

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Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2011 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2012 
 
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Derivada da função composta 
Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: 
u(x) = (x9+x6+1)1000 com as regras vistas até o 
momento. 
Só temos duas possibilidades, são elas: desenvolver o 
trinômio e aplicar, sucessivamente, a regra da soma 
ou escrever como produto de 1.000 polinômios e usar 
a regra do produto. 
Como ambas as possibilidades são muito trabalhosas. 
A pergunta natural é: não existe um método mais fácil 
para obtermos tal derivada? 
 
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Derivada da função composta 
a resposta a esta pergunta é sim. 
Reescrevamos a função u(x) = (x9 + x6 + 1)1000 como 
u(x) = (g ◦ f )(x) em que g(x) = x1000 e 
f (x) = x9 + x6 + 1. 
 Logo, se soubermos derivar a composta das funções o 
problema está resolvido. Para encontrar a derivada 
de uma função composta usamos um dos mais 
importantes teoremas do Cálculo chamado de regra 
da cadeia que apresentamos e demonstramos a seguir. 
 
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Derivada da função composta 
Teorema. Sejam f : I → R e g : J → R(x) tais que 
Imagem(f)⊂ J. Se f é derivável em a ∈ I e g é derivável 
em f (a), então g ◦ f é derivável em a e 
(g ◦ f )′(a) = g′(f (a)) · f ′(a) 
 
Prova: Por hipótese, existem f ′(a) e g′(b). Considere 
b = f (a). 
 
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Derivada da função composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como vale para todo número a então podemos 
generalizar (g ◦ f )′(x) = g′(f (x)) · f ′(x). 
 
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Derivada da função composta 
Exemplo 1. Consideremos a seguinte função 
F(x)=(4x2 + 1)3. Vamos obter a sua derivada f ′(x). 
Solução: 
 
 
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Derivada da função composta 
Exemplo 2. Derivar as seguintes funções usando a 
regra da cadeia: 
(a) f (x) = g(x)n 
⇒ f ′(x) = n · g(x)n−1 · g′(x) 
(b) f (x) = (x5 − 2x)3⇒ 
 
(c) g(x) = (2x2 − 1)1/2 
 
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Derivada da Função Inversa 
Derivada da Função Inversa 
Seja y=f (x) uma função que admite inversa x=f −1(y). 
Como f −1 ◦ f = Id , ou seja, f 
−1 ◦ f (x) = x, 
aplicando a regra da cadeia, temos 
( f −1 )’( f (x)) · f ′(x) = 1. 
Portanto, 
( f −1 )’( y )= 1 / f ’(x) desde que f ′(x) ≠ 0. 
Exemplo 3. Seja y = f (x) = 5x3. Obtenha f −1(40). 
(a) invertendo a função e 
(b) utilizando a regra da derivada inversa. 
 
 
 
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 Derivada das Exponencial e Logarítmica 
Considere a função f (x) = ax , 1 ≠ a > 0. Utilizando-se 
o limite exponencial fundamental 
temos que: 
 
 
 
 
Em particular, se a = e, temos: (e(x))′ = e x. 
Dada a função f (x) = u(x)v(x), usaremos a regra da 
cadeia e a derivada da função exponencial para obter 
f ′(x). Observemos que 
 
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Em particular, se f (x) = av(x) com a constante, temos 
que f ′(x) = av(x) · v′(x) · ln(a). 
 Derivada das Exponencial e Logarítmica 
 
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Exemplo 4. Determine a derivada de f (x) = (cos(x))x. 
Solução: 
 
 
Nota. Considere a função logarítmica f (x) = loga x, 
1 ≠ a > 0. Como a função logarítmica é a inversa da 
exponencial, ou seja, x = f −1(y) = a x , podemos então 
usar o resultado da derivada da função inversa para 
determinar f ′(x). Sendo assim, 
 Derivada das Exponencial e Logarítmica 
 
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Portanto, 
 
Em particular, quando f (x) = ln x, temos 
f ′(x) = Dx (ln x) =1/(x · ln e) = 1/x. 
 
Seja u(x) = logav(x), em que v(x) > 0 é uma função 
derivável. Em tal caso: 
 
 
Em particular, se a = e: (loga v(x))′ = v′(x)/v(x). 
 Derivada das Exponencial e Logarítmica 
 
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 Exercícios Propostos 
2. Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
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 Exercícios Propostos 
 3.Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
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 Derivada das Funções Trigonométricas 
Se f (x) = sen(x), então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f ’(x)= cos(x) 
 
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Se y = cos(x) e, sabendo-se que cos(x) =sen(π/2-x) 
então, utilizando-se a regra da cadeia, com 
u(x)=(π/2-x), temos: 
y′ = u′(x) · cos(u(x)) = −cos(π/2-x)=-sen(x) 
 
Se y = tg(x), sabendo que tg(x) =sen(x)/cos(x), então, 
utilizando-se a regra da derivada do quociente, temos: 
y′ =[cos2(x) + sen2(x)]/cos2(x) = sec2(x). 
 Derivada das Funções Trigonométricas 
 
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Logo, se: 
f (x) = cossec(x) ⇒ f ′(x) = −cossec(x) · cotg(x) 
f (x) = sec(x) ⇒ f ′(x) = sec(x) · tg(x) 
f (x) = cotg(x)⇒ f ′(x) = −cossec2(x) 
Verifique! 
 Derivada das Funções Trigonométricas 
 
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 TABELA DE DERIVADAS 
 
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 TABELA DE DERIVADAS 
 
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 Exercícios Propostos 
4. Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
 
 
Solução: 
 
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 Exercícios Propostos 
5. Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
 
Solução: 
 
 
6. Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
 
 
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 Exercícios Propostos 
Solução: 
 
 
 
 
7. Derive as seguintes funções: 
 
 
 
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 Derivadas 
AGORA É A SUA 
VEZ BONS 
ESTUDOS 
 
24 
 
[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São 
Paulo: LTC, 2001. 
 
[2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 
8588639068. 
 
[3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson 
Learning, 2005. ISBN: 8522104794. 
 
[4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 
v.1. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
25 
 
[5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São 
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. 
 
[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. 
Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023. 
 
[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com 
aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 
9788521614333. 
 
[8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1. 
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 
 
. 
 
 
Referências Bibliográficas