remat flx desviada exame set2015

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I 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
 
FLEXÃO DESVIADA 
EXAME SETEMBRO/2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO CONSIDERANDO A SEGUINTE CONVENÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES 
6kN
4kN/m
1,60 m
4kN/m
6kN
X 
M
 Y 
M
 
Y
Y 
X
X σ II −=
 
G
y
x
+
+
My+
Mx+
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
FLEXÃO DESVIADA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/5 EXAME SET/2015 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
ENUNCIADO 
Considere o pilar metálico com 1,60 m de altura representado na Figura 1, encastrado na base e com 
secção transversal Z cujas características se indicam na Tabela abaixo. 
O carregamento do pilar é constituído por uma carga uniformemente distribuída de 4 kN/m (valor 
característico) e uma força concentrada no seu topo de 6 kN (valor característico), sendo o plano de 
solicitação baricêntrico (ver Figuras 1 e 2). 
a) Para a secção do pilar com maiores esforços de flexão, determine os momentos atuantes MX e MY 
referentes aos eixos principais centrais de inércia e represente-os graficamente. 
b) Calcule as máximas tensões normais de tração e de compressão a atuar na secção transversal da 
alínea anterior. 
c) Considerando um fator de segurança de 1.5, verifique se o perfil Z poderá ser realizado em aço 
S275. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA - PERFIL Z 
Área 
(cm2) 
I a 
(cm4) 
I b 
(cm4) 
I ab 
(cm4) 
27,5 1060 204 - 349 
 
 
 
 
 
 
6kN
4kN/m
1,60 m
4kN/m
6kN
Figura 1 
Figura 2 
a
b
7 cm
1,1 cm
6,45
8 cm
8 cm
6,45
G
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
FLEXÃO DESVIADA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/5 EXAME SET/2015 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
RESOLUÇÃO 
Alínea a) 
 
• Posição do centro de gravidade (ver figura) 
 
• Momentos de inércia 
 cm 349 
 cm 1060 
 cm 204 
4
(tabela) ab YX 
4
(tabela) a Y 
4
(tabela) b X 
GG
G
G
=−=
==
==
II
II
II
 
 
• Eixos e Momentos Principais Centrais de Inércia 
2
XY
2
YX
YX
1 4 )(2
1
 
2
 
 III
II
I +−+
+
= 
48-422
1 m 101184,254 cm 1184,254 349 4 1060) (2042
1
 
2
1060 204
 ×==×+−++=I 
 
2
XY
2
YX
YX
2 4 )(2
1
 
2
 
 III
II
I +−−
+
= 
48-422
2 m 1079,746 cm 79,746 349 4 1060) (2042
1
 
2
1060 204
 ×==×+−−+=I 
 
o
19,597 
1060 204
349 2
 arctg 
2
1
 
 
 2
 arctg 
2
1
 p
YX
XY
p =





−
×
−=α⇒






−
−=α II
I
 
 




×==
×==
⇒⇒=>=
48-
1Y
48-
2X
Y1
4
X
 4
Y
m 101184,254 
m 1079,746 
 de próximo mais cm 204 cm 1060 
GGG II 
II 
IIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yG
8 cm8 cm
G
xG
6.45 cm
6.45 cm
yG
G
xG
2=X
1=Y
19,597°
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
FLEXÃO DESVIADA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/5 EXAME SET/2015 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
• Momentos atuantes na secção mais esforçada 
A secção com os maiores esforços será aquela onde atuam os momentos máximos, ou seja, a secção 
junto ao encastramento. 
 
Secção do encastramento: 
kNm ,609 1,606 M 
kNm ,125 
2
1,60
4 M 
G
G
y 
2
x 





−=×−=
=×=
 
 
 
kNm ,76110 597,19 cos 9,60 597,19 sen 5,12 M 
kNm ,6041 597,19 sen 9,60 597,19 cos 12,5 M 
Y 
X 




−=×−×−=
=×−×=
oo
oo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alínea b) 
• Expressão das tensões 
 X 
101184,254
10,761
 Y 
1079,746
1,604
 X 
M
 Y 
M
 
8-8-
Y
Y 
X
X σσ
×
−
−
×
=⇒−= II 
Analisando os sentidos dos momentos e a anti-simetria da secção transversal conclui-se que a tensão 
máxima de tração tem o mesmo valor que a tensão máxima de compressão e ocorrem respetivamente nos 
pontos A e C (ver figura abaixo). Para confirmar, vamos calcular as tensões a atuar nos pontos A, B, C e D. 
• Coordenadas dos pontos A, B, C e D no sistema de eixos (X; Y) 
 
y
x
 
19,597 cos 19,597 sen
 19,597 sen 19,597 cos 
 
Y
 X 
G
G








×








−
=








oo
oo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.55 cm
6.45 cm
yG
G
xG
X
Y
19,597°
A
C
B
D
8 cm8 cm
0.55 cm
6.45 cm
yG
G
xG
X
Y
19,597°
yG
G
xG
X
Y
19,597°
MY = - 9,60kNmG
MX = 5,12kNmG
MX = 1,644kNm
MY = - 10,761kNm
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
FLEXÃO DESVIADA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/5 EXAME SET/2015 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 




==
==
⇒








×








−
=








m 0,03393 cm 3,393 Y 
m 0,09700 cm 9,700 X 
 
,456
8
 
19,597 cos 19,597 sen
 19,597 sen 19,597 cos 
 
Y
 X 
A
A
A
A
oo
oo
 
 




−=−=
==
⇒








−
×








−
=








m 0,03201 cm 3,201 Y 
m 0,07352 cm 7,352 X 
 
,550
8
 
19,597 cos 19,597 sen
 19,597 sen 19,597 cos 
 
Y
 X 
B
B
B
B
oo
oo
 
 




−=−=
−=−=
⇒








−
−
×








−
=








m 0,03393 cm 3,393 Y 
m 0,09700 cm 9,700 X 
 
,456
8
 
19,597 cos 19,597 sen
 19,597 sen 19,597 cos 
 
Y
 X 
C
C
C
C
oo
oo
 
 




==
−=−=
⇒







 −
×








−
=








m 0,03201 cm 3,201 Y 
m 0,07352 cm 7,352 X 
 
,550
8
 
19,597 cos 19,597 sen
 19,597 sen 19,597 cos 
 
Y
 X 
D
D
D
D
oo
oo
 
 
 
 
• Tensão no ponto A 
kPa 633 156 0,097 
10 1184,254
10,761
 0,03393 
10 79,746
,6041
 
8-8-A
σ =×
×
−
−×
×
= 
 
• Tensão no ponto B 
kPa 607 2 0,07352 
10 1184,254
10,761
 0,03201)( 
10 79,746
,6041
 
8-8-B
σ =×
×
−
−−×
×
= 
 
• Tensão no ponto C 
kPa 633 156 0,097)( 
10 1184,254
10,761
 0,03393)( 
10 79,746
,6041
 
8-8-C
σ −=−×
×
−−−×
×
= 
 
• Tensão no ponto D 
kPa 607 2 0,07352)( 
10 1184,254
10,761
 0,03201 
10 79,746
,6041
 
8-8-D
σ −=−×
×
−
−×
×
= 
 
Conclusão: 
Tensão de tração máxima: tico)caracterís (valor kPa 633 156 Aσ = 
Tensão de compressão máxima: tico)caracterís (valor kPa 633 156 Cσ = 
 
 
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
FLEXÃO DESVIADA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/5 EXAME SET/2015 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Alínea c) 
 
Máxima tensão a atuar na secção transversal: tico)caracterís (valor kPa 633 156 Kσ = 
Máxima tensão de cálculo a atuar na secção transversal: kPa 950 234 kPa 633 156 1,5 1,5 kEd σσ =×=×= 
 
Tensão resistente do aço S275: MPa 275 tracRd 
comp
Rd 
σσ == 
Máxima tensão de cálculo atuante : MPa 235 compressãoEd, traçãoEd, σσ == 
 MPa 275 MPa 235 Rd Ed σσ =<= 
 
 
Conclusão: Poderá ser utilizado o aço S275.