capitulo_7_-_derivadas_de_funcoes_de_varias_variaveis

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Derivadas de funções de várias variáveis 
 
Funções de duas ou três variáveis 
 
Se z = f(x, y), f:  é uma função de duas variáveis. 
Se w = f(x, y, z), f:  é uma função de três variáveis. 
 
Derivadas parciais 
 
Considere a curva C de intersecção do gráfico de z = f(x, y) 
com o plano vertical . A derivada parcial de f em 
relação à x em ( , ) é a inclinação da reta tangente a C 
em . Representamos por ( , ) ou 
 
 
( , ). 
 
Para calcular , derivamos z = f(x, y) tratando y como 
constante. 
 
Analogamente, temos 
 
Derivadas parciais de ordens mais altas 
As derivadas parciais de segunda ordem são 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Clairant 
Se e são contínuas, então = . 
 
Observação 
Para derivadas de ordem mais alta decorre, por exemplo, 
que 
 = = . 
 
Curvas de nível, gradiente e derivada direcional 
 
Definição (curva de nível) 
Seja z = f(x, y). A curva de nível C de f é a curva definida por 
f(x, y) = C. 
 
Definição (superfície de nível) 
Seja w = f(x, y, z). A superfície de nível C de f é a superfície 
definida por f(x, y, z) = C. 
 
Definição (gradiente) 
O gradiente de z = f(x, y) é f(x, y) = ( , ). 
O gradiente de w = f(x, y, z) é f(x, y, z) = ( , , ). 
 
Proposição (derivada direcional) 
A derivada direcional de f no ponto na direção do vetor 
unitário é 
 
 
  
 
Observações 
Se f(P)  , é um vetor unitário e  o ângulo entre esses 
vetores, então 
 
 
   
 
A direção e sentido da maior taxa de crescimento de f é 
f(P) e essa taxa vale  . 
A direção e sentido da menor taxa de crescimento de f é 
–f(P) e essa taxa vale  . 
 
Proposição 
f(P) é ortogonal à curva de nível de z = f(x, y) que passa 
por P. 
 
f(P) é ortogonal à superfície de nível de w = f(x, y, z) que 
passa por P. 
 
Definição (mapa de contornos) 
Um mapa de contornos de f é um conjunto curvas de nível 
f(x,y) = C, para valores igualmente espaçados de C. 
 
Observações 
As curvas de nível de f ficam mais próximas na região em 
que o gráfico de f for mais íngreme. Essa é a direção, a partir 
de P, que aponta f(P). 
 
Aproximação linear e plano tangente 
 
Plano tangente a z = f(x,y) 
A equação do plano tangente a z = f(x,y) em P( , , ), 
com é 
 
 
Aproximação linear de z = f(x,y) 
A aproximação linear local L de z = f(x,y) em P( , ) é a 
altura do plano tangente a f em P. 
 
 
Plano tangente a f(x,y,z) = C 
A equação do plano tangente a f(x,y,z) = C em P( , , ) 
é 
 
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Regra da Cadeia 
 
Se z = f((x(t), y(t)), então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se z = f(x(u,v), y(u,v)), então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 
Definição (ponto crítico) 
Dizemos que P( , ) é um ponto crítico de f se (P) = 0 e 
 (P) = 0 ou pelo menos uma das derivadas parciais (P) e 
 (P) não existe. 
 
Teste da derivada segunda 
Seja P um ponto crítico de f e considere 
 
D = 
 
 
 
 
 
 
a) Se D > 0 e > 0, então f tem mínimo relativo em P. 
b) Se D > 0 e < 0, então f tem máximo relativo em P. 
c) Se D < 0, então f tem um ponto de sela em P. 
d) Se D = 0, nada se conclui. 
 
Multiplicadores de Lagrange 
O máximo (ou mínimo) relativo de uma função z = f(x, y), 
sujeito à restrição g(x, y) = 0 ocorre num ponto P tal que 
 f (P)= g(P).