ANÁLISE DE TENSOES E DEFORMAÇÕES

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25/10/2018
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Cabo Frio, 2018
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – UVA
DEPARTAMENTO D ENGENHARIA CIVIL
CONTEÚDOS ABORDADOS
1 Estado duplo e triplo de tensões; tensões em plano qualquer; 
tensões principais; cisalhamento puro
2 Análise de deformações; lei de Hooke; deformações num plano qualquer; 
deformações principais
3 Círculo de Mohr
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OBJETIVOS
• Compreender o comportamento de sólidos sob estados axiais, biaxiais e 
triaxiais de tensões;
• Determinar as tensões principais atuantes num corpo;
• Construir Círculo de Mohr de tensões;
• Compreender o comportamento de corpos sob comportamento plano de 
deformação;
• Determinar o as tensões atuantes num sólido mediante as relações da Lei 
de Hooke Generalizada.
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APLICAÇÕES
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ESTADO DE TENSÃO
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
• Tensão normal (𝜎𝑒 )
“e” é o eixo de direção de aplicação da tensão normal
• Tensão de cisalhamento (𝜏𝑖𝑗 )
Sendo:
i= denota a face de aplicação da tensão
j=indica a direção da tensão na face 
ex.: 𝜏𝑥𝑦 a tensão atua na face x e na direção de y.
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ESTADO DE TENSÃO
Convenção de sinais 
Assumirá o valor positivo conforme a direção positiva de cada eixo (fig. A)
Considerando as relações de equilíbrio, tem-se que:
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A tensão de 
cisalhamento será 
positiva quando as 
direções associadas 
à tensão forem “++ 
ou –” e NEGATIVAS 
quando as direções 
forem “mais menos 
ou menos mais”
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ESTADO DE TENSÃO
Tensões em seções inclinadas
Considere todo o estado tensional da seção inclinada ( figura c ) 
apresentada a seguir:
A relação pode ser reescrita como:
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ESTADO DE TENSÃO
Tensões em seções inclinadas
Montando o diagrama de corpo livre de uma das faces dos sólido anteriores 
montando a relação entre as tensões em função do ângulo, tem-se que:
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EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO
As equações anteriormente apresentadas podem ser reescritas
considerando as seguintes identidades trigonométricas:
Substituindo na equação anterior, tem-se que:
ESTADO DE TENSÃO
Equações de transformação 
A tensão 𝜎𝑦1 pode ser obtida substituindo 𝜃 + 90° na equação:
Assim, a relação anterior pode ser reescrita como:
Estando o corpo em EPT a relação entre tensões fica:
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ESTADO DE TENSÃO
Casos especiais
Aplicando o processo de transformação para uma situação de tensão unixial, 
tem-se que:
Considerando uma situação de cisalhamento puro:
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ESTADO DE TENSÃO
Estado duplo de tensões
• Comuns em muitas estruturas reais ( dutos, tubos de parede fina,etc)
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TENSÕES PRINCIPAIS
As máximas e mínimas tensões são denominadas de tensões principais;
• São importantes para a definição dos projetos dos elementos estruturais
Seja a equação de tensões a seguir:
Derivando a equação de tensões em função de 𝜃, tem-se que:
𝜃𝑝 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
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TENSÕES PRINCIPAIS
Usando da representação gráfica e de manipulações matemáticas encontra-se as 
seguintes relações:
A relação entre as tensões maiores e menores 𝜎1𝑒𝜎2, respectivamente são:
No plano principal, a tensão de cisalhamento será zero!
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ÂNGULOS PRINCIPAIS
Os planos em que estas tensões principais ocorre podem ser obtidas 
segundo:
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ESTADO TRIPLO DE TENSÃO PRINCIPAL
• Situação mais completa de estado tensional
• Também conhecida como tensão hidrostática
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CÍRCULO DE MOHR 
Tensões no plano 
• Representação gráfica do estado tensional;
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CÍRCULO DE MOHR
Construindo um círculo de Mohr:
1) Desenhe as coordenadas com 𝜎𝑥1 nas abcissas e 
𝜏𝑥1𝑦1 nas ordenadas;
2) Loque o centro C do círculo com o ponto 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 e 
𝜏𝑥1𝑦1 = 0;
3) Represente o ponto A como a condição de tensão na 
Face x, plotando as coordenadas da seguinte maneira:
𝜎𝑥1 = 𝜎𝑥 e 𝜏𝑥1𝑦1 = 𝜏𝑥𝑦
Atentar que no ponto A, 𝜃 = 0
4) Locar o ponto B representando a tensão na face y do 
elemento plotando 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑦 𝜏𝑥1𝑦1 = −𝜏𝑥𝑦
5) Desenhar a linha entre os pontos A e B. A linha deverá 
passar pelo centro C, representando o estado de tensão 
no plano 90°
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CÍRCULO DE MOHR
EXEMPLO: o PONTO DE de uma superfície pressurizada de um cilindro
sujeito a um estado biaxial de tensões de valores: 𝜎𝑥 = 90𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝑦 =
20𝑀𝑃𝑎 . Use o círculo de Mohr para determinar as tensões agindo num
ele,mento inclinado em 30°
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CÍRCULO DE MOHR
Resolução 
O ponto A representa as tensões 
em X na face em que 𝜃 = 0
No ponto B
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CÍRCULO DE MOHR
Exemplo:
Calculando o Raio pela formulação 
apresentada:
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CÍRCULO DE MOHR
Exemplo:
Considerando 𝜃 = 30°, 2𝜃 = 60°
A coordenada no ponto D será:
No ponto D´:
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CÍRCULO DE MOHR
EXEMPLO
A representação ficaria da seguinte maneira:
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LEITURA RECOMENDADA
• HIBBELER, Russell C. Resistência dos
materiais. 7ª edição. São Paulo: Prentice-Hall,
2006.
Capítulo 9 – Transformação de tensão
Capítulo 10 – Transformação de
deformação (exceto Teoria das falhas).
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DÚVIDAS?
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