8 Séries Uniformes de Pagamento

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Elementos de Análise Financeira
Fluxos de Caixa – Séries Uniformes de 
Pagamento
Profa. Patricia Maria Bortolon
Profa. Patricia Maria Bortolon
Fonte: Capítulo 4 - Zentgraf (1999) – Matemática Financeira 
Objetiva – 2ª. Ed. – Editoração Editora – Rio de Janeiro - RJ
Profa. Patricia Maria Bortolon
Séries de Pagamentos - Definição
• Definição: Uma série de pagamentos será toda sequência 
finita ou infinita de entradas ou saídas de caixa – que 
corresponderão aos recebimentos ou pagamentos, e 
serão chamados termos da série ou simplesmente 
prestações – com um dos seguintes objetivos:
– Amortização de um empréstimo
– Capitalização de um montante
– Geração de uma renda perpétua
Fonte: Zentgraf (1999) – Matemática Financeira Objetiva – Cap. 4
Fluxos Típicos
• Amortização • Capitalização
Profa. Patricia Maria Bortolon
meses
$ 1000
$ 300
$ 500
$ 300
$ 600
0 2 7 8 11
meses
$ 3000
$ 300
$ 500
$ 300
$ 600
2 7 8 11 12
0
$ 400
$ 200
4
Profa. Patricia Maria Bortolon
Séries de Pagamentos - Classificação
• Periodicidade
– Periódicos
– Não periódicos
• Quanto ao valor das prestações
– Uniforme
– Não uniforme (subgrupos: uniformemente crescente ou 
decrescente)
• Quanto ao no. de prestações
– Infinitas = perpetuidade
– Finitas
Fonte: Zentgraf (1999) – Matemática Financeira Objetiva – Cap. 4
Profa. Patricia Maria Bortolon
Séries de Pagamentos - Classificação
• Datas dos Pagamentos
– Postecipadas
– Antecipadas
– Diferidas
Fonte: Zentgraf (1999) – Matemática Financeira Objetiva – Cap. 4
P
A1 A2
P
A1 A2
F
A1 A2
F
A1 A2
Amortização
Amortização
Capitalização
Capitalização
P coincide
com A1
F coincide com
a última prestação
P
A1 A2
0
6 7
Profa. Patricia Maria Bortolon
Séries de Pagamentos - Classificação
• Como transformar postecipada em antecipada?
Fonte: Zentgraf (1999) – Matemática Financeira Objetiva – Cap. 4
Pp
A1 A2
0 1 2 3
A3
Pa
0 1 2
Pa = Pp . (1 + i)
Profa. Patricia Maria Bortolon
Soma de uma PG
1
1
2
111 ...
 nn qaqaqaaS
1,...321
1


naaaaaS n
n
i
in
n
n qaqaqaqaqS 1
3
1
2
11 ...
Multiplicando ambos os lados por q:
Fazendo (1) – (2):
Colocando os termos em evidência:
n
nn qaaqSS 11 









q
q
aSqaSq
n
n
n
n
1
1
)1()1( 11
Soma dos n primeiros termos
de uma PG
E quando a série é infinita?
• Precisamos assumir que q < 1
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑒𝑥: 𝑞 = 0,5 =
1
2
, 𝑑𝑎í, 𝑞𝑛 =
1
2
𝑛
=
1𝑛
2𝑛
=
1
2𝑛
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞ ⇒ 𝑞𝑛 → 0
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑎1
1 − 𝑞𝑛
1 − 𝑞
𝑆𝑛𝑛→∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
, 0 < q < 1
0
Aplicaremos estas ferramentas em séries postecipadas uniformes.
Perpetuidades
Profa. Patricia Maria Bortolon
P
A1 A2 A3 A4 AnA5
∞
𝑃 =
𝐴
(1 + 𝑖)
+
𝐴
1 + 𝑖 2
+
𝐴
1 + 𝑖 3
+⋯ (a)
𝑃 = 𝐴.
1
(1 + 𝑖)
+
1
1 + 𝑖 2
+
1
1 + 𝑖 3
+⋯ (b)
O que está entre [ ] é a soma de uma PG em que 𝑎 =
1
1+𝑖
e q =
1
1+𝑖
𝑆𝑛𝑛→∞ =
1
1 + 𝑖
1 −
1
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1
1 + 𝑖
=
1
𝑖
(c)
Perpetuidades
Profa. Patricia Maria Bortolon
P
A1 A2 A3 A4 AnA5
∞
Retornando (c) para (b)
𝑆𝑛𝑛→∞ =
1
1 + 𝑖
1 −
1
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1
1 + 𝑖
=
1
𝑖
(c)
𝑃 =
𝐴
𝑖
Valor presente de uma Perpetuidade Uniforme Postecipada
Exemplo 1
• Aposentadoria: Suponha que as taxas de juros mensais para 
aplicações em renda fixa fiquem estáveis em 0,5%a.m. daqui em 
diante. Quanto precisaríamos depositar hoje em uma aplicação 
financeira que rendesse essa taxa, se, a partir do próximo mês, e 
para o resto de nossas vidas, desejássemos uma renda de $1.500 
por mês? Interprete o resultado.
– Solução: foram dados A = 1.500; i = 0,5%a.m. e queremos saber o valor de P em t = 
0.
– Interpretação: $300.000 aplicados à taxa de 0,5% a.m., rendem, exatos $1.500 de 
juros mensais; como o valor A de nossa retirada será equivalente aos juros 
recebidos, o principal P não será alterado, garantindo outros $1.500 no mês 
seguinte. O processo se repetirá indefinidamente, desde que o principal P nunca seja 
modificado!
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃 =
1500
0,005
= 300.000
Exemplo 2
• Aluguel: Você adquiriu um imóvel por $200.000 e acredita que, já 
no próximo mês, será alugado por $1.200 mensais. Determine 
qual a taxa mensal de juros para seu investimento admitindo que o 
valor hoje cobrado de aluguel mantenha-se estável por prazo 
indefinido, e que seja sua ideia sempre manter o imóvel alugado.
– Solução: foram dados A = 1.200 (a partir de t=1); P = 200.000 e queremos saber o 
valor de i.
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃 =
𝐴
𝑖
 𝑖 =
𝐴
𝑃
⇒ 𝑖 =
1200
200.000
= 0,006 = 0,60%𝑎.𝑚.
Exemplo 3
• 1ª. Retirada Postecipada: Voltando ao exemplo 1 determine o 
valor a ser depositado hoje, sabendo que a primeira retirada que 
você irá fazer será ao final do 11º. mês. Suponha que durante todo 
este prazo as taxas continuem estáveis em 0,5% a.m.
– Solução: decompor o diagrama acima em dois diagramas menores.
Profa. Patricia Maria Bortolon
∞
11
P = ?
$1.500
i = 0,5% a.m.
∞
11
$1.500
P10
10
10
P = ?
P10
DFC 1
DFC 2
Exemplo 3
• Resolução do DFC1: considerando que a escala de tempo em um DFC é apenas 
relativa, poderemos transformá-la de forma que t = 10 passe para t = 0, t = 11 
para t = 1 e assim sucessivamente. Temos portanto um DFC Padrão onde A = 
$1.500 (a partir de t = 11) e i = 0,5%a.m.. Como já resolvido no exemplo 1 
encontraremos P = $300.000
• Resolução do DFC2: temos agora um DFC onde F = P10 = $300.000; i = 
0,5%a.m.; n = 10 meses; P = ? Utilizando o cálculo do valor presente 
chegaremos a:
• Note que se chamarmos de n o prazo de carência de 10 meses, poderemos 
estabelecer relação direta entre A, i e P, fazendo:
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃 =
300.000
(1 + 0,005)10
= 285.404,38
𝑃 =
𝐴
𝑖
×
1
1 + 𝑖 𝑛
Séries Uniformes Finitas – Cálculo do Principal e 
Prestação
• Exemplo 4: quanto precisaríamos depositar hoje em uma conta 
aplicação financeira que renda 0,5% a.m. para podermos fazer 10 
retiradas mensais de $1.500, já a partir do próximo mês?
Profa. Patricia Maria Bortolon
1
P = P1 – P2
0
10
i = 0,5% a.m.
$ 1.500
P1
1
0
10
i = 0,5% a.m.
∞
$ 1.500
1
P2
0
i = 0,5% a.m.
∞
11 12
$ 1.500
𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2
𝑃 =
𝐴
𝑖
−
𝐴
𝑖
×
1
1 + 𝑖 𝑛
𝑃 =
𝐴
𝑖
1 −
1
1 + 𝑖 𝑛
𝑃 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
𝐴 = 𝑃
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
Valor presente de uma 
Série Uniforme 
Postecipada
Prestação de uma 
Série Uniforme 
Postecipada
• i na forma decimal
• n inteiro
• i e n na mesma unidade de tempo
P1 – P2 = 300.000 – 285.404,38 = 14.595,62
Séries Uniformes Finitas – Cálculo do Principal e 
Prestação
• No exemplo 4:
• Exemplo 5: Um financiamento no valor de $1.500 deverá ser quitado em 10 
prestações mensais e sucessivas, a primeira com vencimento 30 dias após a 
liberação dos recursos. Calcule o valor da prestação admitindo que a financeira 
esteja cobrando 120% a.a. de juros.
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐴 = 1.500 𝑖 = 1,00% 𝑎.𝑚. 𝑒 𝑛 = 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃 =
1500
0,005
× 1 −
1
1 + 0,005 10
= 14.595,62
𝑖 = 1 + 1,2 
1
12 − 1 × 100 = 6,79% 𝑎.𝑚.
𝑃 = $1.500; 𝑖 = 6,79%𝑎.𝑚; 𝑛 = 10
𝐴 = 𝑃
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝐴 = 1.500
0,06791 + 0,0679 10
1,0679 10 − 1
= 211,51
Séries Uniformes Finitas – Cálculo do Principal e 
Prestação
• Exemplo 6: Refaça o exemplo anterior admitindo-se que a 
primeira prestação seja dada como entrada.
– Solução: Se a primeira prestação A foi dada como entrada, é sinal que coincidirá 
com o principal P. Nestes casos a série será antecipada, assim;
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐴𝑝 = $211,51; 𝑖 = 6,79%𝑎.𝑚. ; 𝐴𝐴 =?
𝐴𝐴 =
211,51
1,0679
= $198,06
Séries Uniformes Finitas – Cálculo do Montante e 
Prestação
Profa. Patricia Maria Bortolon
F
A A A A A A
n0
𝐹
(1 + 𝑖)𝑛
=
𝐴
(1 + 𝑖)
+
𝐴
1 + 𝑖 2
+
𝐴
1 + 𝑖 3
+⋯ +
𝐴
1 + 𝑖 𝑛
𝐹
(1 + 𝑖)𝑛
= 𝐴
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
𝐴 = 𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
Valor Futuro de uma Série 
Uniforme Postecipada
Prestação de uma Série 
Uniforme Postecipada a partir 
do Montante
Séries Uniformes Finitas – Cálculo do Montante e 
Prestação
• Exemplo 7: No último ano, a cada dois meses você depositou 
$500 em uma poupança programada, que rendeu 1,5% a.m. a 
título de juros e correção. Se hoje foi seu sexto e último depósito, 
calcule qual o valor total acumulado em sua aplicação.
Profa. Patricia Maria Bortolon
F=?
500 500 500 500 500 500
bim0
i = 1,5% a. m.
𝑖 = 1 + 0,015 2 − 1 × 100 = 3,0225% 𝑎. 𝑏.
𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
𝐹 = 500
1 + 0,030225 6 − 1
0,030225
= $3.236,03
Expressões para o número de prestações
• A partir do montante e prestação:
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
𝐹 × 𝑖
𝐴
+ 1 = 1 + 𝑖 𝑛 (log )
𝑙𝑜𝑔
𝐹 × 𝑖
𝐴
+ 1 = 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔
𝐹 × 𝑖
𝐴 + 1
𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)
Expressões para o número de prestações
Profa. Patricia Maria Bortolon
• A partir do principal e prestação:
𝑃 =
𝐴
𝑖
1 −
1
1 + 𝑖 𝑛
=
𝐴
𝑖
−
𝐴
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
𝐴
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
=
𝐴
𝑖
− 𝑃 ⇒
𝐴
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
=
𝐴 − 𝑃 × 𝑖
𝑖
⇒
𝐴
𝐴 − 𝑃𝑖
= 1 + 𝑖 𝑛 (log )
𝑛𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑖 = 𝑙𝑜𝑔
𝐴
𝐴 − 𝑃𝑖
𝑛𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑖 = −𝑙𝑜𝑔
𝐴 − 𝑃𝑖
𝐴
𝑛 = −
log 1 −
𝑃 × 𝑖
𝐴
log(1 + 𝑖)
Expressões para o número de prestações
Profa. Patricia Maria Bortolon
• Exemplo 8: quantas prestações bimestrais e iguais a $500 serão 
necessárias para a formação de um montante de $3.236,03? 
Considere uma taxa mensal de 1,50% a.m. e a última prestação 
coincidente com a data em que os $3.236,03 estarão disponíveis.
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔
𝐹 × 𝑖
𝐴 + 1
𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔
3.236,03 × 0,030225
500,00
+ 1
𝑙𝑜𝑔(1 + 0,030225)
= 6
Exemplos Aplicados às Séries
Periódicas Uniformes
Profa. Patricia Maria Bortolon
Avaliação dos crediários “padrão”
• Exemplo 9: um indivíduo dispõe de uma aplicação financeira que rende-lhe 
aproximadamente 5,00%a.m. Ao tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por 
$1.000, o vendedor lhe oferece a possibilidade de pagá-lo em 3 prestações mensais no 
valor de $310,00 a primeira vencendo daqui a 30 dias. Admitindo que não precise ser 
dada nenhuma entrada e que à vista haja um desconto de 20,00% sobre o preço 
anunciado, valerá a pena financiar a compra?
• Há 3 formas de análise:
– Análise pela taxa de juros
– Comparação entre a prestação e a retirada periódica da aplicação
– Determinação do valor atual do financiamento
Profa. Patricia Maria Bortolon
$800
$300 $300 $300
i = ?
Avaliação dos crediários “padrão”
• Análise pela taxa de juros
– Somente será compensador comprar a prazo se a taxa de juros 
embutida no financiamento for inferior à taxa da aplicação 
financeira, pois desta forma estaríamos recebendo mais juros 
(na aplicação) do que pagando (no financiamento).
– A partir do excel ou calculadora financeira: A = 310; P = 800; 
n = 3
– Excel: TAXA(nper, pgto, vp, [vf], [tipo], [estimativa])
– =TAXA(3;310;-800) = 7,92% a.m.
– Como iaplic = 5% a.m. é menor que ifinanc = 7,92% a.m. a 
melhor opção será o pagamento à vista
Profa. Patricia Maria Bortolon
Avaliação dos crediários “padrão”
• Comparação entre a prestação e a retirada periódica da 
aplicação
– Consideremos que o valor a ser financiado estará investido na 
aplicação financeira. A compra a prazo será vantajosa se a 
retirada periódica da aplicação for superior ao valor da 
prestação proposta pelo vendedor.
– A partir do excel ou calculadora financeira: P = 800; n = 3; i = 
5,00% a.m.
– 𝐴 = 800,00 ×
0,05×1,053
1,053−1
= 293,77
– Excel: PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
– = PGTO(0,05;3;-800)=293,77
– Como Aaplic = 293,77 é menor que Afinanc = 310,00 a melhor 
opção será a compra à vista
Profa. Patricia Maria Bortolon
Avaliação dos crediários “padrão”
• Determinação do valor atual do financiamento
– O valor de cada prestação é trazido à data zero, utilizando-se 
como taxa o custo de oportunidade do cliente (que pode ser a 
taxa que ele recebe em suas aplicações).
– O valor obtido no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser 
investido hoje pelo cliente, de forma a obter os recursos 
necessários para a liquidação do investimento.
– Sob este enfoque, a compra a prazo somente será vantajosa se 
o valor atual do financiamento for inferior ao preço à vista.
– A = 310,00; n = 3; i = 5,00% a.m.
– VP(taxa, nper, pgto, [vf], [tipo]) = VP(0,05;3;-310;;0) = 
844,21
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃 =
𝐴
𝑖
1 −
1
1 + 𝑖 𝑛
=
310
0,05
1 −
1
1 + 0,05 3
= 844,21
Avaliação dos crediários “padrão”
• Determinação do valor atual do financiamento
– ...
– Como o preço do som hoje ($800,00) é inferior ao valor 
presente do financiamento Pfinanc ($844,21) é superior ao preço 
do som hoje será preferível adquiri-lo à vista
Profa. Patricia Maria Bortolon
• Resumo dos critérios para a compra à vista – ótica do 
comprador
Profa. Patricia Maria Bortolon
Taxa de juros da aplicação
5,00% a.m.
<
<
Taxa de Juros do Financiamento
7,92% a.m.
Retirada Periódica
$293,77
<
<
Prestações do Financiamento
$310,00
Preço à Vista
$800,00
<
<
Valor Presente do Financiamento
$844,21
Obs: os critérios conduzem ao mesmo resultado desde que a comparação entre a compra à
vista ou à prazo se refira às condições em uma mesma loja. Para condições em lojas distintas
ou mesmo planos diferentes em uma mesma loja, o melhor critério para comparação é o
Terceiro (avaliação dos preços na data zero), já que a comparação pelos outros dois critérios
somente será adequada se os valores financiados e o número de prestações forem idênticos. 
• Exemplo 10: e se em outra loja o som fosse oferecido por $870,00 
à vista ou por 6 prestações mensais de $145,00 (a primeira dada 
como entrada)... Qual a melhor opção de compra, considerando as 
diferentes alternativas em cada uma das lojas?
– Solução: se considerarmos apenas as alternativas desta loja fica claro que o 
melhor é a compra a prazo pois a taxa de juros embutida é nula ($870,00 = 
6 x $145,00). Para definir entre as duas lojas a comparação não pode ser 
feita pelo valor das prestações já que há diferenças na quantidade de 
prestações e nas datas de pagamento. Adotando o critério do valor presente 
o seguinte diagrama deve ser resolvido:
Profa. Patricia Maria Bortolon
P = ?
$145 $145 $145
i = 5% a.m.
$145 $145 $145
0 1 2 3 4 5 6
• VP(taxa, nper, pgto, [vf], [tipo])
• =VP(0,05;6;-145;;1) = 772,77
• Dado que o valor presente desta segunda loja ($772,77) é inferior 
ao preço à vista da loja do exemplo anterior ($800,00), a melhor 
opção será a compra a prazo na segunda loja.
Profa. Patricia MariaBortolon
𝑃 =
145,00
0,05
1 −
1
1 + 0,05 5
+ 145,00 = 772,77
Quitação dos Resíduos nos Financiamentos
• Exemplo 11: considerando uma taxa de 10% a.m., um bem no 
valor de $1.200 deverá ser financiado sem entrada, em 4 parcelas 
mensais de $378,56. Supondo que o comprador acerte junto ao 
vendedor que pagará 4 parcelas de $350,00, qual o seu saldo 
devedor (resíduo) após o pagamento da última prestação?
– Solução: uma das formas é calcular o valor atual das 4 prestações. Fazendo 
A = $350; i = 10% e n = 4
– $1.200,00 – $1.109,45 = $90,55 é o resíduo expresso na data t=0
– F = $90,55 x 1,104 = $132,57 é o resíduo no final do quarto mês. Assim 
para quitar o financiamento ele deveria pagar $482,57 (=$350,00 + 
$132,57)
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃 =
350
0,10
1 −
1
1 + 0,10 4
= 1.109,45
Séries Diferidas
• São séries com períodos de carência
• Primeira prestação ocorre m períodos após a concessão 
do financiamento
• Usuais em financiamentos de aquisição de imóveis e em 
linhas especiais de crédito
• Exemplo 12: uma microempresa captou recursos no valor de 
$20.000, através de uma linha especial de crédito. Sabendo-se que 
haverá um período de carência de 6 meses até o pagamento da 
primeira prestação (ou seja, a primeira será paga ao final do sexto 
mês), calcule o valor das 8 prestações mensais que deverão ser 
pagas, sabendo-se que a taxa do financiamento é de 7,00% a.m.
Profa. Patricia Maria Bortolon
Profa. Patricia Maria Bortolon
6
7% a.m.
5
5
$20.000 13
0
8 x A
P’
P’
𝑃′ = 20.000 × 1 + 0,07 5 = 28.051,03
𝐴 = 𝑃
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 28.051,03
0,07 1 + 0,07 8
1 + 0,07 8 − 1
= 4.697,64
No excel:
VF(taxa,nper,pgto,[vp],[tipo])
=VF(0,07;5;0;-20000)
No excel:
PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,07;8;-28051,03;0;0)
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Exemplo 13: A partir de hoje, e nos próximos 30 anos você 
depositará mensalmente em uma Poupança (ao todo 360 
depósitos) que renderá 0,50% a.m. em termos reais (ou seja, 
descontada a inflação) de acordo com projeções feitas pelo 
mercado. Admitindo que esta rentabilidade permaneça estável, 
determine o valor do depósito mensal a ser efetuado para as 
seguintes situações, projetadas para daqui a 30 anos. Para os casos 
b), c) e d), suponha que o capital acumulado – e que não tenha 
sido retirado – permaneça sempre depositado na poupança.
a) Você deseja ter o equivalente a $500.000, de forma a adquirir um apartamento para 
cada um de seus filhos e ficar com alguma sobra para viajar em umas longas férias 
(sua empresa já garantirá sua aposentadoria complementar);
b) Semelhante à situação anterior, mas você concorda em esperar por mais 10 anos, 
para ter os $500.000;
c) Você deseja ter uma renda mensal de $4.000 pelos 20 anos de vida seguintes;
d) Você deseja ter uma renda mensal vitalícia de $4.000, que será automaticamente 
transferida a seus dependentes na sua ausência.
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Item a): trata-se de uma série antecipada com objetivos de 
capitalização, tendo sido dados F = 500.000; n = 360; i = 
0,5%a.m. e queremos A.
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐴 = 𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 500.000
0,005
1 + 0,005 360 − 1
= 497,75
$497,75 seria a prestação para uma série postecipada, para uma série 
antecipada o valor deve ser dividido por (1+0,005) = $495,28.
No excel:
PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,005;360;0;-500000;1) = $495,28
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Item b): Semelhante à situação anterior, mas você concorda em 
esperar por mais 10 anos, para ter os $500.000;
Profa. Patricia Maria Bortolon
0 1 2 358 359 480
F = $500.000
i = 0,5% a.m.
A = ?
0 1 2 358 359
i = 0,5% a.m.
A = ?
P’
360
480
F = $500.000
i = 0,5% a.m.
360
0
120
P’
Decomposição do Fluxo de Caixa
Parte A
Parte B
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Parte B – cálculo de P’
• Parte A – cálculo de A
• $273,58 seria a prestação para uma série postecipada, para uma 
série antecipada o valor deve ser dividido por (1+0,005) = 
$272,22
No excel: PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,005;360;0;-274816,37;1) = $272,22
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝑃′ =
500.000
1 + 0,005 120
= 274.816,37
𝐴 = 𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 274.816,37
0,005
1 + 0,005 360 − 1
= 273,58
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Item c): Você deseja ter uma renda mensal de $4.000 pelos 20 
anos de vida seguintes;
Profa. Patricia Maria Bortolon
0 1 2 358 598
i = 0,5% a.m.
A = ?
0 1 2 358 359
i = 0,5% a.m.
A = ?
P’
360
P’
Decomposição do Fluxo de Caixa
Parte A
Parte B
359
360 361 362
600
240 x $4.000
598360 361 362 600
240 x $4.000
0 1 2 238 239 240
i = 0,5% a.m.
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Parte B – cálculo de P’
Para cálculo do valor na série antecipada multiplica-se por 
(1+0,005) = $561.114,70
No excel: VP(taxa, nper, pgto, [vf], [tipo])
= VP(0,005;120;-4000;0;1) = 561.114,70
• Parte A – cálculo de A
• $558,59 seria a prestação para uma série postecipada, para uma série 
antecipada o valor deve ser dividido por (1+0,005) = $555,81
No excel: PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,005;360;0;-561114,7;1) = 555,81
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐴 = 𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 561.114,70
0,005
1 + 0,005 360 − 1
= 558,59
𝑃′ =
𝐴
𝑖
1 −
1
1 + 𝑖 𝑛
=
4.000
0,005
1 −
1
1 + 0,005 240
= 558.323,09 (postecipado)
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Item d): Você deseja ter uma renda mensal vitalícia de $4.000, 
que será automaticamente transferida a seus dependentes na sua 
ausência;
Profa. Patricia Maria Bortolon
0 1 2 358 598
i = 0,5% a.m.
A = ?
0 1 2 358 359
i = 0,5% a.m.
A = ?
P’
360
P’
Decomposição do Fluxo de Caixa
Parte A
Parte B
359
360 361 362
600
∞ x $4.000
598360 361 362 600
0 1 2 238 239 240
i = 0,5% a.m.
∞
∞ x $4.000
∞
Planos de Capitalização e de Previdência Privada
• Parte B – cálculo de P’
Para cálculo do valor na série antecipada multiplica-se por 
(1+0,005) = $804.000
• Parte A – cálculo de A
• $558,59 seria a prestação para uma série postecipada, para uma série 
antecipada o valor deve ser dividido por (1+0,005) = $796,40
No excel: PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,005;360;0;-804.000;1) = 796,40
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐴 = 𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 804.000
0,005
1 + 0,005 360 − 1
= 800,39
𝑃′ =
𝐴
𝑖
=
4.000
0,005
= 800.000,00 (postecipado)
Prestações Intermediárias
• Nos financiamentos de valores altos em prazos longos –
como por exemplo os financiamentos imobiliários – é 
comum a cobrança de prestações intermediárias, 
adicionais às prestações regulares pagas ao longo do 
financiamento.
• As variáveis relevantes para as prestações regulares para 
as intermediárias devem ser calculadas separadamente.
Profa. Patricia Maria Bortolon
Prestações Intermediárias
• Exemplo 14: Um financiamento no valor de $10.000 
deverá ser pago amortizado em 10 prestações iguais 
mensais e sucessivas, sem entrada. Sabendo-se que está 
prevista uma intermediária no valor de $5.000 ao final 
do quinto mês, e dada uma taxa de juros de 8,00% a.m., 
determine o valor das prestações.
Profa. Patricia Maria Bortolon
0 5 10
i = 8% a.m.
$5.000
$10.000
Prestações Intermediárias
• O primeiro passo será avaliar o valor dos $5.000 em t=0, para 
obter quanto do empréstimos de $10.000 foi abatido poresta 
parcela.
• O valor do financiamento a ser pago através das 10 parcelas é 
portanto $6.597,08 (10.000 – 3.402,92).
• O valor das prestações é então:
No excel:
PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(0,08;10;-6597,08;0;0)
Profa. Patricia Maria Bortolon
𝐼𝑛𝑡 =
5.000
1 + 0,08 5
= 3.402,92
𝐴 = 𝑃
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
= 6.597,08
0,08 1 + 0,08 10
1 + 0,08 10 − 1
= 983,16