Apostila Parte 4

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. Ed. 
PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
Parte 04: 
Flexão Simples 
- Definição; 
- Fórmula de flexão: Tensões e Deformações Normais por flexão 
no regime elástico; 
 
Cisalhamento na flexão 
- Definição; 
- Fórmula de cisalhamento: Tensões de cisalhamento no regime 
elástico; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
 
1.1 – Flexão simples 
 Em qualquer seção transversal de um elemento estrutural (vigas, eixos e barras) 
sob a ação de um momento fletor resultante surge nesta seção transversal uma 
distribuição de tensão normal conforme ilustrado na figura a seguir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que o material do elemento estrutural trabalha no regime elástico a 
tensão normal em qualquer ponto p na seção transversal é definida por: 
𝝈 = +
𝑴 . 𝒚
𝑰
 (𝒕𝒓𝒂çã𝒐 ); 𝝈 = −
𝑴 . 𝒚
𝑰
 (𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 ) (𝟏) 
Em que: 
   tensão normal; 
 M  momento fletor resultante que atua na seção analisada; 
 y  distância perpendicular do ponto p até a linha neutra da seção transversal; 
 (NÃO TEM SER NECESSARIAMENTE UMA DISTÂNCIA EM Y) 
 I  Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo centroidal; 
 
OBS1: 
 L. N  A linha neutra ou eixo neutro passa pelo CG (centro de gravidade) da 
seção transversal do elemento estrutural (vigas, eixos, barras), valendo lembrar que 
existem inúmeros tipos de seção transversal, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
OBS2: 
 Tensão Normal nula  Analisando a equação (1) verifica-se que pontos 
localizados sobre a Linha Neutra ( y = 0) possui tensão normal nula; 
 
OBS3: 
Tensão Normal máxima Absoluta em dada seção (máx)  ocorre na seção crítica; 
 Seção crítica  é a seção transversal com Momento fletor Máximo (Mmáx); 
 
 Em que ponto na seção crítica  ocorre a Tensão normal máxima absoluta ???? 
 
Analisando a equação (1) verifica-se que nos pontos mais afastados da Linha Neutra da 
seção crítica, ou seja, y = ymáx.  ocorre a tensão normal máxima absoluta; 
 
P 
L.N. 
llP 
L.N.  Linha Neutra, ou, 
 eixo neutro 
y 
L. N. x 
CG 
y 
L. N. x 
yCG yCG 
y 
L. N. x 
yCG CG 
CG 
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Deformação normal 
 Considerando um comportamento elástico, a lei de Hooke pode ser utilizada, o 
que permite escrever: 
𝝈 = 𝑬 . 𝜺 → 𝜺 =
𝝈
𝑬
 (𝟐) 
 
Portanto, onde a tensão normal é máxima  a deformação normal é máxima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
 
 
Exemplo1: Uma peça de máquina feita de ferro fundido está submetida a um momento 
fletor de 3 kN.m conforme ilustra a figura. Sabendo que E = 126 GPa e desprezando o 
efeito de concentração de tensão, determine: 
a) a máxima tensão normal de tração e de compressão na peça; 
b) a máxima deformação absoluta na peça; 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção transversal da peça; 
 
Resolução: 
- - Centróide da seção transversal: yCG = ? 
 
 
 
 
 ytopo = 22 mm (tração) 
 ybase = 38 mm (compressão) 
 
 
- - Momento de inércia centroidal  x centroidal: IX = ?? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Máxima tensão norma de tração e Máxima tensão normal de compressão: 
 Mmáx = 3,0 kN.m (t.f.s.) 
ponto mais tracionado  topo da seção: y = 22 mm = 0,022 m 
ponto mais comprimido  base da seção: y = 38 mm = 0,038 m 
𝜎 = +
𝑀 . 𝑦
𝐼
= +
3 . 103 . 0,022
86,80 . 10−8
= 76,04 . 106𝑁/𝑚2 = + 76,04 𝑀𝑃𝑎 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
 
 
 
 
b) Máxima deformação absoluta: ocorre no ponto de máxima tensão absoluta. 
 Neste caso  na base da seção  deformação de compressão; 
𝜀 =
𝜎
𝐸
=
−131,34 . 106𝑁/𝑚2
126,0 . 109𝑁/𝑚2
= −1,04 . 10−3 
YCG 
𝑦𝐶.𝐺. =
∑ 𝐴 . 𝑦
∑ 𝐴
=
(90 . 20). 50 + (30 . 40). 20
(90 . 20) + (30 . 40)
= 38 𝑚𝑚 
L. N. 
y 
x 
1 
2 
38 mm 
𝐼𝑥 = ∑(𝐼̅ + 𝐴 . 𝑑
2) 
𝐼𝑥 = (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) + (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) 
𝐼𝑥 = (
90 . 203
12
+ ( 90 . 20) . 122 ) + (
30 . 403
12
+ (30 . 40) . 182 ) 
𝐼𝑥 = 86,80 . 10
4 𝑚𝑚4 = 86,80 . 10−8 𝑚4 
x 
1 
2 
C.G. 
C.G. 
22 mm 
L. N. 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
= −
3 . 103 . 0,038
86,80 . 10−8
= 131,34 . 106 𝑁/𝑚2 = −131,34 𝑀𝑃𝑎 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
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Exemplo2: Um tubo retangular mostrado na figura feito de alumínio está submetido a um 
momento fletor de M conforme ilustra a figura. Sabendo que a tensão normal admissível 
do alumínio de 138 MPa e desprezando o efeito de concentração de tensão, determine 
o maior momento M que pode ser a aplicado; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção transversal da peça; 
 
 
 
Resolução: 
- - Centróide da seção transversal: 
 Devido à simetria o centroide da seção é conhecida; 
 
- - Momento de inércia centroidal  y centroidal: Iy = ?? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Máxima tensão normal de tração e Máxima tensão normal de compressão: 
 Mmáx = ? kN.m (t.f.d) 
ponto mais tracionado  lado direito da seção: y = 62,5 mm = 0,0625 m 
ponto mais comprimido  lado esquerdo da seção: y = 62,5 mm = 0,0625 m 
 
Tensão máxima = ocorre no ponto mais afastado da linha neutra (L.N.) da seção. 
Neste caso: tanto faz  o ponto mais afastado da L.N.  y = 62,5 mm = 0,0625 m 
Material do tubo: tensão normal admissível:  = + 138 MPa = 138 . 106 N/m2 
Momento de inércia da seção transversal: 𝑰𝒚 = 𝟓, 𝟑𝟏 . 𝟏𝟎
𝟔 𝒎𝒎𝟒 = 𝟓, 𝟑𝟏 . 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟒 
 
 
 
 
O maior momento que pode ser aplicado neste tubo vale M = 11,73 kN.m 
𝐼𝑦 = ∑(𝐼̅ + 𝐴 . 𝑑
2) 
𝐼𝑦 = (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) − (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) 
𝐼𝑦 = (
83 . 1253
12
+ ( 83 . 125) . 02 ) − (
70 . 1123
12
+ (70 . 112). 02 ) = 5,31 . 106 𝑚𝑚4 
 
t = 6,5 mm 
t 
t 
t 
125 mm 
8
3
 m
m
 
125 mm 112 mm 
8
3
 m
m
 
7
0
 m
m
 
𝜎 = +
𝑀 .𝑦
𝐼
 → 138 . 106 = +
𝑀 . 0,0625
5,31 . 10−6
 → 𝑀 = 11,73 . 103 𝑁. 𝑚 = 11,73 𝑘𝑁. 𝑚 
y y y 
L
. 
N
. 
L
. 
N
. 
L
. 
N
. 
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Exemplo3: Para a viga de madeira e o carregamento mostrado na figura, determine a 
tensão normal máxima absoluta na viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção transversal da viga; 
𝐼𝑥 = 86,80 . 10
4 𝑚𝑚4 
Resolução: 
tensão normal máxima absoluta: ocorre no ponto mais afastado da linha neutra na 
seção crítica  sendo a seção crítica = seção com momento fletor máximo; 
Seção crítica = ? 
 
É NECESSÁRIO TRAÇAR (ESBOÇAR) DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR; 
PORÉM, ANTES AS REAÇÕES DE APOOIO DEVEM SER DETERMINADAS; 
 
- - cálculo das reações de apoio: 
 + ∑ Fy = 0  VB + VD = 60 kN 
 
 + ∑ MD = 0  + 20 . 7,5 – VB . 5,0 + 40 . 2,0 = 0 
 VB = 46 kN 
 VD = 14 kN 
 
- - traçar o diagrama de momento fletor: Tracionou fibra inferior: + 
MAd = 0 Tracionou fibra superior: - 
MBe = MBd = - 20 . 2,5 = - 50 kN.m = 50 kN.m (t.f.s.) 
MCe = MCd = + 14. 2 = + 28 kN.m = 28 kN.m (t.f.i.) 
 
SEÇÃO CRÍTICA: B  M = 50 kN.m (t.f.s.) 
 Seção com momento máximo 
 
 
 
 
- - tensão normal máxima absoluta na viga; 
 Mmáx = 50,0 kN.m (t.f.s.) 
ponto mais tracionado  topo da seção: y = 22 mm = 0,022 m 
ponto mais comprimido  base da seção: y = 38 mm = 0,038 m 
Tensão máxima = ocorre no ponto mais afastado da linha neutra (L.N.) na seção crítica. 
 
Neste caso: Na base da seção  y = 38 mm = 0,038 m (ponto mais comprimido); 
𝐼𝑥 = 86,80 . 10
4 𝑚𝑚4 = 86,80 . 10−8 𝑚4 
 
 
 
Portanto, a tensão normal máxima absoluta na viga de madeira vale – 218,89 MPa. 
x 
38 mm 
22 mm 
L. N. 
C.G. 
50 kN.m 
28 kN.m 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
= −
50 . 103 . 0,038
86,80 . 10−8
= 218,89 . 106 𝑁/𝑚2 = −218,89 𝑀𝑃𝑎 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
B 
50 kN.m 
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Exemplo4: Para a viga e o carregamento mostrado na figura, determine: 
a) a menor dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando o vão 
L = 3,0 m e o material da viga possui tensão normal admissível de 150 MPa; 
b) a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto p1 na seção crítica 
determinada no item a. Represente o estado de tensão deste ponto meio de elemento 
infinitesimal de volume. Considerar o valor da dimensão a determinado no item a; 
c) a menor dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando o vão 
L = 7,0 m e o material da viga possui tensão normal de 82 MPa na compressão e tensão 
normal de 152 MPa na tração; 
 seção transversal da viga; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- - Centróide da seção transversal: YCG = ? 
 
 
 
 
 
 
 ytopo = 1,1a (tração ou compressão  ainda não sabemos) 
 ybase = 1,9a (tração ou compressão  ainda não sabemos) 
 
 
- - Momento de inércia centroidal  x centroidal: IX = ?? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
2a 
1,5a 
p1 
4,5a 
YCG 
𝑦𝐶.𝐺. =
∑ 𝐴 . 𝑦
∑ 𝐴
=
(4,5𝑎 . 𝑎). 2,5𝑎 + (1,5𝑎 . 2𝑎). 𝑎
(4,5𝑎 . 𝑎) + (1,5𝑎 . 2𝑎)
 
𝑦𝐶.𝐺. = 1,9𝑎 
L. N. 
y 
x 
1 
2 
1,9a 
𝐼𝑥 = ∑(𝐼̅ + 𝐴 . 𝑑
2) 
𝐼𝑥 = (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) + (
𝑏 . ℎ3
12
+ 𝐴 . 𝑑2 ) 
𝐼𝑥 = (
4,5𝑎 . 𝑎3
12
+ ( 4,5𝑎 . 𝑎) . (0,6𝑎)2 ) + (
1,5𝑎 . (2𝑎)3
12
+ (1,5𝑎 . 2𝑎) . (0,9𝑎)2 ) 
𝐼𝑥 = 5,425 𝑎
4 
x 
1 
2 
C.G. 
C.G. 
1,1a 
L. N. 
a 
2a 
1,5a 
4,5a 
a 
2a 
1,5a 
4,5a 
20 kN/m 
L 
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a) L = 3,0 m; adm = 150 MPa  a = ? (dimensão da seção transversal) 
 
- - cálculo das reações de apoio: 
 + ∑ Fy = 0  VA + VB = 100 kN 
 
+ ∑ MA = 0  - 20 . 5 - 20 . 4 + VB . 5,0 + 60 . 1,5 = 0 
 VB = 90 kN 
 VA = 10 kN 
 
 
 
- - traçar o diagrama de momento fletor: Tracionou fibra inferior: + 
 Tracionou fibra superior: - 
MAd = 0 
MBe = MBd = + 10 . 3 - 60 . 1,5 = - 60 kN.m = 60 kN.m (t.f.s.) 
MCe = MCd = - 20 .1 = - 20 kN.m = 20 kN.m (t.f.s.) 
MDe = 0 
 
APENAS PARA EFEITO DIDÁTICO O DIAGRAMA É TRAÇADO EM SALA DE AULA 
PARA FACILITAR O ENTENDIMENTO; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
3 
R = 20 . 3 = 60 kN 
20 kN/m 
3 
20 kN/m 
3 
qL2/8 = 20 . 32/8 
A = 22,5 kN.m 
20 kN.m 
60 kN.m 
30 kN.m 
Após marcar duas vezes o valor ( q.L2/8 ) , 
para traçar a parábola, verifica-se que o 
momento máximo inferior é muito menor 
que momento máximo superior que ocorre 
no ponto B. 
Portanto, a seção crítica: 
Seção B  Mmáx = 60 kN.m (t.f.s) 
B 
60 kN.m 
VA VB 
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 A menor dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando que o 
material da viga possui tensão normal admissível de 150 MPa; 
 
Mmáx = 60 kN.m (t.f.s.) 
 
ponto mais tracionado  topo da seção: y = 1,1a 
ponto mais comprimido  base da seção: y = 1,9a 
Tensão máxima = ponto mais afastado da linha neutra (L.N.) da seção crítica. 
Neste caso: Na base da seção  y = 1,9a (ponto mais comprimido); 
 
Momento de inércia da seção transversal: 𝐼𝑥 = 5,425 𝑎
4 
Material da viga: tensão normal admissível de 150 MPa; 
 
 
 
 
 
b) a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto p1 na seção crítica. 
Represente o estado de tensão deste ponto meio de elemento infinitesimal de volume. 
Considerar o valor da dimensão a determinado no item a; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO CRÍTICA 
 
 
 
 
 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
 → − 150 . 106 = −
60 . 103 . 1,9𝑎
5,425 𝑎4
 → 𝑎 = 0,05194 𝑚 = 51,94 𝑚𝑚 = 52 𝑚𝑚 
1,9a 
a = 52 mm = 0,052 m 
𝐼𝑥 = 5,425 𝑎
4 = 3,97 . 10−5 𝑚4 
Mmáx = 60 kN.m (t.f.s.) 
 
 
ponto mais tracionado  topo da seção: y = 1,1a = 0,0572 m 
ponto mais comprimido  base da seção: y = 1,9a = 0,0988 m 
 
x 
1 
2 
C.G. 
1,1a 
a 
2a 
1,5a 
4,5a 
Tensão no topo da seção:  neste caso tração 
𝜎 = +
𝑀 . 𝑦
𝐼
= +
60 . 103 . 0,0572
3,97 . 10−5
 = 86,45 . 106 𝑁/𝑚2 = + 86,45 = +86,5 𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão na base da seção:  neste caso compressão 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
= −
60 . 103 . 0,0988
3,97 . 10−5
 =149,32 . 106 𝑁/𝑚2 = − 149,32 𝑀𝑃𝑎 = −149,3 𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão no ponto p1: y = 0,1a 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
= −
60 . 103 . 0,1 . 0,052
3,97 . 10−5
 = 7,86 . 106 𝑁/𝑚2 = − 7,86 𝑀𝑃𝑎 = −8 𝑀𝑃𝑎 
 
 
p1 
L. N. 
L. N. 
86,5 MPa 
-149,3 MPa 
p1 
p1 
8 MPa 
B 
60 kN.m 
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b) L = 7,0 m; adm_tração = 140 MPa  a = ? (dimensão da seção transversal) 
adm_compressão = - 150 MPa 
- - cálculo das reações de apoio: 
 + ∑ Fy = 0  VA + VB = 160 kN 
 
+ ∑MA = 0  - 20 . 9 - 20 . 8 + VB . 7 + 140 . 3,5 = 0 
 VB = 118,57 kN 
 VA = 61,43 kN 
 
 
 
- - traçar o diagrama de momento fletor: Tracionou fibra inferior: + 
 Tracionou fibra superior: - 
MAd = 0 
MBe = MBd = + 61,43 . 7 - 140 . 3,5 = - 59,99 kN.m = 60 kN.m (t.f.s.) 
MCe = MCd = - 20 .1 = - 20 kN.m = 20 kN.m (t.f.s.) 
MDe = 0 
APENAS PARA EFEITO DIDÁTICO O DIAGRAMA É TRAÇADO EM SALA DE AULA 
PARA FACILITAR O ENTENDIMENTO; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
7 
R = 20 . 7 = 140 kN 
20 kN/m 
7 
20 kN/m 
 
qL2/8 = 20 . 72/8 
A = 122,5 kN.m 
20 kN.m 
60 kN.m 
30 kN.m 
Após marcar duas vezes o valor ( q.L2/8 ) , 
para traçar a parábola, verifica-se que o 
momento máximo inferior é maior que 
momento máximo superior que ocorre no 
ponto B. 
Porém, o diagrama no trecho parabólico foi 
traçado (esboçado) de forma simplificada o 
que impede a determinação com precisão 
do momento máximo que ocorre neste 
trecho parabólico. 
Portanto, nestes casos em que o momento 
máximo ocorre no trecho com carga 
distribuída o valor é determinado por meio 
de equação; 
 
Seção crítica: seção entre A e B; 
 Mmáx = ???? (t.f.i) 
VA VB 
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- - Seção com o momento fletor máximo por meio de equação: 
A seção com momento máximo é determinada: 
 derivando a equação do momento do trecho AB em relação x e igualando a zero; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ponto mais tracionado  base da seção: y = 1,9a 
ponto mais comprimido  topo da seção: y = 1,1a 
 
 
 
 
OBS1: Quando o material possui limites diferentes: tração ≠ compressão 
 A análise deve ser realizada nos dois pontos mais afastados 
 da linha neutra (L. N.) na seção crítica: 
  topo da seção 
  base da seção 
 
 
 
OBS2: quando o material possui limites iguais: tração = compressão 
 A análise pode ser realizada apenas no ponto mais afastado 
 da linha neutra (L.N.) na seção crítica; 
 
 
 
SEÇÃO CRÍTICA: seção com momento fletor máximo; 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
7 
VA = 61,43 kN 
VA = 61,43 kN 
 Tracionou fibra inferior: + 
 Tracionou fibra superior: - 
Mx = + VA . X – R . x/2 = 61,43X – 20 X . X/2 
Mx = + 61,43X – 10X2 
 
dMx = + 61,43 – 2 . 10X = 0  61,43 – 20X = 0 
dx X = 3,07 m 
O momento máximo ocorre a 3,07 m do ponto A: 
Mx = + 61,43X – 10X2 = + 61,43 . 3,07 – 10 . 3,072 
Mx = + 94,34 kN.m (t.f.i) 
 
 
x 
R = 20 . X 
x/2 
x = 3,07 m 
94,34 kN.m 
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Análise na base da seção: 
ponto mais tracionado  base da seção: y = 1,9a 
 
Momento de inércia da seção transversal: 𝐼𝑥 = 5,425 𝑎
4 
 
Material da viga: tensão normal tração:  = + 140 MPa; 
 
Mmáx = 94,34 kN.m (t.f.i.) 
 
 
 
 
 
 
Análise no topo da seção: 
ponto mais comprimido  topo da seção: y = 1,1a 
 
Momento de inércia da seção transversal: 𝐼𝑥 = 5,425 𝑎
4 
 
Material da viga: tensão normal compressão - 150 MPa; 
 
Mmáx = 94,34 kN.m (t.f.i.) 
 
 
 
 
 
 
A menor dimensão para a vale: a = 62 mm de modo a atender simultaneamente os dois 
limites de resistência do material da viga; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜎 = +
𝑀 . 𝑦
𝐼
 → 140 . 106 = +
94,34 . 103 . 1,9𝑎
5,425 𝑎4
 → 𝑎 = 0,06180 𝑚 = 61,8 𝑚𝑚 = 62 𝑚𝑚 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
 → −150 . 106 = −
94,34 . 103 . 1,1𝑎
5,425 𝑎4
 → 𝑎 = 0,02329 𝑚 = 23,3 𝑚𝑚 = 23,5 𝑚𝑚 
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13 
 
 
Exemplo 5: A viga submetida à ação de uma carga distribuída q indicada na figura a 
seguir. O material da viga possui tensão normal de adm_c = 110 MPa na compressão e 
tensão normal de adm_t = 124 MPa na tração, Determine: 
a) a menor dimensão a requerida para a seção transversal da viga; 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica com as dimensões definidas no 
item a, bem como a tensão no ponto p1 na seção crítica. Represente o estado de tensão 
deste ponto meio de elemento infinitesimal de volume; 
c) O maior vão L que a viga pode resistir, considerando a mesma carga distribuída q 
indicada na figura a seguir e de seção transversal com a = 30 cm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- - Momento de inércia centroidal  x centroidal: IX = ?? 
 
 
 
 
 
 
- - cálculo das reações de apoio: 
 + ∑ Fy = 0  VA + VB = 110 kN 
 
 + ∑ MB = 0  VA . 6,0 – 300 . 3 = 0 
 VA = 150 kN 
 VB = 150 kN 
 
 
 
- - traçar o diagrama de momento fletor: Tracionou fibra inferior: + 
 Tracionou fibra superior: - 
MAd = 0 
MBe = 0 
 
SEÇÃO CRÍTICA: entre A e B  M = ????? 
 
Neste caso devido à simetria do carregamento: 
 
Momento máximo ocorre no meio do vão: 
 
 Mmáx = qL2/8 (t.f.s) 
 = 50 . 62/8 = 225 kN.m (t.f.s.) 
 
Seção transversal; 
a/2 
1,5a 
a/4 
 6 m 
q = 50 kN/m 
 A B 
Ponto 1 
YCG = 0,75a 
𝐼𝑥 =
𝑏 . ℎ3
12
= 
(
𝑎
2) . (1,5𝑎)
3
12
= 0,140625 𝑎4 L. N. 
y 
x 
C.G. 
a/4 
R = 300 kN 
qL2/8 
 0,75a 
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14 
 
 
a) a menor dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando que o 
materialda viga possui tensão de flexão de adm_c = 110 MPa na compressão e tensão 
de flexão de adm_t = 124 MPa na tração, Determine: 
 
OBS1: Quando o material possui limites diferentes: tração ≠ compressão 
 A análise deve ser realizada nos dois pontos mais afastados 
da linha neutra (L. N.) na seção crítica: 
  topo da seção 
  base da seção 
 
OBS2: quando o material possui limites iguais: tração = compressão 
 A análise pode ser realizada apenas no ponto mais afastado 
da linha neutra (L.N.) na seção crítica; 
 
SEÇÃO CRÍTICA: seção com momento fletor máximo; 
 
 
Análise na topo da seção: 
ponto mais tracionado  topo da seção: y = 0,75a 
 
Momento de inércia da seção transversal: 𝐼𝑥 = 0,140625 𝑎
4 
 
Material da viga: tensão normal tração:  = + 124 MPa; 
 
Mmáx = 225 kN.m (t.f.s.) 
 
 
 
 
 
 
Análise na base da seção: 
ponto mais comprimido  topo da seção: y = 0,75a 
 
Momento de inércia da seção transversal: 𝐼𝑥 = 0,140625 𝑎
4 
 
Material da viga: tensão normal tração de 110 MPa; 
 
Mmáx = 225 kN.m (t.f.s.) 
 
 
 
 
 
 
A menor dimensão para a vale: a = 0,2218 m de modo a atender simultaneamente os 
dois limites de resistência do material da viga; 
 
 
 
𝜎 = +
𝑀 . 𝑦
𝐼
 → 124 . 106 = +
225 . 103 . 0,75𝑎
0,140625 𝑎4
 → 𝑎 = 0,21310 𝑚 = 0,2131 𝑚 
𝜎 = −
𝑀 . 𝑦
𝐼
 → −110 . 106 = −
225 . 103 . 0,75𝑎
0,140625 𝑎4
 → 𝑎 = 0,22178 𝑚 = 0,2218 𝑚 
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15 
 
 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica com as dimensões definidas no 
item a, bem como a tensão no ponto p1 na seção crítica. Represente o estado de tensão 
deste ponto meio de elemento infinitesimal de volume localizado; 
 
 Máxima tração  no topo 
  = M.y/I 
 M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
 
 y = 0,75a = 0,5 . 0,2218 = 0,1664 m 
 
 I = 0,140625a4 = 0,140625 .0,22184 = 3,4034.10-4 m4 

 = 225 . 103 . 0,664 /3,4034 .10-4 = 110,00 .106 N/m2 = 110 MPa 
 
Máxima compressão  na base  
  = - M.y/I 
 M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
 
 y = 0,75a = 0,5 . 0,2218 = 0,1664 m 
 
 I = 0,140625a4 = 0,140625 .0,22184 = 3,4034.10-4 m4 

 = - 225 . 103 . 0,1664 /3,4034 .10-4 = - 110,00 .106 N/m2 = - 110 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão no ponto 1: 
Ponto1: 
 y1 = 0,75a - a/4 = 0,75 – 0,25a = 0,5a = 0,1109 m 
 
 compressão (-): 
 
 = - M.y/I  - 225 . 103 . 0,1109 /3,4034.10-4 = - 73,31 .106 N/m2 = - 73,31 MPa 
 
 
 73,31 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
tração 
L.N. 
compressão 
1 
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16 
 
 
c) L = ? 
 Em função da seção com a dimensão a = 30 cm: 
 a = 0,40 m 
|t_adm | ≠ |c_adm | 
 t_adm = 124 MPa 
 c_adm = - 110 MPa 
 
- Portanto, neste caso é necessário aplicar fórmula de flexão para os dois 
pontos mais distante da linha neutra e realizar a análise: 
 
Máxima tração  no topo 
  = M.y/I 
 
 M = q.L2/8 = 50 . 103 . L2 /8 = 6,25 L2 . 103 N.m 
 
 y = 0,75a = 0,5 . 0,30 = 0,225 m 
 
 I = 0,140625a4 = 0,140625 . 0,304 = 11,391 . 10-4 m4 
 
  = 124 MPa = 124 .106 N/m2 

124 .106 = 6,25.103. L2 . 0,225 / 11,391 .10-4 
 
L2 = 124 .106 . 11,391 . 10-4 / (6,25.103. 0,225)
 L = 10,02 m
 
Máxima compressão  na base 
  = - M.y/I 
 
 M = q.L2/8 = 50 . 103 . L2 /8 = 6,25 L2 . 103 N.m 
 
 y = 0,75a = 0,5 . 0,30 = 0,225 m 
 
 I = 0,140625a4 = 0,140625 . 0,304 = 11,391 . 10-4 m4 
 
  = - 110 MPa = -110 .106 N/m2 

- 110 .106 = - 6,25.103. L2 . 0,225 / 11,391 .10-4 
 
L2 = 110 .106 . 11,391 . 10-4 / (6,25.103. 0,225)
 L = 9,44 m
 
Análise dos resultados encontrados: 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de tração  L ≤ 10,02 m 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de compressão  L ≤ 9,44 m 

 Portanto, para suportar o carregamento aplicado e atender simultaneamente 
os dois limites de tensão (de compressão e de tração) 
  O maior valor para o vão: L = 9,44 m 
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17 
 
 
Lista de exercícios 1 
1) Determine as tensões normais máximas tanto de compressão quanto de tração em 
MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) 
R: t = 0,33 MPa; t = 0,41 MPa;t = 8,60 MPa; 
 c = - 0,33 MPa;c = - 0,41 MPa;c = - 4,63MPa; 
 
2) O eixo de seção transversal circular apoiado sobre os mancais em A e B está sujeito 
às forças concentrada nas extremidades conforme ilustra a figura a seguir, determine: 
a) a tensão de flexão máxima absoluta, considerando o eixo com 50 mm de diâmetro; 
b) o menor diâmetro admissível do eixo, considerando que o material do eixo possui 
tensão de normal de 160 MPa. 
 
R: a) máx_absoluta = 39,11 MPa; 
 b) D = 31,26 mm; 
 
 
 
 
3) A viga engastada e livre de seção transversal quadrada está sujeita ao carregamento 
ilustrado na figura a seguir, determine: 
a) a tensão normal máxima absoluta, considerando a viga com seção transversal 
quadrada com lado a = 225 mm; 
b) o menor lado a admissível para a seção transversal quadrada da viga, considerando 
que o material da viga possui tensão normal admissível de 120 MPa. 
 
 
 
 
R: a) máx_absoluta = 40,41 MPa; 
 b) a = 157 mm; 
 
 
 
 
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18 
 
 
4) A viga sujeita ao carregamento ilustrado na figura a seguir. Sabendo que o material 
da viga possui tensão normal na compressão de 110 MPa e tensão normal na tração de 
124, determine: 
a) a intensidade da carga máxima P (kN) que pode ser aplicada à viga; 
b) a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto A localizado na seção 
crítica determinada no item a. Represente o estado de tensão deste ponto A meio de 
elemento infinitesimal de volume. Considerar o valor da carga P determinado no item a; 
 
 R: a) P = 25,71 kN; 
 b) 
 
 
 
 
5) A viga está sujeita à carga uniforme w = 3kN/m. Se o material da viga possui tensão 
normal admissível de 10 MPa, determine a menor dimensão b exigida para a seção 
transversal da viga. Considere que o suporte em A é um pino e que o suporte em B é um 
rolete. 
 
 
R: b = 89,3 mm; 
 
 
 
 
6) Considerando que o material da viga nos casos 1 e 2 possui tensão normal admissível 
na compressão de -103 MPa e tensão normal admissível na tração de 41,4 MPa, 
determine: 
a) o maior momento fletor M que pode ser aplicado em cada caso; 
b) a distribuição de tensão na seçãotransversal e a tensão no ponto A. Represente o 
estado de tensão deste ponto A meio de elemento infinitesimal de volume. Considerar o 
valor do momento M determinado no item a; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 caso 1) caso 2) 
 
R: a) caso 1: M = 5,11 kN.m; caso 2: M = 61,39 kN.m; 
 b) 
1,5 m 1,5 m 3,0 m 
2,5 cm 
2,5 cm 
20 cm 
13 cm 
1,3 cm 
1,3 cm 
1,3 cm 
5,1 cm 
7,7 cm 
20 cm 
A 
A 
A 
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19 
 
 
7) A viga está sujeita ao carregamento ilustrado na figura a seguir, determine: 
a) determine a menor dimensão a exigida para a seção transversal da viga considerando 
o material da viga com tensão normal admissível de 150 MPa. 
b) determine a menor dimensão a exigida para a seção transversal da viga considerando 
o material da viga com tensão normal admissível na compressão de 150 MPa e tensão 
normal admissível na tração de 80 MPa. 
 
R: a) a = 160 mm; 
 b) a = 200 mm; 
 
 
 
 
8) A viga está sujeita ao carregamento ilustrado na figura a seguir, determine a menor 
dimensão a exigida para a seção transversal da viga considerando o material da viga 
com tensão normal admissível na compressão de 90 MPa e tensão normal admissível 
na tração de 80 MPa. 
a) considerando w = 40 kN/m; W 
b) considerando w = 2 kN/m; 
 
 
 
R: a) a = 43 mm; 
 b) a = 35,5 mm; 
 
9) Determine a carga distribuída uniforme máxima w que a viga pode suportar, 
considerando que o material da viga possui tensão normal admissível de 120 MPa. 
 
 
 
 
 
 
R: w = 41,1 kN/m; 
 
10) Determine a carga distribuída uniforme máxima w que a viga pode suportar, 
considerando a dimensão b = 125 mm e o material da viga com tensão normal admissível 
na compressão de 13 MPa e tensão normal admissível na tração de 10 MPa. 
a) considerando L = 2,0 m; 
b) considerando L = 4,5 m; 
 
 
R: a) w = 2,61 kN/m; 
 b) w = 0,49 kN/m; 
0,5 a 
0,5 a 
4 a 
4 a 
 L 
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20 
 
 
11) Para a viga e o carregamento ilustrado na figura a seguir, determine a menor 
dimensão b da seção transversal da viga considerando que o material da viga possui 
tensão normal admissível de 12 MPa. 
 
 
 
R: b = 122,2 mm; 
 
 
 
 
 
 
12) Para a viga e o carregamento ilustrado na figura a seguir, determine a menor 
dimensão h da seção transversal da viga considerando que o material da viga possui 
tensão normal admissível de 12 MPa. 
 
 
 
 
R: h = 64,24 cm; 
 
 
 
 
13) Considerando que o material da viga tensão normal admissível de 85 MPa, 
determine: 
a) a menor dimensão b da seção transversal da viga; 
b) a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto A localizado na seção 
crítica determinada no item a. Represente o estado de tensão deste ponto A meio de 
elemento infinitesimal de volume. Considerar o valor da dimensão b determinado no item 
a; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: a) b = 8,2 cm 
 b) 
 
21,4 kN 8,9 kN 8,9 kN 21,4 kN 
2,25 b 
0,61 m 0,61 m 0,91 m 0,61 m 0,61 m 
40 kN/m 
15 kN.m 
2,5 b 
2,5 m 1,2 m 
 b 
A 
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21 
 
 
14) Para a viga e o carregamento ilustrado na figura a seguir, determine a menor 
dimensão b da seção transversal da viga considerando que o material da viga possui 
tensão normal admissível de 12 MPa. 
a) considerando L = 1,70 m; 
b) considerando L = 4,0 m; 
 
R: a) b = 10,13 cm 
 b) b = 13,86 cm 
 
 
 
 
 
15) Para a viga e o carregamento ilustrado na figura a seguir, determine a menor 
espessura t da seção transversal da viga considerando que o material da viga possui 
tensão normal admissível de 150 MPa. 
 
R: t = 1,71 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 kN/m b 
 2b 
 2,5b 
 t 
1,5 m 
 L 
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22 
 
 
2 - Cisalhamento na flexão 
2. 1 - Definição 
 Em elementos estruturais (vigas, eixos e barras) submetidos à ação de esforços 
cortantes (cisalhamento) V, surge nas seções transversais destes elementos uma 
distribuição de tensão de cisalhamento não uniforme , a qual provoca deformações nas 
seções transversais, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O esforço cortante V GERA distribuição não uniforme de 
 tensão de cisalhamento . 
 
2.2 - Fórmula de cisalhamento 
 Em qualquer seção transversal de um elemento estrutural (vigas, eixos e barras) 
sob a ação de um esforço cortante surge nesta seção transversal uma distribuição de 
tensão de cisalhamento não uniforme conforme ilustrado na figura a seguir, 
 
Considerando que o material do 
elemento estrutural trabalha no regime 
elástico a tensão de cisalhamento em 
qualquer ponto p na seção transversal 
é definida por: 
 
𝝉 =
𝑽 . 𝑸
𝑰.𝒕
 (𝟑) 
 
Em que: 
 
  tensão de cisalhamento; 
V  esforço cortante na seção; 
Q = A’. y’  momento estático da 
 área sombreada acima 
 ou abaixo ao nível do 
 ponto p em análise; 
I  Momento de inércia da seção transversal 
 relação ao eixo centroidal (C.G.); 
t  largura da seção ao nível do 
 do ponto p em análise; 
P 
C.G. 
llP 
C.G.  centróide 
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23 
 
 
Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia 
parabolicamente com a altura, conforme ilustrado na figura anterior. 
 
Analisando a equação (3 ), observa-se: 
 
1- Pontos localizados no topo e na base da seção transversal possui Q=0, logo, a 
tensão de cisalhamento é nula; 
 
 2- Em seções transversais com largura constante a tensão de cisalhamento 
máxima ocorre ao longo da linha neutral ou eixo neutro, conforme ilustra a figura a seguir. 
A MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES DE LARGURA 
CONSTANTE OCORRE AO NÍVEL DO CENTRO DE GRAVIDADE C.G.; 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção longitudinal Seção transversal 
 
Para seções de largura constante  o momento estático Q é máximo ao 
nível do C.G  RESULTANDO NA MÁXIMA TENSÃO DE 
CISALHAMENTO. 
 
3 - Para seções com largura que varia ao longo da mesma  Nem sempre a 
máxima tensão de cisalhamento ocorre ao nível do centro de gravidade C.G. 
 
NESTES CASOS É NECESSÁRIO COMPARAR A TENSÃO AO NÍVEL DO CENTRO 
DE GRAVIDADE C.G. COM A TENSÃO AO NÍVEL DA MENOR LARGURA MAIS 
PRÓXIMA DO CENTRO DE GRAVIDADE C.G, NO CASO DE EXISTIR UM NÍVEL 
PRÓXIMO DE MEMOR LARGURA;Neste caso a análise é feita: Neste caso a análise é feita: 
 1 NÍVEL APENAS 2 NÍVEIS 
Não existe um nível próximo Existe um nível próximo ao 
ao do C.G de menor largura. C.G. de menor largura que 
 a largura observada ao 
 nível do C.G; 
 
 
 
 
máx 
C.G. 
t = b 
 b 
 y’ 
 A’ 
C.G. 
t = b 
 b 
 L 
 e e t = 2e 
t = L + 2e 
 = 0 
 = 0 
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24 
 
125 
50 
12,5 
62,5 
P 
y’ = 12,5 + 25 = 37,5 
75 
y’ = 62,5 - 37,5 = 25 
 37,5 
C.G.
N. 
100 MEDIDAS EM : mm 100 
 
Exemplo 6: A seção transversal de uma viga de madeira está sujeita a uma força de 
cisalhamento (cortante) vertical interna resultante V = 3 kN. Determine: 
a) a tensão de cisalhamento no ponto P. Represente o 
estado de tensão do ponto p desenhando o resultado 
em um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto; 
b) a tensão de cisalhamento máxima que ocorre na seção; 
 
Resolução: 
a) tensão de cisalhamento do ponto p: 
 = V. Q/I.t 
 V = 3 kN = 3.103 N 
 Q = A’. y ’  da área sombreada sempre em relação ao C.G.; 
 I = bh3/12  da seção total em relação ao C.G.; 
 t = 100 mm = 0,10 m  sempre ao nível do ponto em análise; 
 Onde está o C.G. ? 
 Devido à simetria o C.G. está na metade da altura: 125/2 = 62,5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’  Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
AACIMA: Q = (50 . 100). 37,5 = 187,5 .103 mm3 
 Q = 187,5 .10-6 m3 
 
AABAIXO: Q = (75 .100) . 25,0 = 187,5 .103 mm3 
 Q= 187,5 .10-6 m3 
APENAS PARA EFEITO DE DEMONSTRAÇÃO 
 
I = bh3/12  100 . 1253/12 = 1627,60 .104 mm4 
I = 1627,6 .10-8 m4 

 = V. Q/I.t  3.103 . 187,5 .10-6 / (1627,6 .10-8 . 0,10) = 0,346.106 N/m2 = 0,346 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
125 
62,5 
y’ = 62,5/2 = 31,25 
y’ = 62,5/2 = 31,25 
C.G. 
100 MEDIDAS EM : mm 100 
62,5 
 
b) tensão de cisalhamento máxima na seção da viga: 
 - seção com largura constante máx  ao nível do C.G; 
 = V. Q/I.t 
 V = 3 kN = 3.103 N 
 Q = A’. y ’  da área sombreada sempre em relação ao C.G.; 
 I = 1627,6 .10-8 m4 
 t = 100 mm = 0,10 m  sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’  Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
AACIMA: Q = (62,5 . 100). 31,25 = 195,31.103 mm3 
 Q = 195,31 .10-6 m3 
 

máx = V. Q/I.t  3.103 . 195,31 .10-6 / (1627,6 .10-8 . 0,10) = 0,360.106 N/m2 
máx = 0,360 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
26 
 
 
Exemplo 7: Uma viga de aço tem as mesmas dimensões mostradas na figura a seguir. 
Se for submetida a uma força de cisalhamento (cortante) V = 80 kN. Determine para cada 
caso: 
a) a tensão de cisalhamento no ponto P. Represente o 
estado de tensão do ponto p desenhando o resultado 
em um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto; 
b) a tensão de cisalhamento máxima que ocorre na seção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 
 
Resolução: 
C.G.  posição da C.G. para os dois casos; 
I  da seção total em relação à linha neutra para os dois casos; 
 
Devido à simetria o C.G. está na metade da altura para os dois casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (C.G.): 
I =  (Ix + A . y2) =  [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
CASO 1: 
I = 2 [ (250 . 203/12) + (250 . 20) . 1602] + [ (20 . 3003/12) + (20 . 300) . 02] 
I = 2,5633 .108 + 0,45 .108 = 3,01 .108 mm4 = 3,01 .10-4 m4 
 
 
CASO 2: 
I = 2 [ (20 . 2503/12) + (20 . 250) . 02] + [ (300 . 203/12) + (300 . 20) . 02] 
I = 0,521 .108 + 0,002.108 = 0,523 .108 mm4 = 0,523 .10-4 m4 
 
 
 
 
250 mm 
300 mm 
20 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
V 
V 
20 mm 20 mm 
125 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
27 
 
 
a) tensão de cisalhamento do ponto P para os dois casos: 
 = V. Q/I.t 
 
CASO 1 CASO 2 
V = 80 kN = 80.103 N V = 80 kN = 80.103 N 
Q = A’. y ’  Área acima do ponto; Q = A’. y ’  Área acima do ponto; 
 Q = (250 . 20). 160 = 800,0 .103 mm3 Q = 2[(20 . 125). 62,5] + (300 . 10) .5 
 Q = 800,0 .10-6 m3 Q = 312,5 .103 + 15,0 .103 
 Q = 327,5 .103 mm3 
 Q = 327,5 .10-6 m3 
 
I  da seção total em relação ao C.G.; I  da seção total em relação ao C.G.; 
I = 3,01 .10-4 m4 I =0,523 .10-4 m4 
t = 20 mm  ao nível do ponto; t = 340 mm  ao nível do ponto; 
t = 0,020 m t = 0,34 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 

CASO 1 
 = V. Q/I.t  80.103 . 800,0 .10-6 / (3,01.10-4 . 0,020) 
 = 10,63.106 N/m2 = 10,63 MPa 
 
 
 
 
 
 
CASO 2 
 = V. Q/I.t  80.103 . 327,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,34) 
 = 1,47.106 N/m2 = 1,47 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
300 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
20 mm 20 mm 
125 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
28 
 
 
b) tensão de cisalhamento máxima na seção para os dois casos: 
Nos dois casos a largura da seção varia ao longo da altura nos dois casos: 
 
CASO 1 CASO 2 
Porém, neste caso não existe um nível Já, neste caso existe um nível 
próximo ao C.G. que possui uma próximo ao C.G que possui uma 
largura menor que observada largura menor que a observada 
ao nível do C.G; ao nível do C.G; 
Neste a análise é realizada:Neste a análise é realizada: 
1 nível apenas 2 níveis de análise 
Análise no C.G.: Análise no C.G.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’  Área acima do ponto; Q = A’. y ’  Área acima do ponto; 
 Q = [(20 . 250). 160] + (20 . 150) .75 Já foi realizado no item a; 
 Q = 1025,0 .10-6 m3 Q = 327,5 .10-6 m3 
 I  seção total em relação ao C.G.; I  seção total em relação ao C.G.; 
 I = 3,01 .10-4 m4 I =0,523 .10-4 m4 
 t = 0,20 m  ao nível do ponto; t = 0,34 m  ao nível do ponto; 
 = V. Q/I.t  = V. Q/I.t 
 = 80.103 . 1025 .10-6 /(3,01.10-4 . 0,020)  = 80.103 . 327,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,34) 
 = 13,62.106 N/m2 = 13,62 MPa  = 1,47.106 N/m2 = 1,47 MPa 
máx= 13,62.106 N/m2 = 13,62 MPa 
 Análise ao nível com menor 
 Largura menor que a do C.G..;
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = A’. y ’  Área acima do ponto; 
 Q = 2[(20 . 115).(57,5+10)] =310,5.103 mm3 
 Q = 310,5 .10-6 m3 
 I  da seção total em relação ao C.G .; 
 I = 0,523 .10-4 m4 
 t = 2. 0,020 = 0,040 m  ao nível do ponto; 
  = V. Q/I.t 
  = 80.103 . 310,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,04) 
  = 11,87.106 N/m2 = 11,87 MPa 
 Portanto para o caso 2 
máx= 11,87 MPa 
300 mm 
20 mm 
150 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
20 mm 20 mm 
125 mm 
300 mm 
20 mm 
250 mm 
20 mm 20 mm 
115 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
29 
 
A B C 
R = 6,5 . 4 = 26 kN 
4 m 4 m 
2 m 
VA = 6,5 kN VC = 19,5 kN 
V (kN) 
 X(m) 
+6,5 +6,5 
-19,5 
A B C 
 
Exemplo 8: A viga mostrada na figura a seguir é feita de duas tábuas. Determinar a 
tensão de cisalhamento máxima necessária na cola (ponto D) para manter as tábuas 
unidas ao longo da junção. Os apoios em A e C exercem apenas reações verticais sobre 
a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Ponto fundamental desta questão: 
 A tensão de cisalhamento máximo ocorre na seção crítica; 
 Seção crítica  seção onde ocorre o MÁXIMO CORTANTE; 
 
 Traçar o diagrama de cortante da viga; 
 - Utilizando o método das seções; 
- convenção de sinais para o cortante: 
 Para qualquer ponto: 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (+) 
 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (-) 
Cortante: 
VA_d = + 6,5 kN; 
VB_e = + 6,5 kN; 
VB_d = + 6,5 kN; 
VC_e = + 6,5 – 26 = -19,5 kN; 
 
 
A seção crítica possui  V= 19,5 kN 
 
 
 
 
 
 
A C 
C 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
30 
 
30 
y. = ?  y. = 120 
D 
y’ = 45 
C.G. 
 MEDIDAS EM : mm 
x 
y 
150 
150 
30 
 
- tensão de cisalhamento do ponto D (na cola): 
 = V. Q/I.t 
 V = 19,5 kN = 19,5.103 N 
 Q = A’. y ’  da área sombreada sempre em relação ao C.G.; 
 I  da seção total em relação ao C.G; 
 t = 30 mm = 0,030 m  sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 Onde está o C.G. ? 
 Calcular  y = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� =
Σ 𝐴. �̅� 
Σ 𝐴 
=
[(30.150). 165] + [(30.150). 75]
[(30.150) + (30.150)]
=
1080000
[9000]
= 120,0 𝑚𝑚 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (C.G.): 
I =  (Ix + A . y2) =  [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
𝐼 = [
150 . 30 3
12
+ (30.150). 452] + [
30 . 150 3
12
+ (30.150). (120 − 75)2] = 
 
𝐼 = 945 . 104 + 1755 . 104 = 2700 . 104 𝑚𝑚4 = 2700 . 10−8 𝑚4 
 
Q = A’. y ’  Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
AACIMA: Q = (30 . 150). 45 = 202,5 .103 mm3 
 Q = 202,5 .10-6 m3 
 

 = V. Q/I.t 
 = 19,5 .103 . 202,5 .10-6 / (2700 .10-8 . 0,030) = 4,88.106 N/m2 
 = 4,88 MPa 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
A B C D 
R = 6,5 . 4 = 26 kN 3 kN 
4 m 5 m 
2 m 
VA = 20,89 kN VD = 8,11 kN 
V (kN) 
 X(m) 
+20,89 
-5,11 
-8,11 
 A B C D 
A B C D 
4 m 5 m 
2 m 
6,5 kN/m 3 kN 
20 1 
80 medidas 
em mm 
150 
20 
100 
2 
20 
 
Exemplo 9: A viga mostrada na figura a seguir é feita de três tábuas. Determinar a tensão 
de cisalhamento máxima necessária na cola em cada junta (ponto 1 e ponto 2) para 
manter as tábuas unidas ao longo da junção. Os apoios em A e D exercem apenas 
reações verticais sobre a viga. 
 Seção transversal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Ponto fundamental desta questão: 
 A tensão de cisalhamento máximo ocorre na seção crítica; 
 Seção crítica  seção onde ocorre o MÁXIMO CORTANTE; 
 
 Traçar o diagrama de cortante da viga; 
 - Utilizando o método das seções; 
- convenção de sinais para o cortante: 
 Para qualquer ponto: 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (+) 
 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (-) 
Cortante: 
VA_d = + 20,89 kN; 
VB_e = + 20,89 - 26 = - 5,11 kN; 
VB_d = - 5,11 kN; 
VC_e = - 5,11 kN; 
VC_d = - 5,11 - 3 = - 8,11 kN; 
VD_e = - 8,11 kN; 
 
A seção crítica possui  V= 20,89 kN 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
32 
 
20 
y. = ?  y. = 67,6 
1 
y1’ = 42,4 
 C.G. 
 MEDIDASEM : mm 
x 
y 
80 
150 
20 
100 
2 
y2’ =57,6 
 32,4 
 
- tensão de cisalhamento dos pontos 1 e 2 (juntas coladas): 
 = V. Q/I.t 
 V = 20,89 kN = 20,89.103 N 
 Q = A’. y ’  da área sombreada sempre em relação ao C.G. ; 
 I  da seção total em relação à linha neutra; 
 t = 30 mm = 0,030 m  sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 Onde está o C.G. ? 
 Calcular  y = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� =
Σ 𝐴. �̅� 
Σ 𝐴 
=
[(150.20). 110] + [(100.20). 10] + [(20.80). 60]]
[(150.20) + (100.20) + (20.80)]
=
446000
[6600]
= 67,6 𝑚𝑚 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (C.G.): 
I =  (Ix + A . y2) =  [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
𝐼 = [
150. 20 3
12
+ (20.150). 42,42] + [
100 . 20 3
12
+ (100.20). 57,62] [
20 . 80 3
12
+ (20.80). (67,6 − 60)2] 
 
𝐼 = 549,33 . 104 + 670,22 . 104 + 94,57 . 104 = 1314,12 . 104 𝑚𝑚4 = 1314,12 . 10−8 𝑚4 
 
JUNTA 1: 
Q = A’. y ’  Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
AACIMA: Q1 = (150 . 20). 42,4 = 127,2 .103 mm3 
 Q1 = 127,2 .10-6 m3 
 
 = V. Q/I.t 
 = 20,89 .103 . 127,2 .10-6 / (1314,12 .10-8 . 0,020) = 10,11.106 N/m2 
 = 11,11 MPa 
 
JUNTA 2: 
Q = A’. y ’  Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
AABAIXO: Q2 = (100 . 20). 57,6 = 115,2 .103 mm3 
 Q2 = 115,2 .10-6 m3 
 
 = V. Q/I.t 
 = 20,89.103 . 115,2 .10-6 / (1314,12 .10-8 . 0,020) = 9,16.106 N/m2 
 = 9,16 MPa 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
33 
 
 
Lista de exercícios 2 
1) Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 15 kN, 
determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B. 
Indique o estado de tensão destes pontos por meio de 
um elemento infinitesimal de volume localizado nestes 
pontos. Considere W = 125 mm. 
R: _A = 1,99 MPa; _B = 1,65 MPa 
 
2) Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 30 kN, 
determine a tensão de cisalhamento máxima. Indique o 
estado de tensão deste ponto onde ocorre a máxima tensão Exercícios: 1 e 2 
por meio de um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto. Considere W = 200 mm. 
R: _máx = 4,62 MPa 
 
3) A viga tem seção transversal retangular é feita de 
Madeira com tensão admissível adm = 11,2 MPa. 
Se for submetida a um cisalhamento V = 20 kN, 
determine o menor valor para a; 
R: a = 42,26 mm 
 
4) A viga tem seção transversal retangular. Se for 
submetida a um cisalhamento V = 20 kN, determine 
a tensão de cisalhamento máxima. Considerar para 
este caso a = 250 mm; Exercícios: 3 e 4 
 R: _máx = 320 kPa 
 
5) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento 
V = 75 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
Indique o estado de tensão deste ponto onde ocorre a 
máxima tensão por meio de um elemento infinitesimal 
de volume localizado neste ponto. 
R: _máx = 43,17 MPa 
 
6) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento 
V = 50 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
Indique o estado de tensão deste ponto onde ocorre a 
máxima tensão por meio de um elemento infinitesimal 
de volume localizado neste ponto. 
R: _máx = 23,58 MPa 
 
7) A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na 
figura a seguir. Determine a tensão de cisalhamento máxima 
na seção transversal crítica da viga; 
R: _máx = 14,74 MPa 
 
 
 
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34 
 
 
8) Se a força P = 4 kN, determine a tensão de 
cisalhamento máxima na seção transversal crítica 
da viga. Os apoios A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga; 
R: _máx = 0,75 MPa 
 
9) Determine o maior valor para a força P 
que o elemento pode suportar se a tensão de 
cisalhamento admissível for adm = 70 MPa. 
Os apoios A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga; 
Dica: estrutura e carregamento simétrico, 
Reações de apoio iguais. 
R: P = 373,44 kN Exercícios: 8 e 9 
 
10) As extremidades da viga de madeira devem 
ser entalhadas como mostra a figura a seguir. 
Se a viga tiver de suportar o carregamento 
mostrado, determine o menor valor para 
 a profundidade d da viga no entalhe 
se a tensão admissível for adm = 3 MPa. 
A largura da viga é de 200 mm. 
R: d = 62,40 mm 
 
11) A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas 
de junção A e B. Se for submetida ao carregamento 
mostrado na figura ao lado, determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nas juntas coladas 
na seção a-a. Os apoios C e D exercem 
apenas reações verticais sobre a viga; 
R: _máx = 0,87 MPa 
 
12) A viga é composta por três tábuas coladas 
nas linhas de junção A e B. Se for submetida 
ao carregamento mostrado na figura ao lado, Exercícios: 11 e 12 
determine a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida nas juntas coladas. Os apoios C e D 
exercem apenas reações verticais sobre a viga; 
R: _ = 2,60 MPa 
 
13) Para a viga submetida ao carregamento mostrado na figura ao lado, determine: 
a) a tensão de cisalhamento localizada nos pontos B e C; 
b) a tensão de cisalhamento máxima na seção crítica da viga; 
R: a) _B = _C = 0,76 MPa 
 b) _máx = 2,26 MPa