P1 2014.1 - Pablo Guarino

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ Prova de Ca´lculo II B (2014-1) - 08/04/2014
Questa˜o Pontos Notas
1 3
2 2
3 3
4 2
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova.
Responda cada questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem jus-
tificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma
fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o
aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (3 pontos)
Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por:
f(x, y) =

−7x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) Mostre que f e´ cont´ınua em R2.
(b) Mostre que as derivadas direcionais de f existem em todos os pontos de R2 segundo
qualquer direc¸a˜o.
(c) Determine o vetor gradiente de f na origem.
(d) Determine se f e´ diferencia´vel na origem.
Questa˜o 2 (2 pontos)
Considere a curva no plano parametrizada por γ : R→ R2 tal que:
γ(t) =
(
x(t), y(t)
)
= (t2, t3 − 3t).
(a) Encontre os pontos da curva onde o vetor velocidade de γ e´ horizontal, e aqueles
onde e´ vertical.
(b) Mostre que γ(−√3) = γ(√3) = (3, 0) e que lim
t→±∞
y′(t)
x′(t)
= ±∞.
(c) Esboce a curva parametrizada por γ.
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Professor Pablo Guarino
Questa˜o 3 (3 pontos)
(a) Escreva a definic¸a˜o de superf´ıcie de n´ıvel de uma func¸a˜o real de treˆs varia´veis.
(b) Considere a func¸a˜o f : R3 → R dada por f(x, y, z) = x2 + y2 − z2.
i. Mostre que f e´ sobrejetora.
ii. Descreva analiticamente e represente geometricamente todas as superf´ıcies de
n´ıvel de f .
iii. Exibir um vetor perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel 0 de f no ponto de coorde-
nadas (1, 0, 1).
Questa˜o 4 (2 pontos)
Dada uma func¸a˜o f : Rn → Rm e um ponto a ∈ Rn, mostre ou fornec¸a um contra-
exemplo em cada uma das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Se f e´ cont´ınua em a, enta˜o f e´ diferencia´vel em a.
(b) Se f e´ diferencia´vel em a, enta˜o f e´ cont´ınua em a.
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