Aula 9 segunda Ordem RCL

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Professor Irineu Netto 
irineu.netto@yahoo.com.br 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
AULA 9 
Circuitos de 2ª Ordem: RCL sem fonte 
ENG. 
ELÉTRICA 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Associação Educacional Dom Bosco 
Faculdade de Engenharia de Resende 
Engenharia Elétrica/Eletrônica 
 
“Um circuito de segunda ordem é caracterizado por uma 
equação diferencial de segunda ordem. ele é formado por 
resistores e o equivalente de dois elementos de 
armazenamento.” 
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 DETERMINAÇÃO DOS VALORES INICIAL E FINAL 
Existem dois pontos fundamentais para se ter em mente na 
determinação das condições iniciais: 
 v(0), i(0), dv(0)/dt, di(0)/dt, i(∞) e v(∞) 
• Primeiro, como sempre ocorre na análise de circuitos, devemos tratar com 
cuidado a polaridade da tensão v(t) no capacitor e o sentido da corrente i(t) 
através do indutor. 
• Em segundo lugar, lembre-se de que a tensão no capacitor e a corrente no 
indutor é sempre contínua de modo que onde t = 0– representa o instante 
imediatamente anterior ao evento de comutação e t = 0+ é o instante 
imediatamente após o evento de comutação, supondo que esse evento ocorra 
em t = 0. 
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A chave do circuito foi fechada há um bom tempo. Ela é aberta em t = 0. 
 
Determine: (a) i(0+), v(0+); (b) di(0+)/dt, dv(0+)/dt; (c) i(∞), v(∞). 
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Circuito RLC em série sem fonte 
As raízes s1 e s2 são chamadas frequências naturais, medidas em 
nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural 
do circuito; ωo é conhecida como frequência ressonante ou 
estritamente como a frequência natural não amortecida expressa 
em radianos por segundo (rad/s); e α é a frequência de neper ou 
fator de amortecimento expresso em nepers por segundo. 
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Casos de amortecimentos 
• Caso de amortecimento supercrítico (a > ωo). 
• Caso de amortecimento crítico (a = ωo). 
• Caso de subamortecimento (a <ωo). 
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Determine i(t) no circuito . Suponha que o circuito tenha atingido o 
estado estável em t = 0–. 
t<0;(Chave fechada ) 
1º Encontrar Condição inicial. 
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t>0;(Chave aberta) 
2º Calcular valores de α e ωo. 
3º Substituir na formula. 
Usando as condições iniciais, 
calcula-se as incógnitas A1 e 
A2. 
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i(0)= 1 A 
Como a resposta é dada pela corrente i(t), utiliza-se inicialmente a 
condição inicial I(0). 
i(t)=𝑒−9𝑡(𝐴1.cos4,359t+𝐴2.sen4,359t) 
i(0)=𝑒−9.0(𝐴1.cos4,359.0+𝐴2.sen4,359.0) 
1=𝑒0(𝐴1.cos0+𝐴2.sen0) 
1=1(𝐴1) (𝐴1)=1 
Para encontrar A2 utiliza-se a condição inicial 
𝑑𝑖(𝑜)
𝑑𝑡
, para encontrar a 
derivada da corrente inicial, utiliza-se LKT com v(0) assim que a 
chave abre. (V(0+)=V(0−) ) 
VC-VR-VL=0 :. Vo – Io.R - L
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=0 :. 6 – 1.9 – 0,5
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=0 :. 0,5.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= -3 :. 
𝑑𝑖(𝑜)
𝑑𝑡
= -6 A/s 
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Deriva-se a equação i(t) e substitui a condição inicial 
𝑑𝑖(𝑜)
𝑑𝑡
; 
i(t)=𝑒−9𝑡(𝐴1.cos4,359t+𝐴2.sen4,359t) 
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
=(-9).𝑒−9𝑡(𝐴1.cos4,359t+𝐴2.sen4,359t) + 𝑒
−9𝑡.(4,359).(-𝐴1.sen.4,359t+𝐴2.cos4,359t) 
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
=(-9).𝑒−9.0(𝐴1.cos4,359.0+𝐴2.sen4,359.0) + 𝑒
−9.0.(4,359).(-𝐴1.sen.4,359.0+𝐴2.cos4,359.0) 
-6=(-9) (𝐴1) + (4,359).(𝐴2) 
 (𝐴2)=0,6882 
Então a resposta i(t) será: 
i(t)=𝑒−9𝑡(cos4,359t+0,6882.sen4,359t) 
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Circuito RLC em paralelo sem fonte 
Casos de amortecimentos 
• Caso de amortecimento supercrítico (a > ωo). 
• Caso de amortecimento crítico (a = ωo). 
• Caso de subamortecimento (a <ωo). 
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No circuito paralelo , determine v(t) para t > 0, supondo que v(0) = 5 V, i(0) = 0, L = 
1 H e C = 10 mF. Considere os seguintes casos: R = 1,923Ω , R = 5 Ω e R = 6,25 Ω. 
Se R = 1,923 Ω 
1º Encontrar Condição inicial. 
É dada no problema. 
v(0) = 5 V, i(0) = 0 A 
2º Calcular valores de α e ωo. 
 α>ωo, a resposta é com amortecimento 
supercrítico 
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3º Encontrar valores de A1 e A2. 
V(0)=5 
V(t)=𝐴1𝑒
−2𝑡+𝐴2𝑒
−50𝑡 
V(0)=𝐴1 + 𝐴2 :. 5=𝐴1 + 𝐴2 
Para encontrar 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
; 
𝑖𝑐 + 𝑖𝑅+ 𝑖𝐿=0 
𝑐
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
+
𝑉𝑜
𝑅
+ 𝑖𝑜=0 
0,01.
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
+
5
1,923
+ 0=0 
𝑑𝑣(0)
𝑑𝑡
=260 v/s 
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4º Derivar a equação v(t); 
V(t)=𝐴1𝑒
−2𝑡+𝐴2𝑒
−50𝑡 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=-2.𝐴1𝑒
−2𝑡-50. 𝐴2𝑒
−50𝑡 
-260=-2.𝐴1-50. 𝐴2 
Se R = 5Ω 
amortecimento crítico 
Se R = 6,25 Ω 
 α<ωo, subamortecimento 
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Note que, aumentando o valor de R, o nível de amortecimento 
diminui e as respostas são diferentes. 
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1) Para o circuito , determine: 
2) A chave muda da posição A para a B em t = 0. Fazendo v(0) = 0, 
determine v(t) para t > 0. 
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3) Para o circuito , determine i(t) para t>0: 
4)No circuito , a chave se move instantaneamente da posição A para B 
 em t = 0. Determine v(t) para qualquer t >0. 
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5) Determine a tensão no capacitor em função do tempo para t > 0 
para o circuito. Suponha a existência de condições de estado estável 
em t = 0-. 
6) Obtenha v(t) para t > 0 no circuito. 
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7) A chave muda da posição A para a posição B em t = 0 (observe 
atentamente que a chave tem de se conectar ao ponto B antes de ela 
desfazer a conexão em A, um interruptor). Determine i(t) para t > 0.