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Ca´lculo I Unifesp - 1o semestre de 2014 Lista de Exerc´ıcios 4 1. Calcule as integrais a seguir (a) ∫ 5 1 (2 + 3x− x2) dx (Resposta: 8 3 ) (b) ∫ √pi 0 (cosx) dx (Resposta: sen( √ pi)) (c) ∫ 2 1 (− 2 x + 3ex − 1) dx (Resposta: −2ln2 + 3e2 − 3e− 1) (d) ∫ 1 0 (3 + x √ x) dx (Resposta: 17 5 ) (e) ∫ (1− t)(2 + t2) dt (Resposta: 2t+ 1 3 t3 − t2 − 1 4 t4 + C) (f) ∫ (2x+ 1√ 1−x2 ) dx (Resposta: x 2 + arcsen(x) + C) (g) ∫ ( x2 + 1 + 1 x2+1 ) dx (Resposta: 1 3 x3 + x+ tan−1 (x) + C) (h) ∫ (2ey − cossec2(y))dy (Resposta: 2ey + cotan(y) + C) (i) ∫ 1 0 2 1+x2 , dx , com −pi 2 < x < pi 2 (Resposta: pi 2 ) (j) ∫ x+1 x dx (Resposta: x+ ln|x|+ C) (k) ∫ 3tan2(a)da (Resposta: 3tan(a)− 3a+ C) (l) ∫ √ x3+ 3√ x2−2x−1 3x dx (Resposta: 2 9 x 3 2 + 1 2 x 2 3 + 2 3 x−1 + C) 2. Calcule as integrais seguir, por substituic¸a˜o (a) ∫ a 0 (x √ a2 − x2) dx (Resposta: a3 3 ) (b) ∫ 1 0 (xe−x 2 ) dx (Resposta: 1−e −1 2 ) (c) ∫ cos(3x) dx (Resposta: sen(3x) 3 + C) (d) ∫ 2x3(x4 + 2)7 dx (Resposta: (x 4+2)8 16 + C) (e) ∫ tg(y) dy (Resposta: −ln|cos(y)|+ C) (f) ∫ dx n+x (Resposta:ln|n+ x|+ C) (g) ∫ e4 e 1 x √ ln(x) dx (Resposta: 2) (h) ∫ pi/2 0 xsen(x2)dx (Resposta: 1 2 − cos(pi2 4 ) (i) ∫ 1/2 1/6 cossec(pit)cotg(pit)dt (Resposta: 1/pi) (j) ∫ etg(x)sec2(x)dx (Resposta: etg(x) + C) (k) ∫ pi 2 0 cosx.esen(x)dx (Resposta: e− 1) (l) ∫ 1 0 x3 1+x2 dx (Resposta: 1 2 − ln(2) 2 ) 3. Calcule as seguintes integrais de func¸o˜es trigonome´tricas (a) ∫ cos3(x)dx (Resposta: sen(x)− sen3(x) 3 + C) (b) ∫ pi/2 −pi/2 cos2(x)dx (Resposta: pi/2) (c) ∫ cos7(3x)sen3(3x)dx (Resposta: − cos8(3x) 24 + cos 10(3x) 30 + C) (d) ∫ cos2(t)sen2(t)dt (Resposta: 1 16 ( 2t− sen(4t) 2 ) + C) (e) ∫ sen4(x)dx (Resposta: 1 32 (12x− 8sen(2x) + sen(4x)) + C) (f) ∫ tg3(x)sec(x)dx (Resposta: 1 3 sec3(x)− sec(x) + C) 4. Calcule as integrais seguir, por partes (a) ∫ xe2x dx (Resposta: e 2x 2 ( x− 1 2 ) + C) (b) ∫ 3 1 ln(2x)dx (Resposta: ln(108)− 2) (c) ∫ 3x4lnx dx (Resposta: 3x 5 5 (lnx− 1 5 ) + C) (d) ∫ exsenx dx (Resposta: 1 2 ex(senx− cosx) + C) (e) ∫ −1 −2 x 2e−2xdx (Resposta: 1 4 e2(5e2 − 1)) (f) ∫ x2sen(ax) dx (Resposta: −x2 cos(ax) a + 2x sen(ax) a2 + 2cos(ax) a3 + C) (g) ∫ eaxsen(bx) dx (Resposta: b 2 a2+b2 [ −eaxcos(bx) b + ae axsen(bx) b2 ] + C) (h) ∫ 3x2ex dx (Resposta: 3ex(x2 + x− 1) + C) 5. Calcule as integrais a seguir usando o me´todo da substituic¸a˜o trigonome´trica (a) ∫ dx√ x2 + a2 (Resposta: ln ∣∣∣∣∣ √ a2 + x2 + x a ∣∣∣∣∣+ C) (b) ∫ √ 4− (x− 1)2 dx (Resposta: 1 2 (x− 1)√−x2 + 2x+ 3 + sen−1(1−x 2 ) + C) (c) ∫ 1 x2 √ 16− x2 dx (Resposta: − √ 16− x2 16x + C) (d) ∫ 4 2 √ 16− x2 dx (Resposta: 4pi 3 − 2√3) (e) ∫ dx x3 √ x2 − 16 (Resposta: 1 128 ( 4 √ x2−16 x2 + 1 2 cos−1( 4 x ) ) + C) 6. Calcule as integrais abaixo utilizando o me´todo mais adequado (a) ∫ 0 −1 e2xdx (Resposta: 1 2 (1− e−2)) (b) ∫ sen3(x)√ cos(x) dx (Resposta: 2 √ cos(x) ( cos2(x) 5 − 1 ) + C) (c) ∫ e 1 dx x √ 1 + ln(x) (Resposta: 2 √ 2− 2) (d) ∫ dx sen−1(x) √ 1− x2 (Resposta: ln|sen −1(x)|+ C) (e) ∫ x sen(x)cos(x)dx (Resposta: −x 4 cos(2x) + 1 8 sen(2x) + C) (f) ∫ (ln(x))2dx (Resposta: x ln2(x)− 2(xln(x)− x) + C) (g) ∫ dx√ x2 + 5 (Resposta: ln ∣∣∣∣∣ √ 5x2 + 25 + √ 5x 5 ∣∣∣∣∣+ C) (h) ∫ x ex dx (Resposta: −(x+ 1)e−x + C) (i) ∫ xr ln(x)dx, r ∈ R Resposta: { xr+1 r+1 ln(x)− xr+1 (r+1)2 + C se r 6= −1 ln2(x) 2 + C se r = −1 (j) ∫ sen−1(x)dx (Resposta: x sen−1(x) + √ 1− x2 + C) (k) ∫ 1 0 1√ 4− x2 dx (Resposta: pi 6 ) (l) ∫ sen(ln(x))dx (Resposta: x 2 [sen(ln(x))− cos(ln(x))] + C) (m) ∫ sen3 ( x 2 ) cos5 ( x 2 ) dx (Resposta: cos8(x2 ) 4 − cos 6(x2 ) 3 + C) 7. Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre as curvas f(x) = 1−x2 e g(x) = 1−x. (Resposta: 1 6 ) 8. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = 2x2 e y = −x2−2x. (Resposta: 4 27 ) 9. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = √ x+ 1 e y = (x− 1)2, e pelas retas x = 2 e x = 0. (Resposta: 2 √ 3− 4 3 ) 10. Qual e´ a a´rea entre as curvas y = cos(x) e y = cos2(x) entre 0 e pi?( Reposta: 2)
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