Questão resolvida - Equação do plano tangente a um paraboloide - cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere a superficie do paraboloide de equação . Encontre z = f x, y = +( )
x²
9
y²
25
uma equação do plano tangente ao paraboloide no ponto .p = 6, 100 ( )
 
Resolução:
 
A equação do plano tangente a uma superfície é dada por:
 
z - f p = x - x + y - y( )
𝜕f p
𝜕x
( )
( 0)
𝜕f p
𝜕y
( )
( 0)
 
Temos que achar : , e f p
𝜕f p
𝜕x
( ) 𝜕f p
𝜕y
( )
( )
= e = , no ponto temos que :
𝜕f x, y
𝜕x
( ) 2x
9
𝜕f x, y
𝜕y
( ) 2y
25
 
= = = =
𝜕f p
𝜕x
( ) 𝜕f 6, 10
𝜕x
( ) 2 6
9
( ) 12
9
4
3
 
= = = =
𝜕f p
𝜕y
( ) 𝜕f 6, 10
𝜕y
( ) 2 10
25
( ) 20
25
4
5
 
f p = f 6, 10 = + = + = 4 + 4 = 8( ) ( )
6 ²
9
( ) 10 ²
25
( ) 36
9
100
25
 
Com isso, a equação do plano tangente ao paraboloide fica :
 
z - 8 = x - 6 + y - 10
4
3
( )
4
5
( )
 
distribuindo e arrumando os termos, temos :
 
z - 8 = x - ⋅ 6 + ⋅ y - ⋅ 10 z - 8 = x - 8 + ⋅ y - 8 z - 8 = ⋅ x + ⋅ y - 16
4
3
4
3
4
5
4
5
→
4
3
4
5
→
4
3
4
5
 
z - 8 - x - y + 16 = 0 z - x - y + 8 = 0 = 0
4
3
4
5
→
4
3
4
5
→
15z - 20x - 12y + 120
15
 
 
 
15z- 20x- 12y+ 120 = 0
 
 
 
(Resposta)