1 - Apostila - Engenharia da Qualidade

Prévia do material em texto

2012 
 2
 
EVOLUÇÃO DA GESTÃO PELA QUALIDADE 
 
 
 
 
 INSPEÇÃO 
 CONTROLE ESTATÍSTICO 
 GARANTIA DA QUALIDADE 
 QUALIDADE TOTAL 
 
INSPEÇÃO 
INSPECIONAR CONSISTE EM VERIFICAR O RESULTADO DE UM PROCESSO 
PRODUTIVO, COMPARÁ-LO A UM PADRÃO E DECIDIR SOBRE SUA 
APROVAÇÃO OU REJEIÇÃO. 
 
CONTROLE ESTATÍSTICO 
A INSERÇÃO DO CONTROLE ESTATÍSTICO TROUXE UMA REDUÇÃO NOS 
CUSTOS DE INSPEÇÃO, VIABILIZANDO O CONTROLE DA QUALIDADE NAS 
ATIVIDADES DE VERIFICAÇÃO SOBRE OS LOTES DE PRODUTOS FABRICADOS. 
 
GARANTIA DA QUALIDADE 
ESTA VISÃO SE BASEIA NO PRINCÍPIO DE QUE PARA SE CONSEGUIR A 
VERDADEIRA GARANTIA DA QUALIDADE DE UM PRODUTO, O CONTROLE 
DEVE COMEÇAR PELO SEU PROJETO, ESTENDER-SE À SUA ENTREGA, E 
TERMINAR QUANDO O USUÁRIO DEMONSTRAR SATISFAÇÃO COM O USO DO 
PRODUTO. 
 3
QUALIDADE TOTAL 
TAMBÉM CONHECIDO COMO O "CONTROLE DA QUALIDADE POR TODA A 
EMPRESA", A QUALIDADE TOTAL SE BASEIA NA INTEGRAÇÃO DAS 
ATIVIDADES DE FORMA SISTEMÁTICA, INTERFUNCIONALMENTE, SUPRIMINDO 
A VISÃO DA EMPRESA DEPARTAMENTALIZADA. 
 
QUADRO COMPARATIVO 
 
 
INSPEÇÃO 
CONTROLE 
ESTATÍSTICO 
GARANTIA DA 
QUALIDADE 
QUALIDADE 
TOTAL 
Preocupação 
básica 
Verificação Controle Coordenação 
Impacto 
Estratégico 
Ênfase 
Um problema a 
ser resolvido 
Um problema a 
ser resolvido com 
menos inspeções 
Um problema a 
ser resolvido 
proativamente 
Satisfação das 
necessidades do 
mercado 
Atividades 
Inspeção, 
classificação, 
contagem e 
avaliação 
Solução de 
problemas com 
aplicação de 
métodos 
estatísticos 
Planejamento e 
coordenação das 
atividades que 
influem na 
qualidade 
Contribuição 
efetiva de cada 
membro da 
organização 
 
 4
COMPARAÇÃO DAS VISÕES SOBRE QUALIDADE 
 
TRADICIONAL ATUAL 
 
Produtividade e qualidade são objetivos 
conflitantes 
 
Ganhos de produtividade são obtidos com a 
melhoria da qualidade 
 
 
Qualidade definida como conformidade com 
os requisitos 
 
 
Qualidade entendida como satisfação das 
necessidades do usuário 
 
 
Qualidade medida através do grau de não 
conformidade 
 
Qualidade medida pela melhoria contínua 
do produto, processo e satisfação do 
usuário 
 
 
Qualidade obtida através da intensiva 
inspeção de produto 
 
 
Qualidade determinada pelo projeto do 
produto e acompanhada por efetivas 
técnicas de controle 
 
 
Alguns defeitos são permitidos se o 
processo atinge padrões mínimos de 
qualidade 
 
 
Defeitos são prevenidos através de técnicas 
preventivas de controle de processo 
 
Qualidade como função separada e o foco 
de atenção em avaliação 
 
 
Qualidade como parte de cada função em 
todas as fases do ciclo operacional 
 
 
Pessoas são culpadas por má qualidade 
 
A gerência é responsável pela qualidade 
 
 
Relações com fornecedores são curtas e 
orientadas para custo 
 
Relações com fornecedores são longas e 
orientadas para qualidade 
 
 
 5
 
 
 
 
 
 
ESTRATIFICAÇÃO 
 
 
- É uma forma de dividir ou separar um conjunto de dados em vários outros, 
denominados camadas ou estratos. 
 
Finalidade: Possibilitar melhor avaliação das características de um problema 
por meio de agrupamento de dados. 
 
Agrupamentos: Tempo, local, tipo, sintoma, indivíduo, outros 
 
 
 
ESTRATIFICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AS FERRAMENTAS BÁSICAS DA QUALIDADE 
 6
FOLHA DE VERIFICAÇÃO 
 
- É um formulário onde os estratos a serem observados foram previamente definidos e 
impressos. 
 
Finalidade: 
 Facilitar a coleta de dados; 
 Tornar prático o manuseio dos dados em cálculos estatísticos 
 
Dicas: 
 O pessoal envolvido na coleta de dados deve estar devidamente 
informado e treinado; 
 O volume de dados a ser coletado deve ser representativo do todo; 
 Os dados devem ser coletados de modo aleatório; 
 Os dados, sempre que possível, devem ser associados a símbolos, 
contagens ou marcações 
 O universo sob observação deve ser homogêneo. Se não, deve ser 
inicialmente estratificado (agrupado) e cada grupo observado 
individualmente. 
 
 
GRÁFICO DE PARETO 
 
- É uma forma especial do gráfico de barras verticais organizadas em ordem 
decrescente de ocorrências. 
 
Finalidade: 
 Identificar as causas que determinam a maioria das perdas 
(problemas) (poucas causas são vitais e muitas são triviais); 
 Analisar diferentes grupos de dados; 
 Comparar o efeito após mudança no processo. 
 
Etapas: 
1. Identificar o problema; 
2. Coletar dados (folha de verificação); 
 7
 
3. Organizar dados (folha de verificação); 
4. Calcular os percentuais relativos e acumulados; 
5. Elaborar o gráfico de Pareto. 
 
GRÁFICO DE PARETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE CAUSA E EFEITO ("ISHIKAWA") 
 
- Representa a relação entre o efeito e todas as possibilidades de causas que podem 
contribuir para este efeito. 
 
Finalidade: 
 Identificar de modo simples, rápido e sistemático a relação múltipla 
entre causa e efeito; 
 É também utilizado para estabelecer os itens de verificação. 
 8
 
 
Etapas: 
1. Identificar o problema; 
2. Desenhar a cabeça do diagrama (efeito); 
3. Listar as causas; 
4. Identificar o diagrama de causa e efeito. 
 
 
DIAGRAMA DE CAUSA E EFEITO 
 
 
 
 
 
 
 
 9
HISTOGRAMA 
 
- É uma ferramenta que envolve a medição de dados e mostra a sua distribuição. 
Mostra quanto de variação existe em qualquer processo. 
 
Finalidade: 
 Verificar a capacidade do processo, ou seja, a quantidade de variação 
existente no mesmo; 
 Comparar a distribuição dos dados com limites de especificação; 
 Averiguar a existência de dados dissociados dos demais; 
 Checar a forma da distribuição dos dados. 
 
Etapas: 
1. Identificar a variável; 
2. Coletar dados (N > 30); (em geral: 50 < N < 200); 
3. Encontrar os valores máximo e mínimo; 
4. Definir o número de classes (5 < K < 20); 
5. Calcular a largura (intervalo) da classe [h = (Xmáx-Xmin) / K] 
6. Calcular os limites de classe; 
7. Elaborar a tabela de freqüência; 
8. Desenhar o histograma. 
 
 
Número de classes 
 
Quantidade de dados (n) Número de classes (K) 
40 - 60 6 
61 - 80 8 
81 - 100 10 
101 - 150 12 
151 - 200 16 
> 200 20 
 
 10
Alguns autores indicam também: 
 
Quantidade de dados (n) Número de classes (K) 
< 50 5 a 7 
de 50 a 100 6 a 10 
de 100 a 250 7 a 12 
> 250 10 a 20 
 
 
São também aceitas as fórmulas: 
a) k = 1 + 3,222log n 
b) k = √n 
 
 
6ª etapa: 
 
1ª classe: Xmin - D 
2ª classe: 1ª classe + h 
3ª classe: 2ª classe + h ( e assim por diante) 
 
última classe = penúltima classe + h 
 
 11
 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 13
GRÁFICO DE CORRELAÇÃO 
 
- Mostra a relação entre duas variáveis quaisquer. 
 
Finalidade: 
 Estudar a relação entre duas variáveis quaisquer, que podem ser: 
duas características de qualidade, uma causa e um efeito ou mesmo 
duas causas relacionadas a um mesmo efeito; 
 
Etapas: 
1. Identificar as variáveis; 
2. Coletar dados (N > 30 pares); 
3. Desenhar as escalas (é conveniente que ambas as escalas tenham o 
mesmo comprimento); 
4. Plotar os pontos; 
5. Registrar as informações. 
 
Tipos de correlação: 
1. Correlação positiva forte; 
2. Correlação positiva moderada; 
3. Correlação negativa forte; 
4. Correlação negativa moderada; 
5. Ausência de correlação. 
 14
GRÁFICOS DE CORRELAÇÃO15
GRÁFICO DE CONTROLE 
 
- Permite a representação de uma variável qualquer do processo, entre limites de 
controle previamente calculados. 
 
- Os gráficos de controle são bastante usados no CONTROLE ESTATÍSTICO DO 
PROCESSO - CEP, pois através de sua análise podemos identificar e corrigir, em 
tempo hábil, quaisquer variações. 
 
 
 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
 
 
1. Introdução 
 
Estatística é a ciência responsável pelo estudo dos dados. Ela se preocupa com a 
coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, de forma a: 
 
1. Evitar a manipulação de números para se obter resultados tendenciosos. 
2. Ajudar na tomada de decisões. 
3. Ajudar na elucidação de problemas. 
4. Contribuir na pesquisa científica. 
 
A estatística deve ser vista como uma ferramenta que irá auxiliar no processo de 
tomada de decisão. 
 
Envolve dois diferentes processos: 
1 – descrever grande número de informações (dados) 
2 – obter conclusões (tomada de decisão, predição, etc.) normalmente baseando-se 
numa amostra. 
 
 16
2. Elementos básicos de um estudo estatístico 
 
a) População: é um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em 
comum (pessoas, objetos, eventos, etc) que se deseja estudar. 
Exemplos: (1) todos os trabalhadores do Brasil; (2) todos as pessoas que possuem 
título de eleitor do Espírito Santo; (3) todas as plantas de café em uma propriedade; (4) 
os alunos de uma determinada Faculdade, etc. 
 
b) Amostra: é uma parte representativa da população, retirada ou escolhida de forma 
aleatória ou sistemática, por um processo de amostragem, para se poder ter 
representado nesta amostra as tendências da população. 
Exemplo: quando se faz uma pesquisa eleitoral, é impraticável entrevistar toda a 
população de um país, estados ou municípios, desta forma, seleciona-se, com base em 
algumas informações, uma amostra de pessoas que represente o país, estado ou 
município. 
 
c) Variáveis: são as características ou propriedades de interesse no estudo de uma 
população. 
Exemplo: avaliação das variáveis: idade, sexo e número de anos de formação escolar 
das pessoas desempregadas em certo município, etc. 
 
d) Unidades amostrais ou unidades de observação: são elementos a partir dos 
quais são levantadas as informações. 
Exemplo: municípios, propriedades agrícolas, postos meteorológicos, pontos em fotos 
aéreas, estabelecimentos comerciais ou industriais. 
 
O procedimento estatístico aplicado dependerá da natureza das variáveis. 
Quanto a sua natureza, as variáveis poder ser classificadas em: 
a) Variáveis quantitativas discretas e contínuas 
b) Variáveis qualitativas nominais e ordinais 
 
a) – Variáveis quantitativas 
As variáveis quantitativas referem-se às quantidades medidas numa escala numérica e 
podem ser divididas em dois grupos: discretas e contínuas. 
 17
 
a) Variáveis quantitativas discretas: referem-se às variáveis numéricas que assumem 
somente números inteiros e positivos, e normalmente podem ser medidas por 
processos de contagem: 0, 1, 2, 7, 21, ..., 55,... 
Ex: Quantidades de vendas diárias de uma empresa 
Número de movimento das contas correntes dos clientes de um banco 
Quantidade de peças defeituosas de um lote de produção 
 
b) Variáveis quantitativas contínuas: referem-se às variáveis que podem assumir 
qualquer valor dentre os números reais. 
Ex: O valor de vendas diárias de uma empresa; 
O valor dos movimentos das contas correntes dos clientes de um banco; 
O consumo mensal de energia elétrica; 
A altura das plantas de milho de uma plantação; 
O peso de caixas de bombons. 
 
b) - Variáveis qualitativas 
As variáveis qualitativas referem-se às variáveis não-numéricas e são classificadas em 
variáveis nominais e variáveis ordinais. 
 
a) Variáveis qualitativas nominais: não têm ordenamento nem hierarquia. 
Ex: O sexo dos funcionários cadastrados em uma empresa; 
O nome das empresas que têm ações negociadas na bolsa de valores. 
 
b) Variáveis qualitativas ordinais: são equivalentes às variáveis nominais, porém 
incluindo uma ordem ou hierarquia. 
Ex: O cargo dos funcionários cadastrados em uma empresa: presidente, diretor, 
gerente, etc. 
A posição das dez primeiras empresas mais lucrativas que têm ações negociadas na 
bolsa de valores: primeira, segunda, .... 
 
 
 
 
 18
3. Amostragem 
 
3.1 Amostragem intencional: 
Os indivíduos ou amostras selecionados são considerados típicos ou representativos 
do total da população. São os “estudos de caso”, muito comuns na geografia, nos quais 
uma fazenda, município, cidade ou bacia hidrográfica são selecionados e estudados 
como exemplos de uma área mais abrangente. 
Deve-se lembrar que amostras intencionais não se prestam a tratamentos estatísticos 
que levem a inferências sobre a população sendo seus resultados válidos somente 
dentro dos limites da própria amostra. 
 
3.2 Amostragem probabilística: 
Caracteriza-se por privilegiar o elemento chance na escolha das unidades amostrais. A 
aleatoriedade da seleção dos indivíduos amostrados é o princípio básico deste tipo de 
amostragem que se assenta em teorias e regras matematicamente estabelecidas de tal 
sorte que os resultados obtidos para a mostra podem ser estendidos para a população 
com grau de confiança determinado. 
Há várias maneiras de se proceder quanto à seleção aleatória de amostras. 
A seleção ou retirada da amostra obedece, de modo geral, à algumas condições. 
Na seleção casual simples, os elementos da lista são numerados de 1 a n, na ordem 
em que aparecem, e com auxílio de uma tábua de números aleatórios, os elementos da 
amostra são retirados. 
Na seleção sistemática é conveniente que os dados estejam ordenados (por valor, 
ordem alfabética, etc.) 
Conhecendo o número total de elementos da população (N) e o número de elementos 
que se deseja retirar na amostra (A) pode-se estabelecer o intervalo constante (K) para 
a seleção das unidades amostrais fazendo-se K= 
A
N 
em que 
K é o intervalo constante para a seleção; 
N é o número total de elementos da população; 
A é o número de elementos que se deseja retirar na amostra. 
 
 19
Por exemplo, tem-se uma população de 2000 elementos de deseja-se uma amostra de 
200 (10%), tem-se que: 
K= 
A
N = 
200
2000 =10 
o que significa que deve ser retirado um elemento em cada 10. 
 
3.3. Tamanho da amostra 
Qual o tamanho da amostra deve ser utilizado para representar com certo grau de 
confiança uma determinada população? 
 
O tamanho da amostra é basicamente função do número de indivíduos componentes 
da população, sua variabilidade e nível de precisão desejada para as inferências a 
partir da amostra. 
 
Geralmente, quanto maior o número de indivíduos na população (N) proporcionalmente 
menor será o número de indivíduos que devem ser selecionados pela amostra. 
Quanto maior a variabilidade da população, maior deverá ser a amostra. Quanto maior 
a precisão desejada, maior deverá ser a amostra. 
 
Para a determinação do tamanho da amostra, o pesquisador precisa especificar o erro 
amostral tolerável, ou seja, o quanto ele admite errar na avaliação dos parâmetros de 
interesse. Por exemplo, na divulgação de pesquisas eleitorais, é comum encontrar no 
relatório, algo como: “a presente pesquisa tolera um erro de 2%”. Isto significa que, 
quando a pesquisa aponta determinado candidato com 20% de intenção de voto do 
eleitorado, está afirmando que a preferência por este candidato é um valor do intervalo 
de 18% a 22%, ou seja, 20% + 2%. 
 
Erro amostral é a diferença entre o valor que a estatística pode acusar e o verdadeiro 
valor do parâmetroque se deseja estimar. 
 
 20
3.3.1. Cálculo do tamanho da amostra 
Será apresentado um método simples para calcular tamanho de amostra. 
Mesmo sem conhecer o tamanho da população, pode ser feita uma primeira 
aproximação do tamanho da amostra, que será utilizado posteriormente para calcular o 
tamanho da amostra, através da seguinte expressão: 
 
 
En 200
1
 
em que: 
n0 = uma primeira aproximação para o tamanho da amostra; 
E0 = erro amostral tolerável; 
Conhecendo o tamanho N da população, pode-se corrigir o cálculo anterior por: 
 
 
n
n
N
N
n
0
0.

 
 
em que: 
n = tamanho (número de elementos) da amostra; 
N = tamanho (número de elementos) da população; 
 
Exemplo 1: Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas 
características da população das 200 famílias moradoras de um certo bairro. Estas 
características (parâmetros) são especialmente do tipo percentagens, tais como, a 
percentagem de famílias que usam programas de alimentação popular, a percentagem 
de famílias que mora em casas próprias, etc. Qual deve ser o tamanho de uma amostra 
aleatória simples, tal que se possa admitir que os erros amostrais não ultrapassem 
4%? 
 
Solução: 
200 famílias : N = 200 
Erros amostrais de 4%  E0 = 0,04 
Uma primeira aproximação: 
En 200
1
 = 
)04,0( 2
1 = 625 famílias 
 21
Corrigindo, em função do tamanho (N) da população, tem-se: 
 
 
n
n
N
N
n
0
0.

 = 
625200
)625).(200(

= 
825
125000 = 152 famílias 
 
 
Exemplo 2: Considerando os mesmos objetivos e valores do exemplo anterior, qual 
deveria ser o tamanho da amostra se a pesquisa fosse estendida para toda a cidade, 
que contém 200.000 famílias residentes? 
 
Solução: O valor de n0 continua o mesmo do caso anterior (n0 =625), pois n0 
independe do tamanho da população N. Fazendo a correção em termos do novo valor 
de N, tem-se: 
 
 
n
n
N
N
n
0
0.

 = 
625200000
)625).(200000(

= 623 famílias 
 
No último exemplo pôde-se observar que a correção com o tamanho N da população, 
praticamente não alterou o cálculo inicial do tamanho da amostra (n0 =625 e n=623). 
Em geral, se a população for muito grande (dezenas de milhares de elementos), o 
cálculo do tamanho da amostra pode ser feito pela primeira expressão: 
En 200
1
 = n 
sem levar em conta o tamanho exato, N, da população. 
 
 22
Exercício: 
Para uma taxa de erro amostral constante (2%), calcule o tamanho da amostra (n), 
quando a população de interesse apresentar as dimensões (N) listadas no quadro a 
seguir. Completar o quadro e fazer um gráfico plotando os valores de N no eixo x e n 
no eixo y. 
 
N n0 n 
500 
1000 
5000 
10000 
50000 
100000 
500000 
1000000 
10000000 
100000000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
DEFINIÇÃO DE CONTROLE DE PROCESSO 
 
 PROCESSO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONTROLE 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO DE PROCESSO PRODUTIVO E ADMINISTRATIVO 
 
Componente Fabricação de Papel Contratação de Funcionário 
fornecedor (f) fabricante de celulose mercado de trabalho 
entradas (e) celulose candidatos 
processo (p) cozimento e calandragem seleção e recrutamento 
saída (s) papel candidato aprovado 
cliente (c) empresas do mundo todo área solicitante 
 
 
 Todo trabalho executado em uma empresa pode ser visto 
como um processo, ou seja, um conjunto de atividades 
realizadas com um determinado propósito; 
 Um processo nada mais é do que a combinação de pessoas, 
máquinas, métodos, etc. com a finalidade de se obter um 
produto (bem ou serviço). 
 
 Processo gerencial de estabelecimento e agrupamento de 
padrões, visando manter uniforme a QUALIDADE do produto. 
 24
CONTROLE DO PRODUTO x PROCESSO 
 
Tipo de Controle Produto Processo 
Ênfase Detecção de defeitos Prevenção de defeitos 
Objetivo Separar itens bons dos ruins Evitar itens ruins 
Padrão de 
Comparação Limites de especificação Limites de controle 
Tipo de Ação Inspeção Controle 
Responsável Operador ou inspetor Todos os envolvidos 
 
 
 
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO 
 
 
É um método preventivo de se comparar, continuamente, os resultados de um 
processo com padrões, identificando a partir de dados estatísticos, as tendências para 
variações significativas, a fim de eliminar / controlar essas variações, com o objetivo de 
reduzi-las cada vez mais. 
 
 
 25
 
VANTAGENS NA UTILIZAÇÃO DO CEP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diversas são as vantagens da aplicação do CEP nas operações de uma 
empresa. Provavelmente as mais importantes são: 
 
a) Determinar o tipo de ação requerida (local ou no sistema) e, 
consequentemente, estabelecer a responsabilidade pela sua adoção 
(operação ou administração); 
b) Reduzir a variabilidade das características críticas dos produtos de 
forma a obter-se uma maior uniformidade e segurança dos itens 
produzidos; 
c) Permitir a determinação da real viabilidade de atender às especificações 
do produto ou às necessidades dos clientes, em condições normais de 
operação; 
d) Implantar soluções técnicas e administrativas que permitam a melhoria 
da qualidade de (principalmente) aumento da produtividade; 
e) Possibilitar o combate às causas dos problemas ao invés de seus 
efeitos, de modo a erradicá-los definitivamente do sistema de trabalho. 
 26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mapa de processo deve descrever: 
 Os limites do processo: onde começa e onde termina (escopo do trabalho). 
 
 Principais atividades / tarefas. 
 
 Parâmetros: 
 
 Parâmetro de produto final (Y maiúsculo): 
Caracteriza o produto do processo no estágio de produto acabado. 
 
 Parâmetro de produto em processo (y minúsculo): 
 
Caracteriza o produto antes do estágio de produto acabado. 
 
 Parâmetro de processo (x): 
 
Variável mensurável de um processo que pode afetar os parâmetros de 
produto. 
 
MAPAS DE PROCESSO 
 
 27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAPA DO PROCESSO “FURAÇÃO” 
 
ALINHAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
FIXAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
 
FURAR (Fazer 
o furo) PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
ALINHADA 
PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
FIXADA 
PRODUTO 
FINAL: 
PEÇA 
FURADA 
X = LIMPEZA DA PEÇA 
X = LIMPEZA DA BASE 
X = IDADE DOS PINOS DE 
ALINHAMENTO 
X = LIMPEZA DOS PINOS 
DE ALINHAMENTO 
X = FORÇA DO GRAMPO 
X = LOCALIZAÇÃO DO 
GRAMPO 
X = VELOCIDADE 
X = TIPO DE 
REFRIGERANTE 
X = DESIGN DA 
FERRAMENTA 
X = IDADE DA 
FERRAMENTA 
X = DUREZA DO 
MATERIAL 
y = POSIÇÃO DA 
PEÇA NA 
FURADEIRA 
y = ESTABILIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
y = PLANICIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
Y = DIÂMETRO DO 
FURO 
Y = CONCENTRICIDADE 
DO FURO 
 28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DE PROCESSO 
 
 Parâmetro de Processo Controlável: 
 
Variável que pode ser ajustada em um valor pré-determinado e mantida em torno 
deste valor. 
 
 Parâmetro de Ruído: 
 
Variável que não pode ser ajustada em um valor pré-determinado e mantida em 
torno deste valor. 
 
MAPA DO PROCESSO “FURAÇÃO”ALINHAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
FIXAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
 
FURAR (fazer 
o furo) 
PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
ALINHADA 
PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
FIXADA 
PRODUTO 
FINAL: 
PEÇA 
FURADA 
(R) LIMPEZA DA PEÇA 
(R) LIMPEZA DA BASE 
(C) IDADE DOS PINOS DE 
ALINHAMENTO 
(R) LIMPEZA DOS PINOS 
DE ALINHAMENTO 
(C) FORÇA DO GRAMPO 
(R) LOCALIZAÇÃO DO 
GRAMPO 
(C) VELOCIDADE 
(C) TIPO DE 
REFRIGERANTE 
(C) DESIGN DA 
FERRAMENTA 
(C) IDADE DA 
FERRAMENTA 
(R) DUREZA DO 
MATERIAL 
y = POSIÇÃO DA 
PEÇA NA 
FURADEIRA 
y = ESTABILIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
y = PLANICIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
Y = DIÂMETRO DO 
FURO 
Y = CONCENTRICIDADE 
DO FURO 
Legenda: (C) = Parâmetro Controlável 
 (R) = Parâmetro de Ruído 
 29
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARÂMETRO CRÍTICO 
 
 
 O mapa de processo é base para a caracterização do processo 
 
 É a determinação dos relacionamentos existentes entre os parâmetros 
de processo e os parâmetros de produto: 
 
 
 
 Se a caracterização do processo indica que a variação em um parâmetro 
controlável ou em um parâmetro de ruído exerce um impacto significativo na 
performance do produto (medida pelos parâmetros de produto), aquele 
parâmetro é identificado como um parâmetro crítico. 
 
 
 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALINHAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
FIXAR A 
PEÇA NA 
BASE DA 
FURADEIRA 
 
 
FURAR (fazer 
o furo) PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
ALINHADA 
PRODUTO 
EM 
PROCESSO: 
PEÇA 
FIXADA 
PRODUTO 
FINAL: 
PEÇA 
FURADA 
 (R) LIMPEZA DA PEÇA 
 (R) LIMPEZA DA BASE 
 (C) IDADE DOS PINOS 
DE ALINHAMENTO 
*(R) LIMPEZA DOS PINOS 
DE ALINHAMENTO 
*(C) FORÇA DO GRAMPO 
 (R) LOCALIZAÇÃO DO 
GRAMPO 
*(C) VELOCIDADE 
 (C) TIPO DE 
REFRIGERANTE 
 (C) DESIGN DA 
FERRAMENTA 
 (C) IDADE DA 
FERRAMENTA 
 (R) DUREZA DO 
MATERIAL 
y = POSIÇÃO DA 
PEÇA NA 
FURADEIRA 
y = ESTABILIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
y = PLANICIDADE DA 
PEÇA NA BASE 
Y = DIÂMETRO DO 
FURO 
Y = CONCENTRICIDADE 
DO FURO 
Legenda: (C) = Parâmetro Controlável 
 (R) = Parâmetro de Ruído 
 * = Parâmetro Crítico 
MAPA DO PROCESSO “FURAÇÃO” 
 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C A T E G O R I A S D E V A R I A Ç Õ E S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES QUE CONTRIBUEM PARA AS VARIAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V A R I A Ç Ã O 
 
NÃO EXISTEM DOIS 
OBJETOS EXATAMENTE 
IGUAIS 
DENTRO DA PEÇA 
PEÇA A PEÇA 
AO LONGO DA PEÇA 
 
AMBIENTE 
 
OPERADORES 
 
INSPEÇÃO 
 
PROCESSO 
 
MATERIAIS 
 32
VARIAÇÕES 
 
- Qualquer processo apresenta variabilidade, isto é um fato da natureza. As variações 
que ocorrem num processo de produção podem ser desmembradas em duas 
componentes: 
 Uma de difícil controle chamada Variação Aleatória ou Comum; 
 E outra controlável, chamada de Causal ou Especial ou Identificável. 
Pode-se dizer então, que a Variação Total é a soma das Variações Especiais e 
Comuns. 
 
 
 
Causas de variação 
 Causa comum: 
 É definida como uma fonte de variação que afeta a todos os valores 
individuais de um processo. É resultante de diversas origens, sem que 
nenhuma delas tenha predominância sobre a outra; 
 A variação devido a causas comuns está sempre presente, ela não pode ser 
reduzida sem mudanças na concepção do processo; 
 Quando somente estas variações estão presentes, a melhoria da qualidade 
do produto precisa de decisões gerenciais que envolvem, por vezes, 
investimentos significativos. 
 
 Causa especial: 
 É um fator que gera variações que afetam o comportamento do processo de 
maneira imprevisível. Uma ou poucas causas produzem grandes variações 
no processo; 
 Não é possível obter-se um padrão ou distribuição de probabilidade; 
 Diferencia-se da causa comum pelo fato de produzir resultados totalmente 
discrepantes com relação aos demais valores; 
 Em geral, a correção pode ser feita na própria linha e não envolve 
investimentos significativos. 
 
 
Variação Total = Variação Comum + Variação Especial 
 33
CAUSAS ALEATÓRIAS X CAUSAS IDENTIFICÁVEIS 
 
(CAUSAS COMUNS X CAUSAS ESPECIAIS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
 
CAUSAS COMUNS E CAUSAS ESPECIAIS DE VARIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE CEP 
 
As indústrias podem ser classificadas nas seguintes categorias quanto ao seu processo 
de produção: 
 
 Produção em massa: caracteriza-se por produzir um ou poucos tipos de produtos, 
com baixa diferenciação e em grandes quantidades. Normalmente adota arranjo 
físico linear (linha de montagem) com pouca flexibilidade. 
 
 Produção intermitente (repetitiva ou sob encomenda): engloba a maior parte da 
indústria nacional, onde já existe uma diversificação maior do que no caso anterior, 
podendo possuir uma linha própria de produtos ou fabricando apenas sob 
 36
especificação do cliente. O arranjo físico costuma ser funcional, com equipamentos 
flexíveis. 
 
 Produção enxuta: nesta categoria estão aquelas indústrias que adotaram os 
modernos conceitos de produção, tais como sistema just-in-time, células de 
manufatura, manufatura integrada por computador, etc. Caracteriza-se por possuir 
baixos estoques, equipamentos versáteis e flexibilidade para mudança de volumes 
e tipos de produtos. 
 
 Processo contínuo: esta categoria é representada pelas indústrias químicas e 
petroquímicas, além de outro sem número de empresas, onde não existem 
unidades discretas (unidades individuais) de produto durante o processo, mas 
somente ao final deste, quando da sua embalagem. 
 
 
SISTEMAS DE PRODUÇÃO E TIPOS DE CEP 
 
Sistemas de Produção Tipo de CEP 
Produção em Massa Convencional 
Produção Intermitente 
(Repetitiva ou Sob Encomenda) 
Convencional 
e Pequenos Lotes 
Produção Enxuta Pequenos Lotes 
Processo Contínuo 
 Processo Contínuo 
Processo em Bateladas Convencional 
 
 
 37
 Convencional: Grande quantidade de dados; produtos discretos (unidades 
individuais). 
 
 Pequenos lotes: Escassez de dados; grande diversificação de produtos que 
passam pelo mesmo equipamento. 
 
 Contínuo ou em Bateladas: Produto de natureza contínua (não é possível definir 
claramente o que seja uma unidade de produto). As quantidades produzidas são 
variáveis, podendo haver pouca ou muita diferenciação. Normalmente são 
produzidos no mesmo equipamento. 
 
 
PROCESSOS "DISCRETOS" E CONTÍNUOS 
 
 
 Discreto Contínuo 
Entradas 
 Materiais manufaturados  Materiais da natureza 
 Menor variabilidade  Maior variabilidade 
Controle do 
Processo 
 Manual ou 
semi-automático 
 Semi ou totalmente 
automático 
 Baixa quantidade de 
controles 
 Alta quantidade de 
controles 
 Alteração nos controles 
gera resultado imediato 
 Alteração é lenta e 
gradual 
Saídas 
 Peças ou subconjuntos  Fluxo contínuo ou lotes de material 
 A saída pode ser alterada 
instantaneamente 
 A saída muda 
gradualmente 
 
 
 
 38
CARACTERIZAÇÃO DE AMOSTRAS 
 
 
Medidas de Centralização: 
 Média: )(x 
É calculada como sendo a somade todos os valores da amostra, divididos pela 
quantidade total de valores (n). 
 
n
x
n
i
ix
 1 
 Mediana: ( x~ ) 
É calculada como sendo o termo ordenado de ordem (n + 1)/2, quando se tem 
uma quantidade ímpar de valores, ou a soma do termo de ordem n/2 com o termo 
de ordem n/2 + 1, divididos por 2, quando a quantidade é par. 
 
Medidas de Dispersão 
 Desvio - padrão: (s) 
É definido como sendo a raiz quadrada da soma dos desvios quadráticos de 
cada valor com relação à média, divididos por (n - 1). 
 
 s = 
1
1
2)(

 

n
i
n
i
xx
 
 
 Amplitude (R) 
É a diferença entre o maior e o menor valores da amostra. 
 R = xmáx.- xmin. 
 39
Seja o seguinte conjunto de valores: 
 
{12,1; 12,5; 11,7; 13,1; 12,5} 
 
Item Fórmula Valor 
 
Média 
 5
5,131,137,115,121,12 
x 12,4 
Mediana 11,7 - 12,1 - 12,5 - 12,5 - 13,1 12,5 
Desvio Padrão 
4
)4,125,12(.....)4,121,12( 22 
s 0,52 
Amplitude R = 13,1 - 11,7 1,4 
 
 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
DADOS AGRUPADOS 
 
Amostra Valores x-barra R 
1 7 24 24 20 25 20,0 18 
2 17 37 28 16 26 24,8 21 
3 12 22 40 36 34 28,8 28 
4 52 34 29 36 24 35,0 28 
5 28 28 34 29 48 33,4 20 
6 30 27 48 32 25 32,4 23 
7 36 21 31 22 28 27,6 15 
8 5 33 15 26 42 24,2 37 
9 50 34 37 27 34 36,4 23 
10 21 17 20 25 16 19,8 9 
11 34 18 29 43 24 29,6 25 
12 18 35 26 23 17 23,8 18 
13 10 28 19 26 21 20,8 18 
14 21 23 33 28 38 28,6 17 
15 27 41 15 22 23 25,6 26 
16 31 19 39 21 38 29,6 20 
17 37 46 22 26 25 31,2 24 
18 13 32 35 44 45 33,8 32 
19 9 44 25 32 39 29,8 35 
20 14 27 34 34 52 32,2 38 
 Total 567,4 475 
 
 
 41
CARACTERIZAÇÃO DA POPULAÇÃO 
 
 
Medidas de Centralização: (µ)  ( x ; x ) 
A média da população costuma ser representada pela letra grega  (mi) 
Na prática, este valor nunca é conhecido e, portanto, deve ser estimada 
(substituída) pelo valor de x barra, quando se possui uma única amostra ou por x-
duas barras, quando se possuir mais de uma amostra. 
 x = 
k
k
i
ix
1 
 
 Medida de Dispersão: ()  ( R ) ( s ) 
O desvio-padrão da população é representado pela letra grega  (sigma). Como 
também é desconhecido, costuma ser substituído por R-barra ou, até, por s-barra. 
Contudo, ao fazer esta substituição, incorre-se em um erro chamado de vício, ou 
seja, não é possível a simples substituição de um valor pelo outro sem se proceder 
ao uso de um fator de correção. 
 
k
R
k
i
iR
 1 e 
cd
sR
42
ˆ  
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
µ 
 42
 
Por se tratar de uma distribuição contínua de probabilidade, ou seja, em que a variável 
pode assumir quaisquer valores, deve-se sempre trabalhar com áreas da distribuição 
normal. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA - N(0,1) 
 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
99,54% 
68,26% 
99,74% 
X 
f(x) 
 43
 CUIDADOS NA AMOSTRAGEM 
 
O uso eficaz do CEP depende, sobretudo, do perfeito entendimento de como as 
amostras devem ser obtidas do processo, de modo a permitir a análise da variação 
desejada. 
 
Alguns cuidados: 
 
 Amostras Compostas: Em muitos lugares é comum obter-se amostra de hora em 
hora para que, ao final do dia, compô-las (ou seja, juntá-las) em uma única 
amostra. Se o objetivo da empresa é ter uma noção da média do dia deste 
processo, então este procedimento é adequado. Contudo, como o valor da amostra 
composta constitui-se numa média diária, não será possível avaliar a variabilidade 
do desempenho global do processo ao longo do dia, já que podem, por exemplo, 
ter sido obtidos valores muito baixos no princípio da manhã, sendo compensados 
por valores altos no período da tarde. Logo, a média em nada refletirá este 
comportamento. 
 Amostras Subdivididas em Amostras Menores: Outra prática comum é a de 
obter uma única amostra durante um dado período e, então, dividi-la em amostras 
menores (sub-amostras) para análise pelo laboratório. Se eventualmente forem 
verificadas diferenças entre resultados, elas devem ser atribuídas tão somente à 
variação do sistema de medição (instrumento, analista e método) e não ao 
processo de onde a amostra foi obtida. 
 Misturas de Diferentes Fontes de Variação: Quando existem diversas linhas de 
fabricação em análise, que ao final se juntam num único fluxo de material, disto 
decorre que a amostra retirada neste ponto é o resultado médio de desempenho de 
todas as linhas em conjunto. Neste caso, não é possível ter-se uma idéia se há 
diferença significativa entre as linhas - ou não - com este procedimento e, portanto, 
importantes informações podem ser negligenciadas. 
 Mistura de Amostras de Diferentes Lotes: Quando se tem um determinado 
equipamento funcionando de modo ininterrupto e, acoplado a este, um outro 
funciona de modo intermitente (em bateladas, por exemplo), na hora de se retirar a 
amostra não se deve misturar numa mesma amostra materiais de diferentes lotes, 
ou então esta indicará tanto variação do material do lote, como eventuais 
 44
diferenças entre lotes. Se esta for excessiva, não haverá meio de identificar qual a 
origem do problema. 
 Materiais Contínuos: Quando materiais são produzidos em um processo, de forma 
contínua, tal como laminação de alumínio, tecelagem de tecidos, extrusão de 
perfis, trefilação de fios metálicos, fabricação de papel, etc. o controle da variação 
das propriedades no sentido longitudinal se dá de modo totalmente independente 
do controle no sentido transversal. Não há sentido em se utilizar um tipo de 
variação como base para a análise da outra. 
 
 
GRÁFICO DE CONTROLE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conceito de Gráfico de Controle 
 
Comparação gráfica de dados amostrais com limites de controle 
estabelecidos, de acordo com técnicas estatísticas. 
 45
 
 
 
 
 
Uso dos Gráficos de Controle 
 
Determinar as causas de variação dos dados 
√ Aleatórias (ou comuns) 
√ Identificáveis (ou especiais) 
Conceito de Atributos 
 
 Avaliação baseada numa classificação: 
√ Cor 
√ "Maior ou menor" 
√ Presença ou ausência de "defeitos" 
Conceito de Variáveis 
 
 Resultados numéricos baseados em medições. 
√ Comprimento de um eixo 
√ Diâmetros interno e externo de um tubo 
√ Resistência elétrica 
√ Tempo de fusão 
 
 Vantagens do Controle por Atributos 
 
√ Rapidez 
√ Simplicidade 
Vantagens do Controle por Variáveis 
 
√ Amostras menores 
√ Precisão 
(Cálculos aritméticos) 
 46
 
ESQUEMA GERAL DOS GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 
LIMITES DE CONTROLE 
 
2 4 5 3 6 7 8 9 10 1 
 
 
LSC = LIMITE SUPERIOR DE CONTROLE 
LM = LINHA MÉDIA 
LIC = LIMITE INFERIOR DE CONTROLE 
 + 3 
 
 - 3 
M
éd
ia
 d
as
 A
m
os
tr
as
 (u
n.
) 
Número da Amostra 
 47
ESQUEMA GERAL DOS GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 
FAIXA DE VARIABILIDADE "NORMAL" 
2 4 5 3 6 7 8 9 10 1 
 
 
FORA DE CONTROLE 
SOB 
CONTROLE 
 + 3 
 
 - 3 
M
éd
ia
 d
as
 A
m
os
tr
as
 (u
n.
) 
Número da Amostra 
FORA DE CONTROLE 
3  
3  
 48
 
GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS 
 
 Gráfico da Média e Amplitude (x- barra e R) 
 Gráficos da Média e Desvio-Padrão (x - barra e s) 
 Gráficos do Valor Individuale Amplitude Móvel (x e Rm) 
 Gráficos da Média e Amplitude Móveis (xm - barra e Rm) 
 Gráfico por Bateladas 
 Gráfico por Grupos 
 
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS 
 Gráfico da Fração defeituosa (p) 
 Gráfico do Número de Defeituosos na Amostra (np) 
 Gráfico do Número de Defeitos na Amostra (c) 
 Gráfico do Número de Defeitos por Unidade de Inspeção (u) 
 
 
GRÁFICOS DE CONTROLE- OBJETIVOS - 
 
 
 
Os gráficos de controle possuem três objetivos básicos: 
 
√ Verificar se processo estudado é estatisticamente estável, ou seja, se não há 
presença de causas especiais de variação; 
 
√ Verificar se o processo estudado permanece estável, indicando quando é 
necessário atuar sobre o mesmo; e 
 
√ Permitir o aprimoramento do processo, mediante a redução de sua variabilidade. 
 49
 
GRÁFICOS DE CONTROLE - REGRAS - 
 
No cálculo dos limites de controle e obtenção de amostras as seguintes regras devem 
ser obedecidas: 
 
√ O desvio-padrão utilizado deve ser sempre estimado com base na variação 
dentro da amostra; 
 
√ Os gráficos sempre utilizam limites de controle localizados à uma distância de 
três desvios-padrões da linha média; 
 
 Os dados devem ser obtidos e organizados em amostras (ou subgrupos) 
segundo algum critério racional, visando permitir a obtenção das respostas 
necessárias; 
 
 O conhecimento obtido através dos gráficos de controle deve ser empregado 
para modificar as ações, conforme adequado. 
 
√ Permitir o aprimoramento do processo, mediante a redução de sua variabilidade. 
 
 
PLANEJAMENTO DE GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
Para planejar um gráfico de controle, é preciso saber: 
a) o tamanho da amostra; 
b) a freqüência de amostragem. 
 
Não existem “fórmulas” para determinar esses valores, mas, em geral, é possível 
escolher uma das duas estratégias: 
a) tomar amostras pequenas e freqüentes; 
b) tomar amostras grandes e pouco freqüentes. 
 
Nem sempre é possível dizer qual é a melhor estratégia, mas a indústria usa, 
preferencialmente, amostras pequenas e freqüentes. Então são mais comuns as 
 50
indústrias que coletam amostras de tamanho 4 ou 5 a cada meia hora do que as 
indústrias que coletam amostras de tamanho 20 a cada 2 horas. 
É preciso considerar, também, a taxa de produção. As indústrias que produzem 50.000 
unidades por hora devem amostrar com mais freqüência do que as indústrias que 
produzem 500 unidades por hora. 
 
SUBGRUPOS RACIONAIS 
 
A coleta dos dados que serão usados para elaboração de um gráfico de controle exige 
alguns cuidados. Assim, cada amostra deve ser obtida: 
 
a) em período de tempo relativamente curto; 
b) sob as mesmas condições de trabalho. 
 
Para entender estas recomendações, suponha que o diâmetro de uma peça foi 
escolhido como característico dde qualidade num processo de fabricação. Suponha 
ainda que o diâmetro dessa peça é afetado pelos seguintes fatores: 
 
a) material usado; 
b) ajuste da máquina; 
c) habilidade do operador. 
 
Se cada partida do material dura 15 dias e a máquina é ajustada toda manhã, cada 
amostra deve ser tomada;: 
a) Em um mesmo dia; 
b) da produção de um mesmo operador. 
 
A variação dos diâmetros das peças “dentro” de cada amostra é aleatória porque não 
pode ser explicada por nenhuma das causas de variação identificadas (material usado, 
ajuste da máquina e habilidade do operador). Já a variação dos diâmetros das peças 
de diferentes amostras deve ser explicada por um ou mais desses fatores. 
A amplitude mede a variação “dentro” de cada amostra. Então, o gráfico de controle R 
monitora a variação “dentro” de amostras, que é a variação em um dado momento. O 
 51
gráfico de controle x-barra monitora a variação “entre” amostras, que a variação do 
processo ao longo do tempo. 
Para controlar um processo com uso de gráficos, é preciso maximizar a probabilidade 
de ocorrer variação “entre” amostras (variação ao longo do tempo) e minimizar a 
probabilidade de acorrer variação “dentro” de amostras (variação em um dado 
momento). As amostras obtidas com esses critérios são chamadas de subgrupos 
racionais. 
 
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS 
 
 GRÁFICO DA MÉDIA E AMPLITUDE (x-barra e R) 
 Fundamentos 
Para a média amostral têm-se os seguintes limites de controle: 
 )(.3)( xx   
Como não se conhece a média )(x , será então utilizada a média das médias das 
amostras, ou seja, x e, no lugar de (x) será empregada a média das amplitudes: 
LSC x = x + 3. nd
R
2
 = x + A2 R 
LM x = x 
LIC x = x - 3. nd
R
2
 = x - A2 R 
Obs.: A2 e d2 encontram-se tabulados no anexo 
 
Analogamente têm-se para a amplitude amostral os seguintes limites de controle: 
 (R) + 3.(R) 
ou ainda, 
LSCR = (d2 + 3.d3). 
2d
R
 = D4 R 
LMR = R 
LICR = (d2 - 3.d3). 
2d
R
 = D3 R 
Obs.: 
 52
1) D3 e D4 encontram-se tabulados no anexo 
2) Para tamanhos de amostra menores que 7, não existe o fator D3. 
 
 
 GRÁFICO DA MÉDIA E AMPLITUDE (x-barra e R) - Exemplo - 
Na fabricação de misturas de pós, uma característica importante é sua umidade, já que 
ela tem papel fundamental na qualidade do produto. Sua especificação é de 10% + 
0,5%. Decidiu-se acompanhar a fabricação de 20 (vinte) lotes consecutivos e monitorar 
a umidade mediante a retirada de amostras. 
Lote Valores x - barra R 
1 10,69 - 10,80 - 10,39 10,627 0,41 
2 10,20 - 10,30 - 10,72 10,407 0,52 
3 10,42 - 10,61 - 10,54 10,523 0,19 
4 10,98 - 10,27 - 10,50 10,583 0,71 
5 10,61 - 10,52 - 10,67 10,600 0,15 
6 10,57 - 10,46 - 10,50 10,510 0,11 
7 10,44 - 10,29 - 9,86 10,197 0,58 
8 10,20 - 10,29 - 10,41 10,300 0,21 
9 10,46 - 10,76 - 10,74 10,653 0,30 
10 10,11 - 10,33 - 10,98 10,473 0,87 
11 10,29 - 10,57 - 10,65 10,503 0,36 
12 10,83 - 11,00 - 10,65 10,827 0,35 
13 10,35 - 10,07 - 10,48 10,300 0,41 
14 10,69 - 10,54 - 10,61 10,613 0,15 
15 10,44 - 10,44 - 10,57 10,483 0,13 
16 10,63 - 9,86 - 10,54 10,343 0,77 
17 10,54 - 10,82 - 10,48 10,613 0,34 
18 10,50 - 10,61 - 10,54 10,550 0,11 
19 10,29 - 10,79 - 10,74 10,607 0,50 
20 10,57 - 10,44 - 10,52 10,510 0,13 
Total 210,222 7,30 
 
 53
 
 Cálculo das estatísticas básicas 
x = 
k
x = 
20
222,210 = 10,511 R = 
k
R = 
20
30,7 = 0,365 
 Cálculo dos limites de controle 
 Para o gráfico da amplitude (R) 
LSCR = D4 R = 2,574 x 0,365 = 0,940 
LMR = R = 0,365 
LICR = D3 R = nenhum 
 
 Para o gráfico da média (x-barra) 
LSC x = x + A2 R = 10,511 +1,023 x 0,365 = 10,855 
LM x = x = 10,511 
LIC x = x - A2 R = 10,511 -1,023 x 0,365 = 10,138 
 
10,0
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
11,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10,885
10,138
10,511
M
éd
ia
s
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,940
0,365A
m
pl
itu
de
s
Amostras
 54
 GRÁFICO DA MÉDIA E DESVIO-PADRÃO (x-barra e s) 
 
 Fundamentos 
Estes gráficos são similares aos gráficos x-barra e R. São aplicados quando são 
adotadas amostras de tamanhos maiores (n>10) 
LSC x = x + 3. nc
s
4
 = x + A3 s 
LM x = x 
LIC x = x - 3. nc
s
4
 = x - A3 s 
Obs.: A3 e c4 encontram-se tabulados no anexo 
 
Para o desvio-padrão, seus limites de controle são: 
 (s) + 3.(s), ou ainda, 
LSCs = (c4+ 3.c5).
4c
s = B4. s 
LMs = s 
LICs = (c4 - 3.c5).
4c
s = B3. s 
 
Exercício: Recalcular as estatísticas do exemplo anterior e comparar os resultados. 
 
 
 GRÁFICO DO VALOR INDIVIDUAL E AMPLITUDE MÓVEL (X e Rm) 
 Fundamentos 
Utilizado quando somente valores individuais estiverem disponíveis. A amplitude 
móvel (Rm) é definida como sendo a diferença (em módulo) entre m valores 
individuais consecutivos. Os limites de controle destes gráficos são: 
 
LSCx = x + E2. R m 
LMx = x 
LICx = x - E2. R m 
 
e 
 55
LSCRm = D4. R m 
LMRm = R m 
LICRm = D3. R m 
Obs.: Os valores de E2 encontram-se tabulados no anexo 
 
Exemplo: 
No refino de petróleo, amostras são retiradas a cada duas horas, na linha de 
bombeamento, e nestas é determinado o seu teor de parafina. Os dados obtidos ao 
longo de diversos dias são apresentados na tabela a seguir. 
 
Amostra Valor Rm 
1 22,7 - 
2 20,7 2,0 
3 21,2 0,5 
4 19,7 1,5 
5 18,7 1,0 
6 24,2 5,5 
7 26,8 2,6 
8 18,9 7,9 
9 24,5 5,6 
10 24,9 0,4 
11 19,2 5,7 
12 16,8 2,4 
13 23,0 6,2 
14 19,8 3,2 
15 18,8 1,0 
16 19,1 0,3 
17 22,6 3,5 
18 20,9 1,7 
19 17,4 3,5 
20 25,6 8,2 
21 22,0 3,6 
22 21,8 0,2 
23 23,2 1,4 
24 23,5 0,3 
25 26,0 2,5 
Total 542,0 70,7 
 
 56
 Cálculo das estatísticas básicas 
x = 
k
x = 
25
0,542 = 21,68 Rm = 
1

k
Rm
 = 
24
7,70 = 2,95 
 Cálculo dos limites de controle 
 Para o gráfico Rm 
LSCRm = D4. R m = 3,267 x 2,95 = 9,64 
LMRm = R m = 2,95 
LICRm = D3. R m = nenhum 
 Para o gráfico x 
LSCx = x + E2. R m = 21,68 + 2,660 x 2,95 = 29,527 
LMx = x = 21,68 
LICx = x - E2. R m = 21,68 - 2,660 x 2,95 = 13,833 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Avaliação da estabilidade do processo 
Analisando-se inicialmente o gráfico Rm, verifica-se que não há causas especiais 
de variação atuando na dispersão (variabilidade) do processo, já que não há pontos 
fora dos limites de controle e estes se distribuem aleatoriamente (ao acaso) em 
torno da linha média. 
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
V
al
or
es
 In
di
vi
du
ai
s
29,527
13,833
21,68
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Amostras
A
m
pl
itu
de
s 
M
óv
ei
s
9,64
2 ,95
 57
 GRÁFICO DA MÉDIA E AMPLITUDE MÓVEIS (Xm-barra e Rm) 
 
 Fundamentos 
Extensão do gráfico para valores individuais. A vantagem deste tipo de gráfico com 
relação aos valores individuais é que as médias são mais sensíveis à presença de 
causas especiais. 
As médias são calculadas similarmente ao que foi feito com as amplitudes móveis: 
 
2
1 iii
xxmx i= 1, 2, 3, ......, k -1 
As fórmulas para cálculo dos limites de controle são: 
LSC mx = x m+ A2. R m 
LM mx = x m 
LIC mx = x m - A2. R m 
 e 
LSCRm = D4. R m 
LMRm = R m 
LICRm = D3. R m 
 
Exercício: Recalcular os limites de controle utilizando os mesmos dados do 
exemplo anterior. 
 58
 
Amostra Valor Xm - barra Rm 
1 22,7 - - 
2 20,7 21,70 2,0 
3 21,2 20,95 0,5 
4 19,7 20,45 1,5 
5 18,7 19,20 1,0 
6 24,2 21,45 5,5 
7 26,8 25,50 2,6 
8 18,9 22,85 7,9 
9 24,5 21,70 5,6 
10 24,9 24,70 0,4 
11 19,2 22,05 5,7 
12 16,8 18,00 2,4 
13 23,0 19,90 6,2 
14 19,8 21,40 3,2 
15 18,8 19,30 1,0 
16 19,1 18,95 0,3 
17 22,6 20,85 3,5 
18 20,9 21,75 1,7 
19 17,4 19,15 3,5 
20 25,6 21,50 8,2 
21 22,0 23,80 3,6 
22 21,8 21,90 0,2 
23 23,2 22,50 1,4 
24 23,5 23,35 0,3 
25 26,0 24,75 2,5 
Total 542,0 517,65 70,7 
 
 59
Resultado das estatísticas básicas 
x = 21,57 R m = 2,95 
 Resultado dos limites de controle 
 Para o gráfico Rm 
LSCRm = 9,64 
LMRm = 2,95 
LICRm = nenhum 
 Para o gráfico xm-barra 
LSC mx = 27,116 
LM mx = 21,57 
LIC mx = 16,024 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Avaliação da estabilidade do processo 
O gráfico de controle para médias móveis mostra os pontos dentro dos limites de 
controle e também deve ser considerado estável. 
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1 4 7 10 13 16 19 22 25
Amostras
M
éd
ia
s 
M
óv
ei
s
27 ,116
16 ,024
21 ,57
 60
 
GRÁFICO POR BATELADAS 
 
 Fundamentos 
Quando um determinado processo produz materiais em bateladas (ou lotes), é 
comum, em termos de variação, que cada batelada seja bastante homogênea 
havendo, porém, diferenças razoáveis entre bateladas. 
Significa que diferentes amostras retiradas de uma mesma batelada apresentam 
pequena variação, mas quando se comparam as médias das bateladas, percebe-
se que são completamente distintas. 
A conseqüência disto é que se construídos gráficos do tipo média e amplitude 
(x-barra e R), enquanto o gráfico R se mostrará estável, o mesmo não acontecendo 
com o gráfico x-barra. 
 
Observação: diferenças entre bateladas devem ser entendidas como sendo parte 
do comportamento do processo e, portanto, devem ser incorporadas no gráfico de 
controle empregado. 
 
O gráfico por bateladas é uma mistura de gráfico x-barra e R com x e Rm 
As fórmulas para cálculo dos limites de controle são: 
LSC x = x + E2. R m 
LM x = x 
LIC x = x - E2. R m 
 e 
LSCRm = D4. R m 
LMRm = R m 
LICRm = D3. R m 
 61
Exemplo: Na fabricação de certo tipo de medicamento, emprega-se um misturador 
do tipo duplo-cone. O material resultante é um pó e são geradas cerca de 10 
bateladas por dia. Os dados na tabela abaixo mostram os resultados quanto ao teor 
ativo. Sabe-se de longa data que existem diferenças acentuadas entre lotes. 
 
Amostra Valores x - barra Rm 
1 6,915 - 6,910 6,9125 - 
2 6,855 - 6,840 6,8475 0,0650 
3 6,860 - 6,855 6,8575 0,0100 
4 6,890 - 6,880 6,8850 0,0275 
5 6,870 - 6,880 6,8750 0,0100 
6 6,925 - 6,920 6,9225 0,0475 
7 6,850 - 6,900 6,8750 0,0475 
8 6,900 - 6,900 6,9000 0,0250 
9 6,880 - 6,890 6,8850 0,0150 
10 6,900 - 6,905 6,9025 0,0175 
11 6,865 - 6,880 6,8725 0,0300 
12 6,910 - 6,920 6,9150 0,0425 
13 6,920 - 6,900 6,9100 0,0050 
14 6,880 - 6,875 6, 8775 0,0325 
15 6,890 - 6,895 6,8925 0,0150 
Total 103,3300 0,3900 
 
 Cálculo das estatísticas básicas 
8887,6
15
33,103
 
k
x
x 0279,0
14
390,0
1


 
k
Rm
mR 
 Cálculo dos limites de controle 
 Para o gráfico Rm 
LSCRm = D4 mR = 3,267 x 0,0279 = 0,0911 
LMRm = mR = 0,0279 
LICRm = D3 mR = nenhum 
 62
 
 Para o gráfico x-barra 
LSC x = x + E2 mR = 6,8887 + 2,660 x 0,279 = 6,9629 
LM x = x = 6,8887 
LIC x = x - E2 mR = 6,8887 - 2,660 x 0,279 = 6,8145 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Avaliação da estabilidade do processo 
Analisando-se inicialmente o gráfico Rm, percebe-se que este é estável. O 
gráfico de controle para valores individuais também mostra uma distribuição 
aleatória (ao acaso) dos pontos em torno da linha média e também deve ser 
considerado estatisticamente estável. 
6,78
6,8
6,82
6,84
6,86
6,88
6,9
6,92
6,94
6,96
6,98
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
M
éd
ia
s
6 ,8145
6 ,8887
6,9629
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
Amostras
A
m
pl
itu
de
s 
M
óv
ei
s
0,0000
0 ,0279
0,0911
 63
 
GRÁFICO PORGRUPOS 
 
 Fundamentos 
Há situações, na prática, em que existem vários fluxos de produtos na produção, ou 
ainda, onde o mesmo produto é fabricado simultaneamente em diferentes conjuntos 
de equipamentos. 
Exemplos: máquinas com múltiplos cabeçotes (enchimento de vasilhames), linhas 
de processamento de máquinas dispostas em paralelo, etc.. 
Um dos princípios básicos da formação de subgrupos recomenda que não se deve 
misturar produtos provenientes de diferentes fontes (fluxos), já que eventuais 
diferenças entre estes acusarão causas especiais no gráfico de controle, devido ao 
problema da estratificação. 
Em lugar de se elaborar um gráfico para cada fluxo, o gráfico de controle por grupos 
é uma alternativa pois permite o controle de múltiplos fluxos através de um único 
gráfico. 
As fórmulas de cálculo são idênticas as dos gráficos da média e amplitude (x-barra 
e R). Entretanto os dados são agrupados de modo diferente ao que se adota 
convencionalmente. 
 
Exemplo: 
Em uma empresa, as peças são sinterizadas em fornos contínuos. A cada turno é 
retirada uma amostra de 6 peças do forno (duas fileiras com três peças cada uma), 
que são medidas quanto a sua dureza. Como o forno possui resistências elétricas 
em somente um lado, desconfia-se que possa haver diferenças entre peças 
processadas na lateral esquerda, lateral direita e parte central da esteira 
transportadora. 
 
 
 64
 
Tabela 1: Dureza de peças sinterizadas. 
 
Amostra Fila Turno Esquerdo Centro Direito 
1 A 1 115 110 107 
 B 116 113 108 
2 A 2 113 109 107 
 B 118 110 111 
3 A 1 114 109 108 
 B 114 110 110 
4 A 2 114 110 107 
 B 115 110 109 
5 A 1 112 108 105 
 B 113 107 106 
6 A 2 114 107 106 
 B 115 111 104 
7 A 1 112 106 104 
 B 112 106 105 
8 A 2 113 109 110 
 B 115 108 108 
9 A 1 115 111 109 
 B 116 113 109 
10 A 2 113 107 104 
 B 113 108 105 
11 A 1 113 110 108 
 B 116 108 107 
12 A 2 116 113 113 
 B 118 108 110 
 
 65
 
 Cálculo das estatísticas básicas 
Na tabela 2, os dados foram rearranjados de modo a permitir o cálculo das 
médias e amplitudes de cada amostra. Percebe-se que cada amplitude 
calculada deste modo reflete a variação entre duas peças consecutivas no forno 
(filas A e B), enquanto que cada média representa diferenças entre posições do 
forno (lado esquerdo, centro e direito). A cada conjunto de valores obtidos (6 no 
total) em dado turno, dá-se o nome de grupo. 
As estatísticas básicas, para os dados agrupados dessa nova maneira, ficam: 
 
35,110
36
5,3972
 
k
x
x 61,1
36
58
 
k
R
R 
 
 Cálculo dos limites de controle 
 Para o gráfico R 
LSCR = D4 R = 3,267 x 1,61 = 5,26 
LMR = R = 1,61 
LICR = D3 R = nenhum 
 
 Para o gráfico x-barra 
LSC x = x + A2 R = 110,35 + 1,880 x 1,61 = 113,38 
LM x = x = 110,35 
LIC x = x - A2 R = 110,35 - 1,880 x 1,61 = 107,32 
 
 Construção do gráfico 
Os gráficos são similares aos da média e amplitude; contudo no gráfico R 
somente se coloca a maior amplitude de cada grupo e, no gráfico x-barra, 
são marcadas as maiores e menores médias de cada grupo. 
 66
Tabela 2: Dados em Grupos 
Legenda: E = esquerda; C = centro; D = direita 
Grupo Amostra Posição Fila A Fila B x-barra R 
1 1 E 115 116 115,5 1 
 2 C 110 113 111,5 3 
 3 D 107 108 107,5 1 
2 4 E 113 118 115,5 5 
 5 C 109 110 109,5 1 
 6 D 107 111 109,0 4 
3 7 E 114 114 114,0 0 
 8 C 109 110 109,5 1 
 9 D 108 110 109,0 2 
4 10 E 114 115 114,5 1 
 11 C 110 110 110,0 0 
 12 D 107 109 108,0 2 
5 13 E 112 113 112,5 1 
 14 C 108 107 107,5 1 
 15 D 105 106 105,5 1 
6 16 E 114 115 114,5 1 
 17 C 107 111 109,0 4 
 18 D 106 104 105,0 2 
7 19 E 112 112 112,0 0 
 20 C 106 106 106,0 0 
 21 D 104 105 104,5 1 
8 22 E 113 115 114,0 2 
 23 C 109 108 108,5 1 
 24 D 110 108 109,0 2 
9 25 E 115 116 115,5 1 
 26 C 111 113 112,0 2 
 27 D 109 109 109,0 0 
10 28 E 113 113 113,0 0 
 29 C 107 108 107,5 1 
 30 D 104 105 104,5 1 
11 31 E 113 116 114,5 3 
 32 C 110 108 109,0 2 
 33 D 108 107 107,5 1 
12 34 E 116 118 117,0 2 
 35 C 113 108 110,5 5 
 36 D 113 110 111,5 3 
Total 3972,5 58 
 67
Gráfico por Grupos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise interpretação da estabilidade estatística 
Embora o gráfico R seja estável, o x-barra apresenta vários pontos fora dos 
limites de controle, evidenciando que o processo não é estável e, portanto, que 
existem diferenças estatisticamente significativas entre um lado e outro do forno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
M
éd
ia
s
113,38
110,35
107,32
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grupos
Am
pl
itu
de
s
5,26
1,61
 68
GRÁFICO 3-D 
 Fundamentos 
Num gráfico convencional para variáveis, os valores de R-barra, s-barra ou Rm - 
barra determinam a distância em que os limites de controle ficam com relação à 
linha média no gráfico x-barra. Ou seja, a variação dentro da amostra determina o 
quanto de diferença pode existir na variação entre amostras, antes que esta seja 
considerada estatisticamente significativa. 
Contudo, há situações em que a variação dentro da amostra não serve de boa base 
para o estabelecimento dos limites de controle de x-barra. Casos onde isto ocorre 
são: 
 
 Na fabricação de lotes em bateladas, em que as diferenças entre lotes são 
acentuadas em virtude da variação inerente às matérias-primas e não há 
possibilidade de reduzi-la; 
 
 Na fabricação de produtos contínuos (trefilação, extrusão, laminação, etc.) onde a 
variação transversal à máquina não é uma base adequada para estabelecer a faixa 
de variação longitudinal à máquina, em virtude de suas naturezas totalmente 
opostas. 
 
Os gráficos de controle 3-D são, na verdade, uma combinação dos gráficos x-barra e R 
com o gráfico x-Rm, de forma que possibilitam o controle de mais de dois tipos de 
variação simultaneamente. 
 
O gráfico R irá monitorar a variação dentro da amostra. Consequentemente as fórmulas 
para cálculo dos limites de controle são: 
LSCR = D4. R 
LMR = R 
LICR = D3. R 
O gráfico Rm, por sua vez, servirá de base para estabelecer a distância dos 
limites de controle à linha média, no gráfico x-barra. Portanto, 
,LSCRm = D4. R m 
LMRm = R m 
LICRm = D3. R m 
 69
 
Finalmente, o gráfico x-barra será calculado através das fórmulas: 
LSCx = x + E2. R m 
LMx = x 
LICx = x - E2. R m 
Exemplo: 
 
Na fabricação de papel, retira-se uma tira ao final de cada bobina. Nesta tira são 
cortados transversalmente cinco espécimens que têm a sua gramatura determinada. A 
tabela a seguir, mostra os resultados de um acompanhamento feito em vinte bobinas 
 
Bobina VALORES x-barra R Rm A B C D E 
1 69,7 69,4 68,7 70,6 70,3 69,74 1,9 - 
2 70,7 70,2 70,1 71,7 70,6 70,66 1,6 0,92 
3 69,2 70,6 70,5 68,5 69,7 69,70 2,1 0,96 
4 70,9 70,8 69,7 68,6 70,0 70,00 2,3 0,30 
5 69,2 71,0 70,5 70,2 69,9 70,16 1,8 0,16 
6 69,7 69,9 71,0 69,4 69,3 69,86 1,7 0,30 
7 67,9 69,0 70,1 68,5 69,2 68,94 2,2 0,92 
8 71,4 68,6 69,4 70,7 70,3 70,08 2,8 1,14 
9 68,3 70,1 70,2 69,7 69,9 69,64 1,9 0,44 
10 69,8 69,0 69,2 69,1 71,1 69,64 2,1 0,00 
11 69,1 69,6 71,0 70,8 69,9 70,08 1,9 0,44 
12 70,5 71,5 69,1 70,3 69,8 70,24 2,4 0,16 
13 70,4 70,1 71,1 70,8 69,6 70,48 1,7 0,24 
14 68,7 69,9 69,8 70,3 70,3 69,80 1,6 0,68 
15 70,7 68,1 69,9 70,2 70,8 69,94 2,70,14 
16 69,8 70,1 69,3 69,5 71,2 69,98 1,9 0,04 
17 70,7 70,5 70,8 69,3 70,1 70,28 1,5 0,30 
18 70,4 70,6 70,9 69,8 69,1 70,16 1,8 0,12 
19 70,2 69,6 69,7 69,4 70,7 69,92 1,3 0,24 
20 68,5 70,8 69,7 71,8 69,2 70,00 3,3 0,08 
Total 1399,30 40,5 7,58 
 
 70
Cálculo das estatísticas básicas 
 
As médias, amplitudes e amplitudes móveis já estão calculadas na tabela. Tem-
se ainda que: 
 
k
x
x  = 
20
30,399.1 = 69,965 
k
R
R  = 
20
5,40 = 2,03 
 
R = 40,0
19
58,7
1



k
Rm
 
 
 
 Cálculo dos limites de controle 
 para o gráfico R 
 
LSCR = D4. R = 2,114 x 2,03 = 4,29 
LMR = R = 2,03 
LICR = D4. R = nenhum 
 
 
 para o gráfico Rm 
 
,LSCRm = D4. R m = 3,267 x 0,40 = 1,31 
LMRm = R m = 0,40 
LICRm = D3. R m = nenhum 
 
 para o gráfico x 
 
LSCx = x + E2. R m = 69,97 + 2,660 x 0,40 = 71,03 
LMx = x = 69,97 
LICx = x - E2. R m = 69,97 - 2,660 x 0,40 = 68,91 
 
 
 análise e interpretação dos gráficos 
 
Pela análise dos gráficos de controle, pode-se perceber que o processo é estável 
(não há presenças de causas especiais de variação atuando) 
 
 
 71
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68,6
68,8
69,0
69,2
69,4
69,6
69,8
70,0
70,2
70,4
70,6
70,8
71,0
71,2
71,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Amotras
M
éd
ia
s
4,29
2,03
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Amotras
A
m
pl
itu
de
s 
m
óv
ei
s
4,29
2,03
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Amotras
A
m
pl
itu
de
s
4,29
2,03
 72
 
 
FLUXOGRAMA PARA SELEÇÃO DE GRÁFICO PARA VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variável 
 
nn == 11 
 
nn >> 11 
 
xx ee RRmm 
 
nn >> 1100 
 
nn << 1100 
xx--bbaarrrraa 
ee RR 
xx--bbaarrrraa 
ee ss 
 xxmm--
bbaarrrraa 
ee RRmm 
 73
 
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS 
 
 GRÁFICO DA FRAÇÃO DEFEITUOSA (p) 
 
 Fundamentos 
A fração defeituosa da amostra é definida como sendo a razão entre o número de 
defeituosos encontrados na amostra (d) e o tamanho da amostra (n): 
 p = n
d
 
Distribuição de probabilidade: Binomial 
Quando: n. p > 5 e n.(1- p ) > 5 com p = 


i
i
n
d
 pode-se utilizar a 
distribuição normal (aproximação da binomial pela normal): 
 
 )(.3)( pp   
 
Como não são conhecidos  (p) e  (p), então estes são estimados a partir dos 
dados das amostras, passando a ser: 
 
LSCp = p + 3. n
pp )1(  
LMp = p 
LICp = p - 3. n
pp )1(  
 
 74
Exemplo: 
Numa indústria farmacêutica, diariamente são obtidas amostras de produtos 
acabados que são examinados quanto a erros de embalagem (falta de bula, falta de 
código de lote, falta de prazo de validade, falta de rótulo, manchas de impressão, 
etc.). 
 
 Coleta de amostras e formação de subgrupo 
Cada amostra deve representar adequadamente um dia de produção e, portanto, 
deve ser obtida ao longo de todo o período. Cada frasco é classificado em bom ou 
ruim (com ou sem erros). 
 Amostras iniciais 
Como não havia idéia de qual a proporção defeituosa média deste processo, optou-
se por tomar amostras de 200 itens, ao longo de 15 dias. 
 
Tabela: Processo de embalagem de frascos 
Dia Verificados Com erros p 
1 200 22 0,110 
2 200 25 0,125 
3 200 17 0,085 
4 200 18 0,090 
5 200 37 0,185 
6 200 29 0,145 
7 200 21 0,105 
8 200 17 0,085 
9 200 20 0,100 
10 200 25 0,125 
11 200 8 0,040 
12 200 24 0,120 
13 200 29 0,145 
14 200 18 0,090 
15 200 22 0,110 
Total 3000 333 
 
 
 75
 Cálculo dos limites de controle 
 
LSCp = p + 3. n
pp )1(  = 0,111 + 3.
200
)111,01(111,0  = 0,1776 
 
LMp = p = 0,111 
 
LICp = p - 3. 
n
pp )1(  = 0,111 - 3.
200
)111,01(111,0  = 0,0444 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise e interpretação do gráfico 
Pode-se verificar que há duas causas especiais de variação atuando no 
processo: uma no dia 5 e outra, no dia 11. 
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
DIAS
PR
O
PO
RÇ
Ã
O
0,1776
0,111
0,0444
 76
 
 GRÁFICO DA FRAÇÃO DEFEITUOSA (p), COM AMOSTRAS DE TAMANHO 
VARIÁVEL 
 
 Fundamentos 
Se o número de itens inspecionados (tamanho do grupo) variar somente de forma 
menos ponderável (não mais que 20%), os limites poderão ser calculados com base 
no número médio de itens inspecionados. Se existir variação maior, limites de 
controle terão de ser calculados para cada tamanho de grupo, já que os mesmos 
são função do tamanho do grupo. 
Considere o seguinte exemplo, que fornece os dados de um processo de produção: 
Tabela: Tamanho da amostra e número de itens não-conformes 
 
Dia 
Número de 
inspecionados, 
n 
Número de não-
conformes, 
d (=np) 
Dia 
Número de 
inspecionados, 
n 
Número de não-
conformes 
d (=np) 
1 42 1 11 66 5 
2 55 3 12 57 1 
3 60 1 13 48 3 
4 71 2 14 62 5 
5 53 2 15 59 1 
6 49 9 16 40 3 
7 61 0 17 46 4 
8 93 2 18 66 5 
9 50 5 19 72 1 
10 65 9 20 70 4 
  = 1285  d = 66 
 77
 p = n
d
 logo, 


n
d
p , ou seja, p = 
1285
66 = 0,051 
LSCp = p + 3. n
pp )1(  
LMp = p 
LICp = p - 3. 
n
pp )1(  
Tabela: Cálculo de frações defeituosas 
Dia p 3. 
n
pp )1(  LSCp LICp 
1 0,024 0,102 0,153 0 
2 0,055 0,090 0,141 0 
3 0,017 0,086 0,137 0 
4 0,028 0,079 0,130 0 
5 0,038 0,091 0,142 0 
6 0,183 0,095 0,146 0 
7 0,000 0,085 0,136 0 
8 0,022 0,069 0,120 0 
9 0,100 0,094 0,145 0 
10 0,138 0,082 0,133 0 
11 0,075 0,082 0,133 0 
12 0,018 0,088 0,139 0 
13 0,063 0,096 0,147 0 
14 0,081 0,084 0,135 0 
15 0,017 0,086 0,137 0 
16 0,075 0,105 0,156 0 
17 0,087 0,098 0,149 0 
18 0,076 0,082 0,133 0 
19 0,014 0,078 0,129 0 
20 0,057 0,079 0,130 0 
 
 78
Gráfico de controle da fração defeituosa com limites variáveis 
 
 
 
Pode-se observar na tabela acima que as frações defeituosas para os dias 6 e 10 estão 
acima dos limites superiores de controle. Nesses casos, o processo precisa ser 
investigado com relação a causas especiais de variação. Se puder ser encontrada uma 
explicação, os dados desses dois dias poderão ser eliminados, p poderá ser 
recalculado e um novo conjunto de limites para controlar a qualidade de itens 
subseqüentes poderá ser definido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 79
Cálculo da fração defeituosa com valores estabilizados 
 
Tabela: 
Dia p sp pp  s p
pp  
1 0,024 0,034 -0,027 -0,79 
2 0,055 0,030 -0,004 +0,13 
3 0,017 0,029 -0,034 -1,17 
4 0,028 0,026 -0,023 -0,88 
5 0,038 0,030 -0,013 -0,43 
6 0,183 0,032 +0,132 +4,13 
7 0,000 0,028 -0,051 -1,82 
8 0,022 0,023 -0,029 -1,26 
9 0,100 0,031 +0,049 +1,58 
10 0,138 0,027 +0,087 +3,22 
11 0,075 0,027 +0,024 +0,83 
12 0,018 0,029 -0,033 -0,14 
13 0,063 0,032 +0,012 +0,37 
14 0,081 0,028 +0,030 +1,07 
15 0,017 0,029 -0,034 -1,17 
16 0,075 0,035 +0,024 +0,69 
17 0,087 0,033 +0,036 +1,09 
18 0,076 0,027 +0,025 +0,93 
19 0,014 0,026 -0,037 -1,42 
20 0,0570,026 +0,006 +0,23 
 
 80
Gráfico de controle da fração defeituosa padronizada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 81
 
 GRÁFICO DO NÚMERO DE DEFEITUOSOS (np) 
 
 Fundamentos 
Este gráfico é similar ao anterior, com a diferença de que se deseja marcar o 
número de defeituosos encontrados na amostra. 
Seus limites de controle são: 
 
LSCnp = n. p + 3. )1.(. ppn  
LMnp = n. p 
LICnp = p - 3. )1.(. ppn  
 
 
 
GRÁFICO DO NÚMERO DE DEFEITOS (C) 
 
 Fundamentos 
Distribuição de probabilidade: Poisson 
Quando: c > 5 com c = 
k
ci , onde k = quantidade total de amostras pode-se 
utilizar a distribuição normal (aproximação da Poisson pela normal): 
 )(.3)( cc   
Como  (c) e  (c) são desconhecidos, resulta: 
 LSCc = c + 3. c 
 LMc = c 
 LICc = c - 3. c 
Exemplo: 
Na fabricação de celulose microcristalina em pó, de cada lote produzido é extraída 
uma amostra de 30 gramas e contado o número de pontos pretos nesta existentes. 
A tabela a seguir mostra os resultados do acompanhamento de 30 lotes deste 
produto. 
 82
 
 Coleta de amostras e formação de subgrupos 
Por se tratar de contagem de pontos pretos, em amostras de tamanho constante 
(30 gramas), pode-se empregar o gráfico c. 
 
 Tabela: Pontos pretos 
Lote Pontos Lote Pontos 
1 8 16 16 
2 12 17 15 
3 56 18 6 
4 14 19 23 
5 10 20 21 
6 12 21 36 
7 8 22 20 
8 10 23 21 
9 28 24 35 
10 20 25 31 
11 10 26 28 
12 8 27 10 
13 12 28 8 
14 35 29 12 
15 20 30 10 
 
 Cálculo das estatísticas básicas 
c = 
k
ci = 
30
555 = 18,5 
 Cálculo dos limites de controle 
LSCc = c + 3. c = 18,5 + 3. 5,18 = 31,4 
 LMc = c = 18,5 
 LICc = c - 3. c = 18,5 - 3. 5,18 = 5,6 
 83
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise e interpretação da estabilidade do processo 
Diversos pontos encontram-se acima do limite superior de controle, indicando 
que o processo é instável. 
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
55,00
60,00
65,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
LOTES
PO
NT
O
S 
PR
ET
O
S
31,4
18,5
5,6
 84
 
 GRÁFICO DO NÚMERO DE DEFEITOS POR UNIDADE DE INSPEÇÃO (u) 
 
 Fundamentos 
O número de defeitos por unidade de inspeção (u) é definido como sendo a razão 
entre o número de defeitos na amostra (c) e o tamanho da unidade de inspeção (n): 
 u = n
c
 logo, u = 
n
c
 
Por unidade de inspeção se entende uma certa quantidade de itens, comprimento, 
volume, tempo, etc. tomada como adequada para a finalidade de inspeção. 
 
Os limites de controle são: 
LSCu = u + 3. u 
LMu = u 
LICu = u - 3. u 
Exemplo: 
No exemplo anterior, dos pontos pretos, foi estabelecido um gráfico c, pois o 
tamanho da amostra era constante e igual a 30 g. Imaginemos agora, que, por 
razões de economia, a empresa decidiu reduzir o tamanho da amostra para 15 g. 
 
Pode-se dizer que se originalmente se tinha uma unidade de inspeção (UI), então 
agora há somente meia UI, ou seja, se 30 g = 1 UI  15 g = 0,5 UI 
 
Equivalente, pode-se também dizer que antes n = 1 e agora n = 0,5. Logo, os novos 
limites de controle (com a mudança de n) ficam: 
 
 
 Cálculo dos limites de controle 
LSCu = u + 3. u = 37,0 + 3. 37,0 = 55,2 
LMu = u = 37,0 
LICu = u - 3. u = 37,0 - 3. 37,0 = 18,8 
 85
TAMANHOS MÍNIMOS DE AMOSTRAS 
 
 Quando se trabalha com atributos, é necessário garantir que as amostras 
tenham tamanhos mínimos para que haja oportunidade do aparecimento dos 
problemas. Amostras muito pequenas fazem com os gráficos de controle se tornem 
totalmente ineficazes (ver exemplo abaixo) 
 
 Gráficos por Classificação (p ou np) 
Para estes gráficos serem eficazes, deve-se ter: 
n. p > 5 e n.(1 - p ) > 5 
 Gráficos por Contagem (c ou u) 
Para estes gráficos serem eficazes, deve-se ter c > 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AMOSTRAS
P
 86
FLUXOGRAMA PARA SELEÇÃO DE GRÁFICO PARA ATRIBUTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATRIBUTO 
 
Classifica-
ção 
 
 
Contagem 
 
 
c ou u 
 
n 
 
Constante 
 
u 
 
n 
 
Variável 
 
 
p ou np 
 
n 
 
Constante 
 
 
p 
 
n 
 
Variável 
 87
 
INTERPRETAÇÃO DA ESTABILIDADE DO PROCESSO 
 
 
PROCESSO ESTATISTICAMENTE ESTÁVEL 
 
 Os pontos nos gráficos de controle devem distribuir-se aleatoriamente em torno 
da linha média, sem que padrões do tipo: 
 
a) tendências crescentes ou decrescentes; 
b) ciclos; 
c) estratificações ou misturas; 
d) pontos fora dos limites de controle 
 - Alguns exemplos de causas especiais - 
 88
 
TESTES DE NÃO-ALEATORIEDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste Critério 
1. Ponto fora dos limites de 
controle 
 Um único ponto acima do LSC ou abaixo 
do LIC 
2. Presença de ciclos ou 
tendências 
 Seis pontos consecutivos aumentando ou 
diminuindo 
 Pontos oscilando para cima e para baixo, 
formando ciclos 
3. Estratificação ou falta de 
variabilidade 
 Quinze pontos consecutivos na zona C 
 Quatorze pontos consecutivos se 
alternando para cima e para baixo 
4. Seqüência de pontos próximos 
dos limites de controle 
 Oito pontos consecutivos fora da zona A 
 Dois em três pontos consecutivos na zona 
A 
 Quatro em cinco pontos consecutivos fora 
da zona C 
5. Seqüência de pontos do 
mesmo lado da linha média 
 Nove pontos consecutivos do mesmo lado 
da linha média 
 
 89
 
 
PROCESSO FORA DE CONTROLE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90
ANÁLISE DA CONDIÇÃO FORA-DE-CONTROLE 
 
1. TROCA OU SALTO NO NÍVEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA MÉDIA: 
 OPERADOR NOVO OU INEFICIENTE; 
 MATERIAIS DIFERENTES; 
 MUDANÇA NO PROCESSO. 
 
GRÁFICO DA AMPLITUDE: 
 OPERADOR INEXPERIENTE; 
 GRANDE VARIAÇÃO NO MATERIAL. 
 
 
2.TENDÊNCIA OU TROCA DO ESTADO NO NÍVEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA MÉDIA: 
 DETERIORAÇÃO GRADUAL DO EQUIPAMENTO; 
 MUDANÇA DE TEMPERATURA OU UMIDADE. 
 
 
GRÁFICO DA AMPLITUDE: 
 MAIOR DEDICAÇÃO DO OPERADOR; 
 MELHOR HOMOGENEIDADE DO MATERIAL. 
 91
 
3.CICLOS RECORRENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA MÉDIA: 
 EFEITOS SAZONAIS; 
 EVENTOS PERIÓDICOS. 
 
GRÁFICO DA AMPLITUDE: 
 FADIGA DO OPERADOR; 
 CICLO DE MANUTENÇÃO 
 
 
4.DUAS POPULAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA MÉDIA: 
 DIFERENTES MÁQUINAS, OPERADORES, PROCESSOS OU MATERIAIS. 
 
 
GRÁFICO DA AMPLITUDE: 
 MATERIAIS DE FORNECEDORES DIFERENTES. 
 92
ANÁLISE DA CONDIÇÃO FORA-DE-CONTROLE 
- ERROS - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que é? 
 
 A autocorrelação nada mais é do que um mecanismo existente no processo, que 
faz com que os dados não sejam mais independentes entre si ao longo do tempo. 
 
Identificação da autocorrelação 
 
 Para se medir o grau e a intensidade da autocorrelação existente entre dados, 
usualmente utiliza-se o coeficiente de autocorrelação, definido como: 
 
 
)(
),(
2 x
xx
t
Ltt
L
COV

  L = 1,2,3,......k 
onde: 
 L é o retardo (do ingles, lag) existente entre os dados no