Material de Estudo_Aplicada

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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE ESTUDO 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
 
 
Professora Lúcia Helena Sagrillo Pimassoni 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura retirada da internet. 
 
 
 
 
Agosto, 2013. 
 1 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE I – ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ..................................................... 2 
I. 1 Introdução à inferência estatística ...................................................................... 2 
I. 2 Noções de amostragem ...................................................................................... 2 
I.3 Distribuições Amostrais ...................................................................................... 5 
I.4 Intervalo de confiança para média e proporção .................................................. 9 
UNIDADE II – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA UMA ÚNICA AMOSTRA . 19 
II. 1 As Hipóteses Nula e Alternativa .................................................................... 20 
II.2 Áreas de Aceitação e de Rejeição .................................................................... 21 
II.3 Os testes unilateral e bilateral .......................................................................... 22 
II.4 Os Erros do tipo I e de tipo II .......................................................................... 25 
II.5 Roteiro para um Teste de Hipóteses ................................................................ 27 
II.6 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância Conhecida ...... 28 
II.7 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância Desconhecida e 
Tamanho da Amostra Grande (n ≥ 30) ................................................................... 29 
II.8 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância Desconhecida e 
Tamanho da Amostra Pequeno (n < 30) ................................................................. 30 
II.9 Teste de Hipótese para Proporção de uma População ..................................... 31 
II.10 Teste de Hipótese para a Variância de uma População Normal .................... 34 
II.11 Valores-p nos testes de hipóteses .................................................................. 37 
II.12 Teste de Aderência e Tabela de Contingência ............................................... 40 
UNIDADE III – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA UMA DUAS AMOSTRAS 48 
III.1 Teste de hipótese para duas médias ............................................................... 48 
III.2 Teste de hipótese para duas proporções ........................................................ 55 
III.2 Comparação de duas variâncias ..................................................................... 57 
UNIDADE IV – PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E ANÁLISE DE 
EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR: ANÁLISE DE VARIÂNCIA ......... 63 
IV.1 Introdução ....................................................................................................... 63 
IV. 2 Experimento completamente aleatorizado com um único fator .................... 66 
IV. 3 Análise de Variância (ANOVA) ................................................................... 67 
UNIDADE V – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
 .................................................................................................................................... 73 
V. 1 Análise de Correlação ..................................................................................... 73 
V.2 Análise de Regressão ....................................................................................... 77 
 2 
UNIDADE I – ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
 
I. 1 Introdução à inferência estatística 
 
A estatística inferencial diz respeito à análise e interpretação de dados 
amostrais. É um processo pelo qual podemos conhecer uma população a partir 
de uma amostra desta mesma população (“não preciso comer um bolo inteiro 
para saber se é bom”). A idéia básica é efetuar determinada mensuração sobre 
uma parcela pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa 
informação para fazer inferência sobre a população toda. Essa parte da 
estatística é o objeto de estudo da disciplina estatística aplicada. A inferência 
estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: estimação de parâmetros 
e teste de hipóteses. 
 
I. 2 Noções de amostragem 
 
Experimentos aleatórios são procedimentos estímulo-resposta a que submete-
se um objeto em estudo que, ao serem repetidos sob as mesmas condições, 
não produzem as mesmas respostas. Por essa razão, o planejamento de 
experimentos aleatórios é uma atividade necessária para se descobrir 
informações fidedignas, apesar das respostas diferentes a cada repetição 
sobre um processo ou sistema em particular. A principal vantagem do 
planejamento é a economia de tempo, custos e a redução da variabilidade nos 
resultados, o que permite conhecer melhor o objeto estudado (Montgomery, 
2001). 
 
Para a perfeita execução de um planejamento de experimentos é essencial 
definir a unidade experimental (elemento do qual serão extraídas as 
informações) e o que será observado (variáveis). Além disso, se forem 
realizadas comparações entre grupos ou métodos, deve-se defini-los 
claramente. 
 
 
 3 
Etapas de um Planejamento do Experimento: 
 Definição do problema e objetivo da pesquisa. 
 Organização da pesquisa 
 Coleta dos dados 
 Análise estatística do problema 
 Conclusões 
A determinação do número de elementos a serem estudados e a escolha dos 
mesmos é uma etapa de grande importância para um bom trabalho de 
pesquisa. 
 
População: é o conjunto de elementos com uma característica comum 
observável. 
 
Amostra: é uma parte representativa da população; Muitas das vezes, por 
restrições de custo, tempo, material, etc...adotamos apenas uma parte da 
população para estudo – a amostra. 
 
Unidades amostrais: são elementos a partir dos quais são levantadas as 
informações. Por exemplo, municípios, indústria, um manancial, águas 
subterrâneas, anemômetro, etc. 
 
Amostragem e Inferência Estatística 
 
Inferência Estatística 
 
 
 
 
 4 
 
A AMOSTRA DEVE SER REPRESENTATIVA DA POPULAÇÃO 
 
 
Tipos de Amostragem 
 
 Amostragem Intencional (não probabilística): Seleciona elementos ou 
amostras que consideramos serem típicas ou representativas da população. 
Amostras de água poluída e não poluída. 
 
 Amostragem Probabilística: Associa a cada elemento da população uma 
chance (probabilidade) de fazer parte da amostra. Os resultados podem ser 
estendidos para a população com um determinado grau de confiança. 
 
Tipos de amostragem probabilística 
 
Amostragem Aleatória Simples: todo elemento tem a mesma chance de ser 
escolhido. Faz-se uma lista dos elementos da população e sorteiam-se os 
elementos que farão parte da amostra. Pode-se utilizar a tabela de números 
aleatórios. 
 
Amostragem Sistemática: os elementos da população apresentam-se 
ordenados e são retirados periodicamente, ou seja, de cada k elementos, um é 
escolhido. 
 
Amostragem Estratificada: consiste em dividir a população em grupos 
homogêneos e proceder a retirada de uma amostra aleatória simples ou 
sistemática dentro de cada estrato. 
 
População 
Amostra Plano de 
Amostragem 
Sim
Não
Sim
Não
 5 
 
 
Amostragem por Conglomerados: É aquela na qual as unidades de 
amostragem estão geograficamente reunidas em grupos e seleciona-se 
amostras aleatórias dentro do cluster. 
 
 
I.3 Distribuições Amostrais 
 
Uma das realidades da amostragem aleatória é que, quando se extraem 
repetidasamostras da mesma população, há tendência da estatística amostral 
variar de uma amostra para outra, e também em relação ao verdadeiro valor do 
parâmetro, simplesmente em razão de fatores casuais relacionados com 
amostragem. Essa tendência é conhecida com variabilidade amostral. Assim 
quando fazemos inferências sobre uma população devemos considerar a 
variabilidade amostral. 
 6 
I.3.1 Distribuição Amostral da Média 
 
As distribuições de probabilidade das estatísticas amostrais são chamadas de 
distribuições amostrais. 
 
A média, bem como todas as demais estatísticas de uma amostra, são 
variáveis aleatórias. Dessa forma, possuem distribuições de probabilidade 
como qualquer outra variável aleatória. Uma distribuição amostral de médias é 
uma distribuição de probabilidade que mostra a variabilidade das médias 
amostrais. 
 A média de uma distribuição amostral é sempre igual à média populacional 
 
 
 Quando a população é infinita, o desvio padrão da distribuição amostral da 
média é: 
 
 
 
EXEMPLO: Uma amostra aleatória de 100 observações dos valores das 
vendas realizadas em determinada loja apresentou uma média igual a $ 328,40 
e um desvio padrão de $ 87,43. Qual o valor estimado da média, da variância 
e do desvio padrão amostrais? 
A média amostral será igual a: a $ 328,40 
O desvio padrão amostral será igual a: 87,43/10 = 8,743 
 
Teorema do Limite Central 
 
Informações 
1. A variável aleatória x tem distribuição (que pode ser normal ou não), com 
média µ e desvio padrão σ . 
2. Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população. 
 
 
 
 x
n
x

 
 7 
Conclusão 
 
1. Na medida em que o tamanho da amostra aumenta a distribuição das 
médias amostrais , tende para uma distribuição normal. 
2. A média das médias amostrais será a média populacional µ. 
3. O desvio padrão das médias amostrais será 
 
Regras práticas de uso comum 
1. Para amostras de tamanho n>30, a distribuição das médias amostrais pode 
ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal. A aproximação 
melhora na medida em que aumenta o tamanho da amostra n. 
 
2. Se a própria distribuição original tem distribuição normal, então as médias 
amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral n. 
 
EXEMPLO: Considere uma população com altura média de 170 cm de altura e 
desvio padrão de 9 cm. 
A. Selecionada uma mulher aleatoriamente, determine a probabilidade de sua 
altura estar entre 170 cm e 175 cm: 
B. Selecionada aleatoriamente 75 mulheres, determine a probabilidade de suas 
alturas terem média entre 170 cm e 175 cm: 
 
I.3.2 Distribuição Amostral da Proporção 
 
A média (proporção ou percentagem média) da distribuição amostral p é 
sempre igual à proporção populacional. Isto é, 
 
 
Onde: 
p = proporção populacional 
 = média da distribuição amostral das proporções. 
 
Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio padrão da distribuição 
amostral se calcula pela fórmula: 
 x
n

pp 
p
 8 
 
 
 
Exemplo: Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. 
Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar a proporção dos 
quebrados. Se um grande lote contém 10% de quebrados, qual a probabilidade 
do varejista obter uma amostra de 100 copos com 17% ou mais defeituosos? 
Solução: O primeiro passo é calcular o desvio padrão da população: 
 
 
 
Usando a padronização temos: 
 
 
 
 
Olhando na tabela normal padrão temos que a probabilidade procurada é 
0,0099. 
 
PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) A população das importâncias das compras em certo supermercado 24 
horas tem média de R$ 6,00 e desvio de R$ 3,50. Qual a probabilidade de um 
total de 100 compras o valor médio exceder R$ 7,00? 
 
2) A distribuição do peso de homens que viajam de avião de Vitória para São 
Paulo tem média de 160 libras e desvio padrão de 20 libras, qual é a 
probabilidade do peso médio de 36 homens tomados aleatoriamente ser maior 
que 165 libras. 
 
3) Se vamos extrair amostras de n = 100 observações de uma população muito 
grande, em que a proporção populacional é 20%, qual a probabilidade das 
proporções amostrais podemos esperar nos intervalos abaixo? (Stevenson, 
pag, 188) 
a) maior que 24% 
n
pp
p
)1( 

03,0
100
)90,0(10,0)1(



n
pp
p
33,2
03,0
10,017,0
?)17,0ˆ(




z
pP
 9 
b) 16% a 24% 
c) 12% a 28% 
d) menos de 12% ou mais de 28% 
 
I.4 Intervalo de confiança para média e proporção 
 
Em muitas situações, uma estimativa de um parâmetro não fornece informação 
completa para um engenheiro. Por exemplo, considere um problema de 
condutibilidade térmica. A estimativa da condutibilidade térmica para um 
material em particular é 
x
= 41,924 BTU/h. ft. ºF. É improvável que a média 
verdadeira da condutibilidade térmica (μ) seja exatamente igual a esse valor; 
assim uma questão relevante aparece: quão próximo está 
x
 da média 
verdadeira? 
 
I.4.1 Alguns conceitos 
 
a) Estimação 
O uso da amostra nos permite inferir os parâmetros da população a partir da 
amostra através da estimação que pode ser: Estimação pontual ou Estimação 
intervalar. 
 
b) Confiança X Risco 
Sempre que se faz uma estimação de uma variável aleatória, existe uma 
probabilidade de se errar essa estimação quando comparamos o valor 
estimado com o valor que realmente foi observado. 
 À probabilidade de se errar a estimação dá-se o nome de “RISCO”. 
 O “RISCO” é o complemento da “CONFIANÇA”. 
 A “CONFIANÇA” vem a ser, então, a probabilidade de se acertar a 
estimação. 
Então, resumindo: 
 Confiança (1 - ) = Probabilidade de acerto na estimação; 
 Risco () = Probabilidade de erro na estimação. 
c) Estimação Intervalar X Estimação Pontual 
 10 
 
Estimação pontual Estimação intervalar 
 Maior precisão, mas menor 
confiança. 
 A média amostral é um estimador 
pontual, não tendencioso, da média 
populacional. 
 A variância amostral é um estimador 
pontual, não tendencioso, da 
variância populacional. 
 O mesmo acontece com o desvio 
padrão amostral em relação ao 
desvio padrão populacional. 
 
ESTIMATIVAS PONTUAIS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Menor precisão, mas maior 
confiança. 
 A estimação intervalar é obtida 
através a construção de intervalos 
de confiança. 
 A amplitude do intervalo de 
confiança depende da: 
1. Confiança desejada: Quanto 
maior a confiança, maior o intervalo. 
Uma confiança de 0% nos leva a um 
ponto. Uma confiança de 100% nos 
leva a um intervalo de   a  . 
2. Variabilidade do processo: 
Quanto mais variável o processo 
aleatório do qual está se fazendo a 
estimação, maior o intervalo de 
estimação, para uma mesma 
confiança. 
3. Quantidade de informação 
(tamanho da amostra): Quantidade 
de informação: Quanto maior a 
amostra, mais informação teremos a 
respeito do processo aleatório em 
estudo. Dessa forma, para uma 
mesma confiança, quanto maior a 
amostra, menor será o intervalo de 
estimação necessário. 
 
 
 
 
 
amostralmédia
n
x
x
i


 
amostralpadrãodesvio
n
xx
s 




1
2
 
amostraliância
n
xx
sx var
1
2
2 




 11 
I.4.2 Estimação Intervalar da Média 
 
 Um intervalo de confiança para a média populacional é, construído em torno 
da média amostral, e a sua amplitude será determinada pela quantidadede 
desvios padrão e conforme a confiança desejada. 
 
 A quantidade de desvios padrão a ser usada é representada pela variável “Z” 
(valor da distribuição normal padrão) ou “t” (valor da tabela t-Student). 
 
 A quantidade de desvios padrão somada/subtraída da média amostral é 
chamada de erro de estimação. 
 
1. Desvio padrão da população conhecido 
 
Quando a população é aproximadamente normal e o seu desvio padrão da 
população 
 
é conhecido usa-se da distribuição normal para determinação do 
intervalo de confiança independente do tamanho da amostra: 
 
n
Zx x


 ou 
 
Na qual “Z” é obtido na tabela da distribuição Normal para /2 e o erro de 
estimação é: 
 
 
 
Exemplo: Uma loja realizou um estudo a respeito dos valores das compras 
realizadas pelos clientes. Sabe-se de levantamentos anteriores que o valor de 
uma compra realizada por um cliente é uma variável aleatória normalmente 
distribuída, com um desvio padrão de R$ 42,00. Estime valor de compra com 
95% de confiança considerando que foi utilizada uma amostra aleatória de 15 
clientes e o valor da média amostral foi de R$ 120,00. 
 
n
Zx
n
Zx xx
 
n
Z x

 12 
Nesse caso, o desvio padrão da população é conhecido e é igual a $ 42,00. 
Por outro lado, também se garante que a variável “valor da compra” é 
normalmente distribuída. Então o intervalo será: 
 
 
 
 
 
Sendo que o valor de Z é encontrado da seguinte forma: 
 
 Como a confiança requerida é de 95%, então /2=2,5%, ou 0,025. 
 Entrando no miolo da Tabela da distribuição Normal com 0,475 (0,475 = 0,5 
– 0,025), obtém-se Z = 1,96. 
 
A representação gráfica do intervalo de confiança determinado é a seguinte: 
 
 
2. Desvio padrão da população desconhecido 
 
2.1 Amostra Grande, n  30 
 
 ou 
 
Na qual “Z” é obtido na tabela da distribuição Normal para /2. 
 
O erro de estimação é: 
 
15
42
96,1120
26,21120 26,141a74,98 
n
s
Zx x n
s
Zx
n
s
Zx xx  
n
s
Z x
 13 
Exemplo: O administrador de uma empresa ambiental está estudando o ganho 
com a venda de óleo lubrificante usado e para tal tomou o preço ofertado por 
40 empresas escolhidas aleatoriamente. O resultado obtido foi uma média de $ 
165,00 por quinhentos litros e um desvio padrão de $ 45,00. Estime, com 90% 
de confiança, o ganho médio com a venda do óleo usado. 
 Como a amostra é de tamanho igual a 40, poderá ser usada a Distribuição 
Normal como distribuição das médias amostrais. 
 Como a confiança requerida é de 90%, então /2=5%, ou 0,05. 
 Entrando no miolo da Tabela da distribuição Normal com 0,45 (0,45 = 0,5 – 
0,05), obtém-se Z = 1,645. 
 Então, a estimação intervalar para o ganho médio será: 
153,30 a 176,70 
 A representação gráfica do intervalo de confiança é a seguinte: 
 
 
 
2.2 Amostra Pequena, n < 30 
 
No caso de uma população normal ou aproximadamente normal, mas com 
desvio padrão populacional desconhecido, será usada a Distribuição de 
Student para a determinação do coeficiente de confiança, que neste caso 
passa a ser “t”: 
 
n
s
tx x ou 
n
s
tx
n
s
tx xx   
 
na qual “t” é obtido na tabela da Student para /2 e n-1 graus de liberdade. 
 14 
Características da Distribuição de Student: 
 É “parecida” com a distribuição Normal; 
 É mais achatada (maior dispersão) do que a normal; 
 Varia com os graus de liberdade, isto é, com o tamanho da amostra. 
Abaixo é apresentada uma parte da Tabela da Distribuição de Student (ou 
distribuição “t”) existente no ANEXO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma loja realizou um estudo a respeito dos valores das compras 
realizadas pelos clientes. Estime valor de compra com 95% de confiança 
considerando que foi utilizada uma amostra aleatória de 15 clientes, o valor da 
média amostral foi de R$ 120,00 e desvio padrão de R$ 42,00. 
 
 Nesse caso, como a amostra é pequena, a população é normalmente 
distribuída, mas não se conhece o desvio padrão da população; será usada a 
distribuição de Student para a distribuição das médias amostrais. 
 Como a confiança requerida é de 95%, entraremos na tabela da Student 
com /2 = 0,025. 
 Como o tamanho da amostra é igual a 15, entraremos na tabela da Student 
com 15 – 1 = 14 graus de liberdade. 
 O valor para “t” encontrado foi de 2,145. Então a estimação é: 
 
 
 
15
42
145,2120
26,23120
26,143 a 74,96
 15 
 Erro de estimação = 23,26. 
 
 A representação gráfica do intervalo de confiança construído será a seguinte: 
 
 
 
 
3. Correção para População Finita 
 
A correção do desvio padrão é feita através da multiplicação do seu valor pela 
seguinte expressão: 
 
 
 
 
Na qual “N” é o tamanho da população e “n” é o tamanho da amostra. 
 
Exemplo: Uma empresa filantrópica possui 1200 animais e a sua 
administração coleta dados diários sobre custo para manter os animais. Foi 
tomada uma amostra de 199 animais, obtendo-se uma média de $ 32,00 e um 
desvio padrão de $ 8,00. Estime com 95% de confiança o custo médio para 
manter os animais. 
 
 
 
 
 
 
1

N
nN
11200
1991200
199
8
96,132



02,132
02,33 a 98,30
 16 
I.4.3 Estimação Intervalar Proporção 
 
Considerando “P” a proporção populacional e a proporção amostral, então a 
estimação da proporção populacional é obtida da seguinte maneira: 
 
n
pp
Zp
)ˆ1(ˆ
ˆ


 ou 
n
pp
ZpP
n
pp
Zp
)ˆ1(ˆ
ˆ
)ˆ1(ˆ
ˆ




 
 
Exemplo: O departamento de marketing de uma empresa que produz 
cosméticos naturais promoveu uma pesquisa para conhecer a aceitação pelo 
público feminino do seu novo creme para as mãos. O resultado da pesquisa foi 
o seguinte: 
 Gostaram e comprariam o produto: 2870 
 Não gostaram e não comprariam o produto: 628 
Estime com 99% de confiança a proporção de aceitação do novo produto. 
 
A proporção amostral 
pˆ
é igual a: 
82,0
3498
2870
ˆ p
 
O valor de “Z” para /2 = 0,005 é 2,575 
Então, a estimação intervalar de P é igual a: 
 
3498
82,0182,0
575,282,0


 
O intervalo será igual, então a: 
 
 
 
 
I.4.4 Cálculo do Tamanho da Amostra para Amostragem Aleatória Simples 
 
O cálculo do tamanho da amostra para a estimação da média será: 
2
2
0 






E
z
n
 
017,082,0 
837,0 P 803,0 
 17 
No caso do desvio padrão populacional desconhecido deve-se fazer uma amostragem 
piloto, e se for de tamanho amostral pequeno deve-se usar: 
 
2
2
0 






E
t
n
 tn-1 g.l; α/2 
Exemplo: A quantidade de chumbo em certo tipo de solo, medida por um 
método padrão, acusa em um desvio padrão de 10 ppm. Qual o tamanho da 
amostra necessário para se estimar a média de chumbo no solo com um erro 
de 0,5 ppm e um nível de confiança de 95%? 
 
15410.
5,0
96,1
2
0 





n
 
O cálculo do tamanho da amostra para a estimação da proporção será: 
 
 
 
Observe que para calcular o tamanho da amostra teremos que conhecer o 
valor estimado da proporção populacional 
pˆ
. Isso, na prática, pode ser 
conseguido através uma amostragem piloto. No entanto, essa prática pode 
custar mais tempo e mais dinheiro. Caso não seja possível uma amostragem 
piloto, deve-se usar: 
pˆ
 = 0,5 que é o valor que fornece os maioresintervalos de confiança. 
 
Exemplo: Suponha que um editor deseja fazer uma pesquisa a respeito da 
aceitação de uma determinada revista sobre meio ambiente. Determine o 
tamanho da amostra a ser utilizada nessa pesquisa, considerando que a 
confiança desejada seja de 97% e o erro máximo suportado seja de 1%. 
 O valor de “Z” para /2 = 0,015 é igual a 2,17 
 Como não se tem a estimação de 
pˆ
, usaremos 0,5 
 Então, o tamanho da amostra necessário será igual a: 
 
 
 
 
  
2
2
01,0
5,015,017,2 
n
1177325,11772 n
 pp
E
z
n ˆ1ˆ
2
0 






 18 
Tamanho da Amostra para População Finita 
Para o caso de População Finita deve-se usar o seguinte fator de correção: 
Na qual “N” é o tamanho da População. 
 
 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Considere que uma empresa queira utilizar escória de aciaria, produzida em 
uma usina siderúrgica, para pavimentação. Será necessário realizar um 
procedimento de amostragem para caracterização física da escória, onde serão 
analisados parâmetros físicos como umidade ótima. Suponha que tenha sido 
realizada uma amostragem piloto onde o desvio padrão foi de 2,1 para 
umidade ótima. Qual o tamanho de amostra aleatória para estimar a média 
com um erro de 0,5 e com uma confiança de 95% ? 
 
2. Para uma amostra de 100 empresas no setor de mármore e granito, o 
número médio de empregados é 600 com um desvio padrão de 50. Considere 
que no ES há um total de 1800 empresas neste setor. Determinar o intervalo 
de confiança de 90% para estimar o número médio de trabalhadores por 
empresa no ES. 
 
3. Em certa cidade, o peso do lixo produzido por semana em residências de 
classe social C foi obtido através de uma amostra de 15 residências, obtendo-
se 20 kg como média e 5,5 kg como desvio padrão. Estimar o peso médio 
produzido por famílias de classe C desta cidade, usando um intervalo de 
confiança de 95%. 
 
4. Para uma amostra de 25 lâmpadas fluorescentes, obteve-se uma vida média 
útil de 6000 horas com um desvio padrão de 700 horas. Construir um intervalo 
de confiança de 99% para a média da população. 
 
N
n
n
n
o

1
0
 19 
5. Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 300 
empresas de uma comunidade e verifica que uma proporção de 0,60 na 
amostra prefere usar biodisel em vez de qualquer outro combustível. Construa 
um intervalo de 95% para a proporção de todas as empresas que preferem 
usar biodisel nesta comunidade. 
 
6. Para o exercício anterior, suponha que, antes dos dados serem coletados, 
foi especificado uma confiança de 95% e um erro máximo de 0,05. Qual 
tamanho de amostra deveria ser coletado sem conhecimento de nenhuma 
estimativa a priori? 
 
7. Em um Simpósio de Engenharia organizado pela FAESA foi coletado dados 
sobre de 350 alunos que cursam engenharia e encontrado que 90 de tais 
estudantes fazem estágios. Usando um intervalo de confiança de 96%, 
estimarmos a proporção de todos os estudantes que fazem estágio. 
 
8. Para estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à 
implantação de um novo currículo escolar, tomou-se uma amostra de 1000 
alunos, dos quais 300 foram favoráveis. 
a) Fazer um intervalo de confiança para a proporção de todos os alunos do 
curso favoráveis à modificação com uma confiança de 97%. 
b) Qual o erro de estimação cometido em a? 
c) Sabendo-se que a faculdade possui 4000 alunos, quantos alunos deveriam 
ser selecionados considerando um erro amostral de no máximo 2,5% e 
confiança de 95% e considerando como estimativa a priori a estimação 
pontual utilizado na letra (a). 
 
UNIDADE II – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA UMA ÚNICA 
AMOSTRA 
 
Teste de hipótese 
 
Em estatística uma hipótese é uma alegação, ou afirmação, sobre uma 
propriedade de uma população. O objetivo do teste de hipótese é decidir se 
 20 
determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é verdadeira. Sabe-
se que em razão da variabilidade inerente a amostragem as estatísticas 
amostrais tendem a se aproximar, ao invés de se igualar, aos parâmetros da 
população. Em um teste de hipótese é verificado se a diferença entre o valor 
alegado de um parâmetro populacional e o valor da estatística amostral pode 
ser atribuída ao acaso ou se a discrepância é grande o suficiente para ser 
encarada assim. 
 
Testes de hipóteses são largamente utilizados para reportar os resultados de 
pesquisas em muitos campos da ciência aplicada e da indústria, por exemplo, 
produtos farmacêuticos exigem evidências significativas de eficácia e 
segurança. Os comerciantes desejam saber se uma nova campanha de 
publicidade supera significativamente a anterior. Em meio ambiente é 
importante saber se a concentração de contaminantes atmosféricos é diferente 
em ambientes fechados. 
 
II. 1 As Hipóteses Nula e Alternativa 
 
O primeiro passo em teste de hipótese consiste em formular duas hipóteses 
sobre a afirmação: 
 
A hipótese nula, H0, é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro 
populacional, ou seja, é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é 
tal como especificado. Deve conter a condição de igualdade. Para o caso de 
teste para uma média tem-se: 
valorumaH lg:0 
 
O complemento da Hipótese Nula é a Hipótese Alternativa (H1). É uma 
afirmação alternativa a alegação a qual existe indícios dela ser verdadeira se a 
hipótese nula é falsa. Para o caso citado anteriormente tem-se: 
valorumaH lg:1 
 
valorumaH lg:1 
 
valorumaH lg:1 
 
Observação: 
 21 
1. Mesmo quando é utilizado os símbolos ≤ ou ≥ na hipótese nula o teste é 
realizado supondo a igualdade. Devemos ter um valor fixo único para μ, de 
modo que possamos trabalhar com uma única distribuição com média 
especifica. 
2. Se o leitor está fazendo uma pesquisa a sua afirmação deve ser formulada 
de maneira que se torne a hipótese alternativa. 
 
Exemplo: A direção de um Banco deve decidir se oferece certo produto em 
uma determinada cidade. A implantação desse produto na agência dessa 
cidade somente será viável se a capacidade de poupança dos seus clientes for 
maior que R$ 500,00 mensais. Para verificar esse fato será realizada uma 
pesquisa de mercado para testar se esse valor é alcançado. Formule as 
hipóteses para esse teste: 
500:0 igualémédiaAH
 
500:1 quedomaiorémédiaAH
 
 
Assim tem-se: 
500:0 H
 
500:1 H
 
II.2 Áreas de Aceitação e de Rejeição 
 
À medida que amostras diferentes são tomadas, os valores dos parâmetros 
amostrais variam entre si e em relação ao valor populacional. Essas variações 
podem ser devidas à própria aleatoriedade do processo, isto é, são casuais, ou 
devido ao fato das amostras terem sido tiradas de populações com parâmetros 
diferentes. Um teste de hipóteses avalia até aonde essas variações são frutos 
do próprio processo aleatório e a partir de que ponto as variações são reais. 
Teremos então que determinar os pontos limites até os quais concordaremos 
com a hipótese de que as variações são casuais e a partir dos quais as 
variações são reais. Esses pontos são chamados de “pontos críticos”. 
 
 22 
O intervalo ao longo do qual, as variações são consideradas casuais é 
chamada de área de aceitação de H0. O complemento da área de aceitação é a 
área de rejeição de H0. 
 
 A visualização gráfica de uma área de aceitação é a seguinte: 
 
 
 
 A visualização gráfica de uma Área de Rejeição é a seguinte: 
 
 
II.3 Os testes unilateral e bilateral 
 
O interesse em detectar desvios significativos de certo parâmetro podeenvolver desvios em ambas as direções ou apenas numa direção. A hipótese 
alternativa é usada para indicar qual o aspecto da variação que nos interessa. 
Há três casos possíveis: concentrar em ambas as direções, concentrar os 
Área de Aceitação 
da Hipótese Nula
Valor 
Populacional
Pontos Críticos
Área de Rejeição 
da Hipótese Nula
Valor 
Populacional
Pontos Críticos
 23 
desvios abaixo do valor esperado ou concentrar nos desvios acima do valor 
esperado, assim os testes podem ser bilaterais ou unilaterais. 
 Teste bilateral é aquele em que a região de rejeição da Hipótese Nula está 
localizada nas duas caudas da distribuição amostral. 
 
 Teste unilateral é aquele em que a região de rejeição da Hipótese Nula está 
localizada apenas em uma das caudas da distribuição amostral. 
 
 Um teste bilateral apresenta as seguintes Hipóteses Nula e Alternativa: 
 
 
 
 
Exemplo: Uma amostra dos saldos em conta corrente de 100 clientes de uma 
agência bancária indicou uma média de R$ 986,30 e um desvio padrão de R$ 
254,80. Pode-se aceitar, a um risco de 5%, que o saldo médio em conta 
corrente dos clientes desta agência seja igual a R$ 1000,00? 
Nesse exemplo, as Hipóteses Nula e Alternativa serão as seguintes: 
1000:0 H
 
1000:1 H
 
A representação gráfica das áreas de aceitação e de rejeição da Hipótese Nula 
para esse exemplo é a seguinte: 
 
 
 
 Pode-se ter teste unilateral com a região de rejeição da Hipótese Nula na 
cauda da direita ou na cauda da esquerda. 
Área de Aceitação 
da Hipótese Nula
Área de Rejeição da Hipótese Nula
025,0
2


025,0
2


=1000
Pontos Críticos
95,0)1( 
00 :  H
01 :  H
 24 
 Teste unilateral com a região de rejeição da Hipótese Nula na cauda da 
esquerda: 
00 :  H
 
01 :  H
 
Vamos usar o mesmo exemplo anterior, mas alterando a pergunta para: “Pode-
se aceitar a um risco de 5% que o saldo médio em conta corrente dos clientes 
dessa agência seja menor que R$ 1000,00?” 
Agora, as Hipóteses Nula e Alternativa são as seguintes: 
 
1000:0 H
 
1000:1 H
 
 
A representação gráfica das áreas de aceitação e de rejeição da Hipótese Nula 
desse exemplo é a seguinte: 
 
 
 
 
Teste unilateral com a região de rejeição da Hipótese Nula na cauda da direita: 
00 :  H
 
01 :  H
 
 
Continuamos a usar o exemplo anterior, mas alterando a pergunta para: “Pode-
se aceitar, a um risco de 5%, que o saldo médio em conta corrente dos clientes 
dessa agência seja maior que $ 1000,00?” 
Área de Aceitação 
da Hipótese Nula
05,0 95,0)1( 
=1000
Ponto Crítico
Área de Rejeição da Hipótese Nula
 25 
Agora as Hipóteses Nula e Alternativa são as seguintes: 
1000:0 H
 
1000:1 H
 
A representação gráfica das áreas de aceitação e de rejeição da Hipótese Nula 
deste exemplo será a seguinte: 
 
 
 
II.4 Os Erros do tipo I e de tipo II 
 
Ao realizarmos um teste de hipóteses, estamos sujeitos a cometer erros. 
Existem dois tipos de erros que podem ser cometidos, “Erro tipo I” e “Erro tipo 
II”. 
 
1. Erro Tipo I 
 
Quando conclui-se sobre uma hipótese, pode-se decidir erroneamente e 
rejeitar a hipótese nula, mesmo que ela seja verdadeira, porém se ela for 
verdadeira, queremos que a probabilidade de vir a cometer esse erro (erro do 
tipo I) seja pequena. Essa probabilidade chama-se nível de significância. 
 
Exemplo: Suponha que um consumidor tenha procurado o órgão competente 
para reclamar que havia comprado um produto em cuja embalagem constava 
conter 500 gramas, e ao chegar em casa constatou haver menos do que 500 
Área de Aceitação 
da Hipótese Nula
Área de Rejeição da Hipótese Nula
=1000
Ponto Crítico
95,0)1( 
05,0
 26 
gramas dentro do invólucro. O órgão mandou então recolher, uma amostra 
para analisar a queixa do consumidor. 
 
As hipóteses a serem testadas nesse caso são as seguintes: 
 
500:0 H
 
500:1 H
 
 
Suponha que a amostra desse produto coletada, por obra do acaso, contenha 
somente embalagens com menos de 500 gramas, mas que na realidade a 
máquina empacotadora introduz 500 gramas em cada embalagem. Nesse 
caso, rejeitaremos a Hipótese Nula, mas na verdade os produtos contêm, em 
média, 500 gramas. Teremos, assim, cometido um erro tipo I. 
 
2. Erro Tipo II 
 
Ocorre quando aceitamos a hipótese nula como verdadeira, sendo ela falsa. 
 
Exemplo: Utilizando o mesmo exemplo anterior, suponha que a máquina 
empacotadora estivesse realmente com problemas e aleatoriamente 
introduzindo menos de 500 gramas em muitas embalagens. Mas ao tomar a 
amostra, por obra do acaso, todas as embalagens coletadas possuíam 500 
gramas. Desta forma, a Hipótese Nula será aceita e assim, teremos cometido 
um erro tipo II. 
 
Resumidamente tem-se: 
 
 O verdadeiro estado da natureza 
 H0 é verdadeira H0 é falsa 
 
Decisão 
Decidimos rejeitar a 
hipótese nula 
Erro tipo I 
(): significância 
Decisão correta 
(1-β): poder do teste 
Não rejeitamos a hipótese 
nula 
Decisão correta 
(1-): confiança 
Erro tipo II 
(β) 
 
 27 
 
Assim, quando cometemos um erro do Tipo I, aceitamos uma diferença que de 
fato não existe. No erro do Tipo II, aceitamos que grupos são iguais enquanto 
que a diferença existe, ou seja, significa que existe uma diferença que não foi 
reconhecida. O erro do tipo I ocorre principalmente quando as amostras são 
pequenas, Já o erro do tipo II ocorre em função de amostras pequenas e a 
grande variabilidade, o que pode eliminar as chances matemáticas de aparecer 
uma significância estatística. 
 
A Confiança, Risco e Poder do Teste 
 
 A probabilidade de se aceitar a hipótese nula, sendo ela verdadeira, é a 
confiança do teste. 
 A notação para a confiança é: (1 - ). 
 O complemento da confiança, isto é, a probabilidade de se rejeitar a 
Hipótese Nula sendo ela verdadeira, é o risco. 
 A notação para o risco é: (). 
 Então, sendo o risco a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula sendo 
ela verdadeira, então o risco é a probabilidade de se cometer um erro do tipo I. 
 
Dessa forma, temos que: 
 confiança + risco = 1 
 
 O poder ou potencia de um teste estatístico (1 - β) é a probabilidade de 
rejeitar a hipótese nula, quando no estado da natureza ela é falsa, pode ser 
interpretado como a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese nula 
falsa, ou a sensibilidade do teste de detectar diferenças. 
 
II.5 Roteiro para um Teste de Hipóteses 
 
A seguir serão apresentados os passos a serem seguidos para a execução de 
um Teste de Hipóteses, quaisquer que seja o parâmetro a ser testado. 
 
 28 
1. Determinar de H0 e H1. 
2. Determinar a distribuição a ser usada (serão usadas para o teste de médias 
a distribuições Normal. As regras para a utilização da distribuição são as 
mesmas utilizadas para a construção do intervalo de estimação). 
3. Determinar as regiões de aceitação e de rejeição. 
4. Calcular a estatística de teste. 
5. Para o teste de média e para o de proporções, a estatística de teste será 
assim calculada: 
 
 
6. Determinar o valor crítico. Observar que o valor crítico delimita a região de 
aceitação e, conseqüentemente, a de rejeição. 
7. A decisão consiste em comparar a estatística de teste, calculada a partir da 
amostra, com o valor crítico, e concluir pela aceitação ou não da hipótese nula. 
Se a estatística de teste cair dentro da região de aceitação da Hipótese Nula, 
esta não poderá ser rejeitada. Se cair dentro da região derejeição, a Hipótese 
Nula deverá ser rejeitada. 
 
II.6 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância 
Conhecida 
 
No teste de uma Média, onde a variância populacional (ou o desvio padrão 
populacional) é conhecida, a determinação da estatística de teste é obtida da 
seguinte maneira: 
 
n
X
Z
x
0 
Na qual é o valor a ser testado, “n” é o tamanho da amostra, é a média 
amostral e 
x
é o desvio padrão da população. 
 
 
padrãodesvio
testeemvaloramostralvalor
testedeaestatístic


padrãodesvio
testeemvaloramostralvalor
testedeaestatístic


0 X
 29 
Determinação do valor crítico usando a Normal: 
 Entrar no miolo da tabela da Normal com o valor de (0,5 - /2) para testes 
bilaterais, ou com o valor de (0,5 - ) para testes unilaterais, e ler nas bordas 
da tabela o valor de Z. 
 Suponha que se queira o valor crítico para um teste bilateral para uma 
confiança de 95% (ou um risco de 5%, ou uma significância de 5%). 
Entraremos no miolo da tabela da Normal com o valor de 0,475 (0,50 – 0,025) 
e leremos nas bordas o valor do Z crítico (1,96). 
 Se for para um teste unilateral, entraremos no miolo da tabela com 0,45 
(0,50 – 0,05) e leremos nas bordas o valor de 1,65 para Z crítico. 
 
II.7 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância 
Desconhecida e Tamanho da Amostra Grande (n ≥ 30) 
 
No teste de uma média com a variância conhecida e tamanho de amostra 
grande, a determinação da estatística de teste é obtida da seguinte maneira: 
n
s
X
Z 0

 
Na qual é o valor a ser testado, “n” é o tamanho da amostra, é a média 
amostral e 
xs
é o desvio padrão da amostra. 
 
Exemplo: Uma amostra aleatória de 40 faturamentos semanais de uma 
determinada loja apresentou uma média amostral de $ 48.400,00 e um desvio 
padrão amostral de $ 9.870,00. Pode-se considerar que o faturamento semanal 
dessa loja é uma variável normalmente distribuída. Pode-se aceitar a um risco 
de 1% que o faturamento semanal médio desta loja seja igual a $ 50.000,00? 
Nesse exemplo, as hipóteses são as seguintes: 
 
 
 
0 X
000.50:0 H
000.50:1 H
000.50:0 H
000.50:1 H
 30 
 A distribuição a ser usada será a Normal, uma vez que a amostra é maior do 
que 30. 
 Nesse caso, não precisaríamos fazer a suposição de que a variável seja 
normalmente distribuída, uma vez que a amostra é grande (mais de 30 
observações). 
 O valor da estatística de teste será o seguinte: 
03,1
40
9870
5000048400


Z
 
Entrando no miolo da tabela da distribuição Normal com o valor de 0,495 (0,5 – 
0,005), encontraremos o valor de Z crítico, que é igual a 2,575 (interpolando 
entre 0,4949 e 0,4951).Como o valor de Z de teste (1,03) caiu entre os valores 
- 2,575 e + 2,575, não poderemos rejeitar a hipótese nula de que o faturamento 
semanal médio seja igual a $ 50.000,00 
II.8 Teste Hipótese para Média de uma População com Variância 
Desconhecida e Tamanho da Amostra Pequeno (n < 30) 
No teste de uma média para amostra pequena, a determinação da estatística 
de teste é obtida da seguinte maneira: 
n
s
X
t 0


 
Na qual é o valor a ser testado, “n” é o tamanho da amostra, é a 
média amostral e 
xs
é o desvio padrão da amostra. 
 
Determinação do valor crítico usando a distribuição t-Student: 
 Entrar na margem horizontal superior com /2, se o teste for bilateral, ou com 
, se o teste for unilateral, e na margem vertical à esquerda com o nº. de graus 
de liberdade (n – 1). Ler no miolo da tabela o valor do t ( t crítico ). 
 Com uma amostra de 20 observações e 5% de significância: 
 Para um teste bilateral, entraremos na borda superior da tabela com /2 = 
0,025, e na borda vertical da esquerda com gl (graus de liberdade ) = 20 – 1 = 
0 X
 31 
19. No cruzamento, no miolo da tabela, encontraremos o valor de 2,093 para o 
valor de t crítico. 
 Para um teste unilateral entraremos com  = 0,05 e o mesmo nº de graus de 
liberdade (19) e, no miolo, no cruzamento, encontramos o valor de t crítico = 
1,729. 
 
Exemplo: Um engenheiro estuda o tempo médio de vida das lâmpadas 
elétricas fluorescentes. A indústria afirma que a vida média desse tipo de 
lâmpada é de 1120 horas. Uma amostra de 8 lâmpadas extraída 
recentemente apresentou a vida média de 1070 horas, com desvio padrão de 
125 horas. Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou 
ao nível de 1%. 
 
Resposta: 
As hipóteses a serem testadas são as seguintes: 
1120:0 H
 
1120:1 H
 
O valor da estatística de teste é dado por: 
 
13,1
8
125
112010700 




n
s
X
t
 
Olhando na tabela de distribuição t-student o valor da estatística do ponto 
critico é t7,0,005 = 3,4995. 
Conclusão: Como o valor da estatística de teste pertence à região de aceitação 
da hipótese, então não rejeita-se Ho considerando um nível de significância de 
1%. 
II.9 Teste de Hipótese para Proporção de uma População 
 
No teste para proporções usaremos somente a distribuição Normal. O valor 
crítico será calculado do mesmo modo que para a média. 
 
Determinação da estatística de teste: 
 32 
n
PP
Pp
Z
)1.(
ˆ
00
0



 
onde 
pˆ
 = proporção amostral e 
0P
= valor em teste. 
 
Exercício: Uma pesquisa de marketing a respeito da aceitação de um 
determinado produto realizada em uma cidade, A, mostrando os seguintes 
resultados: 
gostaram do produto: 1230 
não gostaram do produto: 270 
Pode-se concluir que, a 5%, a aceitação na cidade “A” é menor do 85%? 
 
EXEMPLO CALCULO DO ERRO TIPO I E TIPO II 
 
Exemplo: suponha que estejamos interessados na taxa de queima de um 
propelente sólido, usado para fornecer energia aos sistemas de escapamentos 
de aeronaves. A taxa de queima é uma variável aleatória que pode ser descrita 
por uma distribuição de probabilidades. Suponha que o foco seja analisar taxa 
média de queima. Especificadamente, estamos interessados em decidir se a 
taxa média de queima é ou não 50 cm/s. 
 
 
 
Uma amostra de 10 espécimes foi testada e que a taxa média de queima da 
amostra seja observada. Um valor da média amostral róximo ao valor da 
hipótese (média populacional = 50 cm/s) é uma evidência de que a média 
verdadeira é realmente 50 cm/s. Se a média amostral é consideravelmente 
diferente de 50 cm/s é evidência de que H1 é válida. 
Suponha que não rejeitamos se ou se, 
rejeitamos Ho em favor da hipótese . 
 
48,5 51,5 50 
Rejeita Ho 
Não rejeita-se Ho 
Rejeita-se Ho 
scmH
scmH
/50:
/50:
1
0




50:0 H
5,515,48  x
5,48x
5,51x
scmH /50:1 
 33 
 
 
No exemplo, o erro do tipo I ocorrerá quando ou , para a taxa 
média de queima igual a 50 cm/s. 
 
 
Suponha que o desvio padrão de queima igual a 2,5 cm/s e tenha uma 
distribuição normal. A probabilidade de cometer o erro do tipo I é igual a soma 
das áreas sombreadas. 
 
Assim, 
 
Os valores de Z que correspondem aos valores críticos 48,5 e 51,5 são 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o β é necessária uma hipótese alternativa específica, ou seja, 
temos que ter um valor particular para µ. Suponha que o verdadeiro valor de µ 
seja µ = 52 cm/s, então: 
 
 
Os valores de Z correspondentes a 48,5 e 51, 5 quando µ=52 são: 
 
 
5048,5 51,55048,5 51,5)/()( verdadeiraHoHorejeitarPItipoerroP 
5,51x 5,48x
)505,51()505,48(   quandoxPquandoxP
90,1
10
5,2
505,48
1 

Z 90,1
10
5,2
505,51
2 

Z
057434,0
028716,0028716,0)90,1()90,1(



 ZPZP
)/()( falsaforHoHorejeitarnãoPIItipoerroP 
)525,515,48(   quandoxP
43,4
79,0
525,48
1 

Z 63,0
79,0
525,51
2 

Z
 34 
264347,0)63,043,4(  ZP 
 
A potência do teste é 1-β = 0,735653 
II.10 Teste de Hipótese para a Variância de uma População Normal 
 
Será considerado agora o problema de testar se um desvio padrão 
populacional é igual a uma determinada constante, σ0, ou se a variância 
populacional é igual a σ20. Este tipo de teste pode ser necessário quando 
estudamos a uniformidade de um produto, de um processo ou mesmo de uma 
operação. Pode-se, por exemplo, querer testar se certo tipo de vidro é 
suficientemente homogêneo para ser usado na fabricação de um equipamento 
óptico, se o grau de conhecimento prévio de um grupo de estudantes é 
uniforme para incluí-los em uma única turma, se a falta de uniformidade no 
desempenho de certos operários pode exigir uma supervisão mais restrita, etc. 
 
Suponha que se deseja testar a hipótese de que a variância de uma população 
normal (σ2) com média populacional (µ) desconhecida seja igual a um valor 
especifico, σ20 o teste de hipótese será dado por: 
 
2
0
2
0 :  H
 
2
0
2
1 :  H
 
 
Na hipótese alternativa pode ser testado se a variância é maior ou menor do 
que determinado valor. 
 
E a estatística de teste será: 
 
2
0
2
2 1


sn 

 
A distribuição amostral da estatística é a distribuição qui-quadrado com n-1 
graus de liberdade (k). 
 
 35 
A distribuição qui-quadrado não é negativa e é desviada para a direita, sendo 
que à medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição se 
torna mais simétrica e quando 
k
, a distribuição qui-quadrado tende para 
uma distribuição normal, veja figura abaixo: 
 
 
Funções densidade de probabilidade de várias distribuições 
2
. 
 
 
Os pontos percentuais da distribuição qui-quadrado são tabelados sendo que 
as áreas α estão na primeira linha e os graus de liberdade são dados na coluna 
esquerda. Por exemplo, o valor com 10 graus de liberdade tendo uma área de 
0,05 para a direita é 
31,182 10;05,0 
, sendo que esse valor é o ponto superior 5% 
da variável qui-quadrado, veja abaixo: 
 
 
 
 
 36 
 
Na Figura abaixo (Freund, 2000) são apresentados, dependendo da hipótese 
alternativa, os pontos críticos: 
 
Critério para testes de variância. 
 
 37 
Exemplo: Para avaliar certas características de segurança de um carro, um 
engenheiro precisa saber se o tempo de reação dos motoristas de uma 
determinada situação de emergência tem desvio padrão de 0,010 segundo, ou 
se é superior a 0,010 segundo. Se o engenheiro obtém s = 0,014 para uma 
amostra de tamanho n = 15, qual é a sua conclusão ao nível de 0,05 de 
significância? 
Admitindo que a população que originou a amostra tenha uma distribuição 
normal, podemos proceder como segue. 
010,0:0 H
 
010,0:1 H
 
 
A estatística de teste é dada por: 
 
   
44,27
010,0
)014,0.(1151
2
2
2
0
2
2 



 
sn
 
 
Como 
44,272 
excede 
68,232 14;05,0 
 (valor da tabela), a hipótese nula deve 
se rejeitada. , ou seja, o engenheiro pode concluir que o desvio padrão dos 
tempos de reação de motoristas a determinada situação de emergência é 
superior a 0,010 segundo. 
 
II.11 Valores-p nos testes de hipóteses 
 
A abordagem do valor-p tem sido amplamente utilizada na prática. O valor – p 
é a probabilidade de que a estatística de teste assuma um valor que é, no 
mínimo, tão extremo quanto o valor observado da estatística quando a hipótese 
nula for verdadeira. Assim, o valor-p carrega muita informação sobre o peso da 
evidencia contra H0. 
Resumindo: valor-p é a probabilidade da estatística de teste assumir um valor 
quando a hipótese nula é verdadeira. 
 
Interpretação: a decisão sobre a hipótese nula é tomada comparando-se o 
valor-p com um valor pré-fixado (nível de significância), usualmente 0,05. 
Quando o valor-p é menor que este ponto de corte, o resultado é 
 38 
estatisticamente significante (rejeita-se Ho) e, caso contrário, ele é dito não 
significante (não rejeita-se Ho). 
 
Não é sempre fácil calcular o valor-p para um teste. No entanto, a maioria dos 
programas computacionais, já apresenta este valor calculado para que você 
possa tomar a decisão em relação à hipótese sem que haja a necessidade de 
olhar na tabela de distribuição de probabilidade. 
 
 
TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Uma agência de empregos alega que os candidatos por ela colocados nos 
últimos seis meses têm salários maiores que $9000 anuais, em média. Um 
órgão governamental extraiu uma amostra de aleatória daquele grupo, 
encontrando um salário médio de $9300 com um desvio de $1000, com base 
em 49 empregados. Teste a afirmação da agência ao nível de 0,05 de 
significância. 
 
2) O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas no ES tem 
distribuição normal, com média de 4 salários mínimos, com desvio padrão de 
0,5 salários mínimos. Uma indústria emprega 25 empregados, com salário 
médio de 3,8 s.m. Ao nível de 5% podemos afirmar que essa indústria paga 
salários inferiores à média? 
 
3) Uma máquina automática que empacota o alimento A é programada para 
colocar 200g de peso. Para verificar a precisão da máquina, uma amostra de 
36 pacotes do referido alimento fornece um peso médio de 198g e desvio 
padrão de 6g. O que se pode concluir ao nível de 5%? 
 
4) Uma fábrica de cerveja distribui um tipo de cerveja sem álcool em garrafas 
que indicam 300 ml. O instituto de peso e medidas seleciona aleatoriamente 25 
garrafas e obtém uma média de 295 ml com o desvio padrão de 9 ml. Ao nível 
de 0,01de significância, pode-se concluir que a fábrica coloca menos cerveja 
nas garrafas? 
 39 
5) Sabe-se que por experiência que 5% da produção de um determinado 
artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças 
do artigo com 82 defeituosas. Ao nível de 10%, verificar se o novo empregado 
produz peças com maior índice de defeitos que o existente. 
 
6) Um fabricante de droga medicinal afirma que a eficiência da droga é igual a 
90% na cura de uma alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga 
curou 135 pessoas. Testar ao nível de 1% se a pretensão do fabricante é 
legítima. 
 
7) A quantidade de chumbo em certo tipo de solo, medida por um método 
padrão, acusa em média 85 partes por milhão (ppm). Experimenta-se um novo 
método em 40 espécimes de solo, obtendo-se uma média de 80 ppm de 
chumbo e um desvio padrão de 10 ppm. Há evidência significativa, ao nível de 
1% de significância, de que o novo método libere menos chumbo do solo? 
 
8) Avaliou-se em 250 kg o desvio padrão das tensões de ruptura de certos 
cabos produzidos por uma fábrica. Depois de ter sido introduzida uma 
mudança no processo de fabricação desses cabos, as tensões de ruptura de 
uma amostra de 10 cabos apresentaram o desvio padrão de 305 kg. Investigar 
a significância do aumento aparente da variância, ao nível de 5%. 
 
9) De uma população normal com média desconhecida, levantou-se uma 
amostra casual de 21 elementos: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 
6, 6, 7 ao nível de 10% testar se a variância populacional é menor do que 4. 
 
10) De umapopulação normal com média desconhecida, levantaram-se 24 
observações, obtendo-se 
480 ix
 e 
100602  ix
. Ao nível de 5% testar se 
a variância populacional seja diferente de 16. 
 
 11) Um fabricante de fibra têxtil está investigando um novo fio, que a 
companhia afirma ter um alongamento médio de 12 kg, com um desvio-padrão 
de 0,5 Kg. A companhia deseja testar a hipótese contra 
12:0 H 12:1 H
 40 
usando uma amostra aleatória de quatro espécimes. 
a) Qual será a probabilidade do erro do tipo I se a região crítica for definida 
como 
kgx 5,11
? 
b) Encontre beta para o caso em que o alongamento verdadeiro seja 11,25 Kg. 
 
12) Considere que foram coletados dados amostrais para se estimar o número de 
acidentes de trabalho em função da quantidade de horas trabalhadas e salário de 
funcionários de uma indústria siderúrgica. 
 
 
a) Construa uma estimativa intervalar para a taxa de acidentes. 
b) Elabore as hipóteses para verificar se a taxa de acidentes difere de 2,5. 
 
II.12 Teste de Aderência e Tabela de Contingência 
 
A estatística 
2
 foi criada por Karl Pearson para medir o grau de discrepância 
entre um conjunto de freqüências observadas (O) e o conjunto de freqüências 
esperada segundo determinada hipótese. Com essa técnica podem se 
resolvidos vários problemas, entre eles os seguintes: 
1) Verificar se uma distribuição observada de dados ajusta-se a uma 
distribuição esperada (teórica): o teste é chamado de aderência ou de 
ajustamento; 
2) Comparar duas ou mais populações com relação a uma variável categórica: 
o teste denomina-se teste 
2
 de comparação de proporções. 
3) Verificar se existe associação entre duas variáveis quazlitativas: teste é 
chamado de teste 
2
 de associação. 
 
OBS.: O nosso estudo ocorrerá nos itens 1 e 3 citados anteriormente. 
Taxas de acidentes Frequência observada 
1,8 a 2,0 3 
2,0 a 2,2 8 
2,2 a 2,4 10 
2,4 a 2,6 5 
 41 
II.12.1 Teste de Aderência ou adequação do Ajuste 
 
Este teste é utilizado quando não conhecemos a distribuição de probabilidade 
da população estudada e desejamos testar a hipótese de que uma distribuição 
particular é satisfatória como um modelo para a população. 
O procedimento do teste requer uma amostra aleatória de tamanho n, 
proveniente da população com distribuição de probabilidade desconhecida. 
Essas n observações arranjadas em um histograma de freqüência (contínua), 
tendo K intervalos de classe. Seja Oi a freqüência observada no i-ésimo 
intervalo de classe. A partir da distribuição de probabilidades utilizada na 
hipótese, calculamos a freqüência esperada no i-ésimo intervalo de classe 
denotada por Ei. 
 
A hipótese será: 
 
H0: A distribuição de freqüências observadas é igual à distribuição de 
freqüências esperadas segundo a hipótese que se está testando. 
H1: A distribuição de freqüências observadas não é igual à distribuição de 
freqüências esperadas segundo a hipótese que se está testando. 
 
A estatística de teste é dada por: 
 
 



i
ii
E
EO
2
2
, sendo Ei = n.p => n é o tamanho da amostra e p é a 
probabilidade de acordo com a distribuição da hipótese nula. 
 
Região de rejeição: 
A região de rejeição será somente a direita da curva qui-quadrado, pois quanto 
mais próximo for o Oi de Ei, mais próximo de zero (à esquerda do 2 ), mais 
perfeita será a aderência testada. Assim o ponto critico será 
2
;1   pk
, onde 
p = número de parâmetros na distribuição utilizada na hipótese que foram 
estimados pela amostra. 
k = número de classes. 
 42 
Procedimento para o ajuste: 
 
1. Realiza-se um levantamento da amostra. 
2. Observa-se o tipo de distribuição e propõe o modelo. 
3. Estimam-se os parâmetros de que dependem esta distribuição proposta. 
4. Com estas estimativas, executa-se o ajustamento verificando quais os 
valores esperados, com base nessa estimativa, isto é, testa-se a aderência, 
verificando-se se é possível admitir que os valores observados seguem a 
distribuição proposta. 
 
Exemplo 1: O número de defeitos por placas de circuito impresso é suposto 
seguir uma distribuição de Poisson. Uma amostra de 60 placas foi coletada e o 
numero de defeitos observados: 
 
Número de defeitos freqüência observada 
0 32 
1 15 
2 9 
3 (ou mais) 4 
 
A média deve ser estimada pela amostra: 
 
75,0
60
3429115032






n
fx
x
ii
 
 
H0: O número de defeitos segue uma distribuição de Poisson. 
H1: O número de defeitos não segue uma distribuição de Poisson. 
!
.
)(
x
e
xXP
x  

 
472,0
!0
.75,0
)0(
75,00

e
XP
 
354,0
!1
.75,0
)1(
75,01

e
XP
 
354,0
!2
.752,0
)2(
75,0

e
XP
 
 43 
  041,0)2()1()0(1)3(  XPXPXPXP
 
 
Número de defeitos Freqüência 
observada 
Probabilidade Freqüência esperada 
0 32 0,472 28,32 
1 15 0,354 21,24 
2 9 0,133 7,98 
3 ou mais 4 0,041 2,48 
 
OBS.: A freqüência esperada da ultima casela é menor do que 5 (2,48), neste 
caso é aconselhável combinar as duas ultimas freqüências esperadas. 
 
A estatística de teste será: 
       
94,2
44,10
44,1013
24,21
24,2115
32,28
32,2832
2222
2 








i
ii
E
EO 
O ponto crítico será (ao nível de 5%): 
84,32 05,0;113
2
;1    pk
, assim não rejeita-se Ho, ou seja, a distribuição de 
defeitos nas placas de circuito impresso é uma distribuição de Poisson. 
 
Exemplo 2: Levantou-se uma amostra de tamanho 100 em que se observava a 
altura das pessoas. Realizar um ajustamento desses dados a uma distribuição 
conveniente e testar aderência, ao nível de 2,5%. 
 
Classes fi 
150|--155 1 
155|--160 2 
160|--165 5 
165|--170 13 
170|--175 20 
175|--180 23 
180|--185 19 
185|--190 11 
190|--195 4 
 44 
195|--200 2 
Soma 100 
 
 
 
Analisando o histograma acima, concluímos que tipo de função se ajusta aos 
dados. Ajustaremos uma distribuição normal. 
H0: Os dados seguem uma distribuição normal. 
H1: Os dados não possuem uma distribuição normal. 
 
Como não especifica quais são os parâmetros ų e é necessário estimá-
los. 
 . 
152,5 1 152,5 23256,25 
157,5 2 315 49612,5 
162,5 5 812,5 132031,25 
167,5 13 2177,5 364731,25 
172,5 20 3450 595125 
177,5 23 4082,5 724643,75 
182,5 19 3467,5 632818,75 
187,5 11 2062,5 386718,75 
192,5 4 770 148225 
197,5 2 395 78012,5 
Total 100 17685 3135175 
 
A média será igual a 176,85 cm e o desvio padrão será de 8,75 cm. 
 
Verificaremos se os dados têm aproximadamente uma distribuição normal com 
média 176,85 cm e desvio 8,75 cm. Verificaremos quais são as freqüências sob 
, X: N ( 176,85; (8,75)² ). 
 
 
 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor do qui-quadrado será de 1,01 e o ponto crítico será 
01,162 025,0;2110
2
;1    pk
 não rejeita-se Ho, os dados seguem uma 
distribuição normal. 
 
 
Valores Z = (x-µ)/σ Z P(0 < Z < x) 
150 (150-176,5)/8,75 
-3,07 
0,4989 
155 (155-176,5)/8,75 
-2,50 
0,4938 
160 (160-176,5)/8,75 
-1,93 
0,4732 
165 (165-176,5)/8,75 
-1,35 
0,4115 
170 (170-176,5)/8,75 
-0,78 
0,2823 
175 (175-176,5)/8,75 
-0,21 
0,0832 
180 (180-176,5)/8,75 
0,36 
0,1406 
185 (185-176,5)/8,75 
0,93 
0,3238 
190 (190-176,5)/8,75 
1,50 
0,4332 
195 (195-176,5)/8,75 
2,07 
0,4808 
200 (200-176,5)/8,752,65 
 
0,4960 
Classes Prob. oi Qui-quadrado 
150|--155 0,4989 – 0,4938 = 0,0051 1 
0,51 
(1-0,51)
2
/0,51 = 
0,470784 
155|--160 0,4938 - 0,4732 = 0,0206 2 
2,06 
(2-2,06)
2
/2,06 = 
0,001748 
160|--165 0,4732 - 0,4115 = 0,0617 5 
6,17 
(5-6,17)
2
/6,17 = 
0,221864 
165|--170 0,4115 - 0,2823 = 0,1292 13 
12,92 
(13-12,92)
2
/12,92 = 
0,000495 
170|--175 0,2823 - 0,0832 = 0,1991 20 
19,91 
(20-19,91)
2
/19,91 = 
0,000407 
175|--180 0,0832 + 0,1406 = 0,2238 23 
22,38 
(23-22,38)
2
/2,38 = 
0,017176 
180|--185 0,3238 - 0,1406 = 0,1832 19 
18,32 
(19-18,32)
2
/18,32 = 
0,02524 
185|--190 0,4332 - 0,3238 = 0,1094 11 
10,94 
(11-10,94)
2
/10,94 = 
0,000329 
190|--195 0,4808 - 0,4332 = 0,0476 4 
4,76 
(4-4,76)
2
/4,76 = 
0,121345 
195|--200 0,4960 - 0,4808 = 0,0152 2 
1,52 
(2-1,52)
2
/1,52 = 
0,151579 
Σ 100 
99,49 
 
1,010967 
 46 
II.12.2 Tabelas de Contingência 
 
São tabelas de dupla entrada ou cruzadas construídas com o propósito de 
estudar a relação entre as duas variáveis de classificação. 
 
Por meio do teste 
2
, é possível verificar se duas variáveis são independentes. 
O número de graus de liberdade é dado por g.l. = (r-1).(c-1), sendo r o número 
de linhas e c o número de colunas da tabela de contingência. 
 
A hipótese a ser testada é: 
 
H0: As variáveis são independentes (não existe associação entre as variáveis). 
H1: As variáveis não são independentes (existe associação entre as variáveis). 
 
O valor esperado é calculado como E = n.p, sendo que a probabilidade, p, é 
calculada considerando H0 como verdadeiro, ou seja, 
)()()( BPAPBAP 
. 
Exemplo: No congresso Americano, grupos de Democratas e Republicanos 
votaram a em um projeto de interesse nacional está na tabela abaixo. Ao nível 
de 5%, testar a hipótese de não existe associação entre os dois partidos, com 
relação a esse projeto. 
 
 Votos 
Partido 
A favor (F) Contra (C) Indecisos (I) Total 
Democratas (D) 85 78 37 200 
Republicanos (R) 118 61 25 204 
Total 203 139 62 404 
 
Para calcular as probabilidades e os valores esperados tem-se: 
 
)()()( BPAPBAP 
 e E = n.p 
0,2488
404
203
404
200
)()()(  FPDPFDP
→ E = 404 x 0,2488 = 100,495 
1729,0
404
139
404
200
)()()(  CPDPCDP
→ E = 404 x 0,1729 = 69,8516 
0,0771
404
62
404
200
)()()(  IPDPIDP
 → E = 404 x 0,0771 = 31,154 
 47 
0,2537
404
203
404
204
)()()(  FPRPFRP
→ E = 404 x 0,2537 = 102,4948 
0,1737
404
139
404
204
)()()(  CPRPCRP
→ E = 404 x 0,1737 = 70,1748 
0,0775
404
62
404
204
)()()(  IPRPIRP
→ E = 404 x 0,0775 = 31,31 
 
A estatística de teste é dada por: 
 
             
0881,9
31
3125
70
7061
103
103118
31
3137
69
6978
100
10085
2222222
2 














i
ii
E
EO
 
g.l = (2-1) x (3-1) = 2 
99915,52 05,0;2 
 
Rejeita-se Ho, ou seja, ao nível de 5%, podemos afirmar que os políticos não 
votaram independentemente da orientação política de seus partidos. 
 
QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Na tabela abaixo, testar a hipótese de que não há relação entre o nível 
educacional de um individuo e êxito no seu casamento, isto é, ao nível de 5% 
testar a hipótese da independência entre as classificações. 
 
 Ajustamento do casal 
 
Nível universitário 
Muito baixo Baixo Alto Muito Alto 
Universitário 18 29 70 115 
Secundário 17 28 30 41 
Ginasial 11 10 11 20 
 
2. A tabela abaixo mostra a relação entre o aproveitamento dos alunos em 
física e matemática. Testar a hipótese de que o aproveitamento em física é 
independente ao de matemática, ao nível de 5%. 
 Matemática 
 
Física 
Grau alto Grau médio Grau baixo 
Grau alto 56 71 12 
Grau médio 47 163 38 
Grau baixo 14 42 85 
 
 48 
3. A tabela a seguir mostra a distribuição em toneladas das cargas máximas 
suportadas por certos cabos produzidos por uma empresa. Ajustar uma 
distribuição teórica conveniente e testar, ao nível de 5%, a aderência do 
ajustamento. 
Carga máxima 
(toneladas) 
Freqüência 
observada (Oi) 
9,2 a 9,7 2 
9,7 a 10,2 5 
10,2 a 10,7 12 
10,7 a 11,2 17 
11,2 a 11,7 14 
11,7 a 12,2 6 
12,2 a 12,7 3 
12,7 a 13,2 1 
 
UNIDADE III – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA UMA DUAS 
AMOSTRAS 
 
III.1 Teste de hipótese para duas médias 
 
 O teste de duas médias é realizado para se comparar as médias de duas 
populações a partir da análise das médias de suas amostras. 
 
 Duas amostras são independentes se a amostra extraída de uma das 
populações não tem qualquer relação com a amostra extraída da outra 
população. 
 
 Se uma das amostras tem alguma relação com a outra, as amostras são 
ditas dependentes ou pareadas. 
 
 O teste para duas médias pode usar a distribuição Normal ou a “T” de 
Student. 
 
As Hipóteses Nula e Alternativa do teste são as seguintes: 
Teste bilateral: 
 
 
 
baH  :0
baH  :1
 49 
Teste unilateral a direita: 
 
 
Teste unilateal a esquerda: 
 
 
 
 
III.1.1 Teste para duas Médias - Uso da distribuição Normal 
Em duas situações será usada a distribuição Normal: 
 Se a soma dos tamanhos das duas amostras for maior ou igual a 30, 
quaisquer que sejam as populações; 
 
 
 
 Se for garantido que as populações são normalmente distribuídas e que os 
desvios padrões das populações sejam conhecidos. 
 
III.1.2 Teste para duas Médias - Uso da distribuição “t de Student” 
 
 A distribuição de Student deverá ser usada quando a soma dos tamanhos 
das amostras for menor do que 30 observações e não se conhecer o desvio 
padrão das populações, devendo-se assumir obrigatoriamente que as 
populações são normais ou aproximadamente normalmente distribuídas. 
 
 
 Caso não haja possibilidade de se assumir a normalidade das populações, o 
tamanho da amostra deverá ser aumentado para 30 ou mais. 
 
III.1.3 Cálculo da estatística de teste 
 
A) Se as amostras forem pareadas: 
baH  :0
baH  :1
baH  :0
baH  :1
30 ba nn
30 ba nn
 50 
 
 
 
 
Sendo 
d
a média das diferenças entre as amostras e sd é o desvio padrão 
dessas diferenças. 
 
Será considerado gl (graus de liberdade) = n-1. 
 
Exemplo: Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, 
estando o peso antes do inicio (xi) da dieta e no final da dieta (yi) marcados na 
tabela abaixo. Ao nível de 5%, podemos concluir que houve diminuição do 
peso médio pela aplicação da dieta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yxH  :0
 
yxH  :1
 
6,2
10
26


n
d
d
i 
71,6
11
)( 222
2 







n
dnd
n
dd
s
ii
d
 
59,271,6 ds
 
17,3
1059,2
06,2





ns
d
t
d
d 
PESSOA Xi Yi PESSOA di di
2
 
A 120 116 A 2 16 
B 104 102 B 4 4 
C 93 90 C 3 9 
D 87 83 D 4 16 
E 85 86 E -1 1 
F 98 97 F 1 1 
G 102 98 G 4 16 
H 106 108 H -2 4 
I 88 82 I 6 36 
J 90 85 J 5 25 
 Soma 26 128 
ns
d
t
d
d
 51 
Na tabela tem-se que: n-1 = 9; α = 0,05, assim t = 1,833. 
 
Como a estatística de teste > que o valor de t na tabela conclui-se que rejeita-
se Ho, ou seja, a queda de peso e significativa pelo uso da dieta no grupo. 
 
Exercício: Utilizando um cronometrador de reação, os indivíduos são 
submetidos a testes de reaçãocom as mãos esquerdas e direitas. Os 
resultados (em milésimos de segundo) constam na tabela a seguir. No nível de 
0,05 de significância, teste a afirmação de que há uma diferença entre a media 
dos tempos de reação da mão direita e da mão esquerda. Se um engenheiro 
esta projetando a cabine de um jato de combate e deve colocar o ativador de 
ejeção do assento de modo a ser acessível tanto a mão direita como a não 
esquerda, faz alguma diferença entre a mão que escolhe? 
 
Pessoa A B C D E F G H I J K L M N 
Direita 191 97 116 165 116 129 171 155 112 102 188 158 121 133 
Esquerda 224 171 191 207 196 165 177 165 140 188 155 219 177 174 
 
 
B) Se as amostras forem independentes: 
 
B1) Se na + nb é maior ou igual a 30: 
   
b
b
a
a
baba
n
s
n
s
XX
Z
22




 
Observe que se o desvio padrão populacional é conhecido ele deve ser 
substituído por “s” na expressão acima. 
 
Exemplo: De duas populações normais X1 e X2 com variâncias 25, 
levantaram-se duas amostras de tamanho n1 = 49 e n2 = 36, obtendo-se: 
147
49
1
1 
i
ix
 
72
36
1
2 
i
ix
 
Ao nível de 10% teste a hipótese de que as medias das duas populações são 
iguais. 
 52 
31 x
 
22 x
 
Variância =25 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de Z tabelado e de 1,64, assim não se rejeita Ho, ou seja, ao nível de 
10% não é significativa a diferença entre as médias das duas populações. 
 
B2) Se na + nb é menor do que 30: 
 
Caso 1: As variâncias populacionais são consideradas iguais: 
   
   
ba
ba
ba
bbaa
baba
nn
nn
nn
nsns
XX
t







2
11 22

 
Sendo gl = na + nb - 2 
 
Exemplo: Foram tomados amostras de água em dois poços, um em região de 
reflorestamento (A) e o outro próximo a um posto de gasolina (B). Foram 
analisados diversos parâmetros de potabilidade entre eles a condutividade. No 
posto A foi coletada 5 amostras de água, registrando uma média de 80 (mS/m) 
com um desvio de 5(mS/m). No posto B, foram coletas 6 amostras com uma 
média de 83 (mS/m) e um desvio padrão de 4. Adotando um nível de 
significância de 0,05 testar a hipótese de que a condutividade é igual nos dois 
postos. OBS.: As variâncias populacionais foram consideradas iguais e 
independentes. 
 
 
   
91,0
36
25
49
25
0)23(
22







b
b
a
a
baba
n
s
n
s
XX
Z

0: 210  H
0: 211  H
 53 
Hipótese 
 
 ou 
 
Estatística de teste 
   
   
ba
ba
ba
bbaa
baba
nn
nn
nn
nsns
XX
t







2
11 22
 
 
   
1,1
61,047,4
3
65
65
265
164155
08380
22










t 
 
Ponto crítico 
Nível de significância de 0,05 e a t com 5+6-2 = 9 graus de liberdade, assim o 
ponto critico é de 2,2622. 
 
Conclusão: Como a estatística de teste 
2622,22622,2  tt
 não de pode 
rejeitar Ho com esse nível de significância. 
 
Caso 2: As variâncias populacionais são consideradas diferentes: 
b
b
a
a
ba
n
s
n
s
XX
t
22


 
 
Sendo: 
2
2
2
2
2
22
1
1
1
1






















b
b
ba
a
a
b
b
a
a
n
s
nn
s
n
n
s
n
s
gl
 
 
Aproximando-se para o inteiro mais próximo. 
0:
0:
1
0


BA
BA
H
H


BA
BA
H
H




:
:
1
0
 54 
Exemplo: Foi realizado um estudo para avaliar os níveis de água subterrânea 
em dois aterros industriais A e B de uma empresa de Celulose. No aterro A 
foram coletas amostras em 10 pontos obtendo-se uma média de 12 m e um 
desvio de 8,743. No aterro B foram tomadas 11 amostras obtendo-se uma 
média de 8,7 m e um desvio padrão de 5,901. Considerando que as variâncias 
são diferentes teste a hipótese, com significância de 5%, de que a média do 
nível de água é igual nos dois aterros. 
 
Hipótese 
BA
BA
H
H




:
:
1
0 ou 
0:
0:
1
0


BA
BA
H
H

 
Estatística de teste 
00,1
11
901,5
10
743,8
7,812
2222







b
b
a
a
ba
n
s
n
s
XX
t 
 
Ponto crítico: 
Nível de significância de 0,05 e a t com graus de liberdade igual a: 
 
59,15
11
901,5
111
1
10
8743
110
1
11
901,5
10
8743
1
1
1
1
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22




















































b
b
ba
a
a
b
b
a
a
n
s
nn
s
n
n
s
n
s
gl
 
Aproximando para o inteiro mais próximo tem-se que graus de liberdade = 16 
tem-se que o ponto crítico é de 2,120. 
 
Conclusão: Como a estatística de teste é menor que o ponto crítico não se 
pode rejeitar Ho com o nível de significância de 5%. 
 
 55 
III.2 Teste de hipótese para duas proporções 
 
Usaremos a distribuição Normal para o teste de comparação entre duas 
proporções populacionais. As Hipóteses são as seguintes: 
 
Teste bilateral: 
 
 
 
Teste unilateral à direita: 
 
 
 
Teste unilateral à esquerda: 
 
 
 
Considerando que: 
 
1pˆ
 = proporção amostral da amostra 1 
2pˆ
 = proporção amostral da amostra 2 
1n
 = tamanho da amostra 1 
2n
 = tamanho da amostra 2 
 
A estatística de teste Z de teste é igual a: 
 
)
11
()ˆ1(ˆ
ˆˆ
21
21
nn
pp
pp
Zt


 
Na qual 
pˆ
é assim calculado: 
21
2211
ˆˆ
ˆ
nn
pnpn
p



 
 
ba PPH :0
ba PPH :1
ba PPH :0
ba PPH :1
ba PPH :0
ba PPH :1
 56 
Exemplo: Foi realizada uma pesquisa sobre a aceitação da coleta seletiva em 
duas cidades diferentes, cidades “A” e “B”. Na cidade “A” foram consultados 
300 moradores e na cidade “B” 500 moradores. Na cidade “A” 186 moradores 
aprovaram a coleta, enquanto que na cidade “B” este número foi de 320 
moradores. Pode-se aceitar a 5% que a aprovação da coleta seletiva foi a 
mesma nas duas cidades? 
 
As hipótese envolvidas no teste são as seguintes: 
 
 
Os valores das proporções amostrais são as seguintes: 
62,0
300
186
ˆ p
 
64,0
500
320
ˆ p
 
O valor de 
pˆ
 é igual a: 
   
6325,0
500300
64,0.50062,0.300
ˆ 


p
 
 
O valor de Z teste é igual a: 
 
 
57,0
)
500
1
300
1
()6325,01(6325,0
64,062,0



tZ
 
 
Entrando-se no miolo da tabela da distribuição Normal com 0,475 (0,5 – 0,025), 
encontraremos para o valor de Z crítico 1,96. 
 
Como o Z de teste está dentro do intervalo de – 1,96 a + 1,96, não se pode 
rejeitar a Hipótese Nula, ou seja, a aprovação do produto é a mesma nas duas 
cidades. 
 
A representação gráfica da solução deste problema é a seguinte: 
ba PPH :0
ba PPH :1
 57 
 
III.2 Comparação de duas variâncias 
 
Como a variação entre dados é uma característica de extrema importância, 
assim, vamos apresentar um método queutiliza duas amostras para comparar 
as variâncias das populações das quais foram extraídas. O método exige as 
seguintes suposições, ou seja, ao testarmos uma hipótese sobre as variâncias 
de duas populações admitimos que: 
1. As duas populações são independentes uma da outra. 
2. As duas populações são ambas distribuídas normalmente. 
Notação para teste de hipóteses com duas variâncias 
21s
a maior das duas variâncias amostrais 
21
a variância da população da qual se extrai a amostra com maior variância. 
1n
tamanho da amostra com maior variância. 
Para a outra amostra e a outra população, empregam-se os símbolos 
2
2s
, 
2n
e 
2
2
. 
 
Estatística de Teste 
2
2
2
1
s
s
F 
 
Distribuição F 
- A distribuição F não é simétrica. 
- Os valores da distribuição F não podem ser negativos. 
- A forma exata da distribuição F depende do numero de graus de liberdade do 
numerador e o numero de graus de liberdade do denominador. 
 
 58 
Hipóteses a serem testadas e critério de rejeição: 
Hipóteses Critério de rejeição 
(se a estatística de teste for:) 
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:




H
H Maior que ..1,1;2 21 lgnnf 
 
Menor que 
..1,1;21 21 lgnn
f 
 
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:




H
H Menor que ..1,1;1 21 lgnnf 
 
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:




H
H Maior que ..1,1; 21 lgnnf 
 
 
 
Exemplo: Considere que 61 latas de alumínio de 0,0109 in. de espessura, e 
uma segunda amostra de 41 latas de alumínio de 0,0111 in de espessura. Os 
dados abaixo relaciona as cargas axiais das latas dessas amostras, e as 
estatísticas resumo são apresentadas a seguir: 
 
Cargas axiais das latas de 0,0109 in 
A 
Cargas axiais das latas de 0,0111 in 
B 
n1 = 61 n2 = 41 
1x
 = 267,1 
2x
 = 281,8 
1s
22,1 
2s
27,8 
 
Ao nível de 5% de significância, teste a afirmação de que as amostras provêm 
de populações com a mesma variância. 
 
QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Algumas pessoas são submetidas a um treinamento físico para diminuir o 
peso Os dados são dados a seguir. O objetivo do estudo é verificar se existem 
diferença no peso dos indivíduos antes e após o treinamento considerando 
uma significância de 5%. 
ANTES 99 62 74 79 70 73 
DEPOIS 94 62 66 58 70 76 
Media=5,17 
Dp = 8,7 
 59 
T=1,46 
T tabelado = 2,571 
 
2. Uma empresa interessada em conhecer a capacidade de consumir dos 
moradores de duas cidades, as quais chamaremos de “A” e “B”, mandou 
realizar uma pesquisa sobre a renda média dos seus possíveis clientes nessas 
cidades. Na cidade “A” foram consultadas 400 pessoas e o resultado foi o 
seguinte: Renda média = $ 1.236,00 e variância de = $ 688896,00 . Na cidade 
“B” foram consultadas 500 pessoas e o resultado foi o seguinte: Renda média = 
$ 1436,00 e variância = $ 956484,00. Pode-se aceitar com uma confiança de 
94% que a renda média na cidade “A” é menor que a da cidade “B”? Considere 
que a renda entre as duas cidades sejam independentes. 
 Z= - 3,3 Z tabelado = 1,56 
3. Uma empresa de consultoria em meio ambiente possui duas filiais, “A” e “B”, 
tendo para isso observado os faturamentos mensais de cada uma, tendo obtido 
o seguinte resultado: 
loja“A”: média = $ 22.354,64 e desvio padrão = $ 6.832,70 n=30 
loja”B”: média = $24.887,28 e desvio padrão = $ 8.358,25 n=30 
Considerando-se que os faturamentos mensais sejam normalmente 
distribuídos, pode-se aceitar a 2% que os faturamentos diários das duas filiais 
são iguais? Considerar que as variâncias populacionais sejam 
aproximadamente iguais. 
Z = -1,285 
Z tabelado =2,33 
 
4. Uma indústria não sabe se deve comprar lâmpadas da marca A ou B, de 
mesmo preço. Testa uma amostra de 100 lâmpadas da marca A e 100 da 
marca B, obtendo: 
 
 
 
Ao nível de 2,5%, testar a hipótese de que as marcas são igualmente boas. 
Z = 1,661 
Z tabelado = 2,24 
hsehx
hsehx
B
A
801140
901160


 60 
5. Em uma prova de estatística, 12 alunos de uma classe conseguiram média 
de 7,8 e desvio padrão de 0,6, ao passo que 15 alunos de outra turma, do 
mesmo curso, conseguiram média de 7,4 com desvio de 0,8. Considerando 
distribuições normais para as notas com variâncias iguais, verificar se o 
primeiro grupo é superior ao segundo ao nível de 5%. 
T = 1,438 
T Tabelado = 1,708 
 
6. O QI de estudantes de uma zona pobre de certa cidade apresenta média de 
107 pontos com desvio padrão de 10 pontos, enquanto os 14 estudantes de 
outra região rica da cidade apresentam média de 112 pontos com desvio 
padrão de 8 pontos. O QI em ambas as regiões tem distribuição normal. Há 
uma diferença significativa entre os QIs médios dos dois grupos a 5%? 
F = 1,56 
Ftabelado (12 gl) = 3,28 F tabelado (12, 13) = 3,15 
T = -1,46 
T tabelado = 2,056 
 
7. Queremos testar a resistência de dois tipos de vigas de aço, A e B. 
Viga A: média = 70,5; variância = 81,6 e n = 15 
Viga B: média = 84,3; variância = 120,5 e n = 14 
Considerando que as variâncias populacionais sejam diferentes, teste a 
hipótese de que a viga A é menos resistente que a viga B ao nível de 5%. 
 
T = -3,68 
Gl= 25.25719981 ~25 
 
Ttabelado = -1,708 
 
8. Duas pesquisas independentes sobre salários em duas áreas metropolitanas 
muito separadas revelaram a seguinte informação sobre o salário médio de 
operadores de equipamento pesado: 
 61 
 
Pode-se concluir, ao nível de 0,05, que os salários médios sejam diferentes? 
Z = -1,39 
Z tabelado = 1,96 
 
9. Para uma amostra aleatória de10 lâmpadas, a vida útil média foi de 4000 
horas, com desvio padrão de 200. Para outra marca de lâmpadas, cuja vida útil 
também se supõe ser normalmente distribuída, uma amostra aleatória de 
tamanho 8 apresentou-se uma média de 4300 horas e um desvio padrão 
amostral de 250. Teste à hipótese de que não existe diferença entre a média 
da vida útil das duas marcas de lâmpadas, usando um nível de significância de 
1%. Considere as variâncias populacionais homogêneas. 
T = -2,83 
T tabelado = 2,921 
 
10. Dez funcionários de uma mesma empresa fazem um curso de 
aperfeiçoamento para melhorar a qualidade das peças produzidas. O número 
de peças produzidas antes e após o curso estão dadas abaixo: 
 
 
 
Ao nível de 10%, testar as hipóteses de que os funcionários tenham 
aproveitamentos diferentes após o treinamento. 
24 -28 26 -34 -1 21 -34 -26 -32 25 
 
Media = -5.9 
Desvio padrão = 27.42039 
 
T = -0,68 
T tabelado = 1,833 
 
Àrea 
 A ($) B ($) 
x 6,50/h 7,00/h 
s 1,5/h 1,00/h 
n 25 25 
 
ANTES 51 47 75 35 72 84 45 11 52 57 
DEPOIS 27 75 49 69 73 63 79 37 84 32 
 62 
11. Duas companhias químicas podem fornecer uma matéria-prima, cuja 
concentração de um determinado elemento é importante. A concentração 
média para ambos fornecedores é a mesma, porém suspeita - se de que a 
variabilidade na concentração pode diferir entre as duas companhias. O desvio 
padrão da concentração de uma amostra aleatória de n1 =10 bateladas 
produzidas pela companhia 1 é s1 = 4,7 g/l, enquanto para a companhia 2, 
uma amostra aleatória de n2 = 16 bateladas resulta em s2 = 5,8 g/l. Há 
evidências suficiente para concluir que as variâncias das duas populações 
difiram? Use a significância de 5%. 
F = 1,52 
F TABELADO = 3,77 
F TABELADO = 0,26 
12. Para comparar duas marcas de pára-choque, montaram-se 10 de cada 
marca em carro compactos, fazendo-se cada carro colidir com um murode 
concreto, a uma velocidade de 5 milhas por hora. Registraram-se os seguintes 
custos com reparo: 
Pára-choque Custo de reparo em dólares 
1 260 310 380 280 360 268 290 315 345 300 
2 305 280 265 275 315 260 290 300 310 295 
Ao nível de 5% de significância, teste a diferença entre as médias dessas duas 
amostras: 
 
 
 
F = 4,45 
F TABELADO = 4,03 
T = 1,53 
T tABELADO => GL = 13= 2,16 
 
13. Um grupo de estudo formado por alunos da Engenharia da FAESA realizou 
uma pesquisa domiciliar para verificar se as donas de casas usavam produtos 
de limpeza biodegradáveis. A pesquisa foi realizada considerando bairros de 
classe socioeconômica A e B. Os resultados são mostrados abaixo: 
Classe 
socioeconômica 
Tamanho da 
amostra 
Quantidade de donas de casa que usam 
produtos biodegradáveis 
Classe A 200 110 
Classe B 300 210 
 
 MEDIA DP 
1 310.8 39.9 
2 289.5 18.9 
 63 
Usando o nível de significância de 5% pode-se dizer que na classe B a 
proporção de uso de produtos biodegradáveis é maior à classe A? 
Z = 3,42 
PONTO CRITICO = 1,65 
 
14. Foi realizado um estudo para verificar se o percentual de material plástico 
jogado no lixo na população de Vitória era maior do que percentual da cidade 
de Vila Velha. Foi considerada uma amostra de 49 caminhões de cada cidade. 
Na cidade de Vitória foi encontrado um percentual de 40% e em Vila Velha um 
percentual de 35%. Use um nível de significância de 6% para concluir sobre as 
hipóteses. 
Z calculado = 0,511 
Z critico = 1,55 
p = 0,375 
 
15. Um método de borrifar nuvens (com gelo seco, para provocar chuvas) 
funcionou positivamente em 57 dentre 150 tentativas, enquanto que outro 
método foi positivo em 33 dentre 100 tentativas. Ao nível de 0,04 de 
significância, pode-se concluir que o primeiro método é superior ao segundo? 
Z calculado = 0,807 
Z critico = 1,75 
p = 0,36 
 
UNIDADE IV – PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E ANÁLISE 
DE EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR: ANÁLISE DE 
VARIÂNCIA 
IV.1 Introdução 
Texto retirado de: Estatística Aplicada e probabilidade para engenheiros – 
Douglas Montegomery e George C. Runger, LTC, Páginas: 268, 269 e 270. 
 
A ESTRATÉGIA DE EXPERIMENTAÇÃO 
 
 64 
Experimentos são parte natural dos processos de tomada de decisão em 
engenharia e em ciência. Suponha, por exemplo, que um engenheiro civil 
esteja investigando os efeitos de diferentes métodos de cura sobre a 
resistência compressiva do concreto. O experimento poderia consistir em 
fabricar vários corpos de prova de concreto usando cada um dos métodos 
propostos de cura e então testar a resistência compressiva de cada espécime. 
Os dados desse experimento poderiam ser usados para determinar qual 
método de cura deveria ser usado para fornecer a máxima resistência 
compressiva média. 
 
Se houver somente dois métodos de cura que sejam de interesse, esse 
experimento poderia ser planejado e analisado usando os métodos de 
hipóteses estatísticas para duas amostras, introduzido anteriormente. Se o 
engenheiro civil quisesse investigar cinco métodos diferentes de cura, poderia 
ser utilizada a análise de variância para comparar as cinco médias. 
 
Técnicas de planejamento de experimentos baseadas estatisticamente, são 
particularmente úteis no mundo de engenharia, a fim de melhorar o 
desempenho de um processo de fabricação. Elas têm também aplicação 
extensiva no desenvolvimento de novos processos. A maioria dos processos 
pode ser descrita em termos de muitas variáveis controláveis, tais como 
temperatura, pressão, taxa de alimentação, etc. Usando planejamento de 
experimentos, engenheiros podem determinar que subconjunto das variáveis 
de processos tem a maior influência no desempenho do processo. Os 
resultados de tal experimento podem conduzir a: 
1. Melhor rendimento do processo. 
2. Redução na variabilidade do processo. 
3. Redução nos tempos de projeto e desenvolvimento. 
4. Redução nos custos de operação. 
 
Métodos de planejamento de experimentos são úteis também em atividades de 
projeto de engenharia, em que novos produtos sejam desenvolvidos e produtos 
já existentes sejam melhorados. Algumas aplicações típicas de experimentos 
planejados estatisticamente em projeto de engenharia incluem: 
 65 
1. Avaliação e comparação de configurações básicas de projeto. 
2. Avaliação de materiais diferentes. 
3. Seleção de parâmetros de projeto de modo que o produto trabalhe bem sob 
uma ampla variedade de condições de campo (ou de modo que o projeto seja 
robusto). 
4. Determinação dos parâmetros de projeto dos produtos chaves que causem 
impacto no desempenho do produto. 
 
O uso de planejamento de experimentos no projeto de engenharia pode 
resultar em produtos que sejam mais fáceis de fabricar, em produtos que 
tenham melhores desempenhos no campo e melhor confiabilidade do que seus 
competidores e em produtos que possam ser projetados, desenvolvidos e 
produzidos em menos tempo. 
 
Experimentos planejados são geralmente empregados seqüencialmente. Isto é, 
o primeiro experimento com um sistema complexo (talvez um processo de 
fabricação), que tenha muitas variáveis controláveis, é freqüentemente um 
experimento exploratório projetado para determinar que variáveis são mais 
importantes. Experimentos subseqüentes são usados para refinar essa 
informação e determinar quais ajustes são requeridos nessas variáveis críticas, 
de modo a melhorar o processo. Finalmente, o objetivo do experimentalista é a 
otimização; ou seja, determinar quais os níveis resultantes das variáveis 
críticas no melhor desempenho do processo. 
 
Cada experimento envolve uma seqüência de atividades: 
1. Conjectura - a hipótese original que motiva o experimento; 
2. Experimento - o teste feito para investigar a conjectura; 
3. Análise - a análise estatística dos dados do experimento; 
4. Conclusão - o que se aprendeu acerca da conjectura original do 
experimento. Freqüentemente, o experimento conduzirá a uma conjectura 
revisada e a um novo experimento e assim por diante. 
 
Todos os experimentos são planejados; infelizmente, alguns deles são 
pobremente planejados e, como resultado, fontes valiosas são usadas 
 66 
ineficientemente. Experimentos estatisticamente planejados permitem 
eficiência e economia no processo experimental e o uso de métodos 
estatísticos no exame de dados resulta na objetividade científica quando da 
retirada de conclusões. 
IV. 2 Experimento completamente aleatorizado com um único fator 
 
EXEMPLO: Um fabricante de papel usado para fabricar sacos de papel pardo 
está interessado em melhorar a resistência do produto á tensão. A engenharia 
de produto pensa que a resistência à tensão seja uma função da concentração 
de madeira de lei na polpa e que a faixa prática de interesse das 
concentrações de madeira de lei esteja entre 5 e 20%. Um time de engenheiros 
responsáveis pelo estudo decide investigar quatro níveis de concentração de 
madeira de lei: 5%, 10%, 15% e 20%. Eles decidem fabricar seis corpos de 
prova, para cada nível de concentração. Usando uma planta piloto. Todos os 
24 corpos de prova são testados, em uma ordem aleatória, em um 
equipamento de teste de laboratório. Os dados desse experimento são 
mostrados na Tabela abaixo: 
Resistência do Papel à Tensão (psi) 
Concentração de Observações 
Madeira de Lei (%) 1 2 3 4 5 6 Totais Médias 
Desvio 
padrão 
5 7 8 15 11 9 10 60 10,00 2,83 
10 12 17 13 18 19 15 94 15,67 2,80 
15 14 18 19 17 16 18 102 17,00 1,79 
20 19 25 22 23 18 20 127 21,17 2,64 
 383 15,96 
 
Esse é um exemplo de um experimento completamentealeatorizado com um 
único fator e quatro níveis do fator. Esses níveis são algumas vezes chamados 
de Tratamentos e cada tratamento tem seis observações ou replicatas (ou 
réplicas). O papel da aleatoriedade nesse experimento é extremamente impor-
tante. Fazendo a aleatoriedade da ordem das 24 corridas, o efeito de qualquer 
variável perturbadora, que possa influenciar a resistência observada à tensão, 
é aproximadamente balanceado. Por exemplo, suponha que haja um efeito de 
 67 
aquecimento da máquina de teste de tensão; ou seja, quanto mais tempo a 
máquina estiver ligada, maior a resistência observada à tensão. Se todas as 24 
corridas forem feitas em ordem crescente de concentração de madeira de lei 
(isto é, se todos os seis corpos de prova com concentração de 5% forem 
testados primeiro, seguidos por todos os seis corpos de prova com 
concentração de 10%, etc.), então quaisquer diferenças observadas na 
resistência à tensão poderão ser também devidas ao efeito de aquecimento. 
 
É importante analisar graficamente os dados de um experimento planejado. A 
Figura abaixo apresenta o gráfico de médias da resistência à tensão para os 
quatro níveis de concentração. Essa figura indica que a variação da 
concentração de madeira de lei tem um efeito sobre a resistência à tensão; 
especificamente, maiores concentrações de madeira produzem maiores 
resistências observadas à tensão. Além disso, a distribuição da resistência á 
tensão, em um nível particular de concentração de madeira de lei, é 
razoavelmente simétrica e a variabilidade na resistência à tensão não varia 
drasticamente à medida que a concentração de madeira de lei varia. 
Concentração
20%15%10%5%
In
te
rv
a
lo
 d
e
 9
5
%
 p
a
ra
 r
e
s
is
tê
n
c
ia
30
20
10
0
 
IV. 3 Análise de Variância (ANOVA) 
 
É uma técnica estatística usada para testar a hipótese de que as médias de 
três ou mais populações são iguais: 
 
 
iguaissaotodasnemH
H k
:
...:
1
210  
 68 
Para se fazer uma Análise de Variância, três pressupostos devem ser 
considerados: 
 As populações das quais foram retiradas às amostras são normalmente 
distribuídas ou aproximadamente normalmente distribuídas; 
 As variâncias populacionais são iguais ou aproximadamente iguais; 
 As observações são independentes entre si. 
 
IV.3.1 Conceituação Básica 
 
No desenvolvimento de uma ANOVA, são calculadas duas medidas de 
variabilidade (variâncias): 
 
 Variância dentro das amostras 
 Variância entre as amostras 
 
Conceito do teste: 
 
Se essas duas variabilidades forem iguais ou aproximadamente iguais, pode-se 
concluir que as amostras foram tiradas de populações com médias iguais. Se 
forem diferentes, conclui-se que as populações possuem médias diferentes. 
 
IV.3.2 Cálculo das Variâncias Dentro e Entre: Simbologia 
Seja: 
 
MSTR = Variância entre as amostras 
MSE = Variância dentro das amostras 
ijx
 = Valor da i-ésima observação da amostra j 
jn
 = Tamanho da j-ésima amostra 
jx
 = Média da j-ésima amostra 
2
js
 = Variância da j-ésima amostra 
js
 = Desvio padrão da j-ésima amostra 
k = Nº de amostras 
 69 
x
 = Média das médias amostrais 
 
 Cálculo da Variância Entre 
1
)( 2
1





k
xxn
MSTR
k
j
jj
 
 Cálculo da Variância Dentro 
Considerando, ainda que: 
kT nnnn  ...21
 
Então: 
 
kn
sn
MSE
T
k
j
jj




1
21
 
 
EXEMPLO: Cálculo das Variâncias Entre e Dentro: Considere que foram 
tomadas amostras de chorume de 3 aterros sanitários de uma grande cidade 
durante 5 dias. O resultado consta no quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Pode-se aceitar a 1% que, em média, as medições de chorume são iguais? 
As médias de cada amostra são as seguintes: 
 Média do Aterro “1” = (1,8+2,4+2,2+1,7+2,0)/5 = 2,02 
 Média do Aterro “2” = (1,5+1,8+1,7+1,9+1,8)/5 = 1,74 
 Média do Aterro “3” = (2,1+2,8+2,5+3,1+3,4)/5 = 2,78 
 
Média das médias = (2,02+1,74+2,78)/3 = 2,18 
 
As variâncias amostrais são as seguintes: 
 
Aterro 1 (m3∕dia) Aterro 2 (m3∕dia) Aterro 3 (m3∕dia)
1,8 1,5 2,1
2,4 1,8 2,8
2,2 1,7 2,5
1,7 1,9 3,1
2,0 1,8 3,4
 70 
082,0
)15(
)02,200,2(...)02,24,2()02,28,1( 2222
1 


s
 
023,0
)15(
)74,18,1(...)74,18,1()74,15,1( 2222
2 


s
 
257,0
)15(
)78,24,3(...)78,28,2()78,21,2( 2222
3 


s
 
 
O valor da Variância Dentro será: 
 
 
121,0
)3555(
257,0)15(023,0)15(082,015



MSE
 
 
O valor da Variância Entre será: 
 
45,1
)13(
)18,278,2(5)18,274,1(5()18,202,2(5 222



MSTR
 
 
IV.3.3 Análise de Variância: A Estatística F 
 
A relação entre a variância “Entre” e a variância “Dentro” fornece a estatística F 
de teste: 
MSE
MSTR
Fteste 
 
 
IV. 3.4 Determinação do Ponto crítico 
 
A estatística F teste será comparada com o valor de F crítico (valor tabelado). 
Se F teste  F crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula, isto é, as médias 
são iguais entre si. 
 
Existe uma tabela da distribuição F para cada probabilidade na cauda da 
direita. 
Os argumentos de entrada na tabela são: 
 Graus de liberdade do numerador = k-1 
 71 
 Graus de liberdade no denominador = 
knT 
 
IV. 3.5 ANOVA: Conclusão do Teste 
 
Continuando o exemplo da seção anterior, acharemos os seguintes valores: 
98,11
121,0
45,1
testeF
 
 
Para o cálculo do F crítico, usaremos a tabela da distribuição “F” para 1% na 
cauda. Entraremos com 2 graus de liberdade no numerador (3-1 = 2) e 12 
graus de liberdade no denominador (5+5+5-3 = 12). Acharemos: 
 
93,6crF
 
 
Como o F teste é maior do que o F crítico, então a estatística de teste caiu na 
região de rejeição da Hipótese Nula, ou seja, as médias não são iguais entre si. 
 
A representação gráfica da solução desse exemplo consta na figura a seguir: 
 
Como o F teste é maior do que o F crítico, então a estatística de teste caiu na 
região de rejeição da Hipótese Nula, ou seja, as médias não são iguais entre si. 
 
A representação gráfica da solução desse exemplo consta na figura a seguir: 
 
 
A representação da Tabela ANOVA é dada abaixo: 
 
 72 
Fonte de variação Soma de 
quadrados 
Graus de 
liberdade 
Média 
quadrática 
Fteste 
Entre (Tratamento) SQT k-1 
1

k
SQT
MSTR
 
MSE
MSTR
Fteste 
 
 
Dentro (Erros) SQE nT-k 
kn
SQE
MSE
T 

 
Total SQTotal 
 
 
SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Quinze pessoas que participam de um treinamento são colocadas, de forma 
aleatória, sob três diferentes tipos de métodos de ensino. Ao final dos 
treinamentos suas notas são anotadas com o objetivo de verificar se existe 
igualdade entre os métodos de ensino aplicados. Considere um nível de 
significância de 5% e a tabela abaixo para realizar o teste de hipótese: 
Método de 
ensino 
Notas das provas Média Variância 
 
A 86 79 81 70 84 
B 90 76 88 82 89 
C 82 68 73 71 81 
 
2) Um estudo é realizado em diversas localidades para análise da água 
potável, sendo que o parâmetro utilizado foi dureza tendo como unidade 
mg(CaCO3)/L. Em cada localidade anotou-se a dureza média de 10 medições. 
Use o nível de 0,01 para decidir se a dureza média difere significativamente 
entre as cinco localidades. 
 
Localidade Dureza média 
mg(CaCO3)/L 
Variância 
A 42,5 6 
B 44,0 5 
C 48,0 7 
D 46,0 4 
E 44,5 8 
 
3)Considere que foram tomadas quatro medições de material particulado – 
PM10 [µg/m3] em três locais diferentes: Enseada do Suá, Laranjeiras e Jardim 
Camburi. O estudo consiste em comparar se existe igualdade da poluição 
 73 
média de PM10 nos três locais considerando um nível de significância de 5% 
Os dados obtidos são apresentados a seguir: 
 
Observação Enseada do Suá Laranjeiras Jardim Camburi 
1 165 174 169 
2 149 164 154 
3 156 180 161 
4 142 158 148 
Média da amostra 153 169 158 
Variância da amostra 96,67 97,33 82,00 
 
4) Para testar o tempo médio necessário para misturar um lote de material é o 
mesmo para máquinas produzidas por três fabricantes distintos, a Jacobs 
Company obteve os dados a seguir sobre o tempo (em minutos) necessário 
para misturar o material. Use estes dados para testar se os tempos médios da 
população para misturar um lote de material são diferentes para os três 
fabricantes. (Considere um nível de significância de 5%). 
 
Observação Fabricante 1 Fabricante 2 Fabricante 3 
1 20 28 20 
2 26 26 19 
3 24 31 23 
4 22 27 22 
Média da amostra 23 28 21 
Variância da amostra 2,6 2,2 1,8 
 
UNIDADE V – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
SIMPLES 
 
V. 1 Análise de Correlação 
 
Existe correlação entre duas variáveis quando uma delas está de alguma 
forma, relacionada com a outra. 
 
V.1.1 Diagrama de Dispersão 
 
O diagrama de dispersão nos fornece uma idéia de como as variáveis se 
correlacionam, ou seja, qual a tendência de variação conjunta que elas 
apresentam. 
 74 
Exemplo: A figura abaixo apresenta um diagrama de dispersão considerando 
notas de uma turma em estatística e matemática. 
 
O que podemos concluir sobre a relação entre as variáveis? 
 
V.1.2 Correlação Linear 
 
Quando os dados se agrupam em torno de uma reta, dizemos que a correlação 
é linear. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma correlação é: 
 Não Linear: se os dados não estão agrupados em torno de uma reta. 
 Linear positiva: se para maiores valores de x, uma tendência em obtermos 
maiores valores de y e vice-versa. 
 Linear negativa: se para maiores valores de x, uma tendência em 
obtermos menores valores de y e vice-versa. 
 
Coeficiente de Correlação Linear 
 O coeficiente de Correlação Linear mede o relacionamento linear entre duas 
variáveis aleatórias. 
 O módulo indica a intensidade desse relacionamento. 
 O sinal mostra o sentido deste relacionamento: 
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
Notas em Matemática
No
ta
s 
em
 es
ta
tís
tic
a
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10-10 -5 0 5 10
Linear Não há relação Não linear 
 75 
 O sinal positivo indica que as variáveis variam no mesmo sentido; 
 O sinal negativo indica que as variáveis variam em sentidos contrários. 
 O Coeficiente de Correlação Linear varia de –1 a +1. 
 Quanto mais próximo de zero, menor o relacionamento. 
 Quanto mais próximo de ±1, maior o relacionamento. 
 Um coeficiente próximo de zero pode indicar que o relacionamento existe, 
mas não é linear. 
 
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson 
 
O Coeficiente de Correlação Linear é medido através a fórmula de Pearson (r): 
 
 
 
 
Exemplo: Considere as variáveis aleatórias a seguir e calcule o Coeficiente de 
Correlação Linear entre as variáveis X e Y. 
 
Utilizando-se a fórmula de Pearson tem-se: 
 
Finalmente, teremos: 
 
X Y
6 24
2 10
10 33
3 15
4 18
XY
144
20
330
45
72
611
X
2
36
4
100
9
16
165
Y
2
576
100
1.089
225
324
2.314
X Y
6 24
2 10
10 33
3 15
4 18
25 100

X Y
6 24
2 10
10 33
3 15
4 18
25 100

72,1732,6
111
5
100
2314
5
25
165
5
10025
611
22
,








 

xyr
99044,0, xyr
99044,0, xyr
 
     
  



nyynxx
nyxyx
r
iiii
iiii
xy
//
/
2222
 76 
V.1.3 Teste de hipótese para o coeficiente de correlação 
 
A hipótese a ser testada é: 
 
 
 
A estatística de teste “t” para correlação linear é dada por: 
2
1 2



n
r
r
t
 
Os valores críticos são encontrados usando a distribuição t com n-2 graus de 
liberdade. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) A tabela abaixo apresenta dados de amostra referentes ao n° de hora de 
estudo semanal fora da classe para determinados alunos do curso de 
engenharia, bem como suas notas obtidas no EGRAF realizado no semestre 
passado: 
 
Horas de estudo 20 16 34 23 27 32 18 22 
Nota no exame 64 61 84 70 88 92 72 77 
 
a) Plotar o digrama de dispersão e interpretar. 
b) Calcular o coeficiente de correlação, fazer teste de hipótese e interpretar 
resultados. Significância de 5%. 
 
2) Uma indústria de fabricação de peças gostaria de desenvolver um modelo 
para estimar o número de homens-hora necessários para a produção de várias 
rodadas de produção de lotes de diferentes tamanhos. Uma amostra aleatória 
de 14 rodadas de produção foi selecionada, com os seguintes resultados: 
 
 
 
 
0:
0:
1
0




H
H
 77 
Tamanho do lote Homens/hora 
20 50 
20 55 
30 73 
30 67 
40 87 
40 95 
50 108 
50 112 
60 128 
60 135 
70 148 
70 160 
80 170 
80 162 
 
700 ix
 
1550 iy
 
88480 ii yx
 
406002  ix
 
a) Plotar o digrama de dispersão e interpretar. 
b) Calcular o coeficiente de correlação, fazer teste de hipótese e interpretar 
resultados. Significância de 1%. 
 
V.2 Análise de Regressão 
 
V.2.1 Introdução: O que é análise de regressão? 
 
 São métodos estatísticos que procuram relacionar uma variável, chamada 
de dependente ou resposta, com um conjunto (uma ou mais de uma) de outras 
variáveis, chamadas de independentes ou regressoras. 
 Cada modelo de regressão comporta uma e somente uma variável 
resposta. 
 Exemplos de variáveis possivelmente relacionadas: gasto com propaganda 
e vendas de um produto; gastos da família e número de dependentes; 
produção de grãos e gastos com adubo. 
 O objetivo da análise de regressão é montar um modelo matemático (uma 
função de regressão) de tal forma que, dado um conjunto de valores das 
variáveis independentes, obtenha-se um valor estimado para a variável 
resposta. 
 Esse modelo poderá ser usado como apoio à decisão e/ou planejamento. 
 A verdadeira relação entre as variáveis, na maioria das vezes, não é 
conhecida pelo investigador, e a variável resposta irá variar mesmo se o 
experimento for repetido sob condições idênticas; a essa variação chamamos 
 78 
de erro experimental, a qual pode acontecer devido a diferentes fatores (são 
considerados erros de variáveis não controladas), assim os modelos estudados 
para esta situação chamados de probabilísticos. 
 Em modelos determinísticos, a relação entre a variável resposta (Y) e as 
variáveis independentes (X1, X2, X3,..., Xp) é determinada exatamente: 
 Y = f(X1, X2, ..., Xp ; β1, β 2, ..., βm) 
 
 Todas as variáveis sob as quais não exercemos controle serão 
consideradas como causais, e associamos uma variável aleatória ε obtendo um 
modelo não determinístico (probabilístico), assim: 
 Y = f(X1, X2, ..., Xp ; β1, β 2, ..., βm) + ε 
 
Onde f(X1, X2, ..., Xp ; β1, β 2, ..., βm) será a componente funcional do modelo 
e ε a parte aleatória com certa distribuição de probabilidade. A função e os 
coeficientes são desconhecidos e são determinadospelo conjunto de dados 
observados. 
 
V.2.2 Modelos de Regressão 
 
Os modelos de Análise de Regressão podem ser simples ou múltiplos. 
 
 Modelos simples são aqueles que tratam de uma variável resposta (sempre 
somente uma!) e uma variável independente. 
 Modelos múltiplos são aqueles que tratam de uma variável resposta e duas 
ou mais variáveis independentes. 
 
Tanto os modelos simples quanto os múltiplos podem ser lineares ou não 
lineares. 
 
1. Modelos de Regressão Linear Simples são aqueles nos quais: 
 As relações entre as variáveis são lineares entre si. 
 Existe somente uma variável independente. 
2. Os modelos de Análise de Regressão Linear Múltipla são aqueles nos 
quais: 
 As relações entre as variáveis são lineares entre si. 
 79 
 Existem duas ou mais variáveis independentes. 
 
Os modelos não lineares, simples ou múltiplos, são aqueles nos quais as 
relações entre as variáveis envolvidas não são lineares entre si. 
 
V.2.2.1 Modelo de Regressão Linear Simples 
 
EXEMPLO 1: Um fazendeiro efetuou uma experiência em sua fazenda, a qual 
constou da aplicação de quantidades diferentes de um tipo de fertilizante em 
áreas de mesma dimensão e, posteriormente, na observação das safras de 
grão colhidas. O resultado consta no quadro a seguir: 
 
 
O objetivo é determinar a função de regressão que explique a quantidade 
colhida em função da quantidade de fertilizante aplicada no solo. 
 
Nesse exemplo, estamos querendo estudar a “safra”. Assim sendo, a “safra” é 
a variável resposta. A variável independente é o “fertilizante”. A safra depende 
da quantidade de fertilizante. O modelo é simples, pois temos uma só variável 
independente: a quantidade de fertilizante. Se traçarmos o Diagrama de 
Dispersão da “safra” versus “fertilizante”, observaremos que a relação entre as 
duas variáveis é linear. Assim, temos um modelo linear simples. 
 
 
SAFR A 
(Tone ladas)
FER TILIZAN TE 
(Quilo s)
40 100
50 200
50 300
70 400
65 500
65 600
80 700
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 100 20 0 3 00 400 5 00 600 70 0 800
F ER T IL IZ AN T E
SA
FR
A
 80 
Quando a função f que relaciona as variáveis é do tipo f(x) = α + βX tem-se o 
modelo de regressão linear simples: 
 
 
iii XY  
 (1) 
 
Observa-se que Y é formado por dois componentes: o componente funcional 
ou regressão, f(x), que representa a influência da variável independente X 
sobre o valor de Y; o componente aleatório ε representa a influência de outros 
fatores com as seguintes suposições: 
1. As variáveis aleatórias εi têm distribuição normal. 
2. εi isto é E(εi 
3. A variável εi σ
2 para todos os valores de X, isto é, 
V(εi)= σ
 2. 
4. Os erros são não correlacionados, isto é, COV (εi, εj) = 0, i j, sendo, i, j = 
1,2,..., n. 
 
Quando as hipóteses 3 e 4 não são verificadas, surgem os problemas de 
heterocedasticidade (quebra da hipótese de variâncias – homocedasticidade) e 
o problema da autocorrelação (quebra da hipótese de covariância nula). 
Soluções para estes problemas não serão tratadas neste momento. 
 
A variável aleatória Y tem distribuição normal com média α + βX e a variância 
σ2. 
 
V.2.2.2 Estimação de Parâmetros para o modelo de regressão linear 
simples 
 
A estimativa do modelo adotado, linear simples, é dado por: 
bXaY ˆ
 (2) 
 
Onde: 
Yˆ
 = Valor estimado da variável resposta (variável dependente) 
a = Intercessão da função com o eixo de Y 
 81 
b = coeficiente angular 
X = variável independente 
 
 Determinar uma Função de Regressão é determinar os seus parâmetros de 
tal forma que venha melhor se ajustar à massa de pontos dada. 
 Temos que ter um critério para determinar o que vem a ser o melhor 
ajustamento. 
 O melhor ajustamento será aquele que proporcionar o menor erro de 
estimação total. 
 Erro de estimação é a diferença entre o valor real (o valor observado) e o 
valor estimado pela função de regressão. 
YYERRO ˆ
 
▪ O método dos Mínimos Quadrados é o método através do qual determinamos 
os valores a e b de tal forma que a soma dos desvios ao quadrado seja 
mínima: 
 
2
1
ˆ


n
i
ii YYS
 
 O próximo passo é a minimização da função “quadrado do erro”. 
 
2
1
ˆ


n
i
ii YYMinSMin
 
▪ Essa minimização é obtida derivando-se parcialmente a função S em relação 
a cada um dos parâmetros e depois igualando-se a zero. 
 
Substituindo o valor estimado pela sua expressão, teremos: 
 
2
  bXaYMinSMin
 
OBS.: Por conveniência, abandonamos os índices das variáveis X,Y, sendo as 
variações i =1, 2, 3,...,n. 
 Derivando a função “S” em relação aos parâmetros, a e b teremos: 
  


bXaY
a
S
2
 
  


bXaYX
b
S
2
 
 82 
 Igualando as derivadas a zero, a função S será mínima e tem-se o sistema. 
 
 






0
0
bXaYX
bXaY 
Ou seja, 





  

2XbXaXY
XbnaY 
Que são conhecidas como as equações normais para determinação de a e b. 
 
 Da resolução do sistema acima tiramos, finalmente, as formulações para os 
cálculos dos intercepto e coeficiente angular da Função de Regressão: 
  
  XX
XY
n
i
i
n
i
ii
S
S
XX
YYXX
b 







1
2
1 OU 
XbYa 
 
 
V.2.2.3 Interpretação os parâmetros da função linear simples 
 
 O coeficiente angular, b, é a razão de variação da variável resposta em 
relação à variável independente, ou seja, mede a variação que ocorre em
Yˆ
, 
por unidade de variação de X. 
 
▪ O intercepto é o valor que a variável resposta assumiria caso a variável 
independente assuma o valor zero. Essa interpretação é fraca toda vez que a 
origem não estiver dentro do intervalo observado da variável independente. 
 
Exemplo: Para os dados do exemplo 1 tem-se que: 
 a = 36,4 
 b = 0,059 
A equação estimada será dada por 
XY 059,04,36ˆ 
 
 
O coeficiente angular = 0,059 deve ser interpretado como a razão de variação 
da safra para uma variação unitária da quantidade de fertilizante. O intercepto 
  
  

nxx
nyxyx
b
ii
iiii
/
/)(
221
 83 
igual a 36,4 é o valor estimado da safra para uma quantidade zero de 
fertilizante, isto é, é a produtividade natural do solo. 
 
Para o caso de se aplicar 335 quilos de fertilizante no solo, o valor predito da 
safra será igual a: 
165,56335059,04,36ˆ Y
toneladas 
 
V.2.2.4 Grau de Ajuste do Modelo 
 
Para verificar o ajuste de um modelo de regressão é necessário saber quanto 
que a variação da variável dependente Y é explicada pela variação das 
variáveis independentes. 
 
A variação de Y envolve três tipos de desvios (Figura 1): 
 
1) Yi 
Y
 : desvios totais; 
2) 
 YYi ˆ
: desvios explicados; 
3) Yi 
Yˆ
: resíduos. 
 
Considere a variação ao quadrado das observações Y1, Y2, ..., Yn em torno de 
sua média 
Y
, que denotamos por 
 


n
i
j YYSQT
1
2
 (Soma dos Quadrados 
Totais). O termo 
  
2ˆ YYi
é conhecido como soma dos quadrados devido à 
regressão. (SQR). Outro termo, 
  
2ˆ
ii YY
 é conhecido como soma dos 
quadrados devido ao erro (SQE) que representa a variação não explicada pelo 
modelo. Assim, 
 
SQT = SQR + SQE84 
 
Figura 1. 
 
Uma medida para verificar o ajuste do modelo é o coeficiente de determinação, 
ele indica quantos por cento a variação explicada pela regressão representa da 
variação total. O seu valor varia de 0 a 1. Quanto maior o coeficiente de 
determinação, mais explicada é a variável resposta e, conseqüentemente, 
melhor é o ajustamento. 
 
O coeficiente de determinação é dado por: 
 
 
 





n
i
j
i
YY
YY
SQT
SQR
R
1
2
2
2
ˆ
 
 
Continuando a usar o exemplo de seção anterior, determine o Coeficiente de 
Determinação entre a quantidade de fertilizante aplicada no solo e a safra de 
grãos colhida. 
Na tabela a seguir são apresentados os cálculos necessários para a 
determinação do Coeficiente de Determinação. 
 
 
 
 
 
 
 
42,30
48,20
54,10
60,00
65,90
71,80
77,70
xYi 059,04,36 

42,30
48,20
54,10
60,00
65,90
71,80
77,70
xYi 059,04,36 

5,29
3,24
16,81
100,00
0,81
46,24
5,29
SSE = 177,68
2)(

 ii YY
5,29
3,24
16,81
100,00
0,81
46,24
5,29
SSE = 177,68
2)(

 ii YY
400
100
100
100
25
25
400
SST = 1.150
2
_
)( YYi 
400
100
100
100
25
25
400
SST = 1.150
2
_
)( YYi 
313,29
139,24
34,81
0,00
34,81
139,24
313,29
SSR = 974,68
2
_
)( YY i 

313,29
139,24
34,81
0,00
34,81
139,24
313,29
SSR = 974,68
2
_
)( YY i 

SAFRA (Yi) FERTILIZANTE (Xi)
60
65
65
80
500
600
700
100
200
300
400
40
50
50
70
60
_
Y
Σ Σ Σ 
 85 
O Coeficiente de Determinação será igual a: 
 
 
Então se pode dizer que aproximadamente 85% das variações nos valores da 
safra são explicadas pelas variações nos valores da quantidade de fertilizante 
aplicado ao solo. 
 
 
Relacionamento entre os Coeficientes de Determinação e de Correlação 
 
O Coeficiente de Correlação está relacionado com o Coeficiente de 
Determinação da seguinte maneira: 
 
 
Enquanto o Coeficiente de Correlação varia de + 1 a – 1, o Coeficiente de 
Determinação varia entre 0 e +1. 
 
SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) A tabela abaixo apresenta dados de amostra referentes ao n° de horas de 
estudo semanal fora da classe para determinados alunos do curso de 
administração, bem como suas notas obtidas no provão realizado no final do 
curso. 
Horas de estudo 20 16 34 23 27 32 18 22 
Nota no exame 64 61 84 70 88 92 72 77 
 
a) Plotar o digrama de dispersão e interpretar. 
b) Calcular o coeficiente de correlação e interpretar. 
c) Determinar a equação de regressão para predizer a nota no provão, dado o 
número de horas de estudo e traçar a linha de regressão no diagrama de 
dispersão construído. 
d) Interprete os coeficientes da regressão. 
e) Analisar o grau de ajustamento da equação de regressão aos dados. 
85,0847548,0
1150
68,9742 r
2rrxy 
 86 
f) Utilizar a equação de regressão para estimar a nota no exame obtido por um 
estudante que dedicou 30 horas de estudo fora da classe. 
 
2) Uma indústria de fabricação de peças gostaria de desenvolver um modelo 
para estimar o número de homens-hora necessários para a produção de várias 
rodadas de produção de lotes de diferentes tamanhos. Uma amostra aleatória 
de 14 rodadas de produção foi selecionada, com os seguintes resultados: 
Tamanho do lote Homens/hora 
20 50 
20 55 
30 73 
30 67 
40 87 
40 95 
50 108 
50 112 
60 128 
60 135 
70 148 
70 160 
80 170 
80 162 
 
700 ix
 
1550 iy
 
88480 ii yx
 
406002  ix
 
 
a) Construa o diagrama de dispersão e faça a interpretação. 
b) Determine a equação de regressão. 
c) Interprete os coeficientes da equação. 
d) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado. 
e) Faça o teste de hipótese para verificar se correlação é significativa ao nível 
de 5 %. Conclua sobre a existência ou não de correlação. 
f) Preveja o número médio de homem/hora necessárias para uma série de 
produção, com um lote de tamanho igual a 45. 
g) Por que não seria apropriado prever o número médio de horas de trabalho 
necessárias para uma série de produção com um lote de tamanho igual a 
100? Explique. 
 
3. Os dados abaixo são referentes ao lucro(expresso em percentagem do total 
de vendas) e ao gasto (expresso em percentagens das despesas totais) 
com publicidade de seis Farmácias de Vitória. 
 87 
Gastos com propaganda (x) Lucro (y) 
1,5 3,6 
1,0 2,8 
2,8 5,4 
0,4 1,9 
1,3 2,9 
2,0 4,3 
 
  0,9x
 
  94,16
2
x
 
  9,20y
 
  47,80
2
y
 
  45,36xy
 s = 0,3 
a) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado. 
b) Faça o teste de hipótese para verificar se correlação é significativa ao nível 
de 4%. Conclua sobre a existência ou não de correlação. 
c) Monte a equação de regressão e interprete os coeficientes. 
d) Trace a equação de regressão ajustada aos dados. 
e) Faça uma previsão, supondo que o gasto com propaganda tenha sido 2,5. 
f) Suponha que uma farmácia, gastou 4,5 em propaganda, você utilizaria o 
modelo de regressão para obter a previsão? Explique. 
 
V.2.2.5 Intervalo de Confiança 
 
1. Intervalo de Confiança para a inclinação e Interseção: 
 
Para as estimativas da inclinação e interseção, é possível obter estimativas do 
intervalo de confiança desses parâmetros. 
 
xx
e
xx
e
s
s
tb
s
s
tb  
 
 
xx
e
xx
e
s
x
n
sta
s
x
n
sta
22 11
  
 
Sendo 
 88 
lgn
t
.2;
2


  
n
x
xs
i
ixx
2
2  
 
e a estimativa para σ =  
médioquadráticoErro
n
yy
s iie 



2
ˆ
2 
 
2. Intervalo de Confiança para previsão de Y quando x=x0, ou seja, para 
novas observações: 
Uma aplicação importante de um modelo de regressão é prever novas ou 
futuras observações de correspondentes a um valor especifico de x. Se x0 for o 
valor especifico de interesse então: 
00
ˆ bXaY 
 
será a estimativa do novo ou futuro valor da resposta Y0. 
 
Uma estimativa intervalar para essa nova observação é dada por: 
   
xx
e
xx
e
s
xx
n
styY
s
xx
n
sty
2
0
2
0 11ˆ
1
1ˆ




 
 
V.2.2.6 TESTE DE HIPÓTESE 
 
Uma importante parte para verificação da adequação de modelo de regressão 
linear é a realização de um teste de hipóteses em relação aos parâmetros do 
modelo. 
 
Para testar as hipóteses sobre a inclinação e a interseção do modelo de 
regressão, é necessário fazer suposições em relação aos erros, εi, que devem 
ser normais e independentemente distribuídos com média zero e variância 
constante. 
 
Se quisermos testar a hipótese de que a inclinação é igual a uma constante, β0 
tem-se: 
01
00
:
:




H
H 
 89 
 
A estatística de teste é dada por: 
xx
e
s
s
b
t 0

 
 
Para o intercepto tem-se: 
01
00
:
:




H
H 
A estatística de teste é dada por: 
xx
e
s
x
n
s
a
t
2
0
1



 
O ponto crítico de ambos os testes é dado por: 
lgn
t
.2;
2


 
Uma forma de verificar a existência (significância) de regressão é a utilização 
da análise de variâncias, ANOVA. A tabela ANOVA é dada a seguir: 
 
Fonte de variação Soma dos 
quadrados 
G.L. Quadrados 
médiosEstatística F 
(Snedecor) 
Devido à regressão SQR 1 
1
SQR
MSRT 
 
 
MSE
MSRT
 
Resíduo SQE n-2 
2

n
SQE
MSE
 
Total SQT n-1 
 
 


n
i
j YYSQT
1
2
 Soma dos Quadrados Totais 
SQR = 
  
2ˆ YYi
 soma dos quadrados devido à regressão. 
SQE= 
  
2ˆ
ii YY
 soma dos quadrados devido ao erro 
SQT = SQR + SQE 
 
 90 
Nessa Tabela é realizado o seguinte teste de hipóteses: 
 
0...: 210  nH 
 
diferenteummenosPeloH n:1
 
Se existe somente uma variável independente o teste fica simplificado: 
 
0:0 H
 
0:1 H
 
 
Para realizar o teste deve-se fixar um nível de significância e comparar o valor 
de F calculado na tabela ANOVA, com o valor da Tabela F com 1 grau de 
liberdade no numerador e n-2 no denominador. Se F (calculado) > F (1, n-2), 
rejeita-se H0 e existe regressão, caso contrário o modelo deve ser recusado. 
No exemplo 1 (tabela abaixo), 
 
 
 
a tabela ANOVA para é dada por: 
 
 
Considerando um nível de significância de 5%, tem-se que o valor de F 
tabelado (F0,05 (1, 5)), é de 6,61. Como F (calculado) > F0,05 (1, 5), rejeita-se 
H0, ou seja, a regressão é significativa. 
 
SAFR A 
(Tone ladas)
FER TILIZAN TE 
(Quilo s)
40 100
50 200
50 300
70 400
65 500
65 600
80 700
Fonte de variação Soma dos 
quadrados 
G.L. Quadrados 
médios 
Estatística F 
(Snedecor) 
Devido à regressão 972,321 1 972,321 
27,362 
 
Resíduo 177,679 5 35,536 
Total 1150,000 6 
 91 
V.2.2.7 ANÁLISE DE RESÍDUOS 
 
TEXTO RETIRADO DE: www.estv.ipv.pt e David M. Levine, Mark L. berenson 
e David Stephan – Estatística: Teoria e Aplicações, 1998. 
Na análise de regressão linear, assummos que os erros, e1, e2,..., en, 
satisfazem os seguintes pressupostos: 
- seguem uma distribuição normal; 
- tem média zero; 
- tem variância 
2
 constante (homocedasticidade); 
- são independentes. 
 
A verificação das hipóteses acima é de fundamental importância, já que toda 
inferência estatística (teste de hipóteses) no modelo de regressão linear se 
baseia nestes pressupostos. Assim, se houver violação dos mesmos, a 
utilização do modelo deve ser posta em dúvida. 
 
A análise dos resíduos é uma ferramenta para detectar as violações de tais 
pressupostos. 
 
Definição: o resíduo é igual ao valor observado de y menos o valor previsto de 
y, assim: 
 
 
 
NORMALIDADE DOS ei’s 
O pressuposto de normalidade pode ser testado recorrendo a testes de 
ajustamento como o teste de Kolmogorov-Smirnov ou o teste de Shapiro-Wilk's. 
O teste de normalidade também pode ser realizado através do teste qui-
quadrado como já estudado. 
 
Essa condição pode ser verificada pelo histograma ou usando os gráficos de 
probabilidade normal (Normal Probability Plot). Neste gráfico se os erros 
possuírem distribuição normal, todos os pontos dos gráficos devem 
posicionarem-se mais omenos sobre a reta. 
iii yye ˆ
 92 
 
 
Os pontos do gráfico tendem a concentrar-se em torno da reta de declive 1 que 
passa na origem, o que dá evidência de que a distribuição dos erros é normal. 
 
MÉDIA NULA, VARIANCIA CONSTANTE E INDEPENDENCIA DOS ERROS 
 
Estes pressupostos podem ser verificados graficamente, representando os 
resíduos em função dos valores estimados da variável dependente, 
iyˆ
, (gráfico 
residual) ou em função dos valores das variáveis independentes 
ix
. 
 
Os pontos dos gráficos devem distribuir-se de forma aleatória em torno da reta 
que corresponde ao resíduo zero, formando uma faixa de largura uniforme. 
Dessa forma será de esperar que os erros sejam independentes, de média nula 
e variância constante. 
 
Quando os resíduos não se comportam de forma aleatória, ou seja, seguem 
um padrão, a condição de independência não é satisfeita. Isto pode traduzir o 
 93 
fato de não existir uma relação linear entre as variáveis ou então, não constam 
no modelo uma das varias variáveis independentes que influenciam 
significativamente a variável dependente e, portanto também os erros. 
 
Nos três primeiros gráficos abaixo, os resíduos apresentam comportamentos 
padronizados, logo não há independência. Já no ultimo gráfico, os resíduos 
parecem distribuídos de forma aleatória, sustentando a independência dos 
erros. 
 
Se a dispersão dos resíduos aumentarem ou diminuir com os valores das 
variáveis independentes, 
ix
, ou com os valores estimados da variável 
dependente, 
iyˆ
, deve ser posta em dúvida a hipótese de variâncias constantes 
dos ei’s. 
 
 94 
No gráfico da esquerda, os resíduos apresentam um comportamento 
tendencialmente crescente, no da direita, o comportamento é decrescente, 
indicando que há violação da hipótese de homogeneidade da variância. 
 
Usando um gráfico residual, as violações dos pressupostos do modelo não são 
sempre fáceis de detectar e podem ocorrer apesar dos gráficos parecerem bem 
comportados. A analise de resíduos, usando gráficos é um método subjetivo. 
Assim, a verificação da independência é geralmente feita através do teste de 
Durbin-Watson para verificar a correlação entre resíduos sucessivos. 
 
V.2.2.8 TRANSFORMAÇÃO PARA UMA LINHA RETA 
 
As relações não-lineares podem, às vezes, ser transformadas em lineares, 
mediante a transformação adequada das variáveis. A transformação pode ser 
feita em x, em y ou em ambas as variáveis. Mediante as transformações os 
parâmetros podem ser estimados pelas fórmulas anteriores. 
Transformações podem ser muito úteis em algumas circunstâncias, mas 
deveriam somente ser consideradas como um último recurso, uma vez que 
quando uma ou ambas as variáveis são transformadas, os coeficientes deixam 
de ter interpretações diretas. 
Apresenta-se alguns tipos de transformações mais usadas para linearizar a 
relação entre as variáveis: (TEXTO RETIRADO DO LIVRO: Estatística 
Aplicada – Jairo simon da Fonseca, Gilberto A. Martins e Geraldo L. Toledo, 
1995 – Editora Atlas). 
 
1) Função Potência 
 XY 
 
A função linear resultante de uma transformação logarítmica dupla será: 
 
XY logloglog  
 
Ou seja, 
Z = A + βT 
Onde Z = log Y, A = log α e T = log X 
 95 
 
 
 
Gráfico da função potência. 
2) Função hipérbole 
  XY
 ou 


X
Y 
 
A função linear resultante de uma transformação logarítmica dupla será: 
XY logloglog  
 
Ou seja, 
Z = A - βT 
 
Onde Z = log Y, A = log α e T = log X. 
 
O gráfico da função é: 
 
 
3) Função hipérbole 
1 XY 
 
A função linear resultante será: 
TY 
, onde 
1XT
. Graficamente teremos: 
 96 
 
 
 
 
4) Função hipérbole 
X
Y


1
 
A função linear resultante de uma transformação recíproca será: 
Z = α + βX, onde 
Y
Z
1

 . O gráfico da função é: 
 
 
5) Função exponencial 
 
XY 
 
Mediante uma transformação logaritima teremos: 
 logloglog XY 
 
Z = A + BX , onde log Y = Z, log α = A e log β = B 
O gráfico da função é: 
 97 
 
 
Exemplo de aplicação: Para o conjunto de dados abaixo vamos ajustar a 
função potência V = APB, onde V = vendas (em 10000 unidades), P = gastos 
com promoção (em R$1000,00); A e B são os dois parâmetros. 
Gastos com promoção 140 200 238 270 280 325 400 455 500 
Vendas 50 57 67 65 66 70 77 79 80 
 
Então efetuando a transformação teremos: 
log V = log A + B log P 
XY 
 
Onde Y = log V, α = log A e X = log P 
 
É conveniente elaborarmosa seguinte tabela: 
Y = log V X = log P XY X
2
 
1,69897 2,146128 3,646207 4,605866 
1,7558749 2,30103 4,040321 5,294739 
1,8260748 2,376577 4,339807 5,648118 
1,8129134 2,431364 4,407852 5,91153 
1,8195439 2,447158 4,452712 5,988582 
1,845098 2,511883 4,634671 6,309558 
1,8864907 2,60206 4,908762 6,770716 
1,8976271 2,658011 5,043914 7,065025 
1,90309 2,69897 5,136383 7,284439 
Σ16,445683 Σ 22,17318 Σ 40,61063 Σ 54,87857 
 
Então: 
463686,2
9
173181,22
x
 
827298,1
9
445683,16
y
 
PY log373266,0907687,0ˆ 
 
 
Isto corresponde à equação: V = 8,08 P 0,37 
 98 
Onde 8,08 = antilog de 0,97687. 
 
V.2.2. Modelo de Regressão Linear Múltiplo 
 
Em um modelo geral de regressão múltipla, uma variável dependente Y, está 
relacionada com várias variáveis explicativas 
1X
, 
kXX ,...,2
por uma equação 
linear que pode ser escrita como: 
 
iikkiii eXXXY   ...2211 
 
Os coeficientes 
2
, 
3
, ..., 
k
são parâmetros desconhecidos. O parâmetro
k
 
mede o efeito de uma modificação na variável 
ikX
 sobre o valor de 
iY
, 
mantidas constantes todas as outras variáveis. O parâmetro

 é o termo 
intercepto. 
 
PRESSUPOSTOS DO MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA 
 
1. E(
iy
) = 
  0)(...22  iiikkii eEexxYE  
2. var(
iy
) = var (
ie
) = 
2
 
3. cov(
1, ii yy
) = cov (
1, ii ee
) = 0 
4. Os valores de 
ikx
 não são aleatórios nem são funções lineares exatas das 
outras variáveis explicativas. 
5. 
),0(~ 2Nei
 
 
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS (TEXTO RETIRADO DO LIVRO: 
Estatística Aplicada – Jairo simon da Fonseca, Gilberto A. Martins e Geraldo L. 
Toledo, 1995 – Editora Atlas). 
 
Vamos considerar o caso em que a variável dependente seja postulada como 
função de duas variáveis explicativas: X1 e 
2X
. Teremos então o seguinte 
modelo de regressão linear múltipla: 
 99 
 
iii XXY 2211  
 
 
Quando mais variáveis são consideradas, as fórmulas alteram-se, mas ou 
métodos, em princípio, são os mesmos. 
 
Retirada uma amostra de n observações das variáveis Y, 
1X
 e 
2X
, deveremos, 
a partir desses dados, determinar as estimativas “a”, “
1b
” e 
2b
 dos parâmetros 
1, 
 e 
2
 e, dessa forma, obter a estimativa do modelo adotado, compondo o 
estimador 
 
.ˆ 2211 XbXbaY 
 
 
Como anteriormente, calcularemos a, 
1b
e 
2b
 de tal forma que os quadrados 
dos desvios dos valores observados em relação aos calculados para Y sejam 
um mínimo. Isto exige que: 
 
 2ˆ  YYM
 
 
 22211  XbXbaYM
 
 
Seja um mínimo. Para tanto, deveremos ter: 
 
0


a
M
 
0
1



b
M
 
0
2



b
M
 
Ou seja: 
 
 


0)(2 2211 XbXbaY
a
M
 
 
2
1



b
M 0)( 22111  XbXbaYX
 
 
2
2



b
M 0)( 22112  XbXbaYX
 
 
Fornecendo-nos as três equações normais para a determinação de 
1b
 e 
2b
: 
 
 100 
 
 
Resolvendo o sistema: 
 
Dividindo a equação (I) por n teremos: 
 
 
Colocando b1 e b2 em evidencia, 
 
 
 
 101 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: ECONTRAR A EQUAÇÃO DE REGRESSÃO 
LINEAR MÚLTIPLA 
 
 
 
 102 
 
 
OITAVA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Seja: 
Y: vendas na loja (un. 1000) 
 X1: venda dos vendedores (um. 10000) 
X2: número de visitas feitas pelos vendedores, 
 
tais que: 
Y 16 16 27 18 20 28 26 27 32 
X1 5 5 5 10 10 10 15 15 15 
X2 3 6 12 3 6 12 3 6 12 
 
Encontre a equação de regressão linear múltipla: 
Resposta: 
.05,187,033,7ˆ 21 XXY 
 
 103 
2. Uma empresa de vendas por reembolso postal, que oferece material de 
informática, software e hardware por catálogo, mantém um depósito central 
para a distribuição dos artigos encomendados. A gerência está constantemente 
examinando o processo de distribuição, desde o depósito, e está interessada 
em estudar os fatores que afetam os custos da distribuição do depósito. 
Atualmente, uma pequena taxa de frete é adicionada ao pedido, 
independentemente do volume da encomenda. Foram coletados dados ao 
longo dos últimos 24 meses, indicando os custos de distribuição do depósito, 
as vendas e o número de encomendas recebidas: os resultados são os 
seguintes: 
Mês 
Custo de 
distribuição Vendas Encomendas Mês 
Custo de 
distribuição Vendas Encomendas 
 ($1000) ($1000) ($1000) ($1000) 
1 52,95 386 4015 13 62,98 372 3977 
2 71,66 446 3806 14 72,3 328 4428 
3 85,58 512 5309 15 58,99 408 3964 
4 63,69 401 4262 16 79,38 491 4582 
5 72,81 457 4296 17 94,44 527 5582 
6 68,44 458 4097 18 59,74 444 3450 
7 52,46 301 3213 19 90,5 623 5079 
8 70,77 484 4809 20 93,24 596 5735 
9 82,03 517 5237 21 69,33 463 4269 
10 74,39 503 4732 22 53,71 389 3708 
11 70,84 535 4413 23 89,18 547 5387 
12 54,08 353 2921 24 66,8 415 4161 
A análise de regressão é dada abaixo, interprete todos os resultados: 
RESUMO DOS RESULTADOS 
 
Estatística de regressão 
R múltiplo 0,93591442 
R-Quadrado 0,875935802 
R-quadrado ajustado 0,864120164 
Observações 24 
 
ANOVA 
 gl SQ MQ F 
F de 
significação 
Regressão 2 3368,087376 1684,044 74,1336 3,0429E-10 
Resíduo 21 477,0430196 22,71633 
Total 23 3845,130396 
 
 Coeficientes Stat t valor-P 
95% 
inferiores 95% superiores 
Interseção -2,728246583 -0,443049668 0,66226 -15,5343 10,07776536 
Vendas 0,047113872 2,317692762 0,030644 0,00484 0,089388095 
Encomendas 0,011946926 5,313123092 2,87E-05 0,007271 0,016623082 
 104 
 
 
 
 
 
 
Teste de qui-quadrado de normalidade indica valor-p = 0,948. 
Encomendas Plotagem de resíduos
-15
-10
-5
0
5
10
0 2000 4000 6000 8000
Encomendas
Re
síd
uo
s
Vendas Plotagem de resíduos
-15
-10
-5
0
5
10
0 200 400 600 800
Vendas
Re
síd
uo
s
Plotagem de probabilidade normal
0
50
100
0 50 100 150
Percentil da amostra
Cu
sto
 de
 
dis
trib
uiç
ão