Teoria da Vibração com Aplicações

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TEORIA DA VIBRAÇÃO
com aplicações
Professor de Engenharia Mecânicn
da Universidade da Califórnia,
Santa Bárbara
Cássio Sigaud
Engenheiro Civil
Copyright © 1973 by Prentice-Halllnc.
Ali rights reserved.
Publicado em inglês com o titulo
Theory of Vibration with Applications
Prentice Halllnc., Englewood Cliffs,
New Jersey, USA.
PREFÁCIO
,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por
Editora lõte~ciência Ltda.
Rio de,Janeiro, Brasil
Programação Visual e Capa
Interciência 'Arte
Composição do Texto
Interciência
o assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico,
explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva
com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenô-
menos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É um assunto que agrada
ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical
Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação,
quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no
ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e
estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~
CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte
Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.
COO - 620.30183
COU - 620.178.5: 681.3
Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é mais uma vez um desejo,
da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero
nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um
e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, con-
fiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital,
sua aplicação no campo das vibrações é encorajada com alguns exemplos simples.
Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é um
instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco
capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista
simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é básico em
vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a
um semestre.
Thomson, William T.
T396t Teoria da vibração com aplicações/William T. Thomson; tradução de
Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia, 1978.
Tradução de: Theory 01 vibration with applications
Apéndices
Bibliografia
1. Processamento eletrônico de dado. - Mecânica aplicada 2.
Vibração I. T(tulo
I1I EDITORA INTERClfNCIA LTOA.Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil
No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus
de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é a teoria e a extensão
para os sistemas de muitos graus de liberdade é apresentada elegantemente, com o
auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o
desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de
modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado corrente-
mente em teoria de controle.
~ proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios,
sem autorização por escrito da ed'itora
Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com·
plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis
métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam
resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só
como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro-
'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui
podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se
entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu·
tação digital de um problema do tipo Holzer.
O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados
a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas dife-
renças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital.
As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos
sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen·
volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos
é urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido
das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é
entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange.
O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou
deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista esta-
tístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é
distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado
um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o
cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital
é essenciàl novamente para o trabalho númerico.
No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no
tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os
'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul·
tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode
ser feito.
Os Capítulos 6 a 1I contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre
vibração, que pode ser dado em nível de graduação.
íNDICE
l.1 Introdução .
1.2 Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2
1.3 Análise Harmônica , 5
1.4 Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
1.5 Função Aleatória de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 8
1.6 Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
VIBRAÇÃO LIVRE
2.1 Métodos de Sonia de Forças 1.5
2.2 Método de Energia 18
2.3 Massa Efetiva , .. ' 20
2.4 Vibração Livre Amortecida 23
2.5 Decremento Logarítmico 28
2.6 Amortecimento de Coulomb 32
2.7 Rigidez e Flexibilidade ',' 33
MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE
3.1 Introdução ' 47
3.2 Vibração Ham1ônica Forçada : 47
3.3 Desbalanceamento Rotativo 51
3.4 "Whirling" de Eixos Rotativos 57
3.5 Movimento de Suporte 59
3.6 Instrumentos Medidores de Vibração - 61
3.7 Isolamento de Vibração .. , ~ 64
3.8 Amortecimento ....•............................. 67
3.9 Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ 71
3.10 Amortecimento Estrutural 72
3.11 Agudeza de Ressonância 74
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Introdução " 83
Excitação de Impulso " 83
Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91
Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
o Computador Analógico 101
Diferenças Finitas em Computação Digital " 111
A Computação Runge-Kutta ' 119
SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
5.1 Introdução , , 129
5.2 Vibração de Modo Normal ~ 129
5.3 Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' 136
5.4 Vibração Harmônica Forçada 139
5.5 Absorvedor de Vibração : ' 142
5.6 Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração 144
5.7 O Amortecedor de Vibração .. ' 146
5.8 Efeito Giroscópico sob~e Eixos R~iativos 151
5.9 Computação Digital 153
SISTEMAS DE MUITOS GRAUS DE LIBERDADE
6.1 Introdução 169
6.2 Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez o. 169
6.3 Teorema de Reciprocidade 173
6.4 Autovalores e Autovetores " , '. : 173
6.5 Propriedades Ortogonals dos Autovetores 177
6.6 Raízes Repetidas 178
6.7 AMatriz Modal P , : '; 180
6.8 Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas 182
6.9 Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos 183
6.10 Método Espaço Estado: ' 188
SISTEMAS DE PARÃMETIWS CONCENTRADOS
,\ .
7.1 Introdução ...• ; : 199
7.2 Equação Característica 199
7.3 Método dos Coeficientes de Inf1uência ' 200
7.4 Princípio de Raylelgh , 203
,7.5 Fórmula de Dunkerley 212
7.6 Método de Iteração Matricial Ó •••••••••••••••••••• 215
7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 217
7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 221
7.9 Sistema Torcioúal : . ' ' 223
7.1O Sistema Engrenado 232
7.11 Sistemas Bifl1rcados 233
7.12 Vigas .'.~' 236
7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 244
7.14 Equação de Diferença ; ; 247
SISTEMAS CONTlNUOS
8.1 Introdução ' .. ' 265
8.2 A Corda Vibratória 266
8.3 Vibração Longitudinal de Barras ' 269
8.4 Vibração Torcíonal de Barras 271
8.5 A Equação de Euler para a Vig;l. . 274
8.6 Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento 278
8.7 Vibração de Membranas ' 279
8.8 Computação Digital 281
8.9 Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace 289
EQUAÇÃO DE LAGRANGE
9.1 Intradução " ' 299
9.2 Coordenadas Generalizadas , 299
9.3 Princípio do Trabalho Virtual .............•... , 300
9.4 Desenvolvimento da Equação de Lagrange 303
9.5 Massa e Rigidez Generalizadas 307
9.6 Método de Soma de Modos 309
9.7 Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e De-
formaçãoporCisalhamento 313
9.8 Modos Normais de Estrutura Vinculadas 315
9.9 Método Aceleração-Modo 320
9.10 Síntese Modal 322
VIBRA çÃO ALEA TÓRIA
10.1 Introdução 333
10.2 A Função da Resposta da Freqüência 335
10.3 Densidade Espectral. '-.337
10.4 Distribuição da Probabilidade 344
10.5 Correlação 353
10.6 Transformada de Fourier 357
10.7 Resposta de Estruturas Contínuas à Excitação Aleatória 362
VIBRAÇOES NÃO-LINEARES
11.1 Introdução 371
11.2 O Plano de Fase 372
11.3 Sistemas Conservativos 374
liA Estabilidade de Equilíbrio ........•................. 376
I 1.5 Método das Isóclinas 379
11.6 O Métódo Delta 381
11.7 Método de Lienard ',' 384·
11.8 Método das Restas Inclinadas. . . . . . . . . . . . .. . .. , 386
11.9 O Método de Perturbação : 390
lU O Método de Iteração , 394
11.11 Oscilações Auto-Excitadas , 399
11.12 Circuitos do Computador Analógico para Sistemas
Não-lineares 40 I
11.13 O Método Runge-Kutta 402
MOVIMEf.JTO OSCILA TÓRIO
O estudo da vibração diz respeito aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças
que Ihes são associadas. Todos os corpos dotados de massa e elasticidade são capazes
de vibração. Deste modo, a maior parte das máquinas e estruturas está sujeita a certo
grau de vibração e o seu projeto requer geralmente o exame do seu comportamento
oscilatório.
Os sistemas oscilatórios podem ser, de um modo geral, caracterizados como
lineares ou não-lineares. Para os primeiros prevalece o princípio de superposição
e estão bem desenvolvidos os métodos matemáticos disponíveis para o seu estudo.
Ao contrário, são bem menos conhecidos e de difícil aplicação os métodos para
análise dos sistemas não-lineares. Entretanto, é proveitoso algum conhecimento
destes sistema~, uma vez que eles representam o estado final para o qual tendem
todos os sistemas, com o aumento da amplitude de oscilação.
Existem duas classes gerais de vibrações, a livre e a forçada. A vibração livre
acontece· quanda um sistema oscila sob a ação Qe forças que lhe são inerentes e na
ausência da ação de qualquer força externa. No caso de vibração livre o sistema
poderá vibrar com uma ou mais das suas freqüências naturais; que são peculiares ao
sistema dinâmico estabelecido pela distribuição de sua massa e rigidez.
Denomina-se l'ibração forçada quando ela ocorre sob a excitação de forças ex-
ternas. Quando a excitação é oscilatória, o sistema é obrigado a vibrar na freqüência
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:'}da'excitação. Se. esta freqüência coincide com uma das freqüências naturais do
;sistema, forma-se um estado de ressonância, daí podendo resultar amplas e perigosas
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oséilações:' Está ressonância pode ser a causa de temível colapso de estruturas como
.as de edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, é de importância o eálculo das
freqüências naturais no estudo das vibrações.
solta, ela· oscilará para cima e para baixo. Dotando·se a massa com uma pequena
fonte 'Iuminosa, o seu movimento podeser registrado numa tira de filme sensível à
luz, que se faz mover à sua frente, a uma velocidade constante.
Os .sistemas de vibração são todos eles sujeitos a um certo grau de amorteci·
mento, em face do desgaste de energia pelo atrito e outras resistências. Se O amor-
tecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é geralmente consi·
derada nos.cálcul~s das Jre(Úiên~ias daturais .. o. amortécimento, ,,'ntretanto, é de
grande importância ao limitar a amplitude de oscilação na ressonâneia.
Chama~se grau de liberdade de um sistema o número de coordenadas indepen-
dentes requerido para a descrição do seu movimento. Nestas condições, uma partí·
cula livre em movimento no espaço tem três graus de liberdade, enq~anto um eorpo
rígido terá seis graus, isto é, três componentes de posição e três ângulos que del1nem
a ..sua orientação. Em se tratando de um corpo elástico contínuo, ele requer um nú·
chero infinito de coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever o
seu movimento. Daí ser infinito o seu número de graus de liberdade. Entretanto, em
muitos easos, pode-se admit~r que um corpo desta natureza seja parcialmen te rígido,
tornandu possível considerar·se o sistema dinamicamente equivalente .a outro com
um número I1nito de graus de liberdade. De fato, um surpreendente'grande número
. de problemas de vibração pode ser resolvido com exatidão suficiente, pela redução
a outro com um só grau de liberdade.
·f
x = A sen 21f-
T
na qual A é a amplitude de oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio da
massa, e T é o período. O movin1ento é repetido qua.ndo .t = T.
O movimento harmônico é muitas vezes representado como a projeção numa
linha reta, de um ponto que se move numa circunferência a velocidade. constante,
como indicado na Fig. 1.2-2. Designada por w a velocidade angular da linha 'op, o
deslocamento x é expresso pela equação .
/Çl: \I. L(<.Xo
'.9 .movll1ento oscilat6rio pode repetir.se regularmente, como no volante de um
;re16giO, ou apresentar irregularidade considerável, como em terremotos. Quando o
.movll1ento se repete a intervalos iguais de tempoT, ele é denominado movimento
.;periódico. 'O·, tempo de . repetição T é denominado periodo da oscilação, e sua
j~edproca f= '1/1' é denominada a freqüência. Se o movimento é designado peh
;ji,função de·tempox(t), em conseqüência qualquer movimento periódico deve satis·
'.;.\·.·.f.a.z.·er a relação x(t) = x( t + 1').;;t/,-,_> _
,-,;~~tvl"Movimentos irregulares, que aparentam não possuir período definido, podem
·,:~s~r-'consideradosa·soma de }1m muito' gralldg"núm.e.lQde movimentos regulares de
I J,iti~eCjüênciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta·
,·j',tistic;uIie,nte. A discussão dessas propriedades será tratada em seção mais adiante.
)i\.'Jorma '~~is .simples Ú ~ovimento periódico é movimento harmônico.
)'odé ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola,
lindicadona·Fig:>!:2.L Se a massa é levantada da sua posição de repouso ed._,_' .. ,' ".... . I' ' .•
Figura 1.2·2. Movimento harmônico com proíeção dc um ponto
que semove numa circunferência.
por freqüência angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos,
temos a relação
É muitas vezes necessário considerar-se dois moviInentos harmônicos da mesma
freqüência, porém diferindo da fase pelo valor <fi. Os dois movimentos podem sei
expressos pelos fasores
21tro = T = 21tf
Assim, a velocidade e a aceleração são também harmônicas, com a mesma freqüência
de oscilação, mas à frente do deslocamento por rr/2 e rr radianos, respectivamente,
como indicado na Fig. 1.2·3.
onde r e f são o período e a freqüência do movimento harmônico, usualmente me-
didos em segundos e ciclos por segundo, respectivamente.
É conveniente, no caso de mo~in1ento de um ponto numa circunferência, ado-
tar-se um eixo imaginário i e admitir-se que o raio da circunferência seja representa·
do por uma quantidade complexa z chamada fasor.
O fasor z ê expresso pela equação
que define os componentes, real e imaginário. Com O
variam senoidalmente como tempo
Re z = A cos wt
1m z = A sen wt
Figura 1.2·3. No mOl'imento hannônico, a l'elocidade e a aceleração estão à frente do
deslocamento por rr/2 e rr.
Z1 = Ate1wt
Zz = Azei(wr+rP)
de modo que no movimento harmônico a aceleração é proporcional ao deslocamento
e dirigida para a origem. Visto que a segunda lei de movimento de Newton estabelece
que a aceleração é proporciónal à força, podemos presumir o movimento harmônico
para os sistemas com molas lineares com força variando com 10:.
onde A I e A2 são números reais. O segundo fasor pode ser expresso em, seguida
como
onde A1 é agora um número complexo. Esta fonna é muitas vezes útil em proble.
mas que envolvem movin1ento hannônico.
A açlição, multiplicação e. potenciação de fasores obedecem a regras simples,
que são dadas no Apêndice A. Com a expressão do movimento harmônico por fa-
son,s, os cálculos tornam-se fáceis de efetuar.
A velocidade e a aceleração do movimento harmônico podem scr determinadas
sin1plesmente pela diferenciação da Eq. (J .2·2). Usando a notação ponto para a de·
rivada, obtemos
É muito comum a existcllcia simultânea de vibrações com .várias freqüências dife-
rentes. Por exemplo, a vibração de urna corda de violino é composta da freqüência
fundamental f e de todas as suas harmônicas 2[, 3f etc. Outro exemplo é a vibra-
ção livre de um sistema de muitos·graus-de·liberdade, para a qual contribuem as vi·
brações de cada freqüência natural. Tais vibrações resultam num perfil \le onda
complexa, que se repete periodicamente, como indica â Fig. 1.3-1.
x = roA cos rol = roA sen (ro/ -+ ~)
.~= -'ro'A·senrol =ro'Asen,(rol +:n)
(1.2-6)
(1.2·7)
o matemático francês J. Fouricr (1768·1830) mostrou que qualquer movi-
mento periôdico pode ser representado por uma série de senos e co·senos que' são
hamlOl1icamente relacionados. Sc x(t) é uma Íunção .periódica do período T, ela
é representada pela seguinte série de Fourier
X(I) o.,c fi' ,i· a, cos ro ,I -1-.(12 cos 2W11 -I-
tg !p = b.
G.
Deste modo, cn e!Pn (ou an e bn) defmem completamente a contribuição
harmônica da onda periódica.
O resultado da representação gráfica de cn e !Pn em função da freqüência
nw I, para todos os valores de n, é uma série de retas discretas correspondentes a
WI, 2WI' 3wI etc., como se observa na Fig. 1.3·2. Tal representação gráfica
forma o que se chama de Espectro de Fourier do perfll da onda.
Faz-se atualmente a análise 'harmônica, com eficiéncia e num mínimo de tem-
po, graças ao auxílio do computador digital. Obtém-se, ainda maior redução no
tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, lançado
recentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.
onde Wl = 2rr/r é a freqüência fundamental. Para se determinar os coeficientes
an e bn, multiplicamos ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos nW1 t e sen nw,1 t c
integramos cada termo sobre o período r. Examinando as seguintes relações
r se m 7": 11 cn,"J' , cos IIW,I COS IIlW,1 dI = .!E.. se 111 = 11. -f,2 001
J'i', sen'lIw,1 sen IIlW,1 dI =_~ {On se 1117":11 O W1'j 2w,
se 111 =~ 11
"'n-1',2 " W1
X'.f'" t se 1117":11 ,., cos IIw,1 se,n mw,1 dI = ° se 111 O," 11 O w, 2w,'- f, 2
todos os termos, exceto um do lado direito da equação, se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos
os resultados
Chama·se Junção transiente de tempo a uma função que existe apenas num ,espaço
limitado de tempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funções não são pe-
riódicas. A Fig. 1.4-1 mostra uma variáção de pressão típica de um estrondo, que é
uma função transiente de tempo. Outro exemplo é a força de impacto durante a
colisão de dois corpos.
Vol~ando à Eq~ (1.3.1). e, examinando os dois termos numa das freqüências,
, suasoma pode ser expres~a como
G. COS I/W,I -I- b.sen IIW,I
~I b,f Gn,_ I_I== v G. -1- u, {..ja; -]- b;; cos IIW, '
=Cn COS(IIW,I - rp.)
• J. W, Coolcy and J. W. Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of Complcx
Fouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301).
Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío &
Elcctroacoustícs, \1'01. AV-15, Nq 2 (1967).
de modo a permitir o estabelecimento de características gerais, úteis em projetos de
engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente
se pode mencionar que, à semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os con-
ceitos de amplitude e distribuição de sua freqüência são de importância fundamental.
Essas quantidades, na vibração aleatória, são representadas por valores médios esti-
mados estatisticamente, tais como a raiz da média quadrática e a média quadráti-
ca da densidade espectral.
Chama-se geralmente de resposta transiente à resposta de um sistema mecânico
a um impulso ou choque. Em razão da presença de amortecimento, uma vez cessada
a excitação, cessam as vibrações. .' i
Não sendo periódicas. as ondas transientes, não é aplicável o método da série
de Fourier. Todavia, as funções não periódicas podem ser analisadas no que elas
contêm de freqÜência, pelo método das Transformadas de Fourier (vide Capítulo 10).
Em contraste-com o espectro discreto da freqüência nas funções periódicas, é contí-
nuo o seu correspondente nas funções transientes.
Certas propriedades do movimento oscilatório são de interesse na medida da vibra-
ção. As mais simples delas são o valor pico e o valor médio.
O valor pico indica geralmente o esforço máximo a que está submetida a parte
vibrante. Ele estabelece também um limite na exigência do "espaço de trepidação".
O valor médio indica um valor estável ou estático, de certa forma semelhante
ao nível de corrente contínua de urna corrente elétrica. Ele pode ser determinado
pela seguinte integração
- . I ITX = 11m '" XCI) dI
T'~ 1 oConsideranlOs até agora tipos de funções que podem ser classificadas de determi-
nistas, pois seus valores instantâneos são determinados para qualquer tempo t, pelo
uso de expressões matemáticas deduzidas. Há, entretanto, fenômenos físicos que re-
sultam em dados não deterministas, cujos valores instantâneos futuros não são
previsíveis, num sentido detenninista. Corno exemplos, podemos citar a saída de
um gerador de ruído, as alturas das ondas em mar encapelado e a pressão de rajadas
de vento encontradas no vôo de UlI) avião. Todos esses fenômenos têm uma caracte-
rística comum, que é a imprevisibilidade do seu valor instantâneo em qualquer tempo
futuro. Dados não deterministas deste tipo sITo denominados como funções aleató-
rias de tempo.
A Fig. 1.5-1 é um exemplo de f~nção aleatória típica. Apesar da natureza
irregular da função, certos processos de média podem ser aplicados a. tais dados,
x(t)
Por exemplo, o valor médio para um ciclo completo de urna onda senoidal, A sen t,
é zero, enquanto seu valor médio para um meio ciclo é
. A I" I 2Ax = - sen I (,I = -
n: c n:
É evidente que este é tambémo valor médio da onda senoidal retificada, conforme
a Fig. 1.6-1.
O quadrad.o do deslocamento é assocudo geralmente à energia de vibração,
para a qual o valor quadrático médio é urna medida. b valor quadrático médio de
9
função de tempo x(t) é determinado pela média dos valores quadráticos,
limites de algum intervalo de tempo T:
-' I JT
.1'2 = lim -T X2(1) di
T ....•'... . o
As funções aleatórias de tempo não são periódicas, e seus espectros de freqüen-
cia são determinados pela integral de Fourier e não pela sua série. Este assunto é
tratado no Capítulo 10. Por enquanto, basta mencionar que o seu espectro é urna
apresentação da sua densidade quadrática média, traçada' em função da freqüência,
como indica a Fig. 1.6-3. Tais curvas são contínuas e podem ser determinadas
Por exemplo, se x(t) = A sen wt, seu valor quadrático médio é
- A2JT I Ix2 = ~~T o 2(1 - cos 2ml) di = 2A2
o valor da raiz da média. quadrática é a raiz quadrada do valor da média qua·
drática. De acordo com o exemplo anterior, a raiz da média quadrática da onda
senoidal de amplitude A é AI-J2.
Espectro da Freqüência. O conteúdo de freqüência de um movimento osciJat6rio é
de importância para caracterizar a vibração. No caso de uma só onda senoidal, o
conteúdo de freqüência é representado por urna reta de comprimento igual à sua,
amplitude, traçada no ponto correspondente à freqüência do seu movimento.
No caso de um movimento periódico, o espcctro da freqüência é constituído
de uma série de retas traçadas' a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros
da freqüência fundamental, conforme definidos pela sua série de Fourier. Pode-se
'também apresentar a fase de cada componente em relação à fundamental, de modo a
se ter uma representação completa, corno se vê na Fig. 1.6-2.
O movimento transiente, embora limitado no tempo, pode ser considerado
corno movimento periódico de período infinito, pela inclusão das regiões de valor
zero até o infinito. Com T = 2rr/w) -> 00, ou w) -> 0, as retas espectrais ficam
muito juntas aproximando-se deuma curva contínua.
por instrumentos eletrônicos projetados para este fim específico. De um modo
geral, a fase de uma função aleatória de tempo não apresenta intcresse e não é
considerada.
o w, 2w, 3w,
"'n
'j
I
I
I
O w, 2w, 3w,
Figura,j.6-2.
(;~0\;~ni.oViment~ harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 por e u~ períod~ de
?!. "' 0,15 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao.
~um acelerômetro indi~a que uma estrutura está. vibrando a 82 cps e uma
~aceleração máxima de 50 g. Detemúnara amplitude da vibração.
1'J Um movimento harmônico tem urna freqüência de 10 cps e sua velocidade
1',,-) máxima é de 180 pol/s. Determinar sua ampÚtude, seu período e sua ace-
leração máxima.
1-4 Achar a soma de dois movimentos harmônicos de amplitude igual, mas com
freqüências ligeiramente diferentes. Discutir o fenômeno de batimento que
resulta da sua soma.
(~~0xpressar o número complexo 4 + ,3i n~ forma exponencial AeÍO•
//'1'1-6 'Adicionar os dois números complexos (2 + 3i) ~ (4' -' i), expressando o re-
sultado para A L O.
1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando multiplicado por i.
1-8 Determinar a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 e 4(/rr/3' e enco"ntrar o ângulo entre
~y ...,a resultan.te eoprimeiro fasor. " ' I ' ' ' '
'') ~ Determinar a série de Fourier para a 'on'da 'retangular Índicada na Fig. P.I-9.
/. 11
1-10 Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do
Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita.
1-11 Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.
1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento s do pistão no mecanismo de
manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e
suas magnitudes relativas.
1·12 Determinar a séi-ie de Fourier para o perfil em dente de serra representado na
Fig. P.I-I2.
1·13 Determinar o valor da raiz da média quadráticaO de uma onda formada das
porções positivas de uma senóide.
1-14 Determinarovalordamédiaquadráticadaonda em dente de serradoProbl 1-12.
Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta série de Fourier.
1-15 Traçar o espectro da freqüência relativo à onda triangular do Prob!. 1-11.
1·16 Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de
-pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6
- .
VIBRAÇÃO LivRE
Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é capaz de vibração. O mais
simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1.
A mola que suporta a'massa é considerada de peso desprezível e de uma rigidez de
k lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do
seu movimento ser definido por uma coordenada apenas ,x.
Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural !", que
ê uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos
associados à livre vibração de sistemas com um grau de liberdade.
O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de
Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de equi-
líbrio estático é t. e a força da mola kt. é igual à força gravitacional w atuando
sobre a massa m:
Medindo o deslocamento x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam
sobre m são k(t. + x) e w. Considerando-se x positivo na direção de cima para
:baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas
na mesma direção.
k
Posição sem k t:.
-"",mo'''··m· -:I~.cp_. ir·~) l~;i;;,~~:.:,,,'"'.
. w
w
, T = 27tj!f.
_ J li: _3,127
fn - 27t '1/ t:' - ~ cps (Hcrtz)
187,6
=~c.p.m.
i.-••••.-••••--------~--••••••••.-•-•-_.-
~
Essas quantidades são expressas em termos da del1exão estática l:1, notando-se
pela Eq. (2.1-1) que kf::,. = mg. Considerando g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,
a expressão da freqüência natural em termos de l:1 é
T ~-0N\.O-· r~~l\_
'-- '")2- tJ
K-~ "J~2)[~ ts'L\ = 2-
~ evidente -que a escolha da posição de equil íbrio estático como referência para rfT\. !T::> -t// /7x e1im'nou da qua R' d v' t f t 't' d I k
A
. stas condições, a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é
, I e ç"o e mo lmen o o peso w e a orça es a Ica a mo a <->, e a //' . . ' " .r
orça
resulta-nte sobr m é' I t r d I d'd d 1 t " defimda UnIcamente pela deflexão estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um grafico
l' e Slmp esmen e a .orça a mo a eVI o ao es ocamen o x. \_ logarítmico da Eq. (2.1-9).
Definindo-se a freqüência angular wn pela equaçffo ., L\' ~q"'- A..A O Embora os sistemas osci!atóríos possam diferir na aparência, a presente discus·
y \)J ~ I r' \ "....:i·-.:.~ são aplica.se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos à vibração livre
não amortecida. Em alguns casos a oscilação é rotaÚva, como no pêndulo rota-
x(O) .
x = -~ sen w.1 + x(O) cos Wn1
W. .
donal, em cujo caso a segunda lei de Newton é substituída pela sua correspondente
rotativa
e concluímos, pela comparaçffo com a Eq. (1.2-8), que o movimento é harmônico. A
equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (2.1-4) tem a seguinte
solução geral
0,05 0,10 ·0,50 . 1,0
Dcl1exâo A"
onde A e B são duas constantes necessárias. Essas constantes são calculadas para
as condições iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) é simplificada para
'l·)••,>.• )
• >.. )
, >
••.-·)••••I••••I.'••••r-
i
~
i
fi
ta )
J
Exemplo 2.2-1
Detenninar a freqüência natural do pêndulo torcional indicado na Fig. 2.2-1.
onde M é o momento, J o momento de inércia da massa, e (j a aceleração angu-
lar, tudo referido a um mesmo eixo inercial fIxo de rotação. A equação acima é
também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,
o total de energia em um sistema' conservativo é constante, e a equação diferencialde
movimento é estabelecida pelo prinéípio de conservação de energia. A energia na
vibraçãp livre de um sistema não amortecido é parte cinétiea e parte potencial. A
, energia cinética T é conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a
energia potencial U é conservada sob a forma de esforço na deformação elástica ou
'trabalho realizado num campo de força como a gravidade. Sendo constante a energia
total, sua taxa de variação é zero, conforme se depreende das seguintes equações
Figura 2.2-1. Pêndulo rorciollal.
Solução: Suponhamos que o movimento oscilatório seja harmônico e expresso pela
equação
o = A sen wllt
Os máximos das energias cinética,e potencial são
Tma:-. :-= lJe~ax= iJw; A2
T + U = constan te
d, dt (T + U) = O
(2.2-1)
(2.2-2)
Umu = iKe~u = iKA'
Igualando as duas. energias, chegamos à expressão da sua freqüência natural, que é
Se o no~so interesse está apenas na freqüência natural do sistema, ela pode ser
determinada pelas seguintes considerações. Podemos estabelecer, de acordo eom o
p'~incípio de conservaçào da energia, que
Exemplo 2.2-2
Um cilindro de peso w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfície cilín-
drica de raio R como indica a Fig. 2.2-2. Determinar sua equação diferencial
de movimento para oscilações pequenas em volta do seu ponto mais baixo .
Por não haver deslizamento rrp = RO.
onde .1 e 2 representam duas instâncias de tempo. Admitimos que 1 seja o ins-
tante em que a massa passa pela sua posição de equilibrio estático, e escolhemos
U1 = O como referência para a energia potencial. Seja z o tempo correspondente
ao máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade, da massa é zero,
resultando Tz = O. Temos então
se o sistema está submetido a um movimento harmónico, os valores
são os máximos, e daí Figura 2.2·2.
Solução: Deve·se notar, ao se determinar a energia cinética do cilindro, que há
uma translação e, uma rotação. A velocidade de translação do centro do cilindro
é (R - r)Ô, enquanto a velocidade de rotação é (~ - li) == (Rir - 1)0, uma
19
vez que ~
agora como
T = l;[(R - r)8J2 + ~ ; ; [( ~ - 1)8]'
=1.~(R - r)282
4 g
onde (w/g) (/ /2) é o momento de inércia do cilindro em relação ao seu centro
de massa.
A energia potencial referida à sua posição mais baixa é
Exemplo 2.3-1
Determinar o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indica-
do na Fig. 2.3- I.
dy
msI: massa do clcmcntoda mola
que é igual ao negativo do trabalho efetuado pela força da gravidade no levantar o
cilindro na distância vertical (R - r) (I - cos O}
Substituindo na Eq. (2.2-2)
[~ ; (R - r)2(j -I- Ir(R - r)sen {}JÓ" 0,
yx1": velocidade do ele-
mento da mola
e fazendo sen O == O para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida equação para o
movimento harmônico
Solução: Com.\: igual à velocidade da massa concentrada m. suporemos que a
velocidade de um elemento da mola, localizado à distância y da sua extremidade
fixa, varie linearmente com y da forma seguinte
(j ·i _2.L-o ~.°
3(R - r)
e encontramos para a massa efetiva o valor de um terço da massa da mola. Adicio-
nando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência
natural revista será
Até agora admitimos, no cálculo da freqüência natural, a inexistência de massa na
mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração
ponderável da massa total do sistema, e do seu abandono podem resultar freqüências
naturais altas demais.
Para obtermos uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos compu-
tar a energia cinética adicional dos elementos móveis, que não foi considerada ante-
riormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos
distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então,
expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de
20
Exemplo 2.3-2
Muitas vezes os sistemas oscilatórios são compostos de 'alavílJlcas, engrenagens
e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico
desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. É ge-
ralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais
simples.
f-. .- a
I O
: \ Quando um sistema linear de um grau de liberdade é excitado, sua resposta depen-
derá do tipo de excitação e do amortecimento presente. Geralmente a equação do
movimento terá a seguinte fórmula
onde F(l) é a exeitação e Pd a força de amortecimento. Embora seja difícil a des-
crição real da força de amortecimento, é possível a admissão de modelos ideais de
amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta.
Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional" à velocidade,
conduz ao tratamento matemático mais simples.
A força de amortecimento viscoso é expressa pela seguinte equação
onde c é uma constante de proporcionalidade. Ela é represelltada simbolicamente
por um amortecedor, conforme indicado na Fig. 2.4·J.
To' +JÓ' ++mJbÓ}' t ;C~')(hÓ)'
~ +(J + m,/)' -+ -}m,b')Ó'
o balancim com momento de inércia J. a válvula eom massa mv e a mola
com massa ms podem ser reduzidos a uma simples massa em A pela seguinte for-
mulação da equação da energia cinética
Admitindo-se que a velocidade em A seja x
forma em
A sülu\:ão da equação acima ~em ullas partes. Se P(t)." O, - lemos a equação di-
ferencial homogênea, cuja solução corresponde fisicamente àquela 'de vibração livre
de amortecimento_ Com P(t) c/. O, obtemos a solução particular devido ;\ excita-
ção sem restrição da solução homogênea. Examinaremos inieialmente a equação
homogênea, que nos dará alguma compreensão do papel do amortecimento.
Com o tucho reduzido a uma molá e uma massa adicional na extremidade A. o siste·
m"a-inteiro está reduzido a uma mola e uma massa apenas, como indica a Fig. 2.3-2.
Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo·
vimen to osciJatório e o não·oscilatório, e que definimos como amortecimento
critico.
É agora oportuno o exame desses três casos em detalhe, e em termos de quan·
tidades' usadas na prática. Começamos com o amortecimento crítico.
Amortecimento Crítieo. '0 radical da Eq. (2.4·9) é zero para o amortecimento
crítico cC"
onde !i é uma constante. Feita a substituição na equação diferencial, temos
(ms2 + cs + k)e" = O
que é satisfeita por todos os valores de t quando
• c k Os- + -s .1. - =
J}l I /1Z
É conveniente expressar o valor de qualquer amortecimento em termos do amor·
tecimento critico, por meio da fração não-mensurável
c J( C)' ks .7= ._- -l:.: - --
'.- 2m -' 2111 m
que é chamada fração de amortecimento. Expressamos agora as raízes da Eq. (2.4·7)
em termos de S, notando que
onde A e B são constantes a serem determinadas de acordo com as condições
iniciais x(O) e x (O).
Considerando os valores da Eq. (2.4·7), temos para (2.4-8) a seguinte expressão
o primeiro termo e'C':2m)' é simplesmente uma função de tempo exponencialmente
declinante. O comportamento dos termos dentro do parêntese depende, entretanto,
do valor numérico sob o radical ser positivo, zero ou ncgativo.
Quando o termo de amortecimento (c/2m)2 é maior que k/m, os expoentes
na equação acima são números reais e não há oscilação poss ível. Referimo-nos a
este caso como superamortecido.
Quando o termo de amortecimento (c/2m)' é menor que k/m, o expoente
torna-se um número imaginário, ± i .jk/nz ,. (c/2m)2 t. Urna vez que
e os três casos de amortecimento discutidos ~nteriormente dependem agora de S ser
maior, menor·ou igual à unidade.
A Fig. 2.4-2 mostra a Eq.(2.4-12) traçada num plano complexo, com S ao
longo do eixo horizontal. Se S = O, a Eq. (2.4-12) fica red'uzida a SI. ,/wll = ± í,
de modo que as ra ízes no eixo imaginário correspondem ao caso de não-amorte-
cimento. Para 0< s < 1, a Eq. (2.4-12)é reescrita na'forma
As raÍzes s, e s, SolO então pontos complexos eonjugados sobre u'm arco circular
convergindo no ponto SI.2/Wn = - 1,0. Á medida que S cresce acnna da unidade.
as ra ízcs separam-se ao longo do cixo horizontal e permanccem números rcais. Ten-
do presente cste diagrama, estamos aptos a examinar a solução dada pela Eq. (2.4-9).
25
e'.i'":'"-'''Z''')'' ,= coso /5... ,_. (~)21 ~I=isen /5... __n (~)2 t
Y m 2m '\ m 2m
os. teImas da Eq. (2.4-9) dentro do parêntese são oscilatórios. Denominamos este
caso como subamortecido.
Eixo
, = O imaginário
·1,0
-1,0,= O
Movimento Oscilatório. [~ < 1,0 (Caso de subamortecimento ).] Substituindo a
Eq. (2.4-12) na (2.4-8). a solução geral torna·se
A ~= X(O) -1- C( -1- ~)co_x(O)
. 2co_--/'> - I
x = Xe-(""'sen'(~ CO_I + r/J)
=cC e-(""'(C, sen~ co.1 -I- C1 cos ~ co_1)
o movimento é uma [unção de tempo exponencialmente decrescente, conforme in-
dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como aperiódico.
(2.4-14)
(2.4-15)
onde as constan tes arbitrárias X. </1. ou C I, C2 são detemúnadas de acordo com
as condições iniciais. Com as condições iniciais x(O) e X(O), pode·se mostrar a
redução da Eq. (2.4-15) para a seguinte
,,
"" Ae (-, +.Jf2=1) w/lI
"~""
A equação indica que a freqüência da oscilaçãó all/ortecida é igual a
coJ c ~: c.~ w.vT=T'
o
/'-B-<· ,-~)wIlI
/ e,
I
I
B
Movimento n:To Oscilatório. II > 1,0 (Caso de supcramortccimcnto).j Quando
I é maior que a unidade, as duas raizes permanecem no eixo real da Fig. 2.4-2 e
separadas, uma aumentando e outra decrescendo. A expressão da solução geral é
então
26
Movimento Amortecido Criticamente. [~ == 1,0] Para ~ == I, óbtemos uma raiz
dupla SI == S2 == - wll' e os dois termos da Eq. (2.4-8) combinam para formar
apenas um
que não tem o número ue constantes requerido para satisfazer ;\s duas condições
iniciais. A solução para as condições iniciais é encontrada pela Eq. (2.4.16), fazen-
uo-se \ -, 1 Substituinuo·se T<1 pelo seu valor TJ =cc 2njúJ",/l':"-'l, a expressão do decremento
logarítmico se transforma em
As partes móveis de muitos medidores elétricos e instrumentos são amortecidos
criticamente, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação.
que é uma equação exata.
Quando \' é pequeno, ..)1"=12 == I, e obtém-se uma equação aproximada
A Fig. 2.5-2 mostra um gráfico dos valores,> exatos e aproximados, de {j como
'função de \.
A medida da taxa· de decréscimo das oscilações livres é um meio conveniente para se
determinar a quantidade de amortecimento presente num sistema. Quanto maior o
amortecimento, maior a taxa de decréscimo.
Consideremos uma vibração amortecida representada pela equação (2.4-14)
que é indicada graficamente na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos aqui urna expressão deno-
minada decremento logarítmico que é del1nida como o logaritmo natural do quo-
ciente de duas quaisquer amplitudes consecutivas. A fórmula do decrernento laga-
r ítrnico é pois
15--, ln x,
X2
! I
O 0.2 üA-, -0,6 0,8 1,0
, 'o, !:.. -_~,Raâo de amortecimento
('tOe uma vez que os valores dos scnos são iguais quando o tempo é aumcn tado do
período de amortecimcn to T<1' . a relação acima fica reduzida para
28
Exemplo 2.5-1
Um 'sistema em vibração com amortecimento viscoso apresenta os seguintes
dados: w = 101b, k = 30 lb/pol e c = 0,12 Ib/pol pors. Determinaro
decremento logadtmico e a razão entre duas amplitudes sucessivas quaisquer.
(j ;;; 271C = J...ln 2 = 0,693
n n
nC ~~ ~693 cc.o ° 110
. 271 '
A última equação é a de uma hipérbole retangular e está traçada na Fig. 2.5-3.
Solução: A freqüência natural não amortecida do sistema em radianos por segundo é
(k !3OX386 /
(1). = ym = 'I~ 0= 34,0 rad s
O coeficiente de amortecimento crítico Cc e a fração ou razão de amortecimento
~ são
~ 6
"""5"o.
~ 5- -- -------
o .
'~4 ---
11
"""
c, = 2111(1). = 2 X 1.\8°6 X 34,0 = 1,76 lb/pol/s
C -- !:- - 0,12 -- 00681
- c, - 1,76 -- , .
De acordo com a Eq. (2.S-3), o decremento logarítmico é
e5 = 271C~ 'co 271x 0,068 ~ cC 0,429
,Jf - " JI - 0,0681"
A razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é
*o'"
~
o. 2---
"~
ou
""
~
8."
~ o 0,05 0,10 0,15 0,20
r;;: '" -:.:; t = Razão de amortccimnto~ = c' = eO.4'9 c.= I,S4x:
Exemplo 2.5-2
Mostrar que o decremento logarítmico é dado também pela equação
I xe5 = - ln.:-Q
11 Xn
Exemplo 2.5-3
Mostrar que o decremento logarítmico, no caso de amortecimento pequeno,
pode ser expresso em termos da energia de vibração U e da energia t:.U dis-
sipada em cada ciclo.
Solução: A Fig. 2.S-4 mostra uma vibração amortecida com amplitude conse-
cutivas x I, x 2. X 3, ... naseados na definição do decremento logarítrrúco
onde xn representa a amplitude após decorridos n ciclos. Traçar uma CUlva
dando o número de ciclos decorridos em função de ~ para que a amplitude
diminua de 50 por cento.
Solução: Para duas'CJuaisquer amplitudes consecutivas a razão é
Xo = Xl :..:.:...:X2 = ... ~::~ .::.::-:e'S
Xl X2 X3 x"
Pode-se escrever a razão xo/xn da forma seguinte
de onde se obtém a equação requerida que é
e5 0= J...ln .\0
Il x"
Obtemos da equação acima -a seguinte relação, a fim de determinar o número
de ciclos decorridos para a redução de SO por cento na amplitude
30
Ó ln xllx2' escrevemos a relação de amplitudes na forma exponencial
x. o'-l ,~e-J oc= I - o + - - ...
x, 21
A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento
máximo, ou
tático, o qual é geralmente maior que a força do atrito cínético. Pode-se mostrar
também que a freqüência ele oscilação é wjJ.Jk1Iil, que ~ a mesma do sistema não
amortecido.
Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor
/1U
U=2ó
A Fig. 2.6-1 mostra a vibração livre de um sistema com amortecimento de
Coulomb. Deve-se notar que as amplitudes decaem linearmente em função do tempo.
o amortecimento de Coulomb re'sulta do deslizamento de duas superfícies secas.
A força de amortecimento é igual ao produto da força normal e o coeficiente de
atrito )1 e é admitido como independente da velocidade, uma vez iniciado o mo-
vimento. Visto que o sinal da força de amortecimento é sempre oposto ao da veloci-
dade, a equação diferencial de movimento para cada sinal é válida apenas para inter-
valos de meio ciclo.
Recorremos ao princípio da equivalência entre' o trabalho realizado e a variação
da energia cinética, para determinar o decréscimo da amplitude. Escolhendo um
meio ciclo a partir da posição extrema, com velocidade igual a zero e a amplitude
igual a X" a variação na energia cinética é zero e o trabalho realizado sobre m é
também nulo.
As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural,
nos sistemas de um grau de liberdade. Pode-se efetuar o cálculo da massa efetiva,
utilizando-se como referência qualquer ponto adequado do sistema. Entretanto,
deve-se determinar também a rigidez para este ponto. Rigidez é definida como a
força necess:iria para prodúzir uma unidade de deslocamento na direção especifica-
da. Se x é o deslocamento especificado sob a força l~ a rigidez é determinada pela
relação.
. Fli. =-
},;
Flexibilidade é a recíproca da rigidez. É designada pela letra "a" e é definida
pela equação
onde X_I é a amplitude após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1. Repetindo
esta norma para o próximo meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo de ampli-
tude no valor de 2Fdlk. de modo que o decréscimo de amplitude por ciclo é uma
constante igual a
4FXl - X2 = --"k
Em outra seção mais adiante, precisaremos determinar a rigidez, considerados
dois pontos i e i do sistema .. A flexibilidade aij é então definida como a deflexão
em i produzida por uma unidade de força em j.' A rigidez kij é a força necessária
em i para uma unidade de deflexão em i, com tódas as outras deflexões iguaisa
zero. O k e o "a" das Eqs. (2.7-1) e' (2.7~2) são os leu e aU em termos dessas
quantidades. A tabc!a no final desta seção apresenta os valores de rigidez para vá-
rios tipos de molas.
o movimento cessará, entretanto. quando a amplitude se tornar menor que
!:J., em cuja posição â força da mola é insuficiente para superar a força do atrito es-
Exemplo 2.7-1
Determinar a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.
k, ' k,~
k,
~
k,
1
kc~ ..---_
1/k1 + l/k,
ir = k, + k,
EIk="
GJ
k =--
I
-r}(}/}/J!}[t~=]~k = 6~~f:3n = número de espíras
-,<c-â
••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra. Deter-
minar a freqüência natural do sistema.
,,2-2 Em um sistema mola-massa k I, m tem uma freqüência natural de fi' Se uma
segunda nlola é adicionada .em série à primeira, a freqüência natural baixa para
1(2 fi' Determinar k2 em função de 1<1'
2-3 Um peso de 10 Ib.ligado à extremidade inferior de uma molá cuja extrcI~lidade
superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período
natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as ex-
tremidades fiXas_
2k 35
~
~I r-T 'I
I
CT--1 L.c
~ ~
I
;t:::"i-j .
J~
~
Solução: Sistema (a): Aplicando-se a força F na extremidade in!t'rior da segunda
mola cada mola esticará de F/k, e F/k2, respectivamente, e o deslocamento
total'na extremidade inferior é x = F/kl + F/k2• De acordo com a Eq. (2.7-1)a
rigidez é en tão
F k k,
k = -r-F' = k, ~1-k2-+-k, k2
Sistema (b): A força Fo aplicada em O divide-se em Foú/(a + b) e Foa/(a + b),
respectivamente. As deflexões de I e 2 são Fob/(a + b)k, e Foa/(a + b)k1, e a
do ponto O é
{ b a [a b IIxo=Fo (a+b)k
l
-I-(a+b) (a+b)k
2
-(a+b)kl
F (a' b2)= (a +ob)' k, -\- k,
F (a -I- b)'k° = x ° = -(-a~2--b~'c-)
° 7(+7(, I
Se kl = k2 = k e a = b. a equação acima se reduz a ko
34
48Ef
k=--
f~
192 Ef
k = -1-'-
768Ef
k=--
7/'
Um peso desconheddo de IV Ib, ligado à extremidade de uma mola desco-
nhecida k, tem uma freqüência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib
o pesO de W. a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso
desconhecido IVlb e a constante k Ib/pol da mola.
Um peso w1 suspenso por uma mola k está em equil íbrio est<ítico. Um se-
gundo peso w2 cai da altura h e junta-se a \VI sem ressaltar, como indicado
na Fig. 1'.2-5. Determinar o movimento subseqüente.
k/h
i
·
_,_,-;-; .;% W:z
h
_1_
IV,
2-6 Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a freqüência
natural depende de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame,
(c) material do arame, (d) do peso suspenso e (e) raio de rotação do peso
suspenso.
2·7 Um volante pesando 70 Ib, -apoiado numa aresta pela face interna do aro,
conforme a Fig. 1'.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento
de inércia do volante em relação ao seu eixo geométrico, para o caso do perío-
do de oscilação medido ter sido 1,22 s.
2-9 Um volante de peso JiI é suspenso horizontalmente por três arames de seis
pés de comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferên-
cia de 10 pol de raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de
2,17 s o per iodo de oscilação em torno de um eixo vertical passando pelo cen.
tro da roda.
2-10 Um conjunto rod" e eixo, de momento de inércia J, é inclinado de um ângulo
C< em relação il vertical. como se vê na Fig. 1'.2-10. Determinar a freqüência
de oscilação resultante de um pequeno peso com li' libras, situado excentri.
camente à dislància a pbl do eixo.
---T -I
. I I
I '
12" 16"
I
2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. quando suspen-
sa na forma indicada na Fig. r.2-S. Determinar seu momento de inércia em re-
lação ao seu centro de gravidade, que e,tá situado a 10,0 pol do ponto de
suspensão.
2-11 Um cilindro de massa m c com o momento de inércia da massa Jo rola li-
vremente ~('1l1 deslizar, mas é reCreado pela mola k. como indicado na
Fif'. ,. '·tcrmin~r a freqüência nalural de oscilação.
""'::"~--l~""""
-- ----- --
2-12 Um cronógrafo. é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de compri-
mento L, representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco
do pêndulo completa o circuito elétrico de regulação, at ravés lima gota de mer-
cúrio, quando ele passa pelo ponto mais baixo. Pergu[lta-s~: (a) Qual deve
ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de platina está em contacto
com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da oscilação, qual
deve ser a amplitude 00' a fim de limitar a 0,01 s a duração do contacto?
(Admitir que a velocidade é constante durante o contacto, e que a amplitude
de oscilação é pequena.)
2-14 Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular
como representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, s~
se permite que ele balance sobre uma superfície horizontal.
2-15 Uma barra uniforme de compnmento. L e pesp' W é suspensa simetricamente
por dois fios, con forme a Fig. P.2- J 5. Estabelecer a equação diferencial de
movimento, para pequenas oscilações angulares da barra, em volta do eixo
vertical O-O, e determinar o seu per íodo.
Uma barra uniforme de comprimento L é suspensa na posição horizontal
por dois fios verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade;. Se
ti é o período de oscilação rIO plano da barra e~dos fios, e se t2 é o período
de oscilação em vol ta de uma reta vertical que passa pelo' centro de gravidade
da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta do' centro de gravi-
dade é dado pela expressão .
2-13 Um hidrômetro Dutuador, indicado na Fig. 1'.2-13, é utilizado para medir o
pcso específico dos Iíquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diàmetro da parte
cilíndrica, que se estende acima da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o pe-
ríodo de vibração quando se deixa o aparelho balançar para cima e para baixo,
em um fluido de peso espec ífico 1,20. k = (~H- 3\
2-17 Uma barra uniforme, com o raio de rotação k em volta do seu centro de gra-
vidade, é suspensa horizontalmente por dois fios verticais de comprimento
h, às distâncias a e b do centro da massa. Provar que a barra oscilará em
'1011# I)!I 111/» Y/"fIi,.ul'I'II~ J);I~,~ pt:1l) t;l;nl(l/ IJ~ rn:',\iJ, ~ t1durnin:a ~ frqUi;n-
tia de oscilação.
2-18 Um eixo de aço, de 50 paI de comprimen to de 1-1/2 pai de diâmetro, é usado
como uma mola de torção para as rodas de um automóvel leve, conforme in-
dicado na Fig. P.2-18. Determinar a freqüência natural do sistema, consideran-
do que o conjunto roda e pneu pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta
do seu eixo é de 9,0 1'01. Discutir a diferença na freqüência natural, estando a
roda travada ou destravada do braço.
2-21 Determinar a massa efetiva do motor de foguete representado na Fig. P.2-2 I, a
ser adicionada ;l massa m I do atuador.
2-22 Uma barra cantilever uniforme vai ser substituída pela sua massa efetiva, na
sua extremidade livre. Supor uma curva de def1exão estática para uma carga
unifom1C. Calcular a massa efetiva.
2-23 Determinar o, momen to de inércia da massa efetiva para o eixo I, no sistema
representado na Fig. P.2-23. .
2-19 Tacâmetro é um instrumento do tipo freqüencímetro de lâminas, formado
de pequenas lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades.
O tacâmetro vibrará quando a freqüência de vibração corresponder à freqüên-
cia natural de uma das lâminas, indicando desse modo a freqüência. De que
tamanho deve ser o peso colocado na extremidade de uma lâmina, constituída
de uma mola de aço com 0,04 pai de espessura, 0,25 paI de largura e 3,50 paI
de comprimento, para uma freqüência natural de 20 cps?
2-20 Determinar a massa efetiva no ponto O de uma haste uniforme de massa
m e comprimento I, pivotada a uma distância nl de O, como indicado na
Fig. P.2-20. .2-24 Determinar em função de ;i: a energia cinética do sistema indicado na
Fig. P.2-24.
2-25 Determinar a massa efetiva no ponto Il para o sistema representado na
Fig. P.2-25.
Escrever a equação diferen'cial de movimento para o sistema indicado na
Fig. 1'.2-33, c determinar a freqüência natural da oscilação amortecida e o
coeficiente de amortecimento crítico.
Um peso de 2 Ib é fixado na extremidade de uma mola que tem a rigidez de
41b/pol. Determinar o coeficiente de amortecimento crítico.
Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe
era aplicada certa força. Considerando-se que um peso de 1/2 Ib produziu uma
velocidade constante de 1,20 pol/s, calcular o fator de amortecimento ~,
quando usado com'o sistema do Probl. 2-26.
2-28 Um sistema vibratório começa sob as seguintes condições iniciais: x = O,
i = vo. Determinar a equação de movimento quando: (a) ~ = 2,0,
(b) ~ = 0,50, (c) ~ = 1,0. Traçar as curvas não dimensionais para os três
casos, tendo w,.r como abscissa e xwn/vo como ordenada.
U_m sistema .mola-massa com amortecimento viscoso é deslocado da sua posi-
çao de equIlrbno c sol to. Qual a fração de amortecimcnto crítico do sistema,
se a amplitude baixou de 5% em cada ciclo?
Uma .barra uniforme rígida de massam c comprimento I é articulada por
um p1l10 em O c suportada por uma mola c um amortecedor viscoso, como
rep:esentado na rig. 1'.2-35. Medindo O a, partir da posição de equilíbrio
estallco, determlflar: (a) a equação para um valor pequeno de O (o momento
de inércia da barra em relação a O é ml2 /3), (b) a equação no caso da fre-
qüência natural n;lo amortecida, e (c) a expressão para o amortecimento
crítico.
2-29 Um sistema vibratório formado de um peso de 5 Ib c uma mola com rigidez
de 10 Ib/po! é amortecido viscosamente de tal modo que a relação entre duas
amplitudes consecutivas quaisquer é de 1,00 para 0,98. Determinar: (a) a fre-
qüência natural do sistema amortecido, (b) o decremento logarítmico, (c) o
fator de amortecimento, e (dj'o coeficiente de amortecimento.
2-30 Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 Ib e uma mola com rigidez
,de 20 lb/pol, e um amortecedor com um coeficiente de amortecimento de
0,071 Ib/pol por segundo. Calcular: (a) o fa tor de amortecimen to. (b) o
decremento logarítmico, e (c) a razão de duas amplitudes consecutivas quais-
quer.
2-31 Um sistema vibratório tem as seguintes cOllStantcs: IV = 38,6lb, k = 40 Ib/pol,
e c = 0,40 Ib/pol por segundo. Determinar: (a) o fator de amortecimento,
(b) a freqüência natural da oscilação amortecida. (c) o decremento logarítmi·
co, e (d) a razão de duas [re ü~ '. ~cutivas quaisquer.
2-32 Estabelecer a equação diferenci 1 de movimento para o sistema reprcsentado
na Fig. 1'.2·32. Determinar a expressão para: (a) o coeficicnte de amorte-
cimen to crítico, e (b) a freqüência natural da oscilaçJo amortecida.
2-36 Urna placa fina de área A e peso W é presa à extremidade de uma mola e
oscila num fluido viscoso, conforme a Fi~. P.2-36. Se TI é o período natural
43
de oscilação não amortecida (isto é, quando o sistema oscila no ar) e 72, o
período amortecido.com a placa imersa no fluido, mostrar que
onde a força amortecedora sobre a placa é Fd = J12Av, 2A é a área total da
placa, e v é a sua velocidade.
2-42 Determinar a flexibilidade de uma barra uniforme de comprimento L, supor.
tada simplesmente em um ponto situado a 1/3 L da extremidade.
2-43 Determinar a rigidez efetiva do sistema representado na Fig. P.2-43, em termos
do deslocamento x.
\
2·37 Um cano de canhão com 1200 Ib de peso tem uma mola de recuo com a rigidez
/AÍe 20.000 Ib por pé. Se o cano recua 4 pés 'ao atirar, determinar: (a) a veloci-
".'--~/".. dade inicial de recuo do cano, (b) o coeficien te de an1ortecin~cn to crítico de
um amortecedor que é acionado no fim do curso de recuo, e (c) o tempo
necessário par~ o cano voltar a uma distáncia de 2 pol da sua posição inicial.
2·38 Um pistãq pesando 10 Ib percorre um tubo com a velocidade de 50 pés/s e
aciona uma mola e um amortecedor, conforme indica a Fig. P.2-38. Determi.
nar o deslocamento máximo do pistão após acionar o conjunto mola.amor.
tecedor. Quantos segundos dura este deslbcamen to'!
v == 50 pésls c == I ~':..::-
& B ~IPol
2·44 Determinar a rigidez efetiva do sistema torciona! indicado na Fig. P.2-44.
Os dois eix~s em série/têm os valores k, e k2, respectivamente, para a rigidez
torcional.
2·39 Um absorvedor de choque é para ser projetado de modo que ultrapasse de 10% o
deslocamento inicia!, quando solto. Determinar \ I' Se \ é igualado a 1(2 \ I'
de quanto será a ultrapassagem'!
2·40 Discutir as limitações da equação 6.UjU = 28 considerando o caso de
X2/X, == 1(2.
2·41 Determinar a rigidez efetiva das molas representadas na Fig. P.241.
44
2-45 Um sistema mola-massa m, k é posto em ação com um deslocamento inicial
unitário e uma velocidade inicial de zero. Representar graficamente lnX em
funç,yo de li, sendo X a amplitude no cicl6 li para. (a) amortecimento vis.
coso com \ = 0.05. e (Il) amortecimento d'e Cou]omll com a força de
amortecimento Fd == 0.05k. Quando as amplitudes·serão iguais?
MOVIMENTO EXCITADO
HARMONICAMENTE
)
)) 3
A excitação ham1ônica é muitas vezes encontrada em sistemas mecânicos. Ela é
geralmente produzida pelo desequilíbrio em máquinas rotativas. Embora a ex~itação
harmônica pura seja menos freqüente que a periódica ou de outros tipos, é essencial
a noção. do comportamento d;: um sistema a ela submetido, a fim de se compreender
como o mesmo responderá a tipos mais comuns de excitação. A excitação harmônica
pode ser sob a forma de uma força ou deslocamento de um ponto do sistema.
Vamos considerar primeiro um sistema com um grau de liberdade com amortecimento
viscoso, excitado por uma força harmônica Fo sen wt, conforme indicado na Fig. 3.2-1.
L~.:~
Figura 3.2-1. Sistema ~íscosamellte amortecido com excitaçaã harmônica.
A sua equação diferencial de movimento é a seguinte, deduzida do diagrama do
corpo-livre:
A solução desta equação consiste de duas partes, a função complementar, que é
a solução da equação homogênea, e a íntegral particular. A função complementar,
neste caso, é uma vibração livre amortecida que foi discutida no Capítulo 2.
A solução particular para a equação acima é uma oscilação de estado perma.
nente da mesma freqüência €.o) que ade excitação. Podemos supor que a solução
particular seja da forma
cúJ
tg q; = T
JnúJ'l--k-
As equações acima podem ainda ser expressas em termos das seguintes quan-
tidades
úJn ~c, ~ == Freqüência natural de oscilação não-amortecida
onde X é a amplitude de oscilaçã"o e lfJ é a fase do deslocamento, com relaçã"o ã
força de excitaçã"o.
Para se ter os valores da amplitude e da fase, substitui.se x na Eq. (3.2-1)
pelo seu valor na Eq. (3.2-2). Lembrando-se que no movimento harmônico as fases
da velocidade e da aceleraçã"o estiro 90° e 180° além do deslocamento, respectiva.
mente, os termos da equação diferencial podem também ser apresentados graficamen-
te, como na Fig.3.2-2.
, ,~ ~ == Fração ou fator de amortecimentoc,
As expressões não-dimensionais para a amplitude e a fase tornam-se então
Xk • I
Fo ~,c Ir[-- (úJ) 2J' ['.( úJ )J'-V I I ~ úJ
n
-I- 2( úJ
n
Figura 3.2-2. Diagrama vetorial para a vibração forçada com amortecimento.
Este diagrama permite concluir-se facilmente que
X- . Fo
- ::J(k - JnW')2 + (cúJ)'
Essas equações indicam que a amplitude não-dimensional XkjFo e a fase 1>. são
funçõcs somente da razão de frc9üências w/wn e do fator de amortecimento ~ e
podem ser represcntadas graficamente, como indica II Fig. 3.2-3. Essas curvas mos-
'tram que o fator de amortecimen to tem uma grande iiJiluência na amplitude e no
ângulo dc fase, na zona de freqüências próximas à ressonância. Pode-se obter melhor
compreensão do comportamento do sistema, pelo estudodo diagrama dé forças
correspondendo à Fig. 3.2-3, nas zonas onde w/wn é peq~ena, w/wlI
== I e
w/wll é grande.
Vamos expressar agora as Eqs. (3.2.3) e (3.2-4) em forma não-dínlCnsional,
o que permite uma apresentação grática concisa desses resultados. Dividindo por
k o numerador e o denominador das Eqs.(3.2-3) e (3.2-4), obtemos
48
Para valores grandes de w/wn muito maiores que um, c/J aproxima·se de
180
0
e a força aplicada é gasta quase que inteiramente para vencer a grande força
de inércia, conforme se observa na Fig. 3.2-4c .
Resumindo, a equação diferencial e a sua solução completa são expressas da
seguintc forma, incluindo o termo transiente:
."
- 0,05 .;::
0,10 ~ 90°
I o
0,15 r c ~o
I ~ =- "
0,25 c,'-<
I
0,375
~senWI
m2 3 4 5
Razão de freqüência W
wn
Fo sen(WI-rP)
TJl1 ---(;YTI [2t;:J
! X1c-c"''''sen("/I --/;"w,./ + rPI)-+
I
° 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 .wRazão de freqüências -
Wn
Figura 3.2·3. Gráfico relativo às Hqs, (3.2.7) p (3.2·8).
o desbalanceamento em m.íquinas· rotativas é uma fonte comum de excitação vibra·
tória. Consideramos aqui um sistema mola·massa obrigado a se mover na direção
vertical e excitado por uma máquina rotativa que está desbalanceuda, conforme a
Fig. 3.3-1. O desbalanceamento é representado por uma massa excêntrica III com
excentricidade c, que está girando com a velocidade angular w.Tanto a inércia como as forças de amortecimento são pequenas para valores de
.w/wn muito menores que um, Jo que resulta um pequeno ângulo de fase c/J. A
magnitude da força aplicada é então aproximadamente igual à força da mola, como se
observa na Fig. 3.2-4a.
Para w/wn '" I ,O, o ângulo de fase é 90
0 e o diagrama de forças apresen·
ta·se como na Fig. 3.2-4b. A força de inércia, que é maior agora, é equilibrada pela
força da mola, ao passo que a força aplicada supera a força de amortecimento.
O valor da amplitude na ressonância, tanto se pode obter pcla Eq. (3.2-5) ou a
Eq. (3.2.7), ou pela Fig. 3.2-4b, e tem a seguinte expressão:
X = Fo. -- J:<L
('ú.>" - 2(k
Figura 3.3·1. Força Jiannônica pcrturbadora remitante de
deshalanceamcnlo ro/ativo.
Sendo x o deslocamento da posição de equilibrio ~stático da massa que não gira
(M - m), o deslocaJ1lento de m é
, {J2
(M - 111)3.: -I- 111-/ ,(x -I- (' sen WI)
{/o
x = mewz
,.j(k - MwZ)Z +- (cw)O
apresentadas graficamente na Fig. 3.3·2. A equação seguinte dá a solução completa
.\"(1) -= X1(' ;"'-'sen( "í .- (' w,/ + rP1"J
+- -~"~'~~~~~: .. ==sen(o){ ...1;) (3.3-6), U;·- Mw')' + (cw)'
É pois evidenté que a equação aci~a é idêntica à Eq. (3.2-1). onde 1"0 está subs.
tituída por mew
2
, e, nestas condições, a solução do estado permanente da seção
anterior pode ser substituída por .
Exemplo 3.3-1
Um peso excitador, formado de peças excêntricas que giram em sentidos con-
trários, é utilizado para produzir oscilação forçada em massa suportada por
molas, como se observa na Fig. 3.3-3.
-<>
~
<S
~ 90· -- '0'0
o
"3
~,~
2.0
~I~ 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Raz50 de ffeq üências ~
wlI
Foi registrada uma amplitude ressonante de 0,60 pol, com a variação da
velocidade de rotação. Quando se aumentou a velocidade de rotaçáo muito
além da freqüência de ressonância, notou·sc que a amplitude se aproximava de
um valor lixo de 0,08 pol. Calcular o fator de amortecimento do sistema.
.11.r -- ,.,. '" 0.60 pol-<,
Quando w é muito maior que wlI' a mesma equação se transforma em.
//1('
:tI" 0,08 pol
3.0
R'1Z.io de freqüências -~~
wn
Figura 3.3-2. Gráfico das equações (3.3.4) e (J.f5) para () caso de l'ihrara"o
forçada com úesbalanceamento rotativo. o.o~. = O 0666
~ X 0,60 .
Mostramos' que uma massa m situada à distância radial e do eixo de rotação
resulta numa força centrífuga. mew2• Tais forças provocam o desbalanceamento.
,que será estático ou dinâmico, confQnne a sua distribuição no rotor.
Desbalanceamento estático. Quando as massas desb,t1anceadas estão todas elas num
mesmo plano, como no caso de um disco rotor fino, o desbalanceamento resultante
é uma única força radial. Confonne se observa na Fig. 3.3-4, pode:se constatar
este desbalanceamento por meio de um teste estático, no qual o conjunto roda-eixo é
colocado sobre um par de trilhos horizontais. A roda gira então para uma posição
onde o ponto pesado fica diretamente abaixo do eixo. Tal desbalanceamento é
denominado de estático, pela razão de não ser necess,írio fazer girar a roda para
descobri·lo.
Via de regra, um rotor longo tal como o induzido de um motor ou o eixo de
manivela de um automóvel é considerado como uma série de discos finos, cada um
com algum desbalanceamento. É necessário fazer girar tais rotores a fim de se de-
tectar o desbalaneeamento. Há máquinas para detectar e corrigir o desbaJanceamen-
to. Essencialmente, essas l;:!áquinas consistem de mancais de apoio mont~~o~~
molas cujo movimento revela o desbalanceamento, como indica a Fig. 3.3-6. Co·
nhecendo-se a amplitude de cada mancal ea su;-fase relativa, é possível d~le~;;:;;~:;e
o desbalanceamento do rotor e corrigi-Io.
Embora um disco fino seja balanceado estaticamente, o mesmo resultado se
obtém dinamicamente. Neste. sentido, expomos um teste que se faz sim-
plesmente.
O disco é apoiado sobre mancais contidos por molas que se movem hori-
zontalmente, como indica a Fig. 3.3·7.
~'-------~.""
Desbalanceamento dinâmico. Quando odesbalanceamento se apresenta em mais
de um plano, a conseqüência é uma força e um momento oscilante referido como
desbalanceamento dinâmico. Como vimos antes, podemos encontrar a força resul-
tante por meio de um teste estático, mas o momento oscilante só é detectado com a
rotação do motor. Por exemplo, consideremos um eixo com dois discos, conforme a
Fig.3.3.5. Se as duas massas não-balanceadas são iguais e defasadas de 180°, o rotor
cstari baJanceado estaticamente em relação ao eixo. Entretanto, quando o rotor
está girando, cada disco não-balanceado desenvolve uma força centrífuga rotativa,
cuja tendência é fazer o eixo oscilar nos seus mancais.
, Girando a qualquer velocidade predetenninada, anotam·se a amplitude Xo e
a posição "a" da roda na excursão máxima. Um acclerômetro no mal~cal e
um estroboscópio podem ser usados para esta observação. A amplitude Xo,
devido ao desbalanceamento original IVo, é desenhada na escala sobre a roda
na direção de o para a.
Em seguida, um peso de ensaIO IVI é adicionado cm qualquer ponto da
roda e o processo é repetido na mcsma velocidade. A nova amplitude XI e a
posição "b" da foda, que resultam do desbalanceamellto originaJ Wo e do
peso de ensaio IV;, são representados pelo'vetor ob. O vetor diferença ab é
então o efeito do peso de ensaio IV, somente. Se a posição de IVI é agora
avançada do ângulo ljJ indicado no diagrama vetorial, e se a magnitude de
IVI é aumentada de IVI (oa/ab), o vetor.ab torllar-se-á igual e oposto ao
vetor oa. A roda está agora balanceada, pois XI é zero.
TH:1
lit
LJr Rolor
Exemplo 3.3-3
Faz·se o balanceamento de!Jm rotor longo pela adição ou remoção de pesos
corretivos em dois quaisquer planos paralelos. Geralmente se faz a correção
55
Figura 3.3·5. Sistema com desbalallceamento Figura 3.3-6. Máquilla de ba/allceamcllto
dillâmico. de rotor.
abrindo furos nos dois planos extremos, isto é, cada força de inércia radial
mew2 é substituída por duas forças paralelas, uma em cada plano extremo.
Agindo-se de fomla semelhante com várias massas não-balanceadas, obtém-se a
correção desejada pela resultante das forças nos dois planos extremos.
Os eixos rotativos apresentam a tendência a curvar quando atingem certas velocidades
e de girar de um modo complicado. "Whirling" é definido como a rotação do plano
formado pelo eixo curvado c a reta que passa pelos centros dos mancais. As causas
do fenômeno são várias, tais como o desequil íbrio de massa, o amortecimento de his-
terese no eixo,forças giroscópicas, a trilo dos fluidos nos mancais etc. O "whirling"
pode acontecer na mesma ou na direção oposta à rotação do eixo. Quanto à sua
velocidade, tan to pode ser igual como diversa da do eixo.
O assunto "whirling" de eixos é um tema sutil e o seu movimento, de um modo
geral, está sob a classificação de au to-excitado, no qual as forças excitadoras que o.
induzem são co.ntroladas por cle próprio. A apreciação de um modo geral do movi-
mento "whirling" de eixo está além do objetivo deste texto. lndicamos aos interes-
sados um excelente trabalho quc trata do assunto, de autoria de Edgar l. Gunter, lr. **
.Apreciaremos nesta seç:To o caso mais simples de rotação slÍzcrona, em que a
velocidade de rotaç:To. do cixo é idêntica à de "whirling". Neste propósito, vamos
supor um sistema ideal formado de um disco de massa m, montado simetricamente
num eixo suportado por dois mancais, conforme a Fig. 3.4-1. O centro G da
Figura J.J~8. Correção do c1es!Ja/anceamcnto de UIll rotor longo em dois
planos eXlremós.
Consideremos o balanceamento de um rotor longo de 4 paI, representado na
Fig. 3.3-S. Ele tem um desbalanceamento de 3 oz/pol em um plano a I paI
da extremidade esquerda e um de 2 oz/pol no plano médio, deslocando angu-
larmente de 90° do primeiro.
O desbalanceamento de 3 oz/pol é equivalente a 2...L oz/pol na extrelllida-. 4
de esquerda e 3/4 oz/pol na extremidade direita, como indicado. O de 20z/pol
no meio é obviamente igual a I oz/pol nos extremos. Combinando os dois des-
balanceamentos em cada extremo, as correções são:
IB I = tg-I - = 24° O' 110sentido horário, a partir do plano2,25
do primeiro desbalanceamento
B -tg-I 1., - 53° no sentido horário, a partir do pl.ano do
2 ~ m ~
primeiro desbalanceamen to
•• Edgar J. eUI1!cr, Jr., "Dy,mníc Stability or Rotor-lJearing SY$terns", NASA Sf'-J JJ,
1966, U. S. Government f'ríl1!il1g Offíce, Washington, D. C. 20402.
massa do disco ·está a uma distância radial e do seu centro gcométrico S. A reta
que passa pelos centros dos mancais atravessa o plano do disco em O, e OS re·
presenta a Oexão do centro do eixo. Neste caso de sincronismo, O, S e e per·
manecem fIxos, cada um em relação ao outro, ao passo que o eixo e o disco giram a
uma velocidade constante w. Com a posição do centro S do eixo defInida por xs e
Ys' as coordenadas do centro e de massa são (xs + ecos wt) e (ys + e sen wt).
Admitindo que o amortecimento viscoso seja proporcional à velocidade de S, são
. as segui~tes as equações de movimento nas direções de x e y
à velocidade crítica wll = .jffiii, ou a freqüência natural do eixo em vibra:;,ro Ia.
teral, encontramos uma condição de ressonância na qual a amplitude é contida apenas
pelo amortecimento. A Fig. 3.4-2 mostra o sistema disco·eixo sob três condições
diferentes de velocidade.
d'
III-,(X 1- ecos úJl)
di' '
Em muitos casos o sistema dinâmico é excitado pelo movimento do ponto de supor.
te, conforme indicado na Fig. 3.5-1. Chamamos de y o deslocamento harmônico
do· ponto de suporte c medimos o deslocamento x da massa m a partir de uma
referência fixa.
Na posição deslocada, as forças desbalanceadas são devidas ao amortecimento e
às molas, ca equação diferencial do movimento torna·se
(/, ,.
1Il-(Y + esenúJl)'~ -f{l'.'. c)',di' , - ,
111.\', + c~,+ kx, ,~ lIleúJ' cos úJ/
IIlji, -I· C)i, + k)', 'c., IIlcúJ' sen úJ/
Estas equações são similares à Eq. (3.3-1) e por inspeção podemos escrever a solução
meúJ' COS(úJI - rp)
Xl = ,,/(k __- l11(2)2 _1_ (CW)2
mew'sen(WI - rp)
y, = -/(k -- !I1CtJ'V-j (CúJ)'
r-":]-;ir Ik(x-y)
lIlew'
OS ,~ r " J x; -I y;. J(k:- IIlw')21(cw»
t rp -_ CúJ
g - k -- IIlW'
É então evidente que a reta se = e está adiantadá de um ângulo de fase ep sobre
o deslocamento da reta OS = r, ângulo este que depende da quantidade de amor-
. tecimento e da velocidade de rotação w. Quando a velocidade de rotação wé igual
14-/ "-/ . \I G /\ S\ O
\\''- .~
G /
s
que mostra estar o deslocamentq x defasado pelo ângulo ep do deslocamento y.
Levando estes valores na Eq. (3.5-2), obtemos
. Figura 3.4-2, Relaçaõ amplirude-fase em rotação s{llcro,lla
com amortecimento ~·iscoso. (3.5-4 )
59
A Fig. 3.6·1 mostra os elementos essenciais de um instrumento medidor de vibração.
Consiste ele de uma massa sísmiea suportada por molas dentro de urna caixa,'a qual
é para ser presa ao eorpo em vibraçJ'o. O movimento a ser medido é y e o movi.
mento relativo (x -: y) entre a massa ni e a caixa que a contém é sensorizado.
Consideremos, para determinar o comportamento de tais instrumentos, a
equação de movimento da massa m. que é
'Para achar o ângulo de fa~e I/J, igualamos as partes real e Imag1l1ana na
Eq. (3.5-4) a fim de determinar o seno e o co·seno de rIJ. A razão resulta pois na
equação para o ângulo de fase, que é
_.- 0.05-------,
.-0,10
I
0,15
.- 0,25-+--
-0,375
I
0,50'--'
2((W).1
Ú)"
- (~)' -;- (2( (j) )'
,Ú)/I O)"
;.= 0.05
0,10
______. O. I 5====.
0,25
0,375
0,50
Admitindo para o corpo em vibração o movimento senoidal y
mos a equação
que é ·idêntiea na fODl1a à Eq. (3.3·1), com z e mYw2 substituindo x e IIICW2,
respectivamente. Examinando. constatamos então que está dispon ível a solução de
estado permanente z = Z sen (wt .. rIJ) que é
w
wn·
mYw'
fiC~~;(,)'F~~(;ZJji
As equações (3.5-5) e (3.5-6) para a amplitude do estado permanente e fase S:IO
repr~sentadas graficamente na Fig. 3.5·2. Observa-se que as curvas relativas às ampli.
tudes para diferentes amortecimentos, todas elas apresentam o mesmo valor de
IX/YI = 1,0 para a razão de freqüêneias w/wn = vI2.60
A Fig. 3.6-2 apresenta um gdfico da Eq. (3.6-5) que ê idêntico ao da Fig. 3.3-2
com Z/Y substituindo MX/me. O tipo do instrumento é indicado pela sua faixa
útil de freqüências com relação à freqüência natural.
Sismômetro. Um sismômetro é um instrumento de freqüência natural baixa. Nestas
condições, a faixa de freqüências para a qual ele é destinado caracteriza-se por
um valor grande de w/wn- Um exame da Eq. (3.6-5) mostra que à medida que
w/wn -+ 00, o déslocamento relativo Z torna-se igual a Y, ou IZ/YI 1,0.
Então, a massa m permanece estaeion,íria enquanto a caixa de suporte nlovimen-
ta-se com o corpo em vibração.
Uma das desvantagens do sismômetro é o seu tamanho grande. Uma vez
que IZI == IYj, o movimento relativo da massa sísmica deve ser da mesma ordem
de magnitude que a vibração a ser medida.
O movimento relativo é geralmente convertido numa voltagem elétrica. fa-
zendo-se da massa sísmica um magneto que se move em rc\açãoa bobinas fixadas
na caixa. Uma vez que a voltagem gerada é proporcional :\ taxa de variação' do
campo magnético, a leitura do instrumcnto scrá proporcional à vclocidade do corpo
em vibração.
Aee\erômetro. 'Os instrumentos medidores de vibração são, atualmente, na sua
maioria, constitu ídos de acelerômetros. Mesmo os terrcmotos são regislrados por
esses aparelhos, sendo a velocidade e o deslocamento obtidos por integração. A pre-
ferência pelos acelerômetros como aparelhos medidores de vibração baseia-se no seu
tamanho pequeno e alta sensibilidade.
Acelerômelros são instrumentos de freqüência natural alta, e a faixa útil do seu
funcionamento é w/w/I entre zero e cerca de 0,4. O exame da Eq. (3.6.5) para
w/wlI -+ O conduz a
z,- (02 ~ C~ aceleração
w; w;
05\\ L--- ----:..:== ---\,0----
- r = 0,70 f--
c, em conseqüência, Z torna-se proporcional à aceleração do movimento a ser medi-
do. A sensibilidade baixa, entretanto, à medida que w
ll
aumenta, de modo que
wll não deve ser mais alta que o necessário. Por .exemplo, acelerômetros utilizados
extensivamente para 'medições em terremotos têm uma freqüência natural de 20 cps,
o que permite reproduzir com fidelidade movimentos do terreno eom freqüências'
inferiores a 8 cps. Efetivamel:te, uma correção.na calibração do instrumento permite
a medida de