Funções de uma variável complexa!

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2015.1
PROFESSOR: Uberlandio B. Severo
2a Lista de Exerc´ıcios
1) Verifique se cumprem-se as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann para as seguintes func¸o˜es:
(i) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3)
(ii) f(z) = e−y(cosx+ i sinx)
(iii) f(z) = e−x(cos y − i sin y)
(iv) f(z) = ey(cosx+ i sinx)
2) Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es e determine seus pontos singulares:
(i) f(z) =
3z − 1
(z − 1)(z + 4)
(ii) f(z) =
z − i
z + i
3) Para quais valores de z vale exp(iz) = exp(iz)?
4) Em quais pontos a func¸a˜o exp(z) e´ deriva´vel?
5) Ponha tan z =
sin z
cos z
. Calcule a derivada de tan z e determine seus pontos singulares. Deˆ
essa func¸a˜o na forma u+ iv.
6) Ponha tanh z =
sinh z
cosh z
. Calcule sua derivada. Deˆ essa func¸a˜o na forma u+ iv. Determine
os pontos z para os quais tanh z e´ real.
7) Mostre que sinh(z + pii) = − sinh z e que cosh(z + pii) = − cosh z.
8) Determine onde f ′(z) existe e ache seu valor, quando
(i) f(z) =
1
z
(ii) f(z) = x2 + iy2
(iii) f(z) = zIm(z)
9) Diga por que cada uma das seguinte func¸o˜es na˜o e´ holomorfa em nenhum ponto:
(i) f(z) = xy + iy
(ii) f(z) = ey(cosx+ i sinx)
10) Mostre que u e´ harmoˆnica em algum domı´nio e ache uma conjugada harmoˆnica v, quando
(i) u = 2x(1− y)
(ii) u = sinhx sin y
11) Sendo uma func¸a˜o f = u + iv e a sua conjugada complexa f = u − iv ambas holomorfas
num domı´nio, mostre que f e´ constante.
12) Sendo f holomorfa num domı´nio, mostre que o seu valor absoluto |f | na˜o pode ser constante
a menos que f o seja.
13) Determine todos os valores de z tais que
(i) exp z = −2
(ii) exp z = 1− i√3
(iii) exp(2z − 1) = 1
14) Simplifique | exp(2z + i)| e | exp(iz2)|, e mostre que
| exp(2z + i) + exp(iz2)| ≤ e2x + e−2xy.
15) Estabelec¸a as identidades
(i) 2 sin(z1 + z2) sin(z1 − z2) = cos 2z2 − cos 2z1
(ii) 2 cos(z1 + z2) sin(z1 − z2) = sin 2z1 − sin 2z2
16) Ache todas as ra´ızes da equac¸a˜o cos z = 2.
17) Mostre que sinh(z + pii) = sinh z e cosh(z + pii) = cosh z, e portanto, que tanh(z + pii) =
tanh z.
18) Por que a func¸a˜o sinh(ez) e´ inteira? Escreva sua parte real como func¸a˜o de x e y e diga
por que esta parte deve ser harmoˆnica em todos os pontos.
19) Quando n = 0, 1, 2, ..., mostre que
log i =
1
2
pii± 2npii
20) Ache todas as ra´ızes da equac¸a˜o ez = −3.
21) Escreva z = r exp(iθ) e z − 1 = ρ exp(iφ) e mostre que
Re[log(z − 1)] = 1
2
log(1 + r2 − 2r cos θ) (z 6= 1)
Por que esta func¸a˜o deve satisfazer a` equac¸a˜o de Laplace quando z 6= 1?
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