Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2015.1 PROFESSOR: Uberlandio B. Severo 2a Lista de Exerc´ıcios 1) Verifique se cumprem-se as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann para as seguintes func¸o˜es: (i) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3) (ii) f(z) = e−y(cosx+ i sinx) (iii) f(z) = e−x(cos y − i sin y) (iv) f(z) = ey(cosx+ i sinx) 2) Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es e determine seus pontos singulares: (i) f(z) = 3z − 1 (z − 1)(z + 4) (ii) f(z) = z − i z + i 3) Para quais valores de z vale exp(iz) = exp(iz)? 4) Em quais pontos a func¸a˜o exp(z) e´ deriva´vel? 5) Ponha tan z = sin z cos z . Calcule a derivada de tan z e determine seus pontos singulares. Deˆ essa func¸a˜o na forma u+ iv. 6) Ponha tanh z = sinh z cosh z . Calcule sua derivada. Deˆ essa func¸a˜o na forma u+ iv. Determine os pontos z para os quais tanh z e´ real. 7) Mostre que sinh(z + pii) = − sinh z e que cosh(z + pii) = − cosh z. 8) Determine onde f ′(z) existe e ache seu valor, quando (i) f(z) = 1 z (ii) f(z) = x2 + iy2 (iii) f(z) = zIm(z) 9) Diga por que cada uma das seguinte func¸o˜es na˜o e´ holomorfa em nenhum ponto: (i) f(z) = xy + iy (ii) f(z) = ey(cosx+ i sinx) 10) Mostre que u e´ harmoˆnica em algum domı´nio e ache uma conjugada harmoˆnica v, quando (i) u = 2x(1− y) (ii) u = sinhx sin y 11) Sendo uma func¸a˜o f = u + iv e a sua conjugada complexa f = u − iv ambas holomorfas num domı´nio, mostre que f e´ constante. 12) Sendo f holomorfa num domı´nio, mostre que o seu valor absoluto |f | na˜o pode ser constante a menos que f o seja. 13) Determine todos os valores de z tais que (i) exp z = −2 (ii) exp z = 1− i√3 (iii) exp(2z − 1) = 1 14) Simplifique | exp(2z + i)| e | exp(iz2)|, e mostre que | exp(2z + i) + exp(iz2)| ≤ e2x + e−2xy. 15) Estabelec¸a as identidades (i) 2 sin(z1 + z2) sin(z1 − z2) = cos 2z2 − cos 2z1 (ii) 2 cos(z1 + z2) sin(z1 − z2) = sin 2z1 − sin 2z2 16) Ache todas as ra´ızes da equac¸a˜o cos z = 2. 17) Mostre que sinh(z + pii) = sinh z e cosh(z + pii) = cosh z, e portanto, que tanh(z + pii) = tanh z. 18) Por que a func¸a˜o sinh(ez) e´ inteira? Escreva sua parte real como func¸a˜o de x e y e diga por que esta parte deve ser harmoˆnica em todos os pontos. 19) Quando n = 0, 1, 2, ..., mostre que log i = 1 2 pii± 2npii 20) Ache todas as ra´ızes da equac¸a˜o ez = −3. 21) Escreva z = r exp(iθ) e z − 1 = ρ exp(iφ) e mostre que Re[log(z − 1)] = 1 2 log(1 + r2 − 2r cos θ) (z 6= 1) Por que esta func¸a˜o deve satisfazer a` equac¸a˜o de Laplace quando z 6= 1? 2
Compartilhar