Lista de Aplicação - Solução

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 11 – Soluc¸a˜o
Temas abordados : Func¸o˜es logaritmo e exponencial; Regras de l’Hoˆpital
Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.5
1) Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lanc¸ado verti-
calmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma forc¸a de resisteˆcia do ar
FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximac¸a˜o g = 10 m/s2 da acelerac¸a˜o da gravidade,
pode-se mostrar que v(t) e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial
v′(t)
1 + v(t)
= −10, t > 0,
v(0) = 63
Para encontrar a soluc¸a˜o v(t), resolva os itens seguintes.
(a) Calcule as derivadas das func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(b) Lembrando que se uma func¸a˜o tem derivada identicamente nula em um intervalo I,
enta˜o ela e´ constante em I, use o item anterior e as informac¸o˜es dadas para obter
uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(c) Use o item anterior e a condic¸a˜o inicial v(0) = 63 para obter a expressa˜o de v(t).
(d) Determine o instante em que o corpo alcanc¸a a altura ma´xima.
Soluc¸a˜o:
(a) Note que
d
dt
(−10t) = −10 e d
dt
(ln(1 + v(t)) =
v′(t)
1 + v(t)
= 10, (1)
por hipo´tese.
(b) Segue de (1) que
d
dt
(ln(1 + v(t)) + 10t) =
v′(t)
1 + v(t)
+ 10 = 0. (2)
Seja enta˜o
f(t) = ln(1 + v(t)) + 10t (3)
de modo que f ′(t) = 0 em (0,+∞). Pelo Teorema do Valor Me´dio f(t) e´ constante
em (0,+∞), e assim
ln(1 + v(t)) = −10t + K1, (4)
para alguma constante K1 ∈ R.
(c) Tomando-se a exponencial nos dois lados de (4), obtemos
v(t) = Ke−10t − 1,
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onde K = eK1 e´ tambe´m uma constante. A igualdade acima vale para todo t > 0.
Assim, por continuidade, vale tambe´m para t = 0. Fazendo enta˜o t = 0 conclu´ımos
que
63 = v(0) = Ke−10×0 − 1,
o que implica que K = 64. Logo
v(t) = 64e−10t − 1.
(d) A altura ma´xima e´ atingida no instante t0 em que v(t0) = 0. Assim e
−10t0 = 1/64 =
2−6, o que nos fornece −10t0 = −6 ln 2, ou ainda, t0 = 3 ln 2/5 ' 0, 414, em que
usamos a aproximac¸a˜o ln 2 ' 0, 69.
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2) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sistema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa
m em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de
Hooke, por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a
velocidade instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Como
a forc¸a resultante e´ F + R, pela Segunda Lei de Newton, temos que
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para t > 0. Suponha que, em unidades adequadas, m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que a equac¸a˜o (∗) e´
satisfeita.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine seus
extremos locais e seus intervalos de crescimento e
decrescimento.
(c) Determine os pontos de inflexa˜o de s(t) e os interva-
los onde a concavidade e´ voltada para cima e onde e´
voltada para baixo.
(d) Determine as ass´ıntotas de s(t) e, em seguida, esboce
o seu gra´fico.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que
v(t) = −3(te−2t)′ = −3((t)′e−2t + (e−2t)′t) = −3(e−2t − 2te−2t) = −3(1− 2t)e−2t
e tambe´m que
a(t) = −3((1− 2t)e−2t)′ = −3((1− 2t)′e−2t + (e−2t)′(1− 2t)) = 12(1− t)e−2t.
Segue enta˜o que
−4s(t)− 4v(t) = −4(−3te−2t +−3(1− 2t)e−2t) = 12(1− t)e−2t = a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
(b) Temos que s′(t) = v(t) = 0 se e so´ se t = 1/2, que e´ o u´nico ponto cr´ıtico. Ale´m
disso, como e−2t > 0, segue que o sinal s′(t) e´ igual ao sinal de −3(1 − 2t). Logo
temos que s′(t) > 0, se t > 1
2
e tambe´m s′(t) < 0, se 0 ≤ t < 1
2
. Portanto a func¸a˜o s
cresce em (1
2
,∞) e decresce em [0, 1
2
). Temos enta˜o que t = 1/2 e´ ponto de mı´nimo
global de s.
(c) Como e−2t > 0, segue que o sinal s′′(t) = a(t) e´ igual ao sinal de 12(1 − t). Logo
s′′(t) > 0, se 0 ≤ t < 1 e tambe´m s′′(t) < 0, se t > 1. Portanto a func¸a˜o s tem
concavidade para cima em [0, 1) e tem concavidade para baixo em (1,∞). Temos
enta˜o que t = 1 e´ um ponto de inflexa˜o de s.
(d) Na˜o existem ass´ıntotas verticais nem ass´ıntota horizontal pela esquerda, uma vez
que s(t) e´ cont´ınua e esta´ definida em [0,∞). Para determinar se existe ass´ıntota
horizontal pela direita, calculamos o limite
lim
t→∞
s(t) = lim
t→∞
−3t
e2t
= lim
t→∞
−3
2e2t
= 0,
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onde usamos L’Hospital, de modo que s = 0 e´ ass´ıntota horizontal pela direita.
Usando essas informac¸o˜es, podemos esboc¸ar o gra´fico de s(t) como ilustrado abaixo.
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