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I DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA DIAGRAMAS ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS ISABEL ALVIM TELES I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 1/5 Diagramas de esforços (viga) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIO Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) da viga representada na figura. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros). RESOLUÇÃO 1. CÁLCULO DAS REACÇÕES = = = ⇒ =×− =×− = ⇒ =∑ =∑ =∑ kN 22,091 V kN 38,659 V 0 H 0 2,0 60,75 V 5,5 0 3,5 60,75 V 5,5 0 H 0 M 0 M 0 F D A D D A D A D X CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 0.50.5 4.5 m d V e N V N + 0.5 4.5 m 0.5 38,659kN 22,091kN ⇒⇒⇒⇒ 0.5 1.5 m 60,75kN 0.53.0 m HD VDVA I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 2/5 Diagramas de esforços (viga) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 2. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: Não existe qualquer força na direcção do eixo da viga, pelo que o esforço axial é nulo em todos os tramos da viga. Esforço axial ⇒ N = 0 (em toda a viga) _______________________________________________________________________________________ • Tramo AB ⇒= ⇒= recta kNm 38,659 (x) M nível de recta kN 38,659 (x) V x AB = = = 0 M kN 38,659 V 0)(x A A A = = = kNm 19,330 M kN 38,659 V m) 0,5 (x B B B _______________________________________________________________________________________ • Tramo BC Equação da carga triangular: kN/m 6 27 (x) p x−= C x 3 x 27 dx dx 2x) 6 27 ( x) 6 (27 ++−=== +∫ −−∫ −(x) V 38,659 C C C x 3 x 27 V kN 38,659 0) (x 2 0) (x =⇒ =++−== = = = V V B B B curva (2º grau) C x 38,659 x 2 27 x dx ) 38,659 x 27 x 3( dx (x) 2 3 2 V ++−=+−== ∫∫(x)M 19,330 C C C x 38,659 x 13,5 x M kNm 19,330 0) (x 23 0) (x =⇒ =++−== = = = M M B B B curva (3º grau) = = = kNm 19,330 M kN 38,659 V 0)(x B B B = −= = kNm 11,046 M kN 22,091 V m) 4,5 (x C C C dx (x) p ∫ −=V dx (x) V ∫=M kN 38,659 27 3 2 +−= xx(x) V kNm 330,19 38,659 13,5 23 ++−= xxx(x) M de x 38,659 kN 19,330 kNm x de BA de x 38,659 kN I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 3/5 Diagramas de esforços (viga) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Secção onde o esforço transverso é nulo: m 1,786 0 38,659 27 3 0 2 =⇒=+−⇒= xxxV Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 dx d 2 V 2 ⇒> concavidade U Secção onde o momento é máximo: kNm 51,01 19,330 1,786 38,659 1,786 13,5 1,786 M M(x) 0 V(x) máx 2 3 1,786) (xmáx máx = +×+×−==⇒=⇒= = M MM Concavidade do diagrama de Momentos: 0 dx Md 2 2 ⇒< concavidade U _______________________________________________________________________________________ • Tramo CD ⇒+−= ⇒−= recta kNm 11,049 091,22 (x) M nível de recta kN 22,091 (x) V x CD = −= = kNm 11,049 M kN 22,091 V 0)(x C C C 0 M kN 22,091 V m) 0,5 (x D D = −= =D _______________________________________________________________________________________ DIAGRAMAS DC de x 22,091 kN 11,049 kNm + 1,786 m - + 0,5 0,52,714 m 38,659 c c -22,091 V unidade: kN ESFORÇO TRANSVERSO 1,786 m0,5 0,52,714 m c 11,046 M unidade: kNm MOMENTO FLECTOR 19,330 51,01 r r r r c I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 4/5 Diagramas de esforços (viga) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 3. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: • Tramo DC ⇒−= ⇒−= recta kNm 091,22 (x) M nível de recta kN 22,091 (x) V x DC 0 M kN 22,091 V m) 0 (x D D = −= =D = −= = kNm 11,049 M kN 22,091 V m) 0,5(x C C C _______________________________________________________________________________________ • Tramo CB Equação da carga triangular: kN/m 6 (x) p x= C x 3 dx x 6 2 +=∫=(x) V 22,091 C C C x 3 V kN 22,091 0) (x 2 0) (x −=⇒ =+== −= = = V V C C C curva (2º grau) C x 091,22 x dx ) 22,091 x 3( dx ) 22,091 x 3( dx (x) V 322 ++−=∫ +−=∫ −−=∫ −=(x)M 11,046 C C C x 22,091 x M kNm 11,046 0) (x 3 0) (x =⇒ =++−== = = = M M C C C curva (3º grau) = −= = kNm 11,046 M kN 22,091 V 0) (x C C C = = = kNm 19,330 M kN 38,659 V ) m 5,4(x B B B dx (x)p ∫=V dx (x) V ∫ −=M kN 22,091 3 2 −= x(x) V kNm 046,11 22,091 3 ++−= xx(x) M x de DC de x 22,091 kN de x 22,091 kN 11,046 kNm I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 5/5 Diagramas de esforços (viga) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Secção onde o esforço transverso é nulo: m 2,714 0 22,091 3 0 2 =⇒=−⇒= xxV Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 dx d 2 V 2 ⇒> concavidade U Secção onde o momento é máximo: kNm 51,01 11,046 2,714 22,091 2,714 M M(x) 0 V(x) máx 3 ,714)2 (xmáx máx = +×+−==⇒=⇒= = M MM Concavidade do diagrama de Momentos: 0 dx Md 2 2 ⇒< concavidade U _______________________________________________________________________________________ • Tramo BA ⇒−= ⇒= recta kNm 38,659 19,330 (x) M nível de recta kN 38,659 (x) V x BA = = = kNm 19,330 M kN 38,659 V 0) (x B B B = = = 0 M kN 38,659 V m) 0,5(x A A A _______________________________________________________________________________________ 4. RESOLUÇÃO DO TRAMO CB SEM INTEGRAÇÃO E COM O REFERENCIAL: • Tramo CB Equação da carga triangular: kN/m 6 (x) p x= ⇒++−=++−= ⇒−= grau) (3º curva kNm 11,046 22,091 11,046 22,091 3 . 3 (x) M grau) (2º curva kN 22,091 3 (x) V 32 2 xxxxx x CB = −= = kNm 11,046 M kN 22,091 V 0) (x C C C = = = kNm 19,330 M kN 38,659 V ) m 5,4(x B B B BA de 38,659 kN 19,330 kNm x x de de x 22,091 kN 11,046 kNm x 3
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