Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

Exerc´ıcios de Ca´lculo Nume´rico
Interpolac¸a˜o Polinomial e Me´todo dos Mı´nimos Quadrados
1. Para a func¸a˜o dada, seja x0 = 0, x1 = 0, 6 e x2 = 0, 9. Construa polinoˆmios
de grau n ≤ 2, para aproximar f(0, 45), e encontre o valor do erro verdadeiro.
(a) f(x) = cos x
(b) f(x) =
√
(1 + x)
(c) f(x) = ln(x+ 1)
2. Use o Teorema do Erro, e determine uma cota superior do erro, para as aprox-
imac¸o˜es calculadas no exerc´ıcio 1
3. Sabendo-se que f(0, 81) = 16, 94410 f(0, 83) = 17, 56492 f(0, 86) = 18, 50515
e f(0, 87) = 18, 82091, calcule um valor aproximado de f(0, 84), usando:
(a) Polinoˆmio interpolador de Lagrange de grau n ≤ 1, 2, 3
(b) Forma de Newton para polinoˆmio interpolador de grau n ≤ 1, 2, 3
(c) Calcule uma cota superior do erro em cada caso, se poss´ıvel.
4. Seja uma func¸a˜o f tabelada nos pontos xi igualmente espac¸ados. Seja h o
passo e suponhamos que |f ′′(x)| ≤ M em todo intervalo da tabela. Mostre
que, ao se fazer uma interpolac¸a˜o linear da func¸a˜o f no ponto x tomando
os pontos consecutivos xi xi+1, com xi < x < xi+1, o valor absoluto do erro
cometido e´ no ma´ximo ε =
1
8
M.h2
5. Deseja-se construir uma tabela da func¸a˜o f(x) = ex no intervalo [0, 1] com
pontos xi igualmente espac¸ados. Seja h o passo. Qual o valor ma´ximo de h
para que o erro da interpolac¸a˜o linear em qualquer ponto do intervalo seja
menor ou igual a ² ≤ 1.10−2.
6. Considere a tabela abaixo:
Altura (cm) 183 173 188 163 178
Peso(kg) 79 69 82 63 73
(a) Usando um Polinoˆmio Interpolador de grau dois, calcule a altura aprox-
imada de uma pessoa com peso de 70 kg.
(b) Deˆ uma estimativa de erro para o caso anterior.
(c) Determine a melhor func¸a˜o da forma ψ(x) = αsen(x)+β cos(x) que ajusta
estes pontos e calcule a altura aproximada de uma pessoa com peso de
70 Kg.
7. Sabe-se que ao longo da linha vermelha a velocidade ma´xima permitida e´ de
90km/h e foram colocados radares para medir a velocidade instantaˆnea dos
carros. Suponha que numa distaˆncia d = 1.0km, um motorista conferiu atrave´s
do veloc´ımetro (suponha que o veloc´ımetro seja exato) as seguintes velocidade:
distaˆncia 0 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0
velocidade 80 85 88 92 85 80
Pergunta-se:
(a) Considere um radar colocado na posic¸a˜o d = 0, 4. Usando um polinoˆmio
interpolador de grau dois ou menor, calcule:
i) Velocidade aproximada neste ponto.
ii) Erro da interpolac¸a˜o neste ponto.
iii) Podemos concluir que o carro na˜o sera´ multado?
(b) Usando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados fac¸a uma regressa˜o linear e
calcule a velocidade esperada em d = 1, 1
(c) Usando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados determine o polinoˆmio de
segundo grau o´timo, e calcule a velocidade esperada em d = 1, 1
(d) O jornal “O Globo” publicou a seguinte not´ıcia: Em virtude da estima-
tiva de erro do radar ser de 10% enta˜o os carros poderiam andar a uma
velocidade ma´xima de 99km/h sem serem multados. O que voceˆ pensa
sobre isto?
8. A tabela abaixo representa a inflac¸a˜o bimestral medida pelo INPC no ano
de 2000.
bimestre janeiro fevereiro marco maio junho
inflac¸a˜o(%) 0, 75 0, 64 0, 24 2, 94 0, 37
(a) Estime qual foi a inflac¸a˜o em abril , utilizando um polinoˆmio interpolador
de grau n ≤ 2.
(b) Calcule o erro da estimativa anterior.
(c) Podemos garantir,usando o resultado do item anterior, que a inflac¸a˜o
semestral foi menor que 6%?.
(d) Determine a inflac¸a˜o do meˆs de julho, usando um polinoˆmio de grau
n ≤ 2.
9. A tabela abaixo representa o nu´mero oficial aproximado de pessoas com DENGUE,
ou seja, infectados pelo virus (Ae¨des aegypti) no Rio de Janeiro:
data 1999 2000 2001 20021 20022
nu´meros 4.300 2.200 36.500 41.600 42700
Os dados relativos 20021,2 correspondem ao nu´mero de casos registrados nos
meses de janeiro e fevereiro.
(a) Usando uma reta, estime o nu´mero de infectados no meˆs de marc¸o de
2002, pelo me´todo dos mı´nimos quadrados.
(b) Estime qual foi o nu´mero de infectados pelo virus em fevereiro de 2001,
utilizando um polinoˆmio interpolador de grau n ≤ 2.
(c) Estime o erro na aproximac¸a˜o calculada no item c.
10. Qual e´ a diferenc¸a entre interpolac¸a˜o polinomial e o ajuste de curvas pelo
me´todo dos mı´nimos quadrados? E´ poss´ıvel obter um mesmo polinoˆmio que
interpola e faz o ajuste de curvas pelo me´todo dos mı´nimos quadrados?
11. O nu´mero de bacte´rias, por unidade de volume, existente em uma cultura apo´s
x horas e´ dado na tabela abaixo:
nu´mero de horas 0 1 2 3 4 5 6
nu´mero de bacte´rias 32 47 65 92 132 190 275
(a) Ajuste os dados acima a curva y = aebx pelo me´todo dos mı´nimos quadra-
dos.
(b) Quantas horas seriam necessa´rias para que o nu´mero de bacte´rias por
unidade de volume ultrapasse 2000?
12. Dada a tabela abaixo, fac¸a o gra´fico de dispersa˜o dos dados e ajuste uma curva
da melhor maneira poss´ıvel.
x 0, 5 0, 75 1 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0
y −2, 8 −0, 6 1 3, 2 4, 8 6, 0 7, 0
13. Interpolac¸a˜o em duas varia´veis
Seja Ω um retaˆngulo R = {(x, y); a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} e as seguintes
partic¸o˜es: Rx : a = x0 < x1 < · · · < xn = b e Ry : c = y0 < y1 < · · · < ym = d.
Considere os polinoˆmios de Lagrange {Li(x) : 0 ≤ i ≤ n} e {Lj(y) : 0 ≤ j ≤
m} de grau n e m respectivamente. Definindo
P (x, y) =
n,m∑
i=j=0
f(xi, yj).Lij(x, y)
obtemos um polinoˆmio interpolador de grau n em x e m em y, onde
Lij(x, y) = Li(x)Lj(y)
Considere a tabela abaixo:
Altura (cm) 183 173 188 163 178
Peso(kg) 79 69 82 63 73
Velocidade(km/h) 15 16 14 14 15
Determine, a velocidade aproximada de uma pessoa, que mede 175 cm e pesa
75 kg, usando um polinoˆmio interpolador de grau 2 em cada varia´vel.
Gabarito da Lista de Interpolação e Método dos Mínimos Quadrados 
 
 
Exercício 1: 
 
(a) f(x) = cos(x) 
 
 
Primeira forma: Interpolação de Lagrange 
 
3
22
2
102,822(0,45)Pcos(0,45)(x)P-f(x)
0,8976250,6220,250,8251,12510,125(0,45)P f(0,45)
(
))((
))((
)(
(
))((
))((
)(
(
))((
))((
)(
:
)()()()()()()(
−
⋅≈−=
=⋅−⋅+⋅=≈
≈==
−−
=⇒
−−
−−
=
≈==
−
−−
=⇒
−−
−−
=
===
−−
−−
=⇒
−−
−−
=
++=
:Erro
Portanto,
0,622 cos(0,9) f(0,9); -0,25
0,6)-0)(0,9-(0,9
0,6)0)(0,45(0,45
0,45)L
xxxx
xxxx
xL
0,825 cos(0,6) f(0,6); 1,125
0,9)-0)(0,6(0,6
0,9)0)(0,45(0,45
0,45)L
xxxx
xxxx
xL
1 cos(0) f(0); 0,125
0,9)0,6)(0(0
0,9)0,6)(0,45(0,45
0,45)L
xxxx
xxxx
xL
onde
xfxLxfxLxfxLxP2
2
1202
10
2
1
2101
20
1
0
2010
21
0
221100
 
 
 
Segunda forma: Diferenças Divididas de Newton 
 
02
1021
2102
01
01
101
00
1020102
xx
xxfxxf
xxxfd
xx
xfxf
xxfd
xfd
onde
xxxxdxxddxP
−
−
==
−
−
==
=
−−+−+=
],[],[
],,[
][][
],[
][
:
))(()()(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos montar a seguinte tabela: 
 
x dd0 dd1 dd2 
x0 = 0 f[x0] = 1 = d0 
 110 d0,292]x,f[x =−= 
x1 = 0,6 f[x1] = 0,825 2210 d0,428]x,x,f[x =−= 
 0,677]x,f[x 21 −= 
x2 = 0,9 f[x2] = 0,622 
 
 
0,897490,6)0)(0,4550,428)(0,4(0)50,292)(0,4(1(0,45)P2 =−−−+−−+= 
 
 
Exercício 2: 
 
Cota Superior do Erro: 
 
3
2
n0
1)(n
1n
n10
1n
nn
103,9650,9)0,6)(0,450)(0,45(0,45
3!
0,7833
(0,45)E
))()((
!
)(
)()()(
,
]x, [x x para (x)fmáxM
:onde
)x(x)x)(xx(x
! 1)(n
M
(x)Pf(x)(x)E
−
+
+
+
⋅≈−−−≤
≈′′′≈′′′=′′′
=′′′⇒=
−−−
′′′
≤−=
∈=
−⋅⋅⋅−−
+
≤−=
��� ���� 
	
Máximo
máx
0,7833 (0,9)f; 0,565 (0,6)f; 0(0)f
sen(x) (x)f cos(x)f(x)
xxxxxx
xf
xPxfxE
Então
21022
3
 
 
Exercício 3: 
 
 
 
(a) Devemos neste item construir por Lagrange P1(x), P2(x), P3(x) tais que: 
 
 
0,86x e 0,83x com; 
xx
xx
(x)L; 
xx
xx
(x)L
:onde
)(x)f(xL)(x)f(xL(x)P10
01
0
1
10
1
0
11001
==
−
−
=
−
−
=
+=
 
x) de próximo mais valor o x para escolhemos que (lembrando 0,87x e 0,86x , 0,83x com
)x)(xx(x
)x)(xx(x
(x)L; 
)x)(xx(x
)x)(xx(x
(x)L; 
)x)(xx(x
)x)(xx(x
(x)L
:onde
)(x)f(xL)(x)f(xL)(x)f(xL(x)P
0210
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
2211002
===
−−
−−
=
−−
−−
=
−−
−−
=
++=
 
 
 0,87x e 0,86x 0,83,x , 0,81x com
x)(xx)(xx(x
x-)(xx)(xx(x
(x)L; 
x)(xx)(xx(x
x-)(xx)(xx(x
(x)L; 
x)(xx)(xx(x
x-)(xx)(xx(x
(x)L
:onde
xfxL)(x)f(xL)(x)f(xL)(x)f(xL(x)P
3210
21202
310
2
12101
320
1
02010
321
0
32211003
====
−−−
−−
=
−−−
−−
=
−−−
−−
=
+++=
)
)
)
)
)
)
)()(
333
3
 
 
 
(b) Usando Diferenças Divididas de Newton: 
 
Devemos neste item construir P1(x), P2(x), P3(x) tais que: 
 
1. exercício no usamos como tabelas usar e
xxxxxxdxxxxdxxddxP
xxxxdxxddxP
xxddxP
))()(())(()()(
))(()()(
)()(
21031020103
1020102
0101
−−−+−−+−+=
−−+−+=
−+=
 
 
(c) Se a função f(x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro |En(x)| só pode ser estimado. 
Isto porque, neste caso, não é possível calcular Mn+1; mas, se construirmos a tabela de diferenças 
divididas até ordem n+1, podemos usar o maior valor (em módulo) destas diferenças como uma 
aproximação para 
)!( 1
1
+
+
n
M n no intervalo [x0 , xn]. 
 
Neste caso, dizemos que: 
 ( )1n ordem de divididas diferençasmáx)x(x)x)(xx(x(x)E n10n +⋅−⋅⋅⋅−−≈ 
 
Então, neste exercício: 
 ( )2ddmáx)x)(xx(x(x)E 101 ⋅−−≈ 
 ( )3ddmáx)x)(xx)(xx(x(x)E 2102 ⋅−−−≈ 
 ( )4ddmáx)x)(xx)(xx)(xx(x(x)E 32103 ⋅−−−−≈ 
 
 
 
 
Pela tabela: 
 
x dd0 dd1 dd2 dd3 
0,81 16,94410 
 31,041 
0,83 17,56492 6 = máx|dd2| 
 31,341 -2,0873 
0,86 18,50515 5,875 
 31,576 
0,87 18,82091 
 
Assim, 
 
( ) 31 101,260,86)0,83)(0,84(0,84(0,84)E −⋅=⋅−−≈ 
 
( ) 52 101,249982,08330,87)0,86)(0,840,83)(0,84(0,84(0,84)E −⋅=−⋅−−−≈ 
 
Não é possível determinar |E3(x)| porque não temos as diferenças divididas de ordem 4. 
 
 
Exercício 4: 
 
Neste exercício, temos pontos xi igualmente espaçados. Sendo h o passo, temos: 
 
hxxxxxx nn =−=⋅⋅⋅=−=− −11201 
 
Cota superior para o erro na interpolação linear: 
 
( )
8222222222
2
2
2
1111
1
11
1
1
1
1
1
1011
MhxxxxMxxxxM
x
xx
x
xxM
xE
Então
y
xx
yx é xxxx( w(x) para máximo valor o contém que
coordenada a parábola, uma de trata se como que osverificarm basta ,xxxx achar Para
xx xx M(x)f :exercício do dados são Também
xxxx
xf
xPxfxE
h
ii
h
iiiiii
i
ii
i
ii
vértice
ii
vérticevérticeii
máxii
i1i0
máx
=
−−
=

 −

 −
=


−
+



−
+
≤


 +
=−−=
−−
==≤′′
−−
′′
≤−=
++++
+
++
+
+
+
+
����
����
!
)(
,
,,))(
))((
;;
))((
!
)(
)()()(
 
Exercício 5: 
 
Aplicar o resultado do exercício anterior. 
Também é vál ido aqui o seguinte corolário para o Teorema do Erro: 
 
Para pontos igualmente espaçados, ou seja: hxxxxxx 1nn1201 =−=⋅⋅⋅=−=− − 
onde h é o passo, temos: 
 
1)4(n
Mh
(x)Pf(x)(x)E 1n
1n
nn +
<−= +
+
 
Exercício 6: 
 
(a)
 
Vamos ordenar a tabela por peso: 
 
Altura(cm) 163 173 178 183 188 
Peso (Kg) 63 69 73 79 82 
 
 
Usando ))(()()(
1020102
xxxxdxxddxP −−+−+= , temos: 
 
x dd0 dd1 dd2 dd3 dd4 
63 163 
 5/3 
69 = 
0
x 173 = 0d -1/24 
 5/4 = 1d 0 
73 = 
1
x 178 -1/24 = 2d 29/53352 
 5/6 29/2808 = máx|dd3| 
79 = 
2
x 183 5/54 
 5/3 
82 188 
 
cm 174,37573)69)(70(70
24
1
69)(70
4
5
173(70)P2 =−−−−+= 
 
(b)
 
Estimativa do erro: 
 ( ) 0,278852808/2979)73)(7069)(70(70(70)E2 ≈⋅−−−≈ 
 
 
(c)
 
A curva que aproximaremos para os pontos da tabela é da forma: 
 
cos(x) Ãsen(x) ÂÙ�[� += 
 
Vamos ajustá-la aos dados da tabela através do Método dos Mínimos Quadrados, fazendo: 
 
∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
= = =
=
=
=
=+
=⋅−−⇒=
∂
∂
=⋅−−⇒=
∂
∂
−−=
4
0i i i
iiii
iii
4
0i
i
iii
4
0i
i
4
0i
2
iii
(3) xsenxfxsenxsen2
:temos (2), e (1) oRearrumand
(2) 0] )[-cos(x] )cos(x Ã)sen(x Â)[f(x20
Ã
S
(1) 0 ] )[-sen(x] )cos(x Ã)sen(x Â)[f(x20
Â
S
:onde
] )cos(x Ã)sen(x Â)[f(xÃ� , S(Â
4
0
4
0
2
22 )()()()( βα
 
 
∑ ∑ ∑
= = =
=+
4
0
4
0
4
0
2
222
i i i
iiii (4) xxfxxsen )cos()()(cos)( βα 
 
 
Formamos a seguinte tabela: 
 
x y = f(x) sen2(x) cos2(x) sen(2x) ysen(x) ycos(x) 
79 183 0,964 0,036 0,375 179,638 34,918 
69 173 0,872 0,128 0,669 161,509 61,998 
82 188 0,981 0,019 0,276 186,170 26,165 
63 163 0,794 0,206 0,809 145,234 74,000 
73 178 0,915 0,085 0,559 170,222 52,042 
 SOMAS 4,526 0,474 2,688 842,773 249,123 
 
 
Assim, temos o sistema: 
 
cm 174,021 )(70º cos 15,187 - )sen(70º 190,717 (70)
:Kg 70 de pessoa uma de aproximada altura a achar para equação essa usar vamos Agora,
(x)cos 15,187 - sen(x) 190,717 (x)
:é pontos estes ajusta que função melhor a Portanto,
-15,187
190,717
:achamos sistema, esse Resolvendo
498,2460,948 2,688
1685,546 2,688 9,052
≈=
=
≈
≈
=+
=+
ψ
ψ
β
α
βα
βα
 
 
Exercício 10: 
 
m ..., 1, 0, i , xf(x por dada tabela à ajuste se que
n0,1,...,i Rc onde
xcxcxc g(x)
:tipo do função uma Determinar
contínuas) quaisquer (Funções x ..., x x
f) de (Tabela m 0,1,..., i , xfx
Dados
ii
i
nn10
n10
ii
=
=∈
+++=
=
))(,
,
)(...)()(
)(),(),(
))(,(
:
ϕϕϕ
ϕϕϕ
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A idéia mais ingênua e natural que nos ocorre para ajustar g à f é impormos a condição de 
que g coincida com f nos pontos dados; ou seja, g(xi) = f(xi), i = 0,1,..., m. 
 
 
Teríamos então: 
 
MMQ. do dentro especial caso um é ãointerpolaç a
portanto, e, zero será ] xgxfccS(c de mínimo o forma, Dessa dados. os exatamente
ajustar modelo o se MMQ pelo curvas de ajuste o faz e interpola que polinômio mesmo um obter possível É
(MMQ). QUADRADOS MÍNIMOS DOS MÉTODO o é caso neste
 usados mais métodos dos um e incógnitas que do equações mais com sistema um teremos nm Quando (b)
POLINOMIAL
 ÃOINTERPOLAÇ de problema um teremos distintos são sx pontos os e xx n, m Quando a
ccc incógnitas 1n e equações 1m de sistema um é que
xfxcxcxc
. . . 
. . . 
. . . 
xf xcxcxc
xf xcxcxc
m
k
2
kkn0
i
i
i
n0
mmnnm1m0
nn10
nn10
∑
=
−=
>
==
++







=+++
=+++
=+++
1
1
1
10
111110
000100
)()([),...,,
')()(
.,...,,
)()(...)()(
.
.
.
)()(...)()(
)()(...)()(
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
 
 
Exercício 13: 
 
Por ordem de peso, a tabela fica: 
 
Peso(Kg) 63 69 73 79 82 
Altura(cm) 163 173 178 183 188 
Velocidade(km/h) 14 16 15 15 14 
 
O exercício pede para usar um polinômio bidimensional de grau 2. Então: 
 
 
8/27(75)L; 7/9(75)L; 14/27(75)L
82x 79,x 73,x: x variável a Para
(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(x 
(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(x 
(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(x(y)(x)L)Ly,f(xy)(x,P
210
210
222212120202
212111110101
2020101000002
−===
===
++
++++++=
 
 
 
15)y,f(x 8/225,(75,175)L
15)y,f(x -128/675,(75,175)L
16)y,f(x -32/225,(75,175)L
15)y,f(x -21/225,(75,175)L
15)y,f(x 112/225,(75,175)L
16)y,f(x 28/75,(75,175)L
15)y,f(x 14/225,(75,175)L
15)y,f(x 224/675,(75,175)L
16)y,f(x 56/225, (75,175)L
:temos (y),(x)LLy)(x,L agora fazendo Então,
3/25(175)L; 16/25(175)L; 12/25(175)L
82y 79,y 73,y: y variável a Para
2222
1221
0220
2112
1111
0110
2002
1001
0000
jiij
210
210
==
==
==
==
==
==
=−=
==
==
=
−===
===
 
 
 
Observação: na hora de calcular f(xi , yj), colocamos xi como ponto fixo (que não varia). 
Depois, verificamos o valor de f(xi , yj) , a velocidade representada neste exercício, no ponto 
yj . 
 
Portanto, 
 
km/h. 15,48 
225
8
15 
675
128
15
225
32
16
225
21
15
225
112
15
75
28
16
225
14
15
675
224
15
225
56
16(75,175)P2
=⋅+
+−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅+−⋅+⋅+⋅=
 
	Interpolacao.pdf
	Gabarito_Interpol_MMQ.pdf