relatorio lei de hooke (1)

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Universidade Estadual Santa Cruz – UESC
Relatório
Lei de Hooke
 Regressão Linear 
Relatório elaborado pelos alunos Rafael Magalhães e Jefferson Santos da turma P02 de Engenharia Civil como resultado da prática em laboratório nº3 da disciplina Física Experimental 1; ministrada pelo Profº Pisani
Ilhéus 
2017
Resumo
Nesse experimento , será estudado a constante de elasticidade ,com isso foram feitas algumas medições de uma mola helicoidal para obtenção de dados , como sua extensão em repouso e seu comprimento quando esta mola é submetida a um peso. E através da Lei de Hooke foi possível desenvolver resultados satisfatórios e a construção de um gráfico da respectiva regressão linear . 
Introdução
É comum nas ciências experimentais, verificar a relação entre duas grandezas físicas para estabelecer um modelo matemático que satisfaça uma proporcionalidade num modelo onde a é uma variável dependente, b independente e x uma constante de proporcionalidade. O interesse no relatório é testar se a lei de Hooke . A lei de hooke define a deformação elástica de sólidos dentro de um limite restaurador. Quando o sólido é deformado dentro deste limite é chamada deformação elástica. Quando o sólido sofre uma deformação permanente chamamos de deformação plástica. Neste experimento iremo testar se a lei já apresentada conhecida como constante elástica da mola é valida ou não, sendo F a força aplicada sobre a mola, K a constante de proporcionalidade variável para cada tipo de material utilizado para fabricar a mola e x o deslocamento da mola em unidade de comprimento (sendo x= posição da mola sob ação do peso – posição da mola em repouso). Quanto à força F foi calculada da seguinte forma
sendo m a massa do corpo de prova medida em uma balança de precisão de 0,1g e g a aceleração da gravidade em altitudes próximas ao nível do mar dada por (), caracterizando F como a força peso. Sua respectiva incerteza é a propagação da incerteza da massa e da gravidade
.
Dispondo os valores de F e x, buscaremos o valor de k para cada corpo de prova da seguinte forma
 Por causa da imprecisão experimental, são achados diversos valores de k impossibilitando que o gráfico do procedimento experimental seja igual à de uma função afim. Para determinar o melhor valor de K utilizamos um processo chamado regressão linear; que estabelece a relação entre duas variáveis, definindo assim um valor confiável para a constante de forma que ao utilizarmos na fórmula para obter dados ainda não conhecidos, ela seja capaz de fornecer resultados com uma boa margem de confiança. Utilizamos para a regressão a seguinte equação
Sendo N o número de dados, x os valores obtidos do deslocamento e y os valores calculados da força. Precisamos estimar também a incerteza na constante K da seguinte forma
Sendo D a soma quadrática dos resíduos obtidos pela subtração do valor modelo e o valor real.
 Para plotar no gráfico as respectivas incertezas de cada medida. A incerteza no eixo x é dada pela formula da incerteza no deslocamento. 
De forma a deixar os desvios apenas no eixo y para melhor observação do gráfico, foi feita a transferência de incerteza do eixo x para o Y de forma que
.
Parte experimental
Durante a aula, por meio de uma balança, foi aferida massa de dez corpos de provas diferentes. Com o valor da massa e a aceleração da gravidade, foi possível calcular o peso de cada um com a equação 3. Faltava agora obter o valor da deformação que ela causa num corpo. Para tanto utilizamos uma mola helicoidal metálica de tamanho 12cm em repouso na horizontal. Posicionando-a numa régua vertical milimetrada e já com o suporte para o corpo de prova preso nela considerando-o parte do sistema, verificamos seu comprimento inicial, ou posição da mola em repouso, sem a atuação das forças causadas pelos corpos de prova. Sua posição inicial foi 17mm. Os valores das massas e sua respectiva deformação causada na mola são apresentados na tabela 1
	Massa [m]
	Posição final 
	∆x 
	10,00 
	23 
	6 
	10,8 
	24 
	7 
	21,1 
	29 
	12 
	22,90 
	30 
	13 
	33,80 
	36 
	19 
	49,80 
	45 
	28 
	99,90 
	73 
	56 
	149,80 
	100 
	83 
	172,70 
	113 
	96 
	200,00 
	127 
	110 
	
	A massa foram obtidos numa balança que mede o peso e posteriormente o transforma. Deslocamento é a posição final da mola menos 17, que é sua posição de origem.
Resultados
Dispondo dos valores de m e ∆x, foi calculado o valor da força peso usando a equação 2 e sua respectiva constante K usando a equação 1. Resultados obtidos estão na tabela 2.
	Massa 
	Peso 
	∆x 
	k
	10 
	97,8 
	6 
	16,3
	10,8 
	105,6 
	7 
	15,08914
	21,1 
	206,3 
	12 
	17,1965
	22,9 
	223,9 
	13 
	17,22785
	33,8 
	330,5 
	19 
	17,39811
	49,8 
	487,0 
	28 
	17,39443
	99,9 
	977,0 
	56 
	17,44682
	149,8 
	1465,0 
	83 
	17,65113
	172,7 
	1689,0 
	96 
	17,59381
	200,0 
	1956,0 
	110 
	17,78182
	
	A determinação das incertezas será explicada em seguida. K é uma constante calculada pela razão da força e deslocamento. Por isso sua unidade pode ser representada por 
 Ideal seria encontrar um único valor de k, como não é possível determina-la apenas repetindo experimentos, utilizamos a regressão linear para determinar o melhor valor de K para a mola em questão; de forma que a reta resultante da regressão passe o mais próximo possível de todos os pontos. Usando a equação 3 a constante k resultado da regressão foi 17,764 e sua respectiva incerteza resultante da equação 4 0,019. Foi desenhado o gráfico e de modo a deixa-lo com uma visualização mais clara, foi feita a transferência de incerteza do eixo x para o eixo Y para que a incerteza ficasse contida em apenas um eixo. A incerteza da massa e a incerteza da gravidade, juntas propagam a incerteza da Força, calculada com a equação 6 de valor 1,6. Logo, obtida com a equação 7 é 18,33. O gráfico 1 representa a síntese das informações até aqui apresentadas. 
 
 A escala do gráfico não permite uma clara visualização das barras de erro. Para melhor compreensão do leitor, a tabela 3 apresenta os intervalos de confiança de 70% em F para cada x obtido experimentalmente. 
	Experimental
	Mínimo
	Máximo
	Teórico
	0
	-18,33
	18,33
	0
	97,80
	79,47
	116,13
	106,5877
	105,62
	87,294
	123,954
	124,3523
	206,36
	188,028
	224,688
	213,1753
	223,96
	205,632
	242,292
	230,9399
	330,56
	312,234
	348,894
	337,5276
	487,04
	468,714
	505,374
	497,4091
	977,02
	958,692
	995,352
	994,8182
	1465,04
	1446,714
	1483,374
	1474,463
	1689,01
	1670,676
	1707,336
	1705,403
	1956,00
	1937,67
	1974,33
	1954,107
	A linha com realce indica que naquele ponto, quando F=105,62, não é satisfeito pelo K calculado a partir da regressão, logo a reta originada pelo modelo teórico não transpassa as barras de erro .quando x=7
	
	
	
Análise
É notório desde o experimento, que o peso e a deformação da mola são diretamente proporcionais, pois quanto maior a massa posta no sistema da mola, maior era a deformação. Durante o experimento foi encontrado diferentes valores de k, porém todos próximos um do outro; o que já indicava que teoricamente uma reta poderia dentro de um intervalo de confiança satisfazer a proporção do deslocamento em relação à força. Achado o valor da constante K através da regressão linear e calculando a incerteza do sistema projetada no eixo Y sob os pontos experimentais, a reta só não transpassa uma das onze barras de erros, indicando assim uma margem de confiança maior que 70%. Então o K obtido na regressão linear é valido. Na lei de Hooke, por definição o coeficiente linear da equação é 0 Por isso a reta parte da origem, pois quando não há força aplicada na mola, o deslocamento é nulo. Então utilizar o coeficiente linear calculado também na regressão neste caso só faria o modelo estatístico ser menos preciso. Um experimentador menos cautelosopoderia traçar uma reta de acordo com a média dos valores obtidos de k para cada ponto experimental, porém faria os resíduos ser bem maiores, indicando assim imprecisão.
Conclusão
Após todas as medições da mola helicoidal , sua variação no deslocamento , os resultados em mãos e as devidas analises e observações feitas , tornou-se perceptível que a variação na constante é mínima . Através do gráfico também foi possível perceber que quando a constante fixa (k) é definida , a variação da força irá ocorrer a favor do deslocamento, ou seja , irá depender do peso colocado na extremidade da mola. Tendo em vista isso, e após observação dos dados finais obtidos pode-se afirmar que a Lei de Hooke é válida