MATEMATICA FINANCEIRA 3°SEMESTRE

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JÚLIO CÉSAR ENGEL DE ABREU 
2008
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA SOBRE O AUTOR 
 
Júlio César Engel de Abreu é graduado em Licenciatura em Matemática pela 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, fez Curso de Especialização em 
Matemática na Universidade Vale do Rio dos Sinos e posteriormente graduou-se em 
Direito pelo Instituto Ritter dos Reis. Cursou a título de aperfeiçoamento as disciplinas 
do Curso de Mestrado em Estratégia Empresarial na Pontifícia Universidade Católica de 
Porto Alegre. É professor de Matemática Financeira na Universidade Luterana do Brasil 
desde 1984 e Advogado atuando na área de Assessoria Empresarial Tributária e 
Trabalhista. 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Após ministrar aulas de Matemática Financeira a alunos da Graduação das áreas de 
Administração, Ciências Contábeis, Economia, Matemática, e Análise de Sistemas, por 
mais de 20 anos, e percebendo que os Livros e Manuais existentes não atendiam a 
seqüência prática, nem a forma didática adequada dos conteúdos ministrados na 
Universidade resolvemos elaborar o presente Livro que pretende atingir tais objetivos. 
 
Neste Livro discorremos sobre os diversos aspectos dos conteúdos que envolvem 
Matemática Financeira abordando a chamada capitalização simples e a capitalização 
composta, os descontos comercial e racional, bem como o estudo das séries de 
pagamentos e a amortização de empréstimos, de forma simples, clara e objetiva, sendo o 
mais didático possível para que alunos das áreas antes referidas, muitos deles sem 
aqueles conhecimentos matemáticos mais apurados possam entender os assuntos 
abordados, e em diversos casos estamos apresentando a forma de utilizar a Calculadora 
Financeira que atualmente é muito conhecida e utilizada por empresários e estudantes 
destas áreas. 
 
Esperamos que nossos objetivos sejam atingidos e que todos que vierem a trabalhar com 
este Livro consigam entender os conteúdos nele abordados aprendendo um pouco deste 
conteúdo tão fascinante denominado de Matemática Financeira bem como as suas 
repercussões na vida diária de cada pessoa. 
 
4 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
NOTAS SOBRE O AUTOR 
 
APRESENTAÇÃO 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO – I ...................................... 
1. JURO SIMPLES 
1.1. DEFINIÇÕES PRELIMINARES 
1.2. JUROS SIMPLES 
1.2.1. Considerações iniciais 
1.2.2. Fórmula para o cálculo dos juros simples 
1.2.3. Ano civil e ano comercial 
1.2.4. Classificação dos juros 
1.2.5. Fórmula para o cálculo do montante 
1.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – II ...................................... 
2. DESCONTO SIMPLES 
2.1. DEFINIÇÕES PRELIMINARES 
2.2. DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
2.2.1. Forma de obtenção do desconto racional 
2.2.2. Forma de obtenção do valor atual racional 
2.3. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
2.3.1. Forma de obtenção do desconto comercial 
2.3.2. Forma de obtenção do valor atual comercial 
2.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – III ...................................... 
3. TAXAS e DESCONTOS EQUIVALENTES; EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
3.1. TAXAS EQUIVALENTES 
3.2. DESCONTOS EQUIVALENTES 
3.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
3.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – IV ...................................... 
4. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
4.1. COMENTÁRIOS INICIAIS 
4.2. JUROS COMPOSTOS 
4.2.1. Convenção exponencial 
4.2.2. Convenção linear 
4.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
5 
 
CAPÍTULO – V ...................................... 
5. ESTUDO DAS TAXAS 
5.1. ESTUDO DAS TAXAS NO JURO COMPOSTO 
5.1.1. Tipos de taxas 
5.1.2. Transformação de taxas 
5.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – VI ...................................... 
6. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (1.ª Parte) 
6.1. INTRODUÇÃO 
6.2. ELEMENTOS DE UMA RENDA 
6.2.1. Montante 
6.2.2. Valor atual 
6.2.3. Termos 
6.3. CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 
6.3.1. Rendas aleatórias 
6.3.2. Rendas certas 
6.4. RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, e POSTECIPADA 
6.4.1. Cálculo do montante na renda postecipada 
6.4.2. Cálculo do valor atual na renda postecipada 
6.5. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – VII ...................................... 
7. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (2.ª Parte) 
7.1. RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA e ANTECIPADA 
7.1.1. Cálculo do montante na renda antecipada 
7.1.2. Cálculo do valor atual na renda antecipada 
7.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – VIII ...................................... 
8. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (3.ª Parte) 
8.1. RENDAS CERTAS TEMPORÁRIAS COM DIFERIMENTO 
8.1.1. Diferimento final 
8.1.2. Diferimento inicial 
8.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – IX ...................................... 
9. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (1.ª Parte) 
9.1. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
9.1.1. Formas de amortização de empréstimos 
9.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
CAPÍTULO – X ...................................... 
10. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (2.ª Parte) 
10.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
10.1.1. Cálculo das prestações 
10.1.2. Cálculo dos juros em um período 
10.1.3. Cálculo da amortização em um período 
10.1.4. Cálculo do saldo devedor em um período 
10.1.5. Cálculo do total pago em um período 
6 
 
10.1.6. Planilha de amortização 
10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
10.2.1. Cálculo da amortização de todos os períodos 
10.2.2. Cálculo dos juros em um período 
10.2.3. Cálculo das prestações 
10.2.4. Cálculo do saldo devedor em um período 
10.2.5. Cálculo do total pago em um período 
10.2.6. Planilha de amortização 
10.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
11. BIBLIOGRAFIA ...................................... 
7 
 
CAPÍTULO – I 
 
1. JURO SIMPLES 
 
No cálculos do JURO SIIMPLES, consideramos durante todo o prazo de aplicação o 
mesmo CAPITAL inicialmente investido, não havendo, desta forma, capitalização dos 
juros. Ele difere do JURO COMPOSTO, no qual existe a capitalização dos juros, ou 
seja, a partir do segundo período, os juros são calculados sobre o MONTANTE do 
período anterior, isto é, é aquele em que, a cada período, o CAPITAL é somado ao juro 
produzido no período anterior. Iniciaremos este capítulo abordando os principais 
conceitos necessários para compreensão do JURO SIMPLES. 
 
1.1. Definições preliminares 
 
• JURO: é a quantia que se recebe (ou se paga) por emprestar certo Capital durante 
um determinado PRAZO. 
 
• CAPITAL: é a quantidade de moeda corrente (dinheiro) de um determinado 
investimento ou aplicação financeira. 
 
• PRAZO (n.º de períodos): é o espaço de tempo durante o qual fica aplicado certo 
Capital, ou o tempo decorrido entre a data de aplicação e a data de resgate do 
Capital. 
 
• TAXA DE JURO: é a razão percentual entre o Capital e o Juro, cuja unidade será a 
do prazo de aplicação. 
 
• MONTANTE: é a soma de um Capital com seu Juro. 
 
• PERIODO FINANCEIRO: é o período a que se refere a taxa de juro. Por exemplo, 
se tivermos uma taxa de juro de 10% aa (% ao ano), o período financeiro será 
anual, mas se a taxa for de 5% as (% ao semestre) o período financeiro será 
semestral. 
 
Taxa percentual e taxa unitária 
 
Em MATEMÁTICA FINANCEIRA, utilizamos dois tipos de taxas de juro: a taxa 
percentual e taxa unitária. 
 
• TAXA PERCENTUAL: é a quantia de Juro que será produzido pela aplicação de 
100 (cem) unidades de Capital durante uma unidade de Prazo (este resultado é 
expresso pelo n.º obtido, acrescido do símbolo % e da unidade do prazo), que é 
utilizada na apresentação dos problemas. Por exemplo: Se a aplicação do Capitalde 
R$ 100,00 (cem reais) produzir juro de R$ 10,00 (dez reais) no prazo de 01 (um) 
ano, diremos que a taxa percentual será de 10 (dez) por cento ao ano, que será 
representada por 10%aa. Um outro exemplo: Se a aplicação do Capital de R$ 
100,00 (cem reais) produzir juro de R$ 15,00 (quinze reais) no prazo de 04 (quatro) 
8 
 
meses, diremos que a taxa percentual será de 15 (quinze) por cento ao 
quadrimestre, que será representado por 15%aq. 
 
• TAXA UNITÁRIA: é a quantia de Juro que será produzida pela aplicação de 01 
(uma) unidade de Capital durante uma unidade de Prazo (este resultado será 
expresso apenas pelo n.º obtido e da unidade do prazo), ou seja, é a taxa percentual 
dividida por 100 (cem), que é utilizada na solução dos problemas (aplicação das 
fórmulas). Por exemplo: Se a aplicação do Capital de R$ 1,00 (um real) produzir 
durante um ano de aplicação a quantia de R$ 0,10 (dez centavos), significa que 
termos uma taxa unitária de 0,10 ao ano, que será representada por 0,10aa. Um 
outro exemplo: Se a aplicação do Capital de R$ 1,00 (um real) produzir juro de R$ 
0,15 (quinze centavos) no prazo de 06 (seis) meses, diremos que a taxa unitária será 
de 0,15 (quinze centavos) ao semestre, que será representado por 0,15as. 
 
Ano civil e ano comercial 
 
• ANO CIVIL: é o ano do calendário, ou seja, o ano que todos nós vivemos. Possui: 
365 dias (ou 366 dias quando for bissexto); 12 meses de 28(9); 30 ou 31 dias. 
 
• ANO COMERCIAL: é o ano matemático (não possui calendário). Possui: 360 dias; 
12 meses de 30 dias; 06 bimestres de 60 dias; 04 trimestres de 90 dias; 03 
quadrimestres de 120 dias; 02 semestres de 180 dias. 
 
Classificação dos juros 
 
• JURO COMERCIAL OU ORDINÁRIO: é calculado levando-se em consideração o 
ano comercial. Como transformador de unidades os fatores do ano comercial: 1a = 
2s = 3q = 4t = 6b = 12m = 360d. 
 
• JURO PELA REGRA DOS BANQUEIROS: é calculado levando-se em 
consideração os dias transcorridos no calendário. Como fator de transformação de 
unidades os fatores do ano comercial: 1a = 2s = 3q = 4t = 6b = 12m = 360d. Utiliza-
se a Regra dos Banqueiros sempre que o prazo for apresentado fazendo-se 
referência ao ano do civil. 
 
• JURO EXATO: é calculado levando-se em consideração os dias do calendário e 
como transformador de unidades o fator 365 ou 366 no caso de ano bissexto. 
Utiliza-se a Regra do Juro Exato quando o prazo for apresentado fazendo-se 
referência ao ano do civil, e vier expresso (escrito) no contexto do problema que o 
cálculo utilizará esta regra. 
 
 
1.2. Juro simples 
 
Diz-se que um capital “C” está aplicado a juro simples quando este capital permanecer 
constante durante todo o período de aplicação, produzindo, assim, juros constantes, isto 
é, o juro do primeiro período é igual ao do segundo período, que, por sua vez, será igual 
ao juro do terceiro período e assim sucessivamente. 
 
9 
 
Vejamos um exemplo: 
 
 Capital (C) → R$ 1.000,00 
 Taxa (i) → 10% aa (juro simples) → 0,10 aa (taxa unitária) 
 Prazo (n) → 4 anos 
 
De acordo com esses parâmetros, a aplicação do juros simples pode ser representada 
graficamente do seguinte modo: 
 
 |------------------|------------------------|---------------------------|--------------------------| 
 0 1 2 3 4 
 
 
 1º ano 
 C = 1000,00 2º ano 
 i = 0,10 aa C = 1000,00 3º ano 
 J1 = 1000x0,10 i = 0,10 aa C = 1000,00 4º ano 
 J1 = 100,00 J2 = 1000x0,10 i = 0,10 aa C = 1000,00 
 J2 = 100,00 J3 = 1000x0,10 i = 0,10 aa 
 J3 = 100,00 J4 = 1000x0,10 
 J4 = 100,00 
 
Conforme demonstrado nesta representação gráfica, verificamos que o capital 
permanece constante durante todo o período de aplicação, resultando juros iguais. 
 
 J1 = J2 = J3 = J4 = 100,00 
 
Fórmula para o cálculo do juro simples 
 
Para calcular o juro simples utilizamos a seguinte fórmula: 
 
niCJ ..= 
 Em que: 
• J corresponde ao juro simples 
• C corresponde ao capital 
• i corresponde à taxa unitária de juro 
• n corresponde ao prazo 
 
Observe que na aplicação desta fórmula, o período da taxa deve coincidir com a unidade 
do prazo da aplicação, isto é, devem estar em unidades semelhantes: 
 i = taxa anual → n = prazo anual 
 i = taxa trimestral → n = prazo trimestral 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: A importância de R$ 3.800,00 foi aplicada, a juro simples, à taxa de 8% aa. 
Determine os juro produzidos no prazo de 4 meses. 
 
Solução: C = 3.800,00 i = 8% aa n = 4 meses = 4/12 ano 
 
10 
 
J = C. i .n 
 
J = 3.800 x 0,08 x 4/12 
 
J = 101,33 
 
Exemplo 2: Quanto deverá ser aplicado, a juro simples, à taxa de 1,2% am, para 
produzir R$ 450,00 de juro no prazo de 45 dias? 
 
Solução: J = 450,00 i = 1,2%am n = 45 dias = 45/30 meses 
 
30/45012,0
450
x
C = 
 
C = 25.000,00 
 
Exemplo 3: A importância de R$ 45.000,00 produziu R$ 4.785,00 de juro simples, no 
prazo de 3 meses. Qual a taxa de juro utilizada nesta aplicação? 
 
Solução: C = 45.000,00 J = 4.785,00 n = 3 meses 
 
 
345000
4785
x
i = 
 
 i = 0,03544 → Taxa unitária mensal 
 
 i = 3,544% ao mês, ou i = 42,533% aa 
 
Exemplo 4: Determine o prazo necessário para um capital de R$ 78.500,00 produzir R$ 
8.831,25 de juro, sabendo-se que a taxa de juro simples é de 30% aa. 
 
Solução: C = 78.500,00 J = 8.831,25 i = 30%aa ou 0,30 aa 
 
 
30,0500.78
25,8831
x
n = 
 
 n = 0,375 período anual 
 
 n = 0,375 x 360 → 135 dias 
 
 
 
 
Fórmula para o cálculo do montante: 
 
Montante é a soma entre o valor aplicado (capital) e os rendimentos produzidos (juro). 
 
JCM += 
 
11 
 
Substituindo “J” pela equação apresentada anteriormente, para o cálculo do juro 
simples, teremos: 
niCCM ..+= 
 
Que resulta na fórmula: 
 
).1.( niCM +=
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma dívida no valor de R$ 65.000,00 será paga no prazo de 5 meses, 
acrescida de juro simples de 15% as. Determine o valor da dívida da data do seu 
vencimento. 
 
Solução: C = 65.000,00 ∴∴∴∴n = 5 meses ∴∴∴∴i = 15%as � i = 2,5%am 
 
M = 65.000 x ( 1 + 0,025 x 5 ) 
 
M = 65.000 x (1 + 0,125 ) 
 
M = 65.000 x 1,125 
 
M = 73.125,00 
 
Exemplo 2: Uma dívida no valor de R$ 7.800,00 foi contraída em data de 15/out/2006, 
e será paga pelo valor de R$ 12.012,00 em data de 10/out/2007. Determine o valor da 
taxa bimestral de juro aplicada. 
 
Solução: C = 7.800,00 ∴∴∴∴ M = 12.012,00 
 
n = 360 dias = 12 meses (Regra dos Banqueiros) 
 
12012 = 7800 x (1 + i x 12) 
 
12012 = 7800 + 93600 
.
 i 
 
12012 – 7800 = 93600 
.
 i 
 
4212 = 93600 
.
 i 
 
4212/93600 = i 
 
i = 0,045 � i = 4,5% am � i = 9,00% ab. 
 
Exemplo 3: Certo capital foi aplicado a taxa de juro de 12%aqdurante 10 meses, 
produzindo ao final da aplicação um montante de R$ 4.914,00. Encontre o valor do 
capital inicialmente aplicado. 
 
Solução: M = 4.914,00 ∴∴∴∴i = 12%aq ∴∴∴∴n = 10 meses � 2,5 quadrimestres 
 
4914= C x (1 + 0,12 x 2,5) 
12 
 
 
4914 = C x (1 + 0,3) 
 
4914 = C x 1,3 
 
4914/1,3 = C 
 
C = 3.780,00 
 
Exemplo 4: Uma dívida no valor de R$ 4.800,00 será paga por R$ 7.440,00, ao se 
aplicar uma taxa de juro de 2,5% am. Determine o prazo de aplicação desta dívida. 
 
Solução: C = 4.800,00 ∴∴∴∴i = 2,5%am ∴∴∴∴M = 7.440,00 
 
7440 = 4800 x (1 + 0,025.n) 
 
7440 = 4800 + 120 
.
 n 
 
7440 – 4800 = 120 
.
 n 
 
2640 = 120 
.
 n 
 
2640/120 = n 
 
n = 22 meses � 01 ano e 10 meses. 
13 
 
 
Atividades 
 
1) O capital de R$ 2.500,00 foi investido a taxa de juro simples de 6% aa, durante 4 
meses. Quanto foi recebido de juro no término do prazo? R⇒⇒⇒⇒ R$ 50,00 
 
2) O capital de R$ 1.650,00 foi aplicado em período de 10 meses e recebidos R$ 55,00 
de juro. Quanto foi a taxa anual de juro simples utilizada? R⇒⇒⇒⇒ 4% aa. 
 
3) O capital de R$ 900,00 foi aplicado a uma taxa de juro simples de 5% aa, tendo sido 
obtidos juro de R$ 15,00. Qual foi o tempo da operação? R⇒⇒⇒⇒ 4 meses 
 
4) Um capital foi aplicado a uma taxa de juro simples de 6% aa, durante um período de 
8 meses, rendendo um juro de R$ 48,00. Qual foi o capital empregado? R⇒⇒⇒⇒ R$ 
1.200,00 
 
5) Uma pessoa aplica 2/5 de seu capital a taxa de juro de 6% am e o restante a taxa de 
juro de 5% am, recebendo um juro mensal de R$ 324,00. Qual o capital aplicado? 
R⇒⇒⇒⇒ R$ 6.000,00 
 
6) À taxa de juro simples de 10% at, em quanto tempo um capital triplica de valor? R 
⇒⇒⇒⇒ 5 anos 
 
7) Uma pessoa aplica 3/5 de seu capital em letras durante 180 dias à taxa de 5% am e 
recebe de juro simples R$ 96.000,00. Qual era o capital? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 533.333,00 
 
8) Uma pessoa empregou seu capital à taxa de juro simples de 5% aa. Retirou, no fim 
de 6 meses, capital e juro e os colocou à taxa de juro simples de 6% aa durante 4 
meses recebendo no fim desse prazo, o montante de R$ 20.910,00. Calcular o 
capital primitivo. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 20.000,00 
 
9) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses se eleva 
juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro, a 
mesma taxa, produz no fim de 6 meses, o montante de R$ 18.543,60. Calcular a taxa 
de juro simples utilizada e o valor do capital inicial. R ⇒⇒⇒⇒ i = 4% aa e C = R$ 
18.000,00 
 
10) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 625,00 de juro. Sabendo-se que a taxa de juro 
contratada foi de 30% aa e que a aplicação foi feita em 18/03/2008, qual a data de 
vencimento? R ⇒⇒⇒⇒ 15/08/08 
14 
 
 
CAPÍTULO – II 
 
2. DESCONTO SIMPLES 
 
Quando uma pessoa deve um certo valor em dinheiro e antecipa o pagamento dessa 
dívida, obtém um abatimento proporcional ao tempo da antecipação. A essa operação 
chamamos de desconto. Neste capítulo, estudaremos o DESCONTO SIMPLES 
RACIONAL e o DESCONTO SIMPLES COMERCIAL. Antes disso, vamos conhecer 
algumas definições importantes relacionadas a esse tipo de operação financeira. 
 
2.1. Definições preliminares 
 
A seguir apresentamos um conjunto de definições fundamentais no âmbito do tema 
DESCONTO SIMPLES: 
 
• DESCONTO: é a quantia que se reduz em uma dívida por se antecipar seu 
vencimento por um determinado PRAZO, ou de outra forma, é a diferença entre o 
VALOR DEVIDO e o VALOR PAGO por certa dívida. 
 A N 
 i 
 
 
 
|---------------------------------|--------------------------------------------| 
0 p v 
 
 
 
 d 
 
D = N - A 
 
• VALOR NOMINAL (N): é a importância que está indicada no Título, isto é, a 
quantia a ser paga (ou resgatada) em seu vencimento. 
 
• VALOR ATUAL (A): é o valor líquido recebido (ou pago) pelo Título ao se efetuar 
uma antecipação no seu vencimento. 
 
• PERÍODOS: 
 
o Data de emissão do título (0): é a data em que a dívida foi contraída; 
 
o Data de pagamento do título (p): é a data em que a dívida foi efetivamente paga; 
 
o Data de vencimento do título (v): é a data prevista para o vencimento da dívida. 
 
15 
 
• PRAZO (n): é o período de tempo decorrido entre a data do pagamento (p) e a data 
do vencimento (v). 
 
• TAXA DE JURO (i): é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do 
desconto recebido (Dr) e o valor pago (Ar) pela dívida, sua unidade será dada no 
prazo de antecipação da dívida. 
 
• TAXA DE DESCONTO (d): é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o 
valor do desconto recebido (Dc), e o valor devido (N) na data prevista para seu 
vencimento, sua unidade será data no prazo de antecipação da dívida. 
 
2.2. Desconto simples racional 
 
O DESCONTO SIMPLES RACIONAL, também chamado de por dentro ou 
matemático, é calculado aplicando-se uma taxa de juro sobre o valor atual da divida, 
considerando como prazo o número de períodos antecipados. 
 
 
Forma de obtenção do desconto racional 
 
Dizemos que o DESCONTO SIMPLES RACIONAL (Dr) corresponde ao juro 
produzido pelo VALOR LÍQUIDO ATUAL (Ar) da dívida, considerando-se como 
prazo o número de períodos antecipados e a aplicação de duma determinada TAXA DE 
JURO (i), ou seja: 
 
niAD rr ..= 
Se: 
 
rr AND −= 
 
Então: 
rr DNA −= 
 
O que, quando substituído na primeira equação mostrada, resulta em: 
 
ni
niNDr
.1
..
+
= 
 
Essa equação nos possibilita calcular o desconto racional, partindo-se do valor nominal 
da dívida. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Um título no valor de R$ 48.000,00 foi descontado à taxa de juro simples 
de 15% as, faltando 120 dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto: 
 
Solução: N = 48.000,00 i = 15% as = 30% aa 
 
n = 120 dias ou 120/360 = 0,333333 anos 
16 
 
 
ni
niNDr
.1
..
+
= 
 
33333,030,01
333333,030,000,48000
x
xxDr +
= 
 
0999999,1
4800
=rD 
 
Dr = 4.363,64 
 
Exemplo 2: Uma Nota Promissória no valor de R$ 13.000,00 foi descontada por R$ 
10.500,00, faltando 65 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de 
juro simples mensal. 
 
Solução: n = 65 dias ou 65/30 meses N = 13.000,00 
 
Ar = 10.500,00 � Dr = 2.500,00 
 
niAD rr ..=
 
 
30/6500,10500
00,2500
x
i =
 
 
i = 0,1098901 ou i = 10,98901 %am 
 
Exemplo 3: Uma duplicata recebeu um desconto de R$ 6.000,00 ao se antecipar seu 
vencimento em 45 dias. Determine o valor inicial da duplicata, e o valor pago pela 
dívida, se foi aplicada uma taxa de juro simples de 30% as. 
 
Solução: Dr = 6.000,00 i = 30%as ou 0,30 as 
n = 45 dias ou 45/180 = 0,25 semestres 
 
ni
niNDr
.1
..
+
=
 
 
25,030,01
25,030,06000
x
xNx
+
=
 
 
075,1
075,06000 Nx=
 
 
075,0
075,16000xN =
 
 
N = 86.000,00 
17 
 
 
rr DNA −=
 
 
Ar = 86000 – 6000 
 
Ar = 80.000,00 
 
Exemplo 4: Uma dívida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 
18/Agosto/2008 recebeu um desconto de R$ 6.000,00 ao se aplicar uma taxa de juro 
simples de 30% as. Determine a data de pagamento desta dívida. 
 
Solução: i = 30%as = 5% am N = 86.000,00 Dr = 6.000,00 � Ar = 
80.000,00 
 
niAD rr ..= 
 
xnx 05,0800006000 = 
 
n.40006000 = 
 
n = 1,5 meses ou 45 dias 
 
Data de Pagamento em: 04/Julho/2008 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
Data do Pagamento: 18/08/2008- 45 dias � 04/07/2008 
 
 g D. MY 
 
 18.082008 enter 45 CHS 
 
 g DATE 04.072008 
 
 
Forma de obtenção do valor atual no desconto racional: 
 
O valor atual no desconto racional é a diferença entre o valor da dívida e o valor pago 
pela mesma, após se ter efetuado uma antecipação em seu vencimento. 
 
Para calcular o valor atual no desconto racional, a fórmula é: 
 
rr DNA −= 
 
Como: 
ni
niNDr
.1
..
+
= 
Então: 
18 
 
 
 
 
 
O que resulta em: 
ni
NAr
.1+
= 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 
18/Agosto/2008 foi paga em data de 04/Julho/2008, encontre o valor pago por esta 
dívida se a taxa de juro simples aplicada foi de 30% as. 
 
Solução: N = 86.000,00 i = 30%as 
 
n = 45 dias (Venc.: 18/08/2008 – Pgto: 04/07/2008) 
 
ni
NAr
.1+
= 
 
25,030,01
86000
x
Ar +
= 
 
075,1
86000
=rA 
00,000.80=rA 
 
Exemplo 2: Uma dívida foi paga por R$ 45.000,00 tendo seu vencimento antecipado 
em 72 dias. Encontre o valor inicial da dívida se a taxa de juro simples aplicada foi se 
18%at. 
 
Solução: Ar = 45.000,00 n = 72 dias = 0,8 trimestres i = 18%at 
 
ni
NAr
.1+
= 
 
8,018,01
45000
x
N
+
= 
 
144,1
45000 N= 
 
N = 45000x1,144 � N = 51.480,00 
 
 
 
 
 
ni
niNNAr
.1
..
+
−=
19 
 
2.3. Desconto simples comercial 
 
O desconto simples comercial é calculado aplicando-se uma taxa de descontos sobre o 
valor nominal da divida, considerando-se como prazo o número de períodos 
antecipados. 
 
Forma de obtenção do desconto comercial: 
 
Dizemos que o DESCONTO COMERCIAL (Dc) corresponde ao juro produzido pelo 
VALOR NOMINAL (N) da dívida, considerando-se como PRAZO (n) o numero de 
períodos antecipados e a aplicação de uma determinada TAXA DE DESCONTO (d), ou 
seja: 
 
ndNDc ..=
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Um título no valor de R$ 6.500,00, emitido no dia 10/03/2007 e com seu 
vencimento para o dia 29/07/2007, foi descontado à taxa de desconto simples de 30% at, 
no dia 10/05/2007. Determine o valor do desconto recebido na operação. 
 
Solução: 
 data emissão data resgate data vencimento 
 10/03/2007 10/05/2007 29/07/2007 
 
 |--------------------------------------------|--------------------------------------| 
 
 
 n = 80 dias 
N = 6.500,00 d = 30%at t = 80 dias ou 80/90 trimestres 
 
Dc = N.d.n 
 
Dc = 6500 x 0,30 x 80/90 
 
Dc = 1.733,33 
 
Usando HP – 12C 
 
 Número de dias entre 10/05/2007 a 29/07/2007: 
 
 f clear REG 
 
 g D.MY 
 
 10.052007 enter 29.072007 
 
 g � DYS 80 
 
 
20 
 
Exemplo 2: Uma Nota Promissória recebeu um desconto de R$ 1.800,00 ao ser 
descontada 90 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto simples de 40% aa. 
Determine o valor da Nota Promissória. 
 
Solução: DC = 1.800,00 d = 40%aa t = 90 dias ou 90/360 anos 
 
Dc = N.d.n 
 
1800
 
= N x 0,40 x 90/360 
 
1800 = N x 0,1 
 
N = 18.000,00 
 
Exemplo 3: Uma divida de R$ 7.200,00 foi descontada por R$ 5.126,40 no dia 
14/05/2008. Utilizando a taxa de desconto simples de 12%am, determine a data marcada 
para o vencimento. 
 
Solução: N = 7.200,00 Ac = 5.126,40 d = 12% am � Dc = 2.073,60 
 
Dc = N.d.n 
 
2073,60 = 7200 x 0,12 x n 
 
2073,60 = 864 x n 
 
n = 2,40 meses, ou seja 2,40 x 30 = 72 dias 
 
Data do Vencimento: 14/05/2008 + 72 dias → 25/07/2008 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
 g D. MY 
 
 14.052008 enter 72 
 
 g DATE 25.072008 
 
 
 
Forma de obtenção do valor atual no desconto comercial: 
 
O valor atual no desconto comercial é a diferença entre o valor da dívida e o valor pago 
pela mesma, após se ter efetuado uma antecipação em seu vencimento. 
 
Para calcular o valor atual no desconto comercial a formula é: 
 
 
CC DNA −=
 
Como: 
21 
 
 
ndNDC ..=
 
Então: 
ndNNAC ..−=
 
O que resulta em: 
).1.( ndNAC −=
 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 48.000,00 com vencimento previsto para 
25/Agosto/2008 foi paga em data de 11/Julho/2008, encontre o valor pago por esta 
dívida se a taxa de desconto simples aplicada foi de 30% as. 
 
Solução: N = 48.000,00 d = 30%as n = 45 dias (Venc.: 25/08/2008 – Pgto: 11/07/2008) 
 
).1.( ndNAC −=
 
 
)180/4530,01(48000 xxAC −= 
 
925,048000xAC = 
 
00,400.44=CA 
 
Exemplo 2: Uma dívida foi paga por R$ 45.000,00 tendo seu vencimento antecipado 
em 72 dias. Encontre o valor inicial da dívida se a taxa de desconto aplicada foi se 
18%at. 
 
Solução: Ar = 45.000,00 n = 72 dias = 0,8 trimestres d = 18%at 
 
).1.( ndNAC −=
 
 
)8,018,01(45000 xNx −=
 
 
856,045000 Nx=
 
 
N = 45000/0,856 � N = 52.570,09 
 
22 
 
Atividades 
 
1) Um título de R$ 10.000,00 com vencimento em 23/09/2007 foi resgatado 
em 15/06/2007. Qual foi o desconto recebido se a taxa de juro contratada foi 
de 27% aa? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 697,67 
 
2) O desconto de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto 
simples de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o 
seu valor nominal fosse R$ 20.000,00? R ⇒⇒⇒⇒ 45 dias 
 
3) Uma nota promissória no valor de R$ 52.400,00 foi descontada à taxa de 
juro simples de 5 % at, faltando 4 meses e 20 dias para o seu vencimento. 
Qual o valor do desconto e o valor recebido pela nota promissória? R ⇒⇒⇒⇒ 
Desconto = R$ 3.781,44; Valor atual = R$ 48.618,56. 
 
4) Uma nota promissória foi emitida no dia 20/02/07 com seu vencimento 
marcado para o prazo de 5 meses (20/07/07 – ano comercial). No dia 
12/05/07 foi descontada por R$ 28.300,00. Qual o valor do desconto, 
sabendo-se que a taxa de desconto simples utilizada era de 10% aq? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 
1.726,53 
 
5) Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, 
faltando 95 dias para o seu vencimento. Qual a taxa de juro simples 
semestral utilizada? R ⇒⇒⇒⇒ i = 20,31% as 
 
6) Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10/2008, à 
taxa de desconto simples de 15% as, sabendo-se que o desconto foi de R$ 
2.930,00. Qual a data do vencimento da nota promissória e qual o seu valor? 
R ⇒⇒⇒⇒ 13/02/2009 e R$ 27.930,00 
 
7) Um título no valor de R$ 12.415,00 emitido em 10/08/2008, com seu 
vencimento marcado para o dia 21/12/2008, foi descontado em 12/11/2008, à 
taxa de desconto simples de 12% am. Determine o valor recebido pelo título 
na data do desconto? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 10.478,26 
 
8) Uma nota promissória no valor de R$ 40.000,00 foi descontada faltando 129 
dias para o seu vencimento, à taxa de desconto simples de 10% ao bimestre. 
Determine o valor recebido pela nota na data do desconto. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 
31.400,00 
 
9) Um título foi descontado com 40 dias de antecipação à taxa de desconto de 
5% ao mês, e na mesma data, o valor atual foi aplicado à taxa de juro 
simples de 8% ao mês durante 90 dias. Sabendo-se que o montante dessa 
aplicação foi de R$ 173.600,00, determine o valor nominal do título na 
operação de descontos. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 150.000,00 
 
10) Uma Nota Promissória de R$ 29.300,00 teve seu vencimento antecipadoem 
321 dias, recebendo uma taxa de descontos de 16%aq. O valor atual recebido 
por este título foi aplicado a taxa de juro de 60%aa, ficando aplicado por 426 
dias. Determine o montante final resgatado. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 28.658,92 
23 
 
CAPÍTULO – III 
 
3. TAXAS E DESCONTOS PROPORCIONAIS, 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
De modo geral, duas grandezas podem ser ditas proporcionais quando uma pode ser 
escrita em função da outra, ou seja, quando uma das grandezas é multiplica ou dividida 
por um certo fator e gera a outra. Por outro lado, duas grandezas são consideradas 
equivalentes quando apresentam o mesmo valor em determinado instante ou período. 
Em matemática financeira, como veremos neste capítulo, a relação de proporcionalidade 
é verificada entre as taxas e os descontos, e a relação de equivalência é verificada entre 
diferentes capitais. 
 
3.1. Taxas proporcionais 
 
A proporcionalidade entre a taxa de juro simples e a taxa de desconto simples, ocorre 
sempre que a redução de um Título a seu Valor Atual, tanto pelo método racional 
quanto pelo método comercial produzem o mesmo desconto (descontos iguais), neste 
caso, diz-se que as duas taxas (juro e desconto) são proporcionais ou equivalentes. 
 
Ressaltamos que são condições indispensáveis para a existência da proporcionalidade 
entre a taxa de juro e a taxa de desconto, que se tenha a mesma dívida ( N ), a mesma 
antecipação (n) e que os descontos sejam iguais ( DC = Dr ), nestas condições teremos: 
 
 
 Ar = Ac 
 
 Como: 
 
ni
NAr
.1+
=
 e 
).1.( ndNAC −=
 
 
 
Teremos: 
).1.(
.1
ndN
ni
N
−=
+
 
 
Simplificando-se N, teremos: 
 
).1(
.1
1
nd
ni
−=
+
 
 
Donde se conclui que: 
 
 
nd
di
.1−
=
 
24 
 
Ou que 
 
 
ni
id
.1+
=
 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma Nota Promissória no valor de R$ 5.000,00 foi descontada à taxa de 
desconto simples de 15%am, faltando 48 dias para o seu vencimento. Determine o valor 
da taxa de juro simples mensal equivalente. 
 
Solução: N = 5.000,00 d = 15%am n = 48 dias ou 48/30 meses 
 
30/4815,01
15,0
x
i
−
= 
 
24,01
15,0
−
=i 
 
76,0
15,0
=i � ami 197368,0= 
 
 
ami %7368,19=
 
 
Comprovação da equivalência: 
 
O Valor Atual pelo método comercial resulta em: 
 
Ac = 5000 x (1 - 0,15 x 48/30 ) 
 
Ac = 3.800,00 
 
O Valor Atual pelo método racional resulta em: 
 
30/48197368,01
5000
x
Ar
+
= 
 
3157888,1
5000
=rA 
 
Ar = 3.800,00 
 
Logo temos que: 
 
 Ac = Ar 
 
25 
 
Exemplo 2: Uma instituição financeira adota uma taxa de desconto simples de 18% am, 
numa operação de desconto com 60 dias de prazo. Determine o custo desta operação 
para o cliente caso fosse tomado como empréstimo. 
 
Solução: d = 18%am n = 60 dias ou 2 meses i = ? 
 
30/6018,01
18,0
x
i
−
= 
36,01
18,0
−
=i 
 
64,0
18,0
=i � i = 0,28125 am 
 
i = 28,125%am 
 
 
Exemplo 3: Determine a taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juro simples 
de 23%am, no prazo de 80 dias. 
 
Solução: i = 23%am n = 80 dias ou 80/30 meses d = ? 
 
30/8023,01
23,0
x
d
+
= 
 
6133333,01
23,0
+
=d 
 
6133333,1
23,0
=d 
 
→= amd 1425619,0 14,25619%am 
 
 
3.2. Descontos proporcionais 
 
A proporcionalidade entre o desconto simples comercial e o desconto simples racional, 
ocorre sempre que a redução de um Título a seu Valor Atual, tanto pelo método racional 
quanto pelo método comercial produzem como resultado a mesma taxa (taxas iguais � 
i = d ), neste caso, diz-se que os descontos (comercial e racional) são proporcionais ou 
equivalentes. 
 
Ressalte-se que são condições indispensáveis para a existência da proporcionalidade 
entre o desconto comercial e o desconto racional, que se tenha a mesma dívida ( N ), a 
mesma antecipação ( n ) e que as taxas sejam iguais ( i = d ), nestas condições teremos: 
 
ni
niNDr
.1
..
+
= e que ndNDC ..= 
26 
 
 
Como, pelas hipóteses iniciais, temos que: 
 
N . i . n = N . d . n 
 
Então podemos afirmar que: 
 
ni
D
D cr
.1+
=
 
Ou que: 
 
 
).1.( ndDD rC +=
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 foi descontada à taxa de 
15%am, faltando 48 dias para o seu vencimento. Determine o valor do Desconto 
Comercial e do Desconto Racional que se receberia. 
 
Solução: N = 15.000,00 Taxa = 15%am n = 48 dias ou 48/30 meses 
 
DC = N . d . n 
 
DC = 15000 x 0,15 x 48/30 
 
DC = 3.600,00 
 
ni
niNDr
.1
..
+
= 
 
30/4815,01
30/4815,015000
x
xxDr
+
= 
 
24,1
3600
=rD 
 
 
23,903.2=rD
 
 
Comprovação da equivalência: 
 
Note-se que o Desconto Comercial é 1,24 vezes maior que o Desconto Racional 
 
Ou seja: 
DC = Dr . (1 + d . n) 
 
DC = 2903,23 x (1 + 0,15 x 48/30) 
 
DC = 2903,23 x 1,24 
 
DC = 3.600,00 
27 
 
 
Ou que, o Desconto Racional é 1,24 vezes menor que o Desconto Comercial: 
 
ni
D
D Cr
.1+
= 
 
30/4815,01
3600
x
Dr
+
= 
 
24,1
3600
=rD 
 
Dr = 2.903,23 
 
Exemplo 2: na instituição financeira ZYX, uma pessoa desconta um título de R$ 
12.000,00 em 12/07/2008, com vencimento previsto 19/10/2008. Para efetuar o 
pagamento ao titular da divida, a ZYX adota uma taxa de juro simples de 18% as. Na 
mesma data (12/7/2008) o devedor procura o credor querendo pagar antecipadamente 
sua dívida, que lhe informa que o título havia sido trocado com a ZYX. Ao procurar 
essa instituição, é informado ao devedor que será aplicada a mesma taxa de desconto 
para que não sofra nenhum prejuízo. Perguntamos: a instituição financeira ZYX obteve 
algum lucro nesta operação? 
 
Solução: N = 12.000,00 Taxa = 18%as 
 
n = 99 dias (Venc.: 19/10/2008 – Pgto.: 12/07/2008) 
 
Operação realizada com o Credor: 
ni
niNDr
.1
..
+
=
 
 
180/9918,01
180/9918,012000
x
xxDr
+
=
 
 
099,1
1188
=rD
 
 
Dr = 1.080,98 
 
Operação realizada com o Devedor: 
 
ndNDC ..=
 
 
180/9918,012000 xxDC =
 
 
DC = 1.188,00 
 
28 
 
Lucro da Instituição Financeira ZYX: 
 
Lucro na Operação = DC – Dr 
 
Lucro na Operação = 1188 – 1.080,98 
 
Lucro na Operação = 107,02 
 
Exemplo 3: Em uma divida o Desconto Comercial é R$ 250,00 maior que o Desconto 
Racional. Encontre o valor nominal desta divida se a taxa aplicada foi de 5%am, e a 
antecipação em seu vencimento foi de 84 dias. 
 
Solução: DC = DR + 250,00 Taxa = 5%am n = 84 dias ou 84/30 meses = 2,8 
meses 
 
).1.( ndDD rC +=
 
ndNDC ..=
 
 
Substituindo os dados no Sistema formado por estas duas equações, teremos: 
 
 
)8,205,01.(250 xDD rr +=+
 
8,205,0250 xNxDr =+
 
 
Isolando Dr na segunda equação, teremos: 
25014,0 −= NxDr
 
Substituindo o valor encontrado para Dr na primeira equação, teremos 
)8,205,01()25014,0(25025014,0 xxxNxN +−=+−
 
O que resulta, depois de efetuadas as operações aritméticas em: 
14,1)25014,0(14,0 xxNxN −=
 
Eliminando-se os parênteses, teremos: 
2851596,014,0 −= xNxN
 
Isolando-se o Valor Nominal (N), teremos: 
NxN 14,01596,0285 −=
 
xN0196,0285 =
 
0196,0
285
=N
 
82,540.14=N
 
Logo o Valor da Dívida era de R$ 14.540,82 
 
 
 
29 
 
3.3. Equivalência de capitais 
 
Dizemos que dois ou mais capitais com vencimento futuro são equivalentes em 
determinada data, se nesta data seus valores atuais forem iguais. 
 
Aplica-sea EQUIVALÊCIA DE CAPITAIS quando temos a necessidade de alterar a 
forma de pagamento de certa dívida, ou desejamos verificar se uma proposta de 
pagamento com datas diferentes é viável e se equivale a dívida já existente. Para que se 
possa operacionalizar esta idéia, devemos escolher uma data, que é chamada de data 
focal, e então, encontrar os valores atuais de cada uma das parcelas envolvidas na 
operação, formando-se a denominada equação de equivalência de capitais, onde a soma 
do valor devido deve ser igual à soma do valor que se passará a dever. 
 
 N1 N2 N3 N4 
 
 
|--------------------------|---------------|------------------|---------------------| 
0 n1 n2 n3 n4 
 
 d % 
 Devido = Nova Dívida 
 AC = AC 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 12.000,00 com vencimento previsto 
para 96 dias, desejando substituir esta dívida por outras duas dívidas de pagamentos 
iguais e com vencimento previsto para 120 e 150 dias, propõe ao credor a substituição 
da divida atual pelas duas novas dividas. O credor afirma que concorda com o 
parcelamento se na operação for aplicada uma taxa de desconto de 12%as. Encontre os 
novos valores a serem pagos por esta pessoa ao credor. 
 
Solução: Dívida = 12.000 N1 = N2 d = 12%as ou 2%am 
 
 12000 N1 N2 
 
 
|----------------------------|---------------|--------------------| 
 0 96
 
 120 150 dias 
 
 d = 2 %am 
 Devido = Nova Dívida 
 AC96 = AC120 + AC150 
 )502,01()402,01()2,302,01(12000 21 xxNxxNxx −+−=− 
 )1,01()08,01()064,01(12000 −+−=− NxNxx 
 9,092,0936,012000 NxNxx += 
 xN82,111232 = 
30 
 
 43,171.6=N 
 
Desta forma os dois pagamentos serão de R$ 6.172,43 sendo o primeiro em 120 dias e o 
segundo em 150 dias da data da proposta de substituição da dívida 
 
Exemplo 2: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 18.000,00 com vencimento previsto 
para 84 dias, e outra dívida de R$ 15.000,00 com vencimento para 180 dias, desejando 
substituir estas dívidas por outra com vencimento para 150 dias, propõe ao credor a 
substituição das dividas atuais pela nova dívida. O credor afirma que concorda com a 
substituição se na operação for aplicada uma taxa de desconto de 18%aa. Encontre o 
valor a ser pago por esta pessoa. 
 
Solução: Dívida1 = 18.000,00 n1 = 84 dias 
 
 Dívida2 = 15.000,00 n2 = 180 dias d = 18%aa 
 
 Pagamento = N n = 150 dias 
 
 18000 N 15000 
 
 
 
|----------------------------|---------------|--------------------| 
 0 84
 
 150 180 dias 
 
 d = 1,5 %am 
 Devido = Nova Dívida 
 AC84 + AC180 = AC150 
 )5015,01()6015,01(15000)8,2015,01(18000 xNxxxxx −=−+− 
 )075,01()09,01(15000)042,01(18000 −=−+− Nxxx 
 925,091,015000958,018000 Nxxx =+ 
 925,01365017244 Nx=+ 
 025,030894 Nx= 
 92,398.33=N 
 
Logo o valor a ser pago pelo Devedor em 150 dias será de R$ 33.398,92 
 
Exemplo 3: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 12.000,00 com vencimento previsto 
para 96 dias, e outra dívida de R$ 15.000,00 com vencimento para 150 dias, desejando 
substituir estas dívidas por 03 (três) pagamentos iguais e com vencimento para 60; 120 e 
180 dias, propõe ao credor a substituição das dividas atuais pelas novas dívidas. O 
credor afirma que concorda com a substituição se na operação for aplicada uma taxa de 
desconto de 12%aa. Encontre o valor a ser pago em cada parcela por esta pessoa. 
 
Solução: Dívida1 = 12.000,00 n1 = 96 dias 
 Dívida2 = 15.000,00 n2 = 150 dias d = 12%aa 
 Pgto1 = N n1 = 60 dias 
31 
 
 Pgto2 = N n2 = 120 dias 
 Pgto3 = N n3 = 180 dias 
 
 
 N 12000 N 15000 N
 
 
 
|--------------|----------|-------------|--------------|------------------| 
 0 60 96 120 150 180 dias 
 
 d = 1,0 %am 
 Devido = Nova Dívida 
 AC96 + AC150 = AC60 + AC120 + AC180 
)601,01()401,01()201,01()501,01(15000)2,301,01(12000 xNxxNxxNxxxxx −+−+−=−+−
)06,01()04,01()02,01()05,01(15000)032,01(12000 −+−+−=−+− NxNxNxxx
94,096,098,095,015000968,012000 NxNxNxxx ++=+ 
88,21425011616 Nx=+ 
88,225866 Nx= 
N=
88,2
25866
 
N = 8981,25 
 
Desta forma os 03 (três) pagamentos serão de R$ 8.981,25 sendo o primeiro em 60 dias; 
o segundo em 120 dias e o terceiro em 180 dias da data da proposta de substituição da 
dívida. 
 
32 
 
Atividades 
 
1) Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto 
comercial é de R$ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor 
nominal do título, se a taxa empregada nos descontos for de 24% ao ano? R 
⇒⇒⇒⇒ 15.400,00 
 
2) Qual a taxa de juro mensal que equivale à taxa de descontos de 20% ao mês? 
R ⇒⇒⇒⇒ 25% ao mês 
 
3) Determine a taxa de juro simples, equivalente à taxa de desconto simples de 
15% ao mês num prazo de 82 dias. R ⇒⇒⇒⇒ i = 25,42% ao mês 
 
4) Um título no valor de R$ 12.415,00 emitido em 10/08/2007, com seu 
vencimento marcado para o dia 20/12/2007, foi descontado em 14/11/2007, à 
taxa de desconto simples de 12% ao mês. Determine o valor recebido pelo 
título na data do desconto e a taxa de juro simples equivalente? R ⇒⇒⇒⇒ 
10.627,24 e i = 14,0187% ao mês 
 
5) Qual o valor da taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juro simples 
de 30% ao semestre, num período de 90 dias. R ⇒⇒⇒⇒ d = 26,08% ao semestre 
 
6) O valor nominal de um título cujos descontos comercial e racional são, 
respectivamente, R$ 180.000,00 e R$ 120.000,00 é? R ⇒⇒⇒⇒ 360.000,00 
 
7) O desconto de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto 
simples de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o 
seu valor nominal fosse R$ 20.000,00? R ⇒⇒⇒⇒ 45 dias 
 
8) Uma nota promissória de R$ 30.000,00 vencível em 45 dias será substituída 
por outra nota promissória vencível em 24 dias. Determine o valor da nova 
nota promissória, sabendo-se que a taxa de desconto simples é de 30% aa. R 
⇒⇒⇒⇒ N = R$ 29.464,29 
 
9) Uma dívida representada por duas notas promissórias de R$ 40.000,00 e R$ 
90.000,00, vencíveis, respectivamente em 60 e 90 dias, serão substituídas 
por dois títulos de mesmo valor final, vencíveis em 120 e 180 dias. 
Determine o valor nominal dos novos títulos, sabendo-se que a taxa de 
desconto simples é de 1,5% am. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 67.432,43 
 
10) Um título no valor de R$ 16.000,00, vencível no prazo de 36 dias, será 
substituído por outro título no valor de R$ 16.994,36. Utilizando uma taxa de 
desconto de 30% ao semestre, determine o prazo para o vencimento do novo 
título. R ⇒⇒⇒⇒ n = 69 dias 
 
 
33 
 
 
 
 
CAPÍTULO – IV 
 
4.CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
No estudo da Capitalização Composta se impõe regras mais severas ao estudante, para 
que se obtenha os resultados desejados, por isto destacamos que a partir deste Capítulo 
deste Livro, é imprescindível que a unidade do prazo de aplicação (n) deva seja 
semelhante a unidade de capitalização da taxa de juro, isto é: 
 
• Se a taxa (i) for capitalizada anualmente, o prazo de aplicação (n), necessariamente, 
terá que ser medido em anos. Nesse caso chamamos de capitalização anual. 
 
• Se a taxa (i) for capitalizada mensalmente, o prazo de aplicação (n) 
necessariamente terá que ser medido em meses. Nesse caso chamamos de 
capitalização subanual. 
 
• Se a taxa (i) for capitalizada trimestralmente, o prazo de aplicação (n) 
necessariamente terá que ser medido em trimestres. Nesse caso a capitalização é 
chamada de capitalização subanual. 
 
Os procedimentos de cálculos são iguais em ambas as capitalizações (ANUAL E 
SUBANUAL), desta forma, não faremos a demonstração para cada uma delas, mas, sim 
de forma genérica. 
 
No entanto é importante lembrar que: 
 
• Quando a unidade da taxa for igual a unidade da capitalização, chamamos de taxa 
efetiva. 
 
• Quando a unidade da taxa não coincidir com a unidade da capitalização, chamamos 
de taxa nominal. 
 
Exemplificando: 
 
80% ao ano, com capitalização anual (%aa/a) → taxa efetiva 
 
42% ao ano, com capitalização mensal (%aa/m) → taxa nominal 
 
3,5% ao mês, com capitalização mensal (%am/m) → taxa efetiva 
 
 
 
 
 
34 
 
4.1. Juro composto 
 
Consideramos que um capital (PV) está aplicado a juros compostos, após o primeiro 
período de aplicação, o juro do primeiro período ( J1 ) é acrescido ao capital primitivo 
(PV), formando um novo capital (FV1), que será aplicado e, por sua vez, produzirá um 
novo juro ( J2 ) no segundo período. Este juro ( J2 ) será acrescido ao capital (FV1) 
formando novo capital (FV2), que será aplicado, e assim sucessivamente. 
 
Convenção exponencial 
 
Dizemos que na operação de jur composto, os juros são capitalizados, ou ocorre o que 
conhecemos como juros sobre juros, conforme demonstramos na rpresentação gráfica a 
seguir: 
 
Exemplificando: 
 
 PV = capital, capital inicial, preço, valor atual 
 i = taxa efetiva de juro 
 n = prazo ou número de período da aplicação 
 FV = montante, total gerado, valor final, total pago 
 
PV FV1 FV2 FV3 
 
 
 
|---------------------|---------------------|----------------------|-----------------------| 
 0 1 2 3 4 
 
 
 
 
 J1 = PV. i 
 FV1 = PV + J1 
 FV1 = PV + PV. i 
 FV1 = PV.(1 + i) 
 J2 = FV1 .i 
 FV2 = FV1 + J2 
 FV2 = FV1 + FV1. i 
 FV2 = FV1.(1 + i) 
 J3= FV2 . i 
 FV3 = FV2 + J3 
 FV3 = FV2 + FV2 . i 
 FV3 = FV2.(1 + i) 
 
 J4 = FV3 . i 
 FV4 = FV3 + J4 
 FV4 = FV3 + FV3. i 
 FV4 = FV3.(1 + i) 
 
• Cálculo do montante 
35 
 
 
Pelo desenvolvimento apresentado anteriormente, deduzimos que: 
)1.(1 iFVFV nn += −
 
Ou, substituindo o resultado de FV1 em FV2 e assim sucessivamente, teremos: 
FV1 = PV.(1 + i) 
FV2 = FV1.(1 + i) → FV2 = PV.(1 + i)2 
FV3 = FV2.(1 + i) → FV3 = PV.(1 + i)3 
FV4 = FV3.(1 + i) → FV4 = PV.(1 + i)4 
................................................................. 
n
n iPVFV )1.( +=
 
O que, de forma simplificada, pode ser escrito por: 
niPVFV )1.( +=
 
Isto é, o montante (FV), num período (n) qualquer, é igual ao capital (PV), devidamente 
capitalizado pela taxa efetiva de juro ao longo do prazo de aplicação. 
 
A expressão ni)1( + é denominada de fator de capitalização. 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Um capital no valor de R$ 14.000,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 
6% aa/a (ao ano, com capitalização anual). Determine o montante avaliando-o no prazo 
de 11 anos. 
 
Solução: PV = 14.000,00 ∴∴∴∴ i = 6% aa/a ∴∴∴∴ n = 11 anos ∴∴∴∴ FV = ? 
 
FV = PV.(1 + i) n 
FV = 14000.(1 + 0,06)11 
FV = 14000 x 1,898298 
FV = 26.576,18 
 
Montante = R$ 26.576,18 
 
Usando a HP - 12C 
 
f clear Fin Visor 
 
14.000,00 CHS PV - 14.000,00 
 
11 N 11 
 
6 i 6 
 
FV 26.576,18 
 
Exemplo 2: A importância de R$ 7.500,00 foi emprestada por um período de 3 anos. 
Sabendo-se que foi estabelecido juro composto na base de 9% at/t (ao trimestre, 
36 
 
capitalizados trimestralmente), determine o valor a pagar pelo empréstimo no 
vencimento. 
 
Solução: PV = 7.500,00 ∴∴∴∴ i = 9% at/t ∴∴∴∴ n = 12 trimestres ∴∴∴∴ FV = ? 
 
 FV = PV.(1+ i)n 
 FV = 7500 . (1+0,09 ) 12 
 FV = 7500 x 1,0912 
 FV = 7500 x 2,812665 
 FV = 21.094,99 
 
Montante = R$ 21.094,99 
 
Na calculadora financeira poderemos fazer da seguinte forma: 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
f clear Fin Visor 
 
7.500,00 CHS PV - 7.500,00 
 
12 N 12 
 
9 i 9 
 
FV 21.094,99 
 
 
• Cálculo do capital 
 
Partindo-se da fórmula do montante: 
 
 
niPVFV )1.( +=
 
e isolando o capital, teremos 
 
ni
FVPV )1( +=
 
Ou de outra forma 
 
niFVPV −+= )1.(
 
Onde a expressão ni −+ )1( é denominada de fator de descapitalização 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Uma dívida foi paga no final de 3 anos com R$ 5.800,00. Se a taxa de juro 
composto aplicada foi de 48% aa/m (ao ano, com capitalização mensal), determine o 
valor da dívida na data em que foi contraída. 
 
Solução: FV = 5.800,00 ∴∴∴∴ i = 4% am/m ∴∴∴∴ n = 36 meses ∴∴∴∴ PV = ? 
 
37 
 
 
niPVFV )1.( +=
 
36)04,01.(5800 += PV 
103932,4.5800 PV= 
PV=
103932,4
5800
 
28,1413=PV 
Ou 
 
 
niFVPV −+= )1.(
 
36)04,01.(5800 −+=PV 
243668,05800xPV = 
28,1413=PV 
 
Capital = R$ 1.413,28 
 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
f clear Fin Visor 
 
5.800,00 CHS FV - 5.800,00 
 
36 N 36 
 
4 i 4 
 
PV + 1.413,28 
 
 
Exemplo 2: Uma pessoa aplica determinado capital durante 2a 3m 9d, a taxa de juro 
de 18% as/b (ao semestre, com capitalização bimestral), resgatando ao final deste 
prazo um montante de R$ 7.850,00. Determine o valor do capital aplicado por esta 
pessoa. 
 
Solução: FV = 7.850,00∴∴∴∴i = 6% ab/b ∴∴∴∴n = 2a 3m 9d = 819dias = 13,65 bimestres ∴∴∴∴PV=? 
 
niFVPV −+= )1.(
 
PV = 7850.(1+ 0,06) – 13,65 
PV = 7850 x 0,451413912 
PV = 3.543,60 
 
Capital = R$ 3.543,60 
 
 
38 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
f clear Fin Visor 
 
7.850,00 CHS FV - 7.850,00 
 
13,65 N 13,65 
 
6 i 6 
 
PV 3.543,60 
 
 
 
• Cálculo do prazo 
 
Tomando-se a fórmula do montante: 
 
 
niPVFV )1.( +=
 
E aplicando-se nossos conhecimentos matemáticos para solucionar equações 
exponenciais de bases distintas, concluímos que:)1log(
)/log(
i
PVFV
n
+
=
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Carolina, tendo encontrado quem lhe oferecesse R$ 10.000,00 emprestado, 
propôs o pagamento da dívida em uma única parcela no valor de R$ 16.105,10. Se a 
taxa de juro compostos cobrada foi de 10% am/m (ao mês, capitalizada mensalmente), 
determine o prazo para a liquidação da dívida. 
Solução: PV = 10.000,00 ∴∴∴∴ i = 10% am/m ∴∴∴∴ FV = 16.105,10 ∴∴∴∴ n = ? 
)1log(
)/log(
i
PVFV
n
+
=
 
)10,01log(
)10000/10,16105log(
+
=n
 
)10,1log(
)610510,1log(
=n
 
041392685,0
206963425,0
=n
 
5=n
 
Prazo = 5 meses 
 
39 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
1) Na HP-12C, por uma questão de sistema 
interno da calculadora, não é possível 
calcular o prazo nas operações de Juro 
Composto. 
 
2) Na HP-12C, o cálculo do logaritmo é 
obtido da seguinte forma: valor g LN . 
 
3) Na HP-12C, não possuímos os logaritmos 
decimais por isto utilizaremos os 
logaritmos neperianos, que no exemplo 
acima produziriam os seguintes valores: 
LN(1,61051) = 0,476550899 e 
LN(1,10)0,0953101798 que quando 
divididos produzem o mesmo resultado 
final igual a 5 unidades do prazo. 
 
 
Exemplo 2: Uma pessoa aplica a importância de R$ 3.850,00 a taxa de juro compostos 
de 6%at/t. Se esta pessoa recebeu em 18/Ago/2008 juro de R$ 2.215,22 em que data foi 
feita esta aplicação? 
 
Solução: PV = 3.850,00 ∴∴∴∴ i = 6% at/t ∴∴∴∴ J = 2.215,22 � FV = 6.065,22 
n = ? (Data Aplicação) 
 
)1log(
)/log(
i
PVFV
n
+
=
 
 
)06,01log(
)3850/22,6065log(
+
=n 
)06,1log(
)57538181,1log(
=n 
025305865,0
197385828,0
=n 
80000315,7=n trimestres � 702 dias 
 
Data de Aplicação = Data de Resgate – Prazo de Aplicação 
 
Data de Aplicação = 18/Ago/2008 – 702 dias = 16/Set/2006 
 
 
• Cálculo da taxa 
 
Partindo-se da fórmula do montante, e isolando-se a taxa (i), teremos: 
 
40 
 
niPVFV )1.( +=
 
 
ni
PV
FV )1( += 
 
i
PV
FV
n += 1 
 
→−= 1n
PV
FVi a taxa assim obtida é unitária 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: Um equipamento está à venda por R$ 15.000,00 à vista. Existe uma 
proposta de compra mediante um único pagamento de R$ 41.160,00 no prazo de 9 
meses. Determine a taxa trimestral capitalizada trimestralmente utilizada. 
 
Solução: PV = 15.000,00 ∴∴∴∴ n = 3m ∴∴∴∴ FV = 41.160,00 ∴∴∴∴ i = ? (%at/t) 
 
1−= n
PV
FVi
 
 
1
15000
41160
3
−=i 
 
1744,23 −=i 
 
140,1 −=i 
 
i = 0,40 taxa efetiva unitária 
 
Taxa = 40% at/t 
 
 
 
Usando a HP - 12C 
f clear Fin Visor 
 
15.000,00 CHS PV - 15.000,00 
 
41.160,00 FV 41.160,00 
 
3 N 3 
 
i 40 
 
 
41 
 
Exemplo 2: Uma mercadoria está à venda à vista por R$ 8.960,00. Uma pessoa 
interessada na aquisição desta mercadoria faz a seguinte proposta a seu proprietário: 
Pagar em 45 dias a importância de R$ 9.366,21. Determine a taxa mensal com 
capitalização mensal que será aplicada. 
 
Solução: PV = 8.960,00 n = 45 dias = 1,5 meses 
 FV = 9.366,21 i = ? (%am/m) 
 
1−= n
PV
FVi
 
 
1
00,8960
21,9366
5,1
−=i 
 
104533594,15,1 −=i 
 
1030000,1 −=i 
 
i = 0,03 taxa efetiva unitária 
 
Taxa = 3% am/m 
 
 
Convenção linear 
 
Na convenção linear utilizamos juro composto somente no período inteiro e juro 
simples no período fracionário. Considere uma aplicação com capitalização anual, 
durante um prazo de 3 anos e 5 meses 
 
 PV 
 
 
 
|------------------|-----------------|-----------------|-----------------| 
 0 1a 2a 3a 5m 
 
 
 Juro Composto Juro Simples 
 
 FV’ 
 
Aplicando-se o Juro Composto combinado com o Juro Simples teremos: 
 
 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
 
Em que: n → parte inteira do período 
 p/q → parte fracionária do período 
 
42 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: A importância de R$ 25.000,00 foi aplicada a juro composto à taxa de 
15%aa/a. Determine o montante, avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses (convenção 
linear). 
 
Solução: PV = 25.000,00 ∴∴∴∴ n = 3a e 5m ∴∴∴∴ i = 15%aa/a ∴∴∴∴ FV’ = ? 
Prazo: 3a e 5m = 3,416666anos, ou seja, 3 anos inteiros e 0,416666 fração de anos 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
FV’ = 25000.(1 + 0,15)3.(1 + 0,15 x 0,416666) 
FV’ = 25000 x 1,153.(1 + 0,062499999) 
FV’ = 25000 x 1,520875 x 1,062499999 
FV’ = 40.398,24 
 
Exemplo 2: Certo capital foi aplicado em data de 10/05/2004 a taxa de juro composto 
de 8,16%ab/b. Em 11/02/2006 foi resgatado um montante, pela convenção linear de R$ 
10.540,00. Determine o capital inicialmente aplicado se o juro foi capitalizado 
bimestralmente. 
 
Solução: FV’ = 10.540,00 ∴∴∴∴ i = 8,16%ab/b ∴∴∴∴ PV = ? 
Prazo: 10/05/2004 à 11/02/2006 � 642dias = 10,7bimestres, ou seja: 10 inteiros e 0,7 fração 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
10540 = PV.(1+0,816)10.(1 + 0,0816 x 0,7) 
10540 = PV.2,1911231 x 1,05712 
10540 = PV.2,3162801 
PV = 10540/2,3162801 
PV = 4.550,40 
 
Exemplo 3: Determinado capital foi aplicado a taxa de juros de 37,0908%aa/t durante 
624 dias. Encontre o capital inicialmente investido, pela convenção linear se os juros 
produzidos, por capitalizações mensais foram de R$ 3.261,92. 
 
Solução: J = 3.261,92 ∴∴∴∴ i = 37,0908%aa/t � 9,2727%at/t � 3%am/m ∴∴∴∴ PV = ? 
Prazo: 624dias = 20,8 meses, ou seja: 20 inteiros e 0,8 fração 
 
Como: FV = PV + J 
 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
PV + 3261,92 = PV . (1+0,03)20 . (1 + 0,03 x 0,8) 
PV + 3261,92 = PV . 1,806111235 x 1,024 
PV + 3261,92 = PV . 1,8494579043 
43 
 
3261,92 = 1,8494579043.PV - PV 
3261,92 = 0,8494579043.PV 
PV = 3261,92/0,8494579043 
PV = 3.840,00 
 
 
Atividades 
 
1) Um capital de R$ 12.500,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 20% aa/a. 
Determine o montante, avaliando-o no prazo de 13 anos. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 133.741,51 
2) Qual o valor que aplicado a juro composto à taxa de 17% aa/a, produziu no prazo 
de 6 anos o montante de R$ 22.500,00? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 8.771,37 
3) Determine o prazo necessário para que o capital de R$ 15.000,00 venha produzir o 
montante de R$ 27.576,88, sabendo-se que a taxa de juro composto é de 7% aa/a. R 
⇒⇒⇒⇒ n = 9 anos 
4) Determine a taxa de juro (%aa/a), necessária para que o capital de R$ 12.800,00 
venha a produzir, no prazo de 18 anos, um montante de R$ 55.583,41. R ⇒⇒⇒⇒ i = 
8,5% a.a./a 
5) Determine o prazo (anos, meses e dias, se for o caso) necessário para que o capital 
de R$ 5.000,00 produza o montante de R$ 7.646,29, sabendo-se que a taxa de juro 
composto utilizada é de 8% aa/a. Utilizar a convenção exponencial. R ⇒⇒⇒⇒ n = 5 
anos, 6 meses e 7 dias Conv. Exponencial 
6) O capital de R$ 1.900,00 ficou aplicado durante 420 dias, produzindo ao final deste 
prazo juro de R$ 2.658,20. Encontre a taxa de juro composto (% ab/b) que foi 
aplicada? R ⇒⇒⇒⇒ 13,3160%ab/b 
7) Uma pessoa aplica em 29/01/2003 certa importância a taxa de juro composto de 
4,5% ab/b. Em 30/09/2005 esta pessoa resgata um montante de R$ 6.993,04. 
Determine o capital inicialmente aplicado por esta pessoa? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 3.420,00 
Conv. Exponencial ;R$ 3.419,38 Conv. Linear 
8) O capital de R$ 6.740,00 foi aplicado a taxa de juro composto de 10,5% aq/q 
durante 2a 9m e 24d. Determine o total a ser resgatado ao final deste prazo. R ⇒⇒⇒⇒ 
R$ 15.670,08 Conv. Exponencial; R$ 15.689,48 Conv. Linear 
9) Determine o valor do capital que, aplicado a juro composto à taxa de 10% aa/a, 
produziu o montante de R$ 23.850,00 no prazo de 3 anos e 9 meses. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 
16.682,68 Conv. Exponencial; R$ 16.668,71 Conv. Linear 
10) Qual é o montante produzido pelo capital de R$ 200.000,00 aplicado à taxa de juro 
composto de 3% at/t, no prazo de 2 anos, 4 meses e 20 dias? R ⇒⇒⇒⇒ R$ 265.275,29 
Conv. Exponencial; R$ 265.303,88 Conv. Linear 
44 
 
CAPÍTULO – V 
 
5. ESTUDO DAS TAXAS 
 NO JURO COMPOSTO 
 
As taxas de juro estão intrinsecamente ligadas ao juro, sejam eles Simples ou 
Composto, muito embora se possa definir qualquer destas espécies de juro sem que se 
utilize especificamente a palavra taxa de juro em sua definição. No Juro Composto o 
entendimento das taxa e suas transformações são de fundamental importância para que o 
Estudante entenda o processo de capitalização que ocorre a cada período. A seguir 
passamos a realizar um estudo dos tipos de taxas utilizadas no Juro Composto bem 
como suas transformações e aplicações. 
 
5.1. Tipos de taxas 
 
No juro composto temos a possibilidade de utilizar dois tipos de taxas: as efetivas e as 
nominais. 
 
• TAXAS EFETIVAS: São aquelas em que a unidade do percentual é igual a unidade 
da capitalização. Considerando-se o tipo de unidades de prazo que utilizamos 
existem 07 (sete) tipos de taxas efetivas, a saber: %aa/a; %as/s; %aq/q; %at/t; 
%ab/b; %am/m; %ad/d 
 
• TAXAS NOMINAIS: São aquelas cuja unidade do percentual é diferente da 
unidade de capitalização. Considerando-se o tipo de unidades de prazo que 
utilizamos existem 42 (quarenta e dois) tipos de taxas nominais, entre elas 
exemplificamos as seguintes: %aa/m; %at/a; %ab/s; %aq/d 
 
5.2. Transformação de taxas 
 
Podemos transformar TAXAS NOMNAIS em TAXAS EFETIVAS, bem como TAXAS 
EFETIVAS em TAXAC EFETIVAS EQUIVALENTES, conforme veremos nos 
próximos tópicos. 
 
De taxas nominais em taxas efetivas de mesma capitalização 
 
Para se transformar TAXAS NOMNAIS em TAXAS EFETIVAS de mesma 
capitalização, basta se transformar o percentual para a unidade de capitalização, 
multiplicando ou dividindo pelo fator de conversão. 
 
Vamos ver alguns exemplos em que a taxa nominal é transformada na taxa efetiva 
indicada: 
 
• 7,2%at/a � %aa/a 
 
Como cada ano possui 4 trimestres, basta multiplicar os 7,2 por 4 resultando em 
28,8%aa/a 
45 
 
 
• 33%aa/m � %am/m 
 
Como cada ano possui 12 meses, basta dividir os 33 por 12 resultando em 2,75%am/m 
 
• 63%as/b � %ab/b 
 
Como cada semestre possui 3 bimestres, basta dividir 63 por 3 resultando 21%ab/b 
 
• 6,4%am/q � %aq/q 
 
Como cada quadrimestre possui 4 meses, basta multiplicar 6,4 por 4 resultando 
25,6%aq/q 
 
 
De taxas efetivas em taxas efetivas: 
 
A transformação de uma TAXAS EFETIVAS em outra TAXAS EFETIVAS 
equivalente, é feita através de uma das igualdades abaixo. Assim, a partir de uma 
determinada taxa efetiva, poderemos calcular outra taxa efetiva. 
 
360)1(12)1(6)1(4)1(3)1(2)1(1)1( dimibitiqisiai +=+=+=+=+=+=+ 
 
TAXAS EFETIVAS, capitalizadas em períodos diferentes, são equivalentes quando, 
aplicadas sobre um mesmo capital, vierem a produzir um montante igual durante o 
mesmo período de aplicação. 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: A taxa de 10%am/m é equivalente à taxa de 21% ab/b, pois se aplicadas 
sobre um mesmo capital ( R$ 100,00 ), irão produzir montantes iguais no prazo de 1 
ano. 
 
Solução: 
FV12 = 100,00 . (1 + 0,10) 12 � FV12 = 313,84 
 
FV6 = 100,00 . (1 + 0,21) 6 � FV6 = 313,84 
 
Comparando, os cálculos acima, concluímos que: 
 
(1,10)12 = (1,21)6 
Ou seja 
(1 + im)12 = (1 + ib)6 → para um período de 1 ano. 
 ou 
(1 + im)2 = (1 + ib) → para um período de 2 meses. 
 
A transformação de uma taxa efetiva em outra taxa efetiva pode ser feita nas 
Calculadoras HP-12C, conforme demonstramos no Exemplo a seguir apresentado. 
 
46 
 
Exemplo 2: Transforme a taxa efetiva apresentada na taxa efetiva indicada: 
 
a) 20%as/s � %at/t 
 
Solução: (1 + it)4 = (1 + i s)2 
 Ou 
 (1 + it)2 = (1 + is) 
 (1 + it)2 = (1 + 0,20) 
 (1 + it) = 1,20½ 
 1 + it = 1,0954451 
 it = 0,0954451 (taxa unitária efetiva trimestral) 
 
it = 9,5445% at/t (taxa percental efetiva trimestral) 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
f clear Fin Visor 
STO EEX c 
120 FV 120 
100 CHS PV - 100 
 2 N 2 
 i 9,5445 
 
 
b) 30%ab/b � %at/t 
 
Solução: 64 )1()1( bt ii +=+ 
32 )30,01()1( +=+ ti 
197,2)1( 2 =+ ti 
2 197,21 =+ ti 
482228053,11 =+ ti 
1482228053,1 −=ti 
 i t = 0,482228 at/t (taxa unitária efetiva trimestral) 
 
i t = 48,2228% at/t (taxa percentual efetiva trimestral) 
 
 
Usando a HP - 12C 
 
 f clear Fin Visor 
 STO EEX C 
 100 CHS PV - 100 
 130 FV 130 
 2/3 N 0,66666 
 i 48,2228 
 
 
47 
 
 
Exemplo 3: A importância de R$ 12.500,00 foi aplicada a juro composto à taxa de 
36%aa/m. Determine o montante (Conv. Linear), capitalizado bimestralmente, 
avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses? 
 
Solução: PV = 12.500,00 ∴ n = 3a e 5m ∴ i = 36%aa/m ∴ FV’ = ? 
 
Transformação da Taxa: 36%aa/m � 3%am/m � 6,09%ab/b 
 
Prazo: 3a e 5m = 41 meses, ou seja, 20 bimestres inteiros e 0,5 fração de bimestre 
 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
FV’ = 12500 . (1 + 0,0609)20 . (1 + 0,0609 x 0,5) 
FV’ = 12500 x 1,060920 . (1 + 0,03045) 
FV’ = 12500 x 3,262037792 x 1,03045 
FV’ = 42.017,09 
 
Exemplo 4: Determine o total resgatado (Conv. Exponencial), capitalizado 
mensalmente, se o foi aplicado o capital de R$ 6.270,00 a taxa de juro de 76,4064%aa/t, 
no prazo compreendido entre 10/Abr/2003 a 09/Jun/2004. 
 
Solução: PV = 6.270,00 ∴ i = 76,4064%aa/t ∴ FV = ? 
 
Transformação da Taxa: i = 76,4064%aa/t � 19,1016%at/t � 6%am/m 
 
Prazo: 10/04/2003 à 09/06/2004 � 426dias = 14,2 meses 
 
niPVFV )1.( += 
FV = 6270 . (1 + 0,06)14,2 
FV = 6270 x 1,0614,2 
FV = 6270 x 2,287406162 
FV = 14.342,04 
 
Exemplo 5: Certo capital foi aplicado em data de 11/10/2004 a taxa de juro composto 
de 48%aa/m. Em 15/07/2006 foi resgatado um montante, pela convenção linear, de R$ 
9.630,00. Determine o capital inicialmente aplicado se o juro foi capitalizado 
quadrimestralmente. 
 
Solução: FV’ = 9.630,00 ∴ i = 48%aa/m ∴ PV = ? 
 
Transformação da Taxa: i = 48%aa/m � 4%am/m � 16,985856%aq/q 
 
Prazo: 11/10/2004 à 15/07/2006 � 642dias = 5,35 quadrimestres, ou seja: n = 5 e p/q = 0,35 
 
 
)/.1.()1.(' qpiiPVFV n ++=
 
9630 = PV. (1+0,16985856)5
.
(1+ 0,16985856 x 0,35 ) 
9630 = PV . 2,19112314 x 1,059450496 
9630 = PV . 2,3213865 
PV = 9630 / 2,3213865 
48 
 
PV = 4.148,38 
 
 
Exemplo 6: Encontre o capital que foi aplicado a taxa de juro composto de 60%aa/m, 
durante o prazo de 774 dias, se o juro produzido, pela convenção exponencial, e por 
capitalizações trimestrais, foi de R$ 9.370,00 
 
Solução: Juro = 9.370,00 ∴ i = 60%aa/m∴ PV = ? 
 
Transformação da Taxa: 60%aa/m � 5%am/m � 15,7625% at/t 
 
Prazo: 774 dias = 8,6 trimestres 
 
niPVFV )1.( += 
 
Como FV = PV + J teremos: 
 
niPVJPV )1.( +=+ 
PV + 9370 = PV . (1 + 0,157625 )8,6 
PV + 9370 = PV . (1,157625 )8,6 
PV + 9370 = PV . 3,521145052 
9370 = 3,521145052 . PV – PV 
9370 = 2,521145052 . PV 
PV = 9370 / 2,521145052 
PV = 3.716,57 
 
 
 
 
49 
 
 
Atividades 
 
1) Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, que equivale à taxa de 30% ao ano 
com capitalização mensal. R ⇒⇒⇒⇒ i = 34,48% a.a./a 
2) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação à taxa de juro composto pelo prazo de 1 
ano. São oferecidas as seguintes taxas: a) 482% a.a. com cap. anual; b) 16% ao 
mês com cap. mensal; c) 100% a.a. com cap. trimestral. Qual é a melhor opção para 
esta pessoa? R ⇒⇒⇒⇒ alternativa “b” 
3) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 30% ao ano, com 
capitalização semestral. Determine o prazo necessário para produzir o montante de 
R$ 1.758,94. R ⇒⇒⇒⇒ n = 9 semestres ou 4 anos e 6 meses 
4) Determine o valor da taxa anual, capitalizada quadrimestralmente, necessária para o 
capital de R$ 800,00 resultar o montante de R$ 1.440,75 no prazo de 5 anos. R ⇒⇒⇒⇒ i 
= 12% aa/q 
5) Determine a taxa trimestral, com capitalização trimestral, que equivale à taxa de 
15% ao ano com capitalização anual. R ⇒⇒⇒⇒ i = 3,5558% at/t 
6) Conhecendo-se a taxa de 40% aa/t, determine a taxa anual capitalizada 
bimestralmente equivalente. R ⇒⇒⇒⇒ i = 39,3613% aa/b 
7) Qual é a taxa semestral, capitalizada bimestralmente, que equivale à taxa de juro 
composto de 28% ao trimestre com capitalização mensal? R ⇒⇒⇒⇒ i = 58,6133% as/b 
8) Um capital de R$ 5.720,00 foi aplicado à taxa de juro composto de 24,72% aa/s. 
Determine o montante, por capitalizações trimestrais, avaliando-o no prazo de 3a, 
8m e 20d. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 13.619,85 Conv. Exponencial e R$ 13.622,10 Conv. Linear 
9) Determine o valor do capital que, aplicado à taxa de juro composto de 37,0908% 
aa/t, produziu o montante, por capitalizações bimestrais, de R$ 28.500,00 no prazo 
de 6 anos, 3 meses e 15 dias. R ⇒⇒⇒⇒ R$ 3.059,39 Conv. Exponencial e R$ 
3.059,39 Conv. Linear 
10) Determine o prazo necessário, pela convenção exponencial, para um capital 
qualquer triplicar de valor, sabendo-se que foi aplicado à taxa de juro composto de 
27,3709464% aa/m, sendo que o juro foi capitalizado trimestralmente. R ⇒⇒⇒⇒ n = 4 
anos e 21 dias 
 
 
50 
 
CAPÍTULO – VI 
 
6. RENDAS OU SÉRIES 
DE PAGAMENTOS 
(Parte I) 
 
 
Este capítulo explora a capitalização em várias parcelas, conforme lustra a figura a 
seguir. As séries de pagamentos aparecem, quando se efetua uma série de depósitos (ou 
pagamentos) em datas previamente estabelecidas que se destine a: produzir certo 
montante ou a amortizar (pagar) determinada dívida (valor atual). 
 
 PMT 
 
 
 
 
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 (n) 
i% 
 
 
 PV FV 
 
E que: 
• PV � Valor Atual, Preço, Valor Inicial, Valor Presente, Capital Inicial 
 
• FV � Montante, Valor Futuro, Total Pago, Total Gerado, Valor Final 
 
• PMT � Termos, Prestações, Parcelas, Depósitos, Pagamentos 
 
• n � Número de Termos ou Prestações 
 
• i � Taxa Efetiva de Juro, com capitalização na periodicidade das Parcelas 
 
 
3.4. Elementos e classificação das rendas 
 
Uma renda no contexto da matemática financeira, dispõe dos seguintes elementos: 
 
• MONTANTE (FV): numa série de pagamentos, definimos MONTANTE como 
sendo a parcela única, que equivale (ou substitui) a todos os termos (devidamente 
capitalizados) até o final do fluxo. É a soma dos montantes de todos os termos que 
compõe a série. 
 
• VALOR ATUAL (PV): numa série de pagamentos, definimos VALOR ATUAL 
como sendo a parcela única que equivale (ou que substitui) a todos os termos 
51 
 
(devidamente descapitalizados) até o início do fluxo. É a soma dos valores atuais de 
todos os termos que compõe a série. 
 
• TERMOS (PMT): numa série de pagamentos, definimos TERMOS como sendo o 
valor que é pago (ou recebido) a cada período de capitalização de uma Série 
Pagamentos. 
 
As rendas podem ser classificadas do seguinte modo: 
 
 POSTECIPADAS 
 IMEDIATAS 
 ANTECIPADAS 
 
 TEMPORÁRIAS 
 
 INICIAL 
 DIFERIDAS 
 FINAL 
 
 CERTAS 
 
 POSTECIPADAS 
 IMEDIATAS 
 ANTECIPADAS 
 
 PERPÉTUAS 
 
 INICIAL 
 DIFERIDAS 
 FINAL 
 
RENDAS 
 
 POSTECIPADAS 
 IMEDIATAS 
 ANTECIPADAS 
 
 TEMPORÁRIAS 
 
 INICIAL 
 DIFERIDAS 
 FINAL 
 
 ALEATÓRIAS 
 
 POSTECIPADAS 
 IMEDIATAS 
 ANTECIPADAS 
 
 PERPÉTUAS 
 
 INICIAL 
 DIFERIDAS 
 FINAL 
52 
 
Descrevendo os principais tipos de rendas, conforme apresentado no diagrama temos: 
 
• RENDAS ALEATÓRIAS: são aquelas que não obedecem a um acordo regular de 
periodicidade, dependendo de eventos externos que podem ou não acontecerem. 
 
• RENDAS CERTAS: são aquelas que ocorrem de forma periódica e regular, 
obedecendo a um acordo previamente estabelecido. 
 
Tanto as rendas CERTAS quanto as ALEATÒRIAS podem ser: 
 
• PERPÉTUAS: quando possuem um número ilimitado de pagamentos (depósitos). 
 PMT 
 
 
 
 
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 ...... 
 
• TEMPORÁRIAS: quando possuem um número limitado de pagamentos 
(depósitos). 
 PMT 
 
 
 
 
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 .... n 
 
As rendas PERPÉTUAS e TEMPORÁRIAS, por sua vez, podem ser: 
 
• IMEDIATAS: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem a partir do primeiro 
período do prazo da renda. Quando IMEDIATA, uma renda também pode ser 
classificada como POSTECIPADA e ANTECIPADA 
 
POSTECIPADAS: quando os termos ocorrem no final de cada período 
 PMT 
 
 
 
 |----------------|---------------|---------------|------------------------------| 
 0 1 2 3 .... n 
 
ANTECIPADAS: quando os termos ocorrem no início da cada período 
 PMT 
 
 
 
 |----------------|---------------|------------------------------|---------------| 
 0 1 2 .... n-1 n 
53 
 
 
• COM DEIFERIMENTO: quando existe um prazo (superior a um período de 
capitalização) no início ou no final onde não ocorrem pagamentos. Quando diferida 
uma renda pode possuir dferimento INICIAL ou FINAL 
 
INICIAL: o prazo onde não ocorrem pagamentos é anterior à ocorrência das 
prestações. 
 PMT 
 
 
 
 
|-------------------------------|-------|--------|--------------------------------| 
 0 m m+1 m+2 m+n 
 
 
 diferimento inicial 
 
FINAL: o prazo onde não ocorrem pagamentos é posterior à ocorrência das prestações. 
 PMT 
 
 
 
 
|-------|--------|--------------------------------|-------------------------------|