Lista de Exercícios Álgebra Linear II - Espaços e Subespaços

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Espaço e Subespaço Vetorial
Prof. Washington S. da Silva
Fevereiro de 2015
Nos problemas de 1 a 5 são apresentados subconjuntos de R2. Verifique quais deles são
subespaços vetoriais de R2 relativamente às operações de soma e produto por escalar.
1. S = {(x, y); y = −x}
2. S = {(x, x2);x ∈ R}
3. S = {(x, y);x+ 3y = 0}
4. S = {(y, y); y ∈ R}
5. S = {(x, y); y = x+ 1}
Nos problemas de 6 a 10 são apresentados subconjuntos de R3. Verifique quais deles são
subespaços vetoriais de R3 relativamente às operações de soma e produto por escalar.
6. S = {(x, y, z); z = 2x− y}
7. S = {(x, y, z); y = x+ 2 e z = 0}
8. S = {(x, y, z);xy = 0}
9. S = {(x, y, z);x ≥ 0}
10. S = {(x, y, z);x = z2}
11. Mostre que o conjunto H formado por todos os pontos de R2 da forma (3s, 2+5s) não
é um espaço vetorial, argumentando que ele não é fechado com relação à multiplicação
por escalar. (Encontre um certo v em H e um escalar c tal que cv não está em H.
12. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços.
a) W = {(x, y, z, t);x+ y = 0 e z − t = 0}
b) U = {(x, y, z, t); 2x+ y − t = 0 e z = 0}
13. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2, 2).
1
a) V =
{(
a b
c d
)
com a, b, c, d ∈ R e b = c
}
b) W =
{(
a b
c d
)
com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1
}
14. Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as operações usuais.
a)
{(
a a+ b
a b
)
: a, b ∈ R
}
b) {(1, a, b) : a, b ∈ R}
c) A reta {(x, x+ 3) : x ∈ R}
2