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SÉRIES E EQUAÇÕES
Profº Eider Avelar
eider.silva@ceuma.br
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 1
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS 
INFINITOS
COMPETÊNCIAS/HABILIDADES
Aplicar conhecimentos 
matemáticos, científicos, 
tecnológicos e instrumentais à 
Engenharia.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS INFINITOS
 Condição necessária e suficiente para convergência de séries
 Teste da comparação
 Teste da comparação por limites
 Teste da integral
 Teste da razão
 Teste da raiz n-ésima
 Caderno de exercícios
 Referências
 CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA CONVERGÊNCIA DE SÉRIES
Se todos os termos de uma série infinita forem positivos, a 
sequência das somas parciais será crescente.
Teorema
Uma série infinita de termos positivos será convergente se e 
somente se sua sequência de somas parciais tiver um limitante 
superior.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 3
TESTE DA COMPARAÇÃO
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 4
Seja 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 uma série de termos positivos.
i. Se 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 é uma séries de termos positivos convergente e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ∈
𝑁∗, 𝑛 ≤ 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁∗, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente.
ii. Se 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 é uma série divergente de termos positivos e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗, 𝑛 ≥
𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁∗, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é divergente.
EXEMPLO
Mostre, pelo teste da comparação, que a série 𝑛=1
+∞ 1
𝑛!
é convergente.
Solução 
Sendo 𝑛 ∈ 𝑁∗, 𝑛 ≥ 2, temos 𝑛! ≥ 2𝑛−1 𝑜𝑢
1
𝑛!
≤
1
2𝑛−1
. A série geométrica 
 𝑛=1
+∞ 1
2𝑛−1
é convergente. Logo pelo item (i) do teste da comparação, segue que 
 𝑛=1
+∞ 1
𝑛!
é convergente.
TESTE DA COMPARAÇÃO
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 5
A série 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛+1
é convergente ou divergente?
Solução
A série geométrica 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛
é convergente 𝑞 = 1 3 𝑒
4
3𝑛+1
<
4
3𝑛
∀𝑛 ∈ 𝑁∗. Portanto 
pelo item (i) do teste da comparação, a série 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛+1
é convergente.
Série hiper-harmônica (ou série p) 
A série 𝑛=1
+∞ 1
𝑛𝑝
=
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+⋯+
1
𝑛𝑝
+⋯com p ∈ ℚ, é chamada de série 
hiper-harmônica e é convergente, se 𝑝 > 1, e divergente, se 𝑝 ≤ 1.
Vejamos:
Se 𝑝 = 1,trata-se da série harmônica 𝑛=1
+∞ 1
𝑛1
=
1
1
+
1
2
+⋯+
1
𝑛
+⋯ que é 
divergente.
TESTE DA COMPARAÇÃO
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 6
Se 𝑝 < 1, então a série 𝑛=1
+∞ 1
𝑛𝑝
=
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+⋯+
1
𝑛𝑝
+⋯ é divergente, pois, 
comparando com a série harmônica,
1
𝑛𝑝
>
1
𝑛
, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ (item II do teste de comparação).
Se 𝑝 > 1, 𝑛=1
+∞ 1
𝑛𝑝
= 1 +
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
+⋯+
1
7𝑝
+
1
8𝑝
+⋯+
1
15𝑝
+⋯ < 1 + 
1
2𝑝
+
EXEMPLO
EXEMPLO
1. 𝑛=1
+∞ 1
3
𝑛2
= 𝑛=1
+∞ 1
𝑛 
2
3
é divergente, pois 𝑝 = 2 3 < 1
2. 𝑛=1
+∞ 1
𝑛2
é convergente, pois 𝑝 = 2 > 1
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 7
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique pelo teste da comparação, se as séries são convergentes ou divergentes. N
1. 𝑛=1
+∞ 1
2+5𝑛
2. 𝑛=1
+∞ 𝑛!
𝑛+2 !
3. 𝑛=3
+∞ 1
𝑛−2
4. 𝑛=1
+∞ ln 𝑛
𝑛3
5. 𝑛=1
+∞ 2
𝑛+1 𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 8
TESTE DA COMPARAÇÃO POR LIMITE
Sejam 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 e 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 duas séries de termos positivos.
i. Se lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐, 𝑐 > 0 , então ambas as séries são convergentes ou 
divergentes.
ii. Se lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 e 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 é convergente, então 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente.
iii. Se lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= +∞ e 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 é divergente, então 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é divergente.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 9
EXEMPLO
A série 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛+1
é convergente ou divergente?
Solução
Considere a série 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 = 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛
convergente para comparar com 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 =
 𝑛=1
+∞ 4
3𝑛+1
.
Ambas as séries são de termos positivos e lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
4
3𝑛+1
4
3𝑛
= lim
𝑛→∞
3𝑛
3𝑛+1
= 1 > 0
Logo , pelo item (i) do teste da comparação por limites, a série dada é convergente.
A série 𝑛=1
+∞ 1
3 𝑛
é convergente ou divergente?
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 10
EXEMPLO
Solução
Considere a série 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 = 𝑛=1
+∞ 1
𝑛
que sabemos ser divergente e 𝑛=1
+∞ 1
3 𝑛
Ambas as séries são de termos positivos e 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= lim
𝑛→∞
1
3 𝑛
1
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
3 𝑛
= lim
𝑛→∞
3
𝑛2 = +∞ . Logo, pelo item (iii) do teste da 
comparação por limites, a série dada é divergente.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 11
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique , utilizando o teste de comparação por limites, se as séries abaixo são 
convergentes ou divergentes.
1. 𝑛=1
+∞ 𝑛
5𝑛2+3
2. 𝑛=1
+∞ 2𝑛+1
𝑛(𝑛+1)
3. 𝑛=1
+∞ 𝑛
𝑛2+1
4. 𝑛=1
+∞ 1
𝑛 𝑛2+1
5. 𝑛=1
+∞ 1
3𝑛+1
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 12
TESTE DA INTEGRAL
Seja 𝑓 uma função de valores positivos, decrescentes e contínua para todo 𝑥 ≥ 1. 
Então a série infinita 𝑛=1
+∞ 𝑓 𝑛 = 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 +⋯+ 𝑓 𝑛 +⋯ é:
i. Convergente , se a integral imprópria 1
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 é convergente.
ii. Divergente, se a integral imprópria 1
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 é divergente.
Exemplo 
Verifique, utilizando o teste da integral, se as séries abaixo são convergentes ou 
divergentes.
 𝑛=1
+∞ 𝑛. 𝑒−𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 13
TESTE DA INTEGRAL
Solução
Seja 𝑓: 1, +∞ → ℝ com 𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑒−𝑥.
1º) A função 𝑓 é de valores positivos, decrescente e contínua para todo 𝑥 > 1:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑒−𝑥 =
𝑥
𝑒𝑥
> 0, visto que 𝑒𝑥 > 0 e 𝑥 ∈ 1,+∞ .
b) 𝑓′ 𝑥 =
1−𝑥
𝑒𝑥
< 0,pois 𝑒𝑥 > 0 e 1 − 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 1,+∞ ; logo, 𝑓 é decrescente.
c) 𝑓′𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, ∀𝑥 ∈ 1,+∞ ; logo, 𝑓 é continua.
2º) 1
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
+∞
𝑥. 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
 1
𝑏
𝑥. 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
−
𝑥+1
𝑒𝑥 1
𝑏
= lim
𝑏→+∞
−
𝑏+1
𝑒𝑏
+
2
𝑒
=
2
𝑒
(finito). Portanto, a série dada é convergente.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 14
TESTE DA INTEGRAL
 𝑛=1
+∞ 1
𝑛
Solução
Seja 𝑓: 1, +∞ → ℝ, 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
.
1º) A função 𝑓é positiva, decrescente e continua para todo 𝑥 ≥ 1:
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
> 0, visto que 𝑥 ∈ 1,+∞ .
b) 𝑓′ 𝑥 =
−1
𝑥2
< 0, pois 𝑥 ∈ 1,+∞ ; logo, 𝑓é decrescente.
c) 𝑓′ existe, ∀𝑥 ∈ 1,+∞ ; logo, 𝑓 é contínua.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 15
TESTE DA INTEGRAL
2º) 1
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
+∞ 1
𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
 1
𝑏 1
𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
𝑙𝑛𝑥 1
𝑏
lim
𝑏→+∞
ln 𝑏 − ln 1 = +∞. Portanto, a série dada é divergente.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 16
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
Verifique , utilizando o teste da integral, se as séries abaixo são convergentes ou 
divergentes.
1. 𝑛=2
+∞ 1
𝑛.𝑙𝑛 𝑛
2. 𝑛=2
+∞ 𝑛2. 𝑒−𝑛
3. 𝑛=1
+∞ 1
3 𝑛
4. 𝑛=2
+∞ 1
𝑛. 𝑙𝑛.𝑛 3
5. 𝑛=1
+∞ 𝑙𝑛
𝑛+3
𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 17
TESTE DA RAZÃO OU DE D’ALEMBERT
Sejam 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 +⋯ uma série de termos 
positivos e 𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
.
i. Se 𝐿 < 1, então a série 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente.
ii. Se 𝐿 > 1, então a série 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é divergente.
iii. Se 𝐿 = 1, então o teste não é conclusivo.
Exemplo
Verifique usando o teste da razão, se as séries abaixo são convergentes ou 
divergentes.
 𝑛=1
+∞ 2
𝑛
𝑛
é uma série de termos positivos.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 18
TESTE DA RAZÃO OU DE D’ALEMBERT
𝐿= lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛+1
𝑛+1
2𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛+1.𝑛
2𝑛 𝑛+1
= lim
𝑛→∞
2.𝑛
𝑛+1
= 2 > 1 . Logo, a série é divergente.
 𝑛=1
+∞ 1
𝑛!
é uma série de termos positivos.
𝐿 = lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→+∞
1
𝑛 + 1 !
1
𝑛!
= lim
𝑛→+∞
𝑛!
𝑛 + 1 !
= lim
𝑛→+∞
𝑛!
𝑛 + 1 . 𝑛!
= lim
𝑛→∞
1
𝑛 + 1
= 0 < 1 .
Logo, a série dada é convergente.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 19
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique, utilizando o teste da razão, se as séries abaixo são convergentes ou 
divergentes.
1. 𝑛=1
+∞ 2
𝑛
𝑛!
2. 𝑛=1
+∞ 𝑛
𝑛
𝑛!
3. 𝑛=1
+∞ 1
𝑛𝑛
4. 𝑛=1
+∞ 2
𝑛.𝑛!
𝑛𝑛
5. 𝑛=1
+∞ 3
𝑛
𝑛2+1
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 20
TESTE DA RAIZ N-ÉSIMA OU CAUCHY
Sejam 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 +⋯ uma série de termos positivos e 𝐿 =
lim
𝑛→∞
𝑛 𝑎𝑛.
i. Se 𝐿 < 1, então a série 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente.
ii. Se 𝐿 > 1, então a série 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é divergente.
iii. Se 𝐿 = 1, então o teste não é conclusivo.
Observação
a) lim
𝑛→+∞
𝑛 𝑎 = 1, 𝑎 > 0
b) lim
𝑛→+∞
𝑛 𝑛 = 1
c) lim
𝑛→+∞
1 +
𝑟
𝑛
𝑛
= 𝑒𝑟 , 𝑟 ∈ ℝ
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 21
Exemplo
Verifique, pelo teste da raiz n-ésima, se as séries abaixo são convergentes ou 
divergentes.
 𝑛=1
+∞ 𝑛+1
2𝑛−1
𝑛
é uma série de termos positivos.
Solução
𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑛 𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛 𝑛+1
2𝑛−1
𝑛
= lim
𝑛→+∞
𝑛+1
2𝑛−1
=
1
2
< 1 . Logo, a série dada é 
convergente.
 𝑛=1
+∞ 𝑛+1
2𝑛−1
𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 22
𝐿 = lim
𝑛→+∞
𝑛 𝑎𝑛 = lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛.
2𝑛−1
3
𝑛
= lim
𝑛→+∞
𝑛 𝑛. lim
𝑛→+∞
2𝑛−1
3
= 1. +∞ = +∞(>
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 23
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique , utilizando o teste da raiz n-ésima, se as séries abaixo são convergentes 
ou divergentes.
1. 𝑛=1
+∞ 𝑛. 𝑒−𝑛
2. 𝑛=1
+∞ 1
𝑛𝑛
3. 𝑛=1
+∞ 𝑛
2𝑛+1
𝑛
4. 𝑛=1
+∞ 2𝑛+1
3𝑛
𝑛
2
5. 𝑛=1
+∞ 𝑛+1
𝑛
𝑛2
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 24
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS
Use o teste da comparação para determinar se a série dada é convergente ou 
divergente.
1. 𝑛=1
∞ 1
𝑛2+1
2. 𝑛=1
∞ 1
3𝑛2+2
3. 𝑛=1
∞ 1
𝑛−1
4. 𝑛=1
∞ 1
𝑛−1
5. 𝑛=1
∞ 1
3𝑛+1
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 25
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS
Use o teste da comparação por limites para verificar se a série dada converge ou 
diverge.
1. 𝑛=1
∞ 𝑛
𝑛2+1
2. 𝑛=1
∞ 1
𝑛2+1
3. 𝑛=1
∞ 2𝑛
2−1
3𝑛5+2𝑛+1
4. 𝑛=1
∞ 𝑛+3
𝑛 𝑛+2
5. 𝑛=1
∞ 1
𝑛(𝑛2+1)
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 26
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS
Use o teste da integral para determinar se a série dada converge ou diverge.
1. 𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
2. 𝑛=1
∞ 1
𝑛+1
3. 𝑛=1
∞ 1
𝑛 𝑛2−1
4. 𝑛=1
∞ 𝑛
𝑛2+1
5. 𝑛=2
∞ ln 𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 27
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS
Use o teste da razão para determinar a convergência ou divergência da série dada.
1. 𝑛=1
∞ 𝑛!
3𝑛
2. 𝑛=1
∞ 2
𝑛
𝑛2
3. 𝑛=1
∞ 4
𝑛
𝑛!
4. 𝑛=1
∞ 2𝑛 !
𝑛5
5. 𝑛=1
∞ 3
𝑛
𝑛+1 𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 28
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS
Use o teste da raiz para determinar a convergência ou divergência da série dada.
1. 𝑛=1
∞ 𝑛
2𝑛+1
𝑛
2. 𝑛=1
∞ 2𝑛
𝑛+1
𝑛
3. 𝑛=1
∞ −2𝑛
3𝑛+1
3𝑛
4. 𝑛=2
∞ ln 𝑛
𝑛
𝑛
5. 𝑛=0
∞ 𝑒−𝑛
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 29
REFERÊNCIA
1) Finney, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr., volume 2/ Ross L. Finney, Maurice 
D. Weir, Franck R. Giordano; tradução Claudio Hirofume Asano; revisão técnica 
Leila Maria Vasconcellos Figueiredo. – São Paulo: Addison Wesley, 2003.
2) Stewart, James. Cálculo, volume 2/ James Stewart; tradução técnica Antonio
Carlos Moretti, Antonio Carlos Gilli Martins; revisão técnicaHelena Maria Ávila 
de Castro. – São Paulo: Cengage Learning, 2013.
SÉRIES INFINITAS DE TERMOS POSITIVOS 30