v1 cap vi hidrodinamica aula 011

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VI.1 
 
 
 
CAPÍTULO VI: HIDRODINÂMICA 
 
 
 
Aula 01 
 
 Equação de Euler 
 Hipóteses Simplificadoras para a dedução da Equação de Bernoulli 
 Equação de Bernoulli 
 Significado dos termos da Equação de Bernoulli 
 Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli 
 Potência da Corrente 
 Aplicações imediatas da Equação de Bernoulli 
 Exercícios 
 
 
 
 
 
VI.2 
 
 
 
6.1 - Conceituação 
 
 Hidrodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento das partículas 
fluidas levando em consideração as forças intervenientes em tais movimentos. 
 
 
6.2 - Objetivo 
 
Determinação da Equação de Euler (equação 6.1) e da Equação de Bernoulli (equação 6.2) para 
os fluidos ideais. 
 
 
0=dZ+
g
VdV
+
γ
dp (6.1) 
 
 
 
 

22
2
22
12
2
11 Z
g
Vp
Z
g
Vp

 constante (6.2) 
 
 
 
VI.3 
 
 
 
6.3 - Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente 
 
A equação de Euler resulta da aplicação da 2ª Lei de Newton ao movimento de partículas 
fluidas em escoamento. 
 
Relaciona a pressão, a velocidade e a posição de uma partícula em movimento ao longo de uma 
linha de corrente, em uma única equação analítica. 
 
 
6.3.1 - Dedução da Equação de Euller 
 
Para a dedução da equação de Euller aplica-se a Segunda Lei do Movimento de Newton que, 
para o caso específico do tubo de corrente da Figura 6.1, basta se perceber que Numa linha de 
corrente de fluido em movimento o somatório das forças de contato, com as forças de campo - ou 
gravitacionais - deve igualar-se às forças inerciais agindo na partícula em movimento na própria 
linha de corrente. 
 
Observação: as forças inerciais são as relacionadas ao movimento da partícula, podendo retardar ou 
acelerar o movimento, de acordo com as oscilações na magnitude das velocidades. Essas forças 
podem ser estimadas pela Segunda Lei de Newton do movimento, ou seja: 
dt
Vd
dmFd


 (6.3) 
 
VI.4 
 
 
 
Em um escoamento permanente e unidimensional (Figura 6.1), considere um filamento de 
corrente BC, de comprimento elementar dl. 
 
No prisma elementar da Figura 6.1, aplicando a Segunda 
Lei do Movimento de Newton, tem-se: 
 
 
   sendWdAdPPPdAdL
dt
dV
dA ... 
 (6.4) 
 
Ou após desenvolver a equação 6.4: 
0 dZ
dP
g
VdV

 (6.5) 
 
Figura 6.1 – Representação de um tubo de corrente de dimensões elementares usado para deduzir a equação de Euler. 
 
dA
 : área da seção transversal em 1 e 2; 
P : pressão unitária em 1; 
dpP
 : pressão unitária em 2; 
Z : cota do ponto 1; 
dZZ 
 : cota do ponto 2; 
ângulo entre a linha de corrente [1-2] e o plano horizontal; 
dW : peso do prisma elementar; 
dL
 : comprimento do prisma elementar; 
: peso específico do fluido. 
 
VI.5 
 
 
 
6.4 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
 
Na dedução da equação de Bernoulli para os fluidos ideais, as seguintes hipóteses devem ser 
consideradas: 
 
i. O escoamento do fluido se faz sem atrito, não sendo consideradas as ações da viscosidade. 
 
ii. O escoamento é permanente. 
 
iii. O escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente de dimensões infinitesimais. 
 
iv. O fluido é incompressível. 
 
Para se chegar a equação de Bernoulli, basta integrar a Equação de Euller entre dois pontos 
subseqüentes de uma linha de corrente do escoamento. 
 
 
 
Figura 6.2 – Linha de corrente isolada de um escoamento qualquer para dedução da equação de Bernoulli. 
 
 
VI.6 
 
 
 
0
γ
dP
dZ
g
VdV
2
Z
1
Z
2
P
1
P
2
V
1
V  
 (6.6) 
 
 
A equação 6.7 traduz o Princípio de Conservação da Energia, para fluidos em movimento, cujo 
teorema atribui-se a Daniel Bernoulli (1700-1782) e pode ser assim enunciado: 
 
“Ao longo de uma linha de corrente é constante a soma das energias cinética, 
piezométrica e geométrica ou potencial.” 
 
Aspecto relevante: é importante destacar que cada um dos termos da equação de Bernoulli 
representa uma forma da energia. Normalmente, atribui-se também a esses termos a denominação de 
carga (com dimensão de comprimento). 
 
 

P : Energia piezométrica ou de pressão ou carga de pressão 
 
g
V
2
2 : Energia cinética ou de velocidade ou carga dinâmica 
Z : Energia de posição, ou potencial ou carga geométrica ou de posição 
CteZ
P
g
V
Z
P
g
V

2
2
2
2
1
1
2
1
22 
 
 (6.7) 
 
VI.7 
 
 
 
6.4.1 - Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais 
 
 
 
Figura 6.8: representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais. 
 
VI.8 
 
 
 
6.4.2 – Aplicações Imediatas da Equação de Bernoulli 
 
 São aplicações que, de forma simples, possibilita calcular a 
velocidade e a vazão. Nessas aplicações a característica marcante é 
que a velocidade (ou a vazão) é obtida indiretamente através de 
uma grandeza mensurável 
 
6.4.2.1.Principais Aplicações 
 
i) Princípio de Torriceli: 
)(hfV 
 
 
ii) Tubo de Pitot/Prandtl: 
fV 
 (Pressão de Estagnação - Pressão 
Estática) 
 
iii) Tubo de Venturi: 
fV 
 (

Pressão Estática) 
 
 
VI.9 
 
 
 
 
 
VI.10 
 
 
 
 
VI.11 
 
 
 
Tubo de Venturi 
 
  4
f
2
Dd1
1
dr
dr
Δh2g
V








 
 
  4
f
2
Dd1
1
dr
dr
Δh2g
V









 
 
VI.12 
 
 
 
 
DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS ENTRE OS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS 
DE MEDIÇÕES DE VELOCIDADES 
PITOT 
 
 
VELOCIDADE DADA PELA DIFERENÇA ENTRE A PRESSÃO ESTÁTICA E UMA DE 
STAGNAÇÃO 
MEDE A VELOCIDADE EM CADA LINHA DE CORRENTE DO ESCOAMENTO 
TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE 
POSSIBILITA MEDIR A VELOCIDADE MÉDIA E A MÁXIMA DO ESCOAMENTO 
FAZ-SE NECESSÁRIO DOIS FUROS NA TUBULAÇÃO PARA A TOMADA DE PRESSÕES 
GERA MENOR TURBULÊNCIA E MENOR PERDA SE COMPARADA AO VENTURI 
É MAIS INDICADO PARA CONDUTOS FORÇADOS 
PRANDTL 
 
O PRINCIPIO FÍSICO É O MESMO. DIFERE APENAS NA TOMADA DE PRESSÕES 
A EQUAÇÃO ANALÍTICA É A MESMO QUE SE USA PARA O PITOT 
VENTURI A VELOCIDADE É DADA POR UMA DIFERENÇA DE PRESSÃO ESTÁTICA 
FORNECE APENAS A VELOCIDADE MÉDIA 
NÃO TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE 
NÃO FORNECE A VELOCIDADE MÁXIMA 
PROMOVE MAIOR PERDA DE CARGA 
TEM APLICAÇÕES MAIS ABRANGENTES – CONDUTOS LIVRES OU FORÇADOS. 
 
VI.13 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
VI.14 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
VI.15 
 
 
 
 
VI.16 
 
 
 
Exemplo 3 
Um fluido escoa em regime permanente pelo conduto da Figura 7.1. Considerando que 
todas as perdas do escoamento são iguais a 25% da energia cinética do jato na seção de 
diâmetro maior, determine: a carga cinética na seção de diâmetro menor. Na seção maior 
o diâmetro é D e na menor o diâmetro vale d. Considere o fluido incompressível e o 
escoamento permanente. São dados: dro/dr = 2,0; d/D = 0,84; H = 0,6266 m. dados: 
dr-densidade relativa do fluido transeunte; dro – densidade relativa do fluido 
manométrico. 
 
 
VI.17 
 
 
 
Exemplo 4 
 
 
Peso específico do ar: 1,2 kgf/m3; Peso específico do mercúrio: 13600 kgf/m3VI.18 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 
 
VI.19 
 
 
 
Exemplo 6 
 
Fonte:Franco Brunetti (2008, pag.108) 
 
 
 
 
 
VI.20 
 
 
 
Exemplo 7 
Em um tubo de seção variável, com diâmetros D1 = 250 mm e D2 = 500 mm, a 
vazão é de 350 litros de água por segundo. Sabendo que a carga piezométrica em 
(1) é de 6,5 m.c.a e desprezando a perda de energia, solicita-se: traçar a linha 
energética.