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CIV114 
Profª. Maiga Dias 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
Considerando uma força F aplicada na origem O de um sistemas de 
coordenadas cartesianas xyz. Para definir a direção F, podemos desenhar o 
plano vertical mostrado em (a) que contém F. Esse plano contém o eixo 
vertical y, e sua orientação é definida pelo ângulo  com o plano xy, enquanto 
a direção de F dentro desse plano é definido pelo ângulo y que F forma com 
o eixo y. A força F pode ser decomposta em uma componente vertical Fy e 
uma componente horizontal Fh (b). 
 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Mas Fh pode ser decomposta em duas componentes cartesianas Fx e Fz 
segundo os eixos x e z, respectivamente (c). Com isso temos as seguintes 
expressões: 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Aplicando Pitágoras nos triângulos OAB e OCD temos: 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
Substituindo Fh² temos: 
 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
A relação existente entre a força F e suas três componentes Fx, Fy e Fz será 
entendida mais facilmente se for desenhada uma caixa que tenha Fx, Fy e Fz 
por arestas. A força F é então representada pela diagonal OA dessa caixa. 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
Os três ângulos usados definem a direção da força F e são mais usados que os 
ângulos y e  apresentados anteriormente. 
 
Os cossenos de x, y e z são conhecidos como cossenos diretores da força F. 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Introduzindo os vetores unitários i, j e k orientados segundo os eixos x, y e z, 
respectivamente, podemos exprimir F da forma vetorial: 
 
 
 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Exemplo 1: Uma força de 500N forma ângulos de 60°, 45° e 120°, 
respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx, Fy e Fz 
da força. 
 
 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
O ângulo que uma força F forma com um eixo será medido a partir do semi-
eixo positivo e estará sempre compreendido entre 0° e 180°. Um ângulo x 
menor que 90° (agudo) indica que F (supostamente aplicada em O) está do 
mesmo lado do plano zy que o semi-eixo positivo x; nesse caso, cosx e Fx 
serão positivos. Um ângulo x maior que 90° (obtuso) indicará que F está do 
outro lado do plano yz; neste caso, cosx e Fx serão ambos negativos. 
 
No exemplo 1, os ângulos x e y são agudos, enquanto z é obtuso: 
consequentemente, Fx e Fy são positivos e Fz é negativo. 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Considerando: 
 
E substituindo em: 
 
Tem-se: 
 
Chamando o vetor unitário: 
 
 
Chega-se a: 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
O vetor  é um vetor de módulo unitário e de mesma direção e sentido que F. 
Ou seja, o vetor unitário segundo a linha de ação de F. 
 
As componentes do vetor unitário  são, respectivamente iguais aos cossenos 
diretores as linha de ação de F: 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Devemos observar que o valor dos três ângulos x, y e z não são 
independentes. Levando em conta que a soma dos quadrados das 
componentes de  é igual ao quadrado de seu módulo, temos: 
 
 
 
Substituindo nesta expressão os 
valores de: 
 
 
 
Chega-se a: 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Quando forem dadas as componentes Fx, Fy e Fz de uma força F, o módulo F 
da força será obtido com: 
 
 
As equações: 
 
podem ser resolvidas para os cossenos diretores: 
 
 
 
e os ângulos x, y e z que caracterizam a direção de F, podem ser 
determinados. 
 
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» COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
 
Exemplo 2: Uma força F tem as componentes Fx=100N, Fy=-150N e Fz=300N. 
Determine seu módulo F e os ângulos x, y e z que ela forma com os eixos 
coordenados. 
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» FORÇA DEFINIDA POR SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO 
 
Em muitas aplicações, a direção de uma força F é definida peças coordenadas de 
dois pontos, M(x1,y1,z1) e N(x2,y2,z3), localizados sobre sua linha de ação: 
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» FORÇA DEFINIDA POR SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO 
 
Considerando o vetor 𝑀𝑁, que liga os pontos M e N e que tem o mesmo sentido 
que F. Representando suas componentes escalares por dx, dy e dz, escrevemos: 
 
Definindo o vetor unitário  como: 
 
 
sendo d a distância entre M e N. Lembrando que F é igual ao produto de F por : 
 
 
do que segue que as componentes escalares de F são: 
 
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» FORÇA DEFINIDA POR SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO 
 
As equações anteriores simplificam a determinação das componentes de uma 
força F de dada intensidade F, quando a linha de ação de F é definida por dois 
pontos M e N. Subtraindo as coordenadas de M das de N, determinamos 
inicialmente as componentes do vetor 𝑀𝑁 e a distância d de M a N: 
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» FORÇA DEFINIDA POR SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO 
 
Introduzindo os valores de F, d, dx, dy e dz nas equações: 
 
 
encontram-se os valores das componentes cartesianas da força F. Isolando F das 
seguintes expressões: 
 
 
e substituindo na expressão anterior chega-se as expressões para determinação 
dos ângulos: 
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» ADIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES NO ESPAÇO 
 
Podemos determinar a resultante R de duas ou mais forças no espaço pela soma 
de duas componentes cartesianas. Os métodos gráficos e trigonométricos não 
são geralmente práticos no caso de forças no espaço. Utilizaremos processo 
semelhante ao usado com as forças coplanares, ou seja: 
 
 
decompondo cada força em suas componentes cartesianas: 
 
de onde: 
 
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» EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 
 
 
 
Solução de problemas com número de incógnitas  3: 
• Diagrama de corpo livre mostrando o ponto material em equilíbrio r todas as 
forças que atuam sobre esse ponto, 
• Escrever as equações de equilíbrio, resolvendo-as para três incógnitas. 
 
Problemas usuais: 
• Três componentes de uma única força, 
• Módulos de três forças de direção conhecida. 
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Profª. Maiga Dias 
» BEER, Ferdinand Pierre; AMORIM, José Carlos (Rev.) Mecânica vetorial para 
engenheiros. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006. 2 v 
 
» DREHMER, Gilnei Artur. Apostila de estática. Notas de aula. UPF. 
 
 
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