Relatório de Equaçãos Diferenciais Ordinárias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO 
GROSSO DO SUL 
CAMPUS PONTA PORÃ 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dezembro 2018 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO 
GROSSO DO SUL 
CAMPUS PONTA PORÃ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO 
 
 
 
 
 
 
Relatório sobre Soluções Numéricas de equações 
diferenciais ordinárias: Problemas de 
valor inicial e de contorno. 
 
Alunos: Hiara Espindola; Josué Bailo. 
Professor: Reginaldo Merejolli. 
 
Dezembro 2018 
 
 
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Sumário 
Definição de Equação Diferencial Ordinária ..................................................................... 4 
Método de Runge-Kutta .................................................................................................... 5 
Resolução de exercício..................................................................................................... 5 
Série de Taylor .................................................................................................................. 7 
Resolução de exercício..................................................................................................... 7 
Método de Euler .............................................................................................................. 10 
Resolução de exercício................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
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Definição de Equação Diferencial Ordinária 
 
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma F(x, y(x), y 
0 (x), y 0(x), ..., y(n) (x)) = 0 envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas 
ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y 
(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x). 
Seja y uma função de x e que denote as suas derivadas 
 
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação. 
Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a 
equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é 
única. 
Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser 
vista como uma função , dizemos que a equação 
diferencial é linear se for linear em . 
Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes 
constantes ou funções da variável independente. 
Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma 
 é designada equação diferencial implícita, enquanto que a 
forma é designada equação diferencial explícita. 
Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e 
homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x. 
 
 
 
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Método de Runge-Kutta 
Trata-se de um método por etapas que tem a seguinte expressão genérica: 
, onde
 
com constantes próprias do esquema numérico. Os esquemas Runge-Kutta 
podem ser explícitos ou implícitos dependendo das constantes do esquema. Se esta 
matriz é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero; 
quer dizer, para os esquemas são explícitos. 
O método de runge-kutta é muitas vezes confundido com o metodo "predictor-
corrector"sendo este o resultado da junção do método dos trapézios e do método de Euler. 
 
Resolução de exercício 
Vamos calcular uma aproximação utilizando o método de Runge-Kutta para a 
equação para ( ) no intervalo e passo sendo dy/dx=4-x+2y para y(0)=1no 0<=x<=2 passo 
h=0,1. 
K1=(0,1)*(4-0+2*1)=0,6 
K2=(0,1)*(4-(0+0,1/2)+2*(1+0,6/2)=0,655 
K3=(0,1)*(4-(0+0,1/2)+2*(1+0,655/2)=0,605 
K4=(0,1)*(4-(0+0,1)+2*(1+0,605)=0,7221 
Y1=1+1/6(0,6+2*(0,655)+2*(0,605)+0,7221)=1,65885 
 
 
 
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Série de Taylor 
 
Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma: 
 
onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de 
Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em 
torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por: 
 
Resolução de exercício 
Dada a função f(x)= (1+x)^-1/2 expanda-a em série de Taylor, com aproximação 
até terceira ordem, em torno de xo = 0 (ou a = 0). 
- Primeiro passo: calcular f(xo) = f(0). 
Substituindo 0 na função f(x)=senx, temos que 
 
- Segundo passo: calcular f'(0). 
Derivando a função 
 
obteremos 
 
Portanto, 
 
- Terceiro passo: calcular f''(0). 
Derivando a função 
 
vamos obter 
 
 
 
8 
 
Portanto, 
 
- Quarto passo: Achar f'''(0). 
Derivando a função 
 
temos que 
 
Portanto, 
 
Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e xo = 0 na fórmula de Taylor, no 
caso: 
e teremos 
 
Portanto, 
 
 
 
9 
 
 
Se a expansão for com aproximação até quinta ordem, teremos 
 
 
 
 
 
10 
 
Método de Euler 
Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome 
relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira ordem para 
solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado. É o tipo mais 
básico de método explícito para integração numérica para equações diferenciais 
ordinárias. 
Resolução de exercício 
O método de Euler foi proposto uma solução computacional na linguagem C do 
exemplo 3 da página 332 do livro Cálculo Numérico – Aspectos teóricos e 
Computacionais. 
 
Valores: 
a) H=0,1. 
b) H=0,05. 
c) H=0,025. 
 
 
a) 
b) 
 
 
11 
 
c) 
 
O código utilizado: 
#include <stdio.h> 
#include <math.h> 
 
float func (float x, float y){ 
return((y/x)); 
} 
 
int main(){ 
 
 float xi = 2, yi = 2, esph = 0.025; 
 int it = 5, j; 
 
 //Criacao de Vetor para calcular as iteracoes 
 float x[it+1], y[it+1]; 
 x[0] = xi; 
 y[0] = yi; 
 //Metodo de Euler 
 for(j = 0; j < it ; j++){ 
 x[j+1] = x[j] + esph; 
 y[j+1] = y[j] + esph - esph*func(x[j],y[j]); 
 } 
 
 printf("X e Y sao respectivamente:\n"); 
 for(j=0;j<=it;j++){ 
 printf("%d = %f, %f; \n",j,x[j], y[j]); 
 } 
return 0; 
}