ESTUDO Metodos II

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1 Estudo Dirigido – Métodos II 
1 - Um processo real possui lucros e custos que podem ser otimizados. As funções algébricas que representam os 
lucros e os custos de um processo são chamadas de funções objetivo. Para que um processo seja otimizado é 
necessário que se maximize uma função objetivo do tipo lucro ou que minimize uma função objetivo do tipo custo. As 
funções algébricas também podem representar relações entre variáveis de processo que estão associadas a legislação 
ambiental e de segurança. Para qualquer uma destas aplicações é necessário conhecer os zeros e ótimos das funções 
algébricas cujo número depende do grau ou ordem da função e da derivada da função. Analise a função abaixo e 
marque a alternativa correta. Com relação a função acima pode-se afirmar que: 
 
Possui dois zeros e um ponto ótimo que minimiza a função. 
2 - O método de Newton-Raphson apenas equações não lineares ou os dois tipos de equações. Uma vez que um 
sistema de equações é constituído apenas de equações lineares estes podem 
ser resolvidos através de métodos computacionais específicos para este tipo de sistema. Um destes métodos 
computacionais conhecido é o método de Gauss-Seidel, que envolve o rearranjo algébrico das equações de modo a 
isolar cada uma das variáveis. Após isolar as variáveis é possível então proceder a substituição iterativa e a 
determinação de cada novo conjunto de valores. Use o método iterativo de Gauss-Seidel no sistema de equações 
abaixo e responda corretamente. 
 
Partindo de valores iniciais x = y = z = 0, os valores de x, y e z na segunda iteração são: 
x = -2,8667; y = 5,6133; z = 4,7156 
3 - Os modelos matemáticos podem ser solucionados utilizando de métodos matemáticos ou métodos numéricos. A 
solução de um modelo matemático obtida por meio de um método matemático é chamada de solução exata, 
enquanto a solução obtida utilizando um método numérico é chamada de solução numérica pois consiste em um 
conjunto de números que representam a solução do problema numérico. O erro relativo percentual entre a solução 
numérica e a solução exata é um importante parâmetro para analisar a precisão do problema numérico. Considere 
que, dado um modelo, seu valor de solução exata seja xe = - 1,564 e seu valor de solução numérica seja xn= - 1,472. 
Qual é o erro relativo percentual entre estes dois valores? 
5,88 % 
 4 - As relações algébricas associam variáveis de processo ou fenômenos físicos de vários tipos. Para que seja utilizado 
o método numérico para determinação de zeros e ótimos estas relações algébricas precisam ser adaptadas em uma 
forma do tipo função objetivo. Tão logo estas equações estejam na forma de uma função objetivo, pode-se aplicar 
métodos numéricos intervalares ou abertos. Um método numérico intervalar conhecido é o método da bisseção que 
inicia com um intervalo provável em que um dos zeros pode estar localizado. Analise a relação algébrica abaixo e 
marque a alternativa correta. 
 
Sabendo que B = 6 e C = 3, e que existe um zero desta função entre 1 e 2, o valor de x no intervalo posterior ao inicial 
(pelo método da bisseção) é: 
1,75 
5 - Os processos sejam eles físicos ou químicos podem ser representados por equações matemáticas diferenciais ou 
por equações algébricas. Os processos podem ser representados por equações lineares ou não lineares. As equações 
não lineares caracterizam as complexidades dos processos, e para a simplificação deste tipo de processo, é necessário 
que as equações não lineares sejam linearizadas. A solução para sistemas lineares é mais simplificada. A partir deste 
fato, qual das equações abaixo pode ser considerada linear? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 - Uma vez que processos reais possuem características lineares, estes podem ser representados por equações que 
descrevem retas, quando mostradas graficamente. Um conjunto de equações algébricas lineares podem representar 
um processo funcionando em um determinado ponto de operação no gráfico. Este ponto de operação tem uma 
potencial aplicação na otimização do processo e deve satisfazer a todas as equações e restrições do modelo 
matemático. Analise o gráfico abaixo e marque a alternativa correta. 
 
Os valores de x e y que satisfazem o sistema de equações mostrado tem no gráfico acima é: 
x = 1,5 e y = 3,5 
7 - Os processos com características lineares podem ser representados por um sistema de equações algébricas 
lineares. Embora existam sistemas que também possuem equações não lineares, alguns são formados apenas por 
equações lineares. Neste caso usam-se métodos computacionais específicos para solução destes sistemas. Um método 
computacional conhecido para solução de sistemas de equações lineares é o método da eliminação de Gauss. Este 
método é executado em duas etapas: a eliminação progressiva e a posterior substituição progressiva. Use o método 
da eliminação de Gauss no sistema de equações abaixo e responda corretamente: 
x-2y+z= -7 
2x+y-3z=11 
2x-3y-2z= -3 
Sabendo que o sistema de equações acima pode ser representado na forma 
de matrizes como abaixo: 
 
8 - Os modelos matemáticos descrevem relações funcionais entre variáveis dependentes, variáveis Independentes, 
parâmetros e funções forçantes dos processos e fenômenos físicos ou químicos. A equação abaixo mostra a forma 
funcional de um modelo matemático de um determinado fenômeno. Para simular este modelo matemático pode-se 
usar um problema numérico obtido da série de Taylor truncada no terceiro termo. 
 
Sabendo que f(0) = 2 (f em x = 0), o valor de f em x = 1,5 (usando h = x = 0,5) é: 
3,1303 
9 - Processos que envolvem reações químicas podem ser descritos por modelos matemáticos que descrevem as 
transformações de reagentes em produtos. Para realizar as simulações computacionais de processos deste tipo deve-
se gerar os problemas numéricos a partir dos modelos matemáticos. Um método de aproximação de modelos 
matemáticos a problemas numéricos muito utilizado é o método de aproximação utilizando a série de Taylor. A série 
de Taylor permite o aumento da precisão do problema numérico quanto mais termos de sua sequência infinita se usa. 
Considere o modelo matemático abaixo que descreve o consumo de um reagente A em uma reação química de 
terceira ordem cuja constante de velocidade é k1: 
 
A aproximação por série de Taylor, truncada no terceiro termo, do modelo matemático acima é: 
A série de Taylor truncada no terceiro termo é: 
 
 
 
 
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10 - Na compra de um bem como um carro ou um imóvel, o consumidor não costuma pagar pelo preço atual do bem 
(P) à vista, mas sim em prestações (A) em um número de vezes (n) nas quais incidem juros (i) durante um determinado 
prazo. A relação algébrica que relaciona estes valores está abaixo e através dela é possível determinar os juros que 
estão sendo pagos de acordo com o valor da prestação, e do valor atual do bem durante o prazo estipulado. Para o 
uso de um determinado método numérico para determinação dos juros é necessário adaptar esta relação algébrica a 
uma função objetivo. Analise a equação e marque a alternativa correta. 
 
A função objetivo que pode ser usada para o cálculo dos juros é: 
 
11 - A simulação computacional de problemas numéricos envolve o uso de computadores e desta forma, devem ser 
implementados em uma determinada linguagem computacional. Existem várias linguagens computacionais que 
podem ser usadas em métodos numéricos: MATLAB, C/C++, Python, entre outros. Independente da linguagem 
computacional usada, os códigos usados para simulação devem ser escritos em um mesmo padrão que segue o 
algoritmo do método numérico. O algoritmo é o procedimento do método numérico que pode ser representado como 
um diagrama de blocos ou como um pseudocódigo. O diagrama de blocos abaixo representa um algoritmo básico 
usado na simulação de um problema numérico:A sequência correta de etapas da simulação associadas aos números de 1 até 4 é: 
1 - Definição de valores iniciais, parâmetros, tolerância e passo; 2 – Cálculo da variável dependente e do erro iterativo; 
3 - Critério de parada verifica se erro <= tolerância; 4 - Encerra a simulação se o critério de parada for satisfeito. 
12 - Os modelos matemáticos podem representar fenômenos e processos de todo tipo. Os modelos matemáticos de 
oscilações mecânicas, por exemplo, possuem termos das chamadas funções transcendentais (sen e cos). Os pêndulos 
são exemplos de fenômenos que apresentam um comportamento oscilatório com o tempo e seus modelos costumam 
conter estas funções. Um exemplo de modelo oscilatório está abaixo onde xm e podem ser considerados valores 
constantes. Para a simulação computacional deste modelo é necessário transformá-lo em um problema numérico. 
Pode-se usar a série de Taylor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13 - A solução de problemas numéricos envolve o uso de computadores através das simulações computacionais. 
Utilizando uma linguagem computacional específica, implementa-se o método numérico para a simulação. Ao longo 
da simulação, são executados cálculos repetidas vezes até que se chegue a solução. O nível de proximidade da solução 
final é medido através de um critério de parada que verifica a tolerância admitida para um erro iterativo calculado em 
cada repetição de cálculo (iteração). Quando o erro iterativo é menor do que a tolerância admitida o critério de parada 
encerra a simulação. A tabela abaixo contém valores obtidos de simulações computacionais. Na tabela abaixo a coluna 
xe corresponde a solução exata e a coluna xn corresponde a solução numérica. 
 
erro = [1.0000 0.2999 0.0753 0.0183] 
14 - Diferentes métodos podem ser utilizados para aproximar um modelo matemático a um problema numérico. Um 
método conhecido é utilizando uma série infinita tal como a série de Taylor. A vantagem do uso de uma série infinita 
é a possibilidade de aumentar a precisão do problema numérico através da inserção de termos da série. Se a série de 
Taylor for truncada no segundo termo produz um problema numérico semelhante ao de uma aproximação por 
diferença finita. Considere o modelo matemático abaixo no qual estes métodos de aproximação podem ser usados: 
 
A aproximação por série de Taylor, truncada no segundo termo, do modelo matemático acima é: 
 
15 - Um sistema de equações algébricas pode ser constituído de uma função objetivo e uma série de relações 
algébricas que descrevem restrições de vários tipos tais como as relacionadas a critérios de segurança e ambientais 
definidos pela legislação bem como, condições de operação de processos definidas por modelos matemáticos. Além 
destes critérios da legislação e condições de operação, ainda existem relações algébricas que definem as limitações 
das instalações em que um processo funciona. O conjunto de valores das variáveis envolvidas nas equações são 
chamadas de condições de operação e devem satisfazer a todas as equações do sistema. Desta forma o processo pode 
operar em condições ótimas e legais. Sendo assim, analise o sistema de equações abaixo e marque a alternativa 
correta. 
x-y=8 
x+2y+7=0 
Os valores de x e y que satisfazem o sistema de equações acima é: 
x = 3 e y = -5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 - Os problemas numéricos são solucionados através de cálculos iterativos. A primeira iteração se inicia utilizando o 
passo, (intervalo de tempo) e o valor inicial das variáveis do modelo para determinar o valor das variáveis no intervalo 
de tempo seguinte. Esse procedimento é repetido paralelamente ao cálculo dos erros entre as variáveis obtidas em 
cada interação (erro iterativo). A tabela abaixo contém valores de solução exata (xe) e solução numérica (xn) obtidas 
em uma simulação computacional. Analise os dados da tabela e marque a alternativa correta para o erro absoluto, 
entre a solução exata e numérica, no tempo 2 segundos e na quarta iteração respectivamente: 
 
0,0515 e 0,5259 
17 - O método de newton-raphson é um método numérico aberto extremamente difundido por sua rápida 
convergência a uma resposta mesmo para funções não lineares ou transcendentais. Analise a função abaixo e marque 
a alternativa correta. 
 
Considerando o valor inicial do ângulo em radianos com 𝜃 = 1𝜋rad o , o zero desta função é: 
1,1416𝜋rad 
18 - As funções algébricas possuem zeros, isto é, possuem raízes que são os pontos onde a curva toca o eixo da variável 
independente. Existem casos em que a determinação dos zeros de uma função não pode ser obtida analiticamente e 
para estes casos é necessário usar um método numérico. Entretanto para funções algébricas mais simples estes 
valores podem ser obtidos facilmente. Analise a função algébrica abaixo e marque a alternativa correta. 
 
Os zeros são 0 (zero) e 2 (dois). 
19 - Processos reais podem ter comportamento linear ou não linear e independente da linearidade dos modelos 
matemáticos que representem os processos, existe um conjunto de valores que são chamados de condições de 
operação em que qualquer processo deve operar. Este conjunto de valores ou condições de operação devem satisfazer 
a todas as equações que fazem parte dos critérios de otimização do modelo matemático. Isto é necessário para que o 
processo opere em condições ótimas. Desta forma, se duas condições de operação denominadas x e y possuem valores 
x = 2 e y = 3, estas condições são a solução de qual equação abaixo? 
3x-0,5y-4,5=0 
20 - O método de Newton-Raphson é um conhecido método numérico que pode ser usado tanto para determinação 
de zeros quanto de ótimos. Este método baseia-se na busca pela raiz ou zero através da derivada da função em um 
determinado valor atual que indica a direção do próximo ponto usando a inclinação obtida das derivadas. Este método 
tem uma rápida convergência para uma grande variedade de funções, incluindo aquelas que possuem termos 
transcendentais, tal como a função abaixo. Análise esta função e marque a alternativa correta. 
 
Sabendo que a e b são constantes, a fórmula de Newton-Raphson utilizada para a determinação dos zeros será: 
 
 
21 - A análise da dinâmica de processos envolve o conhecimento da taxa de variação de variáveis dependentes, como 
o volume de fluido em relação a condições representadas por variáveis independentes, como o tempo. O coeficiente 
angular de uma reta expressa a taxa de volume com o tempo e é a própria vazão de escoamento do fluido. Analise os 
dados da tabela abaixo e marque a alternativa correta. t V 1,000 2,800 2,800 6,040 4,600 9,280 O valor do coeficiente 
angular da reta que expressa a vazão de escoamento é: 
a = 1,8 
 
 
 
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22 - Os problemas numéricos são solucionados por meio de cálculos iterativos, de acordo com o método numérico 
utilizado. A solução encontrada é chamada de solução numérica, já que consiste em um conjunto de números que 
representam a solução. A primeira iteração se inicia levando em consideração o intervalo de tempo, chamado passo, 
e os valores iniciais do problema (no tempo zero). Na tabela abaixo, estão os dados da solução exata e numérica 
obtidas em simulações computacionais. Na terceira coluna da esquerda para direita, estão os valores de x da solução 
exata (xe) e, na quarta coluna, estão os valores de x da solução numérica (xn). 
Analise os dados da tabela e marque a alternativa que corresponde ao erro iterativo no tempo de 6 segundos. Iteração 
tempo (s) xe (m) xn (m) 0 0 0,000 0,000 1 2 4,736 4,674 2 4 7,726 7,582 3 6 8,736 8,622 4 8 8,959 8,897 
0,1206. 
23 - Os processos químicos ou físicos são representados por um conjunto de equações que chamamos de modelos 
matemáticos. Para a determinação do ponto de operação ótimo destes processos, é necessárioque este conjunto 
de valores de condição de operação ótima seja determinado no estado estacionário. Isto significa que todas as 
equações diferenciais estarão na forma de equações algébricas. Este fato obviamente facilita a determinação destas 
condições de operação ótimas, entretanto, o grande número de variáveis e as não linearidades do processo exigem 
a solução por meio de métodos computacionais. Felizmente, os processos com características lineares e com poucas 
variáveis podem ser resolvidos facilmente tanto por meio de métodos analíticos como por meio de métodos 
computacionais. Analise o sistema de equações abaixo e responda corretamente. Resolva o sistema de equações 
lineares acima por meio de um método analítico ou numérico. 
2𝑦 = −16 + 4𝑥 ⟹ 𝑦 =
−16 + 4𝑥
2
⟹ 𝑦 = −8 + 2𝑥 
3𝑥 − 6(−8 + 2𝑥) − 3 = 0 
3𝑥 + 48 − 12𝑥 − 3 = 0 
−9𝑥 + 45 
−9𝑥 = −45 
𝑥 = 5 
𝑦 = −8 + 2(5) 
𝑦 = −8 + 10 
𝑦 = 2 
 
24 - A evaporação a vácuo pode ser usada para concentrar soluções por evaporação do solvente. O solvente dessas 
soluções pode ser a água. As tabelas de pressão de vapor da água nem sempre contêm valores na temperatura de 
operação do processo. Sendo assim, é necessário interpolar os dados. Os dados da tabela abaixo contêm valores de 
temperatura e pressão de vapor. Analise os dados e responda corretamente. 27 26,7 28 28,4 29 30,0 Determine a 
pressão da água em mmHg na temperatura de . 
𝑓(𝑥) = 28,4 +
30 − 28,4
29 − 28
(28,5 − 28) 
𝑓(𝑥) = 28,4 +
1,6
1
(0,5) 
𝑓(𝑥) = 28,4 + 0,8 
𝑓(𝑥) = 29,2𝑚𝑚𝐻𝑔 
25 - Para a escolha do melhor método de interpolação dos dados, é necessário que, antes, se faça uma análise da 
linearidade dos dados da tabela. Se os dados da tabela estão relacionados linearmente, basta usar um método de 
interpolação linear, tal como um método de Newton. Entretanto, existem casos em que os dados apresentam uma 
relação não linear e, em alguns casos, contendo até variações abruptas. Para o caso de dados que contêm variações 
abruptas, é interessante usar o método de interpolação por splines cúbicos. Esse método passa pela construção de 
uma matriz-problema, que pode ser solucionada por qualquer método de solução de sistemas lineares. Analise os 
dados da tabela abaixo e marque a alternativa correta. 1,0 0,2 1,5 0,4 2,0 1,2 2,5 1,4 A matriz-problema construída 
para interpolação por splines cúbicos correta dos dados acima é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 - Os problemas numéricos são solucionados por meio de cálculos iterativos. A primeira iteração se inicia utilizando 
o passo, (intervalo de tempo) e o valor inicial das variáveis do modelo para determinar o valor das variáveis no intervalo 
de tempo seguinte. Esse procedimento é repetido paralelamente ao cálculo dos erros entre as variáveis obtidas em 
cada interação (erro iterativo). A tabela abaixo contém valores de solução exata (xe) e solução numérica (xn) obtidas 
em uma simulação computacional. Analise os dados da tabela e marque a alternativa correta para o erro absoluto, 
entre a solução exata e numérica, no tempo de 2 segundos e na quarta iteração respectivamente: iteração tempo (s) 
xe (m) xn (m) 0 0 0,0000 0,0000 1 2 0,2579 0,2064 2 4 3,8086 3,2966 3 6 42,1698 42,0005 4 8 414,8692 414,3433 
0,0515 e 0,5259. 
27 - A solução de modelos matemáticos, utilizando métodos matemáticos, exige habilidades que são inerentes a 
mente humana, e por isso, não podem ser alcançadas por máquinas ou computadores. Os computadores, entretanto, 
realizam cálculos aritméticos a uma velocidade quase impossível de ser alcançada por uma pessoa comum. Os 
métodos computacionais surgiram da união de ambas as qualidades. Alguns métodos são tão eficientes que 
convergem para a solução apenas com poucas interações, que podem ser feitas em uma calculadora comum. A tabela 
abaixo contém resultados de solução exata e numérica de um modelo matemático obtido por meio de simulação 
computacional. Analise os dados da tabela e responda os itens a seguir: iteração tempo (s) xe (m) xn (m) 0 0 1,0400 
1,0400 1 2 2,6589 2,9329 2 4 14,6217 14,7367 3 6 103,0153 103,0696 4 8 756,1612 756,1786 5 10 5582,3000 
5582,3297 Determine: Os erros relativos percentuais entre a solução exata e a solução numérica para todas as 
iterações. Os erros iterativos de todas as iterações. (discursiva) 
Justificativa: Usando a fórmula , obtém-se as respostas da quinta coluna. Usando a fórmula , obtém-se as respostas da 
sexta coluna. 
Iteração tempo (s) xe (m) xn (m) eR% ei 0 0 1,0400 1,0400 0,0000 -- 1 2 2,6589 2,9329 10,30501 0,645402 2 4 14,6217 
14,7367 0,786502 0,80098 3 6 103,0153 103,0696 0,052711 0,857022 4 8 756,1612 756,1786 0,002301 0,863697 5 10 
5582,3000 5582,3297 0,000532 0,864541 
 
28 - Em processos de separação – tal como a destilação –, o conhecimento da pressão de vapor das substâncias a 
serem separadas é essencial. Essa propriedade varia com as condições do processo, entre elas a temperatura. Dados 
tabelados de pressão de vapor e temperatura podem ser encontrados na literatura específica para a Química. 
Entretanto, em alguns casos, as tabelas não dispõem de valor de pressão de vapor na temperatura exata requerida. 
Nesses casos, é necessário interpolar os dados. A pressão de vapor das substâncias varia linearmente com a 
temperatura. A tabela abaixo contém dados de temperatura e pressão de vapor da água. Analise-a e marque a 
alternativa correta. 50 12335,1 51 12960,8 52 13612,0 
A pressão de vapor em Pascal na temperatura de é: 
 
29 - Os modelos matemáticos representam processos reais e podem ser aproximados a problemas numéricos por 
meio de métodos de aproximação. Entretanto, os problemas numéricos geram uma solução que contém um desvio 
em relação à solução exata obtida por meio de um método matemático. Este desvio entre a solução numérica e a 
solução exata é denominado erro. Existem diferentes tipos de erro que são usados para avaliar se o problema 
numérico reproduz fielmente o modelo matemático do qual se origina. Entre estes, está o erro absoluto, entre a 
solução exata e a solução numérica. Sabendo que um valor da solução exata pode ser referido como xe e um valor de 
solução numérica como xn, a expressão usada para a determinação do erro absoluto (ea) entre solução exata e 
numérica é: 
 
30 - As funções algébricas, de um modo geral, podem representar relações entre variáveis de processos de vários 
tipos, bem como as funções objetivo que estes processos precisam alcançar. No caso de funções objetivo do tipo lucro, 
estas devem ser maximizadas para que o processo opere em um cenário mais favorável possível. É claro que este 
cenário maximizado deve respeitar as restrições impostas pela legislação ambiental e de segurança. A função algébrica 
abaixo representa uma função objetivo (f(x)) do tipo lucro associada a apenas uma variável de processo (x), na qual as 
restrições legislativas estão implícitas. Determine o máximo da função acima analiticamente ou através de um método 
computacional. (Discursiva) 
Justificativa: Para determinar o máximo analiticamente, primeiro precisamos derivar a função: Igualando a derivada a 
zero e passando o termo -2x para o lado esquerdo da igualdade e resolvendo temos: O método computacional deve 
retornar o mesmo resultado. 
 
 
 
8 Estudo Dirigido – Métodos II 
31 - Os processos em que ocorrem transformações químicas são descritos por equações diferenciais baseadas nas leis 
de velocidade das reações químicas. Por meio de simulações computacionais, é possível fazer uma previsão das 
concentrações de reagentes e produtos ao longo do tempo no processo. Considere que o modelo matemático abaixo 
descreve o consumo de um reagente C em um processo químico. Para simular este modelo, pode-se usar um problema 
numérico obtido pela série de Taylor truncada no segundo termo. (Discursiva) 
Sabendo que C0 = 1 mol/L (C em t = 0 h), ovalor de C após 0,9 horas (usando h = 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 − 12 
𝑓(𝑚á𝑥)(𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 − 𝑐 
𝑓𝑚á𝑥(𝑥) = −2 + 8 + 12 
𝑓𝑚á𝑥(𝑥) = 18 
𝐶 = −
𝑏
2𝑎
⇒ 𝐶 = −
8
2. (−2)
=
−8
−4
⇒ 𝑪 = 𝟐 
 
Justificativa: O problema numérico é: 1ª iteração:2ª iteração:3ª iteração: Portanto, a resposta é C(0,9) = 0,064 mol/L 
32 - O método de Newton-Raphson já é conhecido para determinação de zeros e ótimos de funções algébricas. Quando 
aplicado a sistemas de equações não lineares, este passa pela determinação da matriz Jacobiana que é constituída 
pela derivada parcial das funções em relação às incógnitas do problema. A matriz Jacobiana é sempre quadrada, pois, 
em um sistema de equações, o número de incógnitas deve ser sempre igual ao número de funções disponíveis para 
que o sistema tenha uma única solução. Uma vez que a matriz Jacobiana é determinada pela substituição dos valores 
das incógnitas em um processo iterativo, é necessário calcular o determinante desta matriz para a geração de novos 
valores. Analise a matriz Jacobiana abaixo obtida para um sistema de 3 equações em uma determinada iteração e 
marque a alternativa correta. O determinante da matriz Jacobiana acima vale: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
33 - O método de Newton-Raphson é um importante método utilizado para a solução de sistemas de equações não 
lineares que representam processos complexos, tais como processos de craqueamento catalítico da indústria 
petroquímica. Este método usa a matriz Jacobiana para determinação da inclinação de busca e geração de novos 
valores em um processo iterativo até chegar à solução. A matriz Jacobiana é obtida da derivada parcial de cada 
equação do sistema em relação a cada uma das incógnitas, configurando uma matriz quadrada para um problema de 
solução única. Analise o sistema de equações abaixo e marque a alternativa correta. A matriz Jacobiana obtida para o 
sistema de equações acima é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Justificativa: A resposta é pois esta é a matriz obtida da derivada parcial correta de cada uma das funções em relação 
a x e y. 
34 - Os modelos matemáticos, que representam processos reais, por meio de métodos computacionais, produzem 
solução com certo grau de erro em relação à solução que seria obtida por meio de um método matemático. O módulo 
deste desvio ou erro pode ser maior ou menor, dependendo da faixa de operação do processo. O problema numérico 
deve gerar o menor erro possível, em relação a solução exata, dentro da faixa de operação desejada do processo. A 
tabela abaixo contém valores de solução exata (xe) e numérica (xn), de acordo com o tempo de um processo. Analise 
os dados e marque a alternativa correta. tempo (s) xe (m) xn (m) 0 0,000 0,000 2 0,9672 1,0016 4 1,1910 1,1934 6 
1,3218 1,3230 8 1,4147 1,4191 10 1,4867 1,5423 O intervalo de tempo, em que o problema numérico apresentou 
melhor capacidade de descrever o processo, assegurando um menor erro relativo, foi: 
Entre 4 e 6 segundos.