Expansão em Frações Parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
ENG07044 – Controle de Processos Industriais 
 
O Método da Expansão em Frações Parciais 
 
 O objetivo do método da expansão 
em frações parciais é determinar, para certa 
função transformada 𝑌(𝑠), uma expressão 
equivalente que possa ter a sua inversa 𝑦(𝑡) 
obtida através de uma simples consulta à 
tabela de transformadas de Laplace. Os pares 
transformada/inversa mais importantes são: 
1. ℒ−1 �𝐴
𝑠
� = 𝐴 
2. ℒ−1 �𝐾∙𝑛!
𝑠𝑛+1
� = 𝐾𝑡𝑛 
3. ℒ−1 � 𝐾
𝑠−𝑎
� = 𝐾𝑒𝑎𝑎 
4. ℒ−1 � 𝐾∙𝑛!(𝑠−𝑎)𝑛+1� = 𝐾𝑡𝑛𝑒𝑎𝑎 
5. ℒ−1 � 𝜔
𝑠2+𝜔2
� = 𝑠𝑒𝑠(𝜔𝑡) 
6. ℒ−1 � 𝜔(𝑠−𝑎)2+𝜔2� = 𝑒𝑎𝑎𝑠𝑒𝑠(𝜔𝑡) (𝑎 e 𝜔 reais) 
7. ℒ−1 � (𝑠−𝑎)(𝑠−𝑎)2+𝜔2� = 𝑒𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠(𝜔𝑡) (𝑎 e 𝜔 reais) 
8.ℒ−1 � 𝐴
𝜏2𝑠2+2𝜁𝜏𝑠+1
� =
𝐴
𝜏�(𝜁2−1) 𝑒−𝑡𝑡𝜏 sen �𝑡 �(𝜁2−1)𝜏 � 
(se |𝜁| estiver entre 0 e 1). 
 
Regras para a expansão em frações parciais: 
Quem irá determinar a forma da expansão 
serão os zeros (raízes) do polinômio 
denominador de 𝑌(𝑠) ≡ 𝑠𝑛𝑛(𝑠)/𝑑𝑒𝑠(𝑠), ou 
seja, os valores de 𝑠 tais que 𝑑𝑒𝑠(𝑠) = 0, 
chamados aqui de 𝑝1, 𝑝2, etc. 
 
 Em primeiro lugar, é necessário normalizar 
o denominador, de modo que o coeficiente 
do termo com ordem mais alta em 𝑠 seja 1. 
 
Depois disto, existem três possibilidades: 
 
1. No caso em que estas raízes são todas 
reais e diferentes, a expansão deverá 
envolver todos estes fatores e será dada 
por: 
𝑌(𝑠) = 𝑄1
𝑠 − 𝑝1
+ 𝑄2
𝑠 − 𝑝2
+ ⋯ 
Exemplo: 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 5
𝑠2 + 5𝑠 + 4 
As raízes do denominador são -1 e -4, pois 
𝑠2 + 5𝑠 + 4 = (𝑠 + 1)(𝑠 + 4). Logo 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 5
𝑠2 + 5𝑠 + 4 = 𝑄1𝑠 + 1 + 𝑄2𝑠 + 4 
Os coeficientes 𝑄1 e 𝑄2 podem ser obtidos 
por um dos três métodos explicados a 
seguir, e neste caso são 𝑄1 = 4/3, 
𝑄2 = −1/3. 
 
2. No caso em que estas raízes são todas 
reais e uma (ou mais) é repetida r vezes, por 
exemplo, 𝑝𝑟, teremos que usar r repetições 
da fração parcial correspondente, como no 
modelo: 
𝑌(𝑠) = 𝑄1(𝑠 − 𝑝𝑟) + 𝑄2(𝑠 − 𝑝𝑟)2 + ⋯+ 𝑄𝑟(𝑠 − 𝑝𝑟)𝑟 + ⋯ 
(obs.: adicionar os demais termos conforme 
os outros casos) 
Exemplo: 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 1
𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 
As raízes do denominador são -2 (aparece 
duas vezes) e 0, pois 𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 = 𝑠(𝑠 +2)(𝑠 + 2). Logo 
𝑌(𝑠) = 𝑠+1
𝑠3+4𝑠2+4𝑠
= 𝑄1
𝑠+2
+ 𝑄2(𝑠+2)2 + 𝑄3𝑠 + 
Os coeficientes 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3 podem ser 
obtidos por um dos três métodos explicados 
adiante e neste exemplo valem 𝑄1 = −1/4, 
𝑄2 = 1/2, 𝑄3 = 1/4. 
 
3. Se surgirem raízes complexas (que serão 
necessariamente conjugadas, da forma 
𝑝 = 𝑎 ± 𝜔𝜔), onde 𝜔 ≡ √−1 é a constante 
imaginária, então pode ser usada uma 
expansão da forma 
𝑌(𝑠) = 𝑄1 + 𝑅1𝜔
𝑠 − 𝑎 − 𝜔𝜔
+ 𝑄2 + 𝑅2𝜔
𝑠 − 𝑎 + 𝜔𝜔 + ⋯ 
(obs.: adicionar os demais termos se 
necessário). 
Para a inversão, as seguintes identidades 
exponenciais serão necessárias 
𝑒(𝑎±𝜔𝜔)𝑎 = 𝑒𝑎𝑎(cos(𝜔𝑡) ± 𝜔 ∙ 𝑠𝑠𝑠(𝜔𝑡)) 
Observe que no cálculo final dos 
coeficientes da expansão não deverão 
aparecer números imaginários. 
Outra possibilidade, para evitar se trabalhar 
com números complexos, é usar 
diretamente uma das seguintes expressões, 
que pode ser obtida a partir da anterior: 
𝑌(𝑠) = 𝐴(𝑠 − 𝑎) + 𝐵𝜔(𝑠 − 𝑎)2 + 𝜔2 
𝑌(𝑠) = 𝑄𝑠 + 𝑅
𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎𝑛 
Na expressão de baixo, após a obtenção de 
𝑄 e 𝑅, será necessário colocar as frações 
respectivas na forma em que se encontram 
na tabela de transformadas (Identidades 6 e 
7). 
Uma terceira possibilidade é colocar a 
função diretamente na forma 
𝐺(𝑠) = 𝐴
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏𝑠 + 1 
E empregar o item 8 da tabela anterior de 
transformadas. 
Exemplo: 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 1
𝑠2(𝑠2 + 4𝑠 + 5) 
As raízes do denominador são 0 (aparece 
duas vezes) e -2 ± j. Portanto: 
𝑌(𝑠) = 𝑄1
𝑠
+ 𝑄2
𝑠2
+ 𝑄3𝑠+𝑅3(𝑠+2)2+1+ 
Que pode ser solucionado, obtendo-se 
𝑄1 = 0,04, 𝑄2 = 0,2, 𝑄3 = −0,04 e 
𝑅3 = −0,36. 
 
 
Métodos para a obtenção dos coeficientes da 
expansão em frações parciais: 
 
Considerando uma expansão em frações 
parciais da forma 
𝑌(𝑠) ≡ 𝑠𝑛𝑛(𝑠)
𝑑𝑒𝑠(𝑠) = 𝑄1𝑓1(𝑠) + 𝑄2𝑓2(𝑠) + ⋯+ 𝑄𝑛𝑓𝑛(𝑠) 
onde 𝑓𝑖(𝑠) são 𝑠 os fatores do denominador, 
existem três métodos principais: 
 
1. Método do denominador comum: 
consiste em obter o denominador comum 
da expansão e igualar os coeficientes de 
mesma potência em 𝒔 em ambos os lados da 
expressão 
𝑠𝑛𝑛(𝑠) = 𝑄1𝑓2(𝑠)⋯𝑓𝑛(𝑠) + ⋯+ 𝑄𝑛𝑓1(𝑠)⋯𝑓𝑛−1(𝑠) 
(𝑑𝑒𝑠(𝑠) = 𝑓1(𝑠)⋯𝑓𝑛(𝑠)) 
Este método não é muito conveniente para 
denominadores de ordem elevada. 
 
2. Método da substituição de valores: neste 
caso são substituídos 𝒏 valores 
convenientes para 𝒔 na expansão em 
frações parciais, de modo a obter um 
sistema de equações para os 𝑸𝒊. 
Exemplo: 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 5(𝑠 + 4)(𝑠 + 1) = 𝑄1𝑠 + 1 + 𝑄2𝑠 + 4 
Neste caso, poderia se usar 𝑠 = −5 e 
𝑠 = −3, gerando as seguintes equações 
−
1
4
𝑄1 − 𝑄2 = 0, −12𝑄1 + 𝑄2 = −1 
as quais podem se facilmente resolvidas 
para 𝑄1 e 𝑄2. 
 
3. Método da expansão de Heaviside: este é 
o método mais rápido e não envolve a 
resolução de um sistema de equações. A 
ideia é multiplicar de cada vez a expansão 
em frações parciais por 𝑓𝑖(𝑠) e substituir 
𝑠 = 𝑝𝑖 na expressão resultante, ou seja, pelo 
valor que zera o termo 𝑓𝑖(𝑠). 
Exemplo: 
𝑌(𝑠) = 𝑠 + 5(𝑠 + 4)(𝑠 + 1) = 𝑄1𝑠 + 1 + 𝑄2𝑠 + 4 
 Primeiro coeficiente: multiplicar toda a 
expressão por (𝑠 + 1) e fazer 𝑠 = −1: 
𝑠 + 5(𝑠 + 4) = 𝑄1 + 𝑄2 𝑠 + 1𝑠 + 4 𝑠=−1�⎯⎯� 43 = 𝑄1 
 Segundo coeficiente: multiplicar toda a 
expressão por (𝑠 + 4) e fazer 𝑠 = −4: 
𝑠 + 5(𝑠 + 1) = 𝑄1 𝑠 + 4𝑠 + 1 + 𝑄2 𝑠=−4�⎯⎯� −13 = 𝑄2 
*Obs.: no caso em que existem raízes reais 
repetidas, o método da Expansão de 
Heaviside só pode ser empregado para o 
termo de ordem mais alta da raiz repetida e 
para os demais fatores na expansão 
(envolvendo raízes não-repetidas), caso 
contrário uma indeterminação (divisão por 
0) surgirá na expressão. Os coeficientes que 
não puderem ser obtidos desta forma 
deverão ser determinados por um dos 
outros dois métodos. 
Uma opção neste caso é associar o método 
da expansão de Heaviside com o a derivação 
repetida da expressão. Para isto, devemos 
multiplicar a expansão pelo fator repetido 
de maior potência, ou seja 
𝑠𝑛𝑛(𝑠)
𝑑𝑒𝑠(𝑠) 𝑓𝑟𝑟(𝑠) = 𝑄1𝑓1(𝑠)𝑓𝑟𝑟(𝑠) + ⋯+ 𝑄𝑟,1𝑓𝑟𝑟−1(𝑠) + 𝑄𝑟,𝑟 
Neste caso, 𝑄𝑟,𝑟, o coeficiente do termo 
repetido de ordem mais elevada, pode ser 
obtido convenientemente pela substituição 
de 𝑠 = 𝑝𝑟. Os coeficientes dos termos de 
ordem mais baixa podem ser obtidos 
derivando-se a expressão acima 
sucessivamente e substituindo 𝑠 = 𝑝𝑟, o que 
deixará sempre um coeficiente em 
evidência, isto é: 
𝑑
𝑑𝑠
�
𝑠𝑛𝑛(𝑠)
𝑑𝑒𝑠(𝑠) 𝑓𝑟𝑟(𝑠)�= 𝑑
𝑑𝑠
[𝑄1𝑓1(𝑠)𝑓𝑟𝑟(𝑠)] + ⋯+ 𝑄𝑟,𝑟−1 
e assim por diante. 
 
 
 
 
 Para verificar se você entendeu, aplique 
os três métodos acima para as transformadas 
usadas nos exemplos, ou seja: 
1. 𝑌(𝑠) = 𝑠+5
𝑠2+5𝑠+4
 
2. 𝑌(𝑠) = 𝑠+1
𝑠3+4𝑠2+4𝑠
 
3. 𝑌(𝑠) = 𝑠+1
𝑠2(𝑠2+4𝑠+5) 
 
 
 
	O Método da Expansão em Frações Parciais