4) Calcule as seguintes integrais: a - 1.5) ∫ ex e2x + 3ex + 2 dx (dica: faça uma substituição de variáveis e depois use frações parciais) b ...

Para calcular a integral ∫(ex / (e2x + 3ex + 2)) dx, podemos fazer uma substituição de variáveis. Vamos chamar e2x + 3ex + 2 de u. Primeiro, derivamos u em relação a x para encontrar du/dx: du/dx = (d/dx)(e2x + 3ex + 2) du/dx = 2e2x + 3ex Agora, podemos substituir du/dx em nossa integral: ∫(ex / (e2x + 3ex + 2)) dx = ∫(1/u) du/dx dx Fazendo a substituição, temos: ∫(1/u) du/dx dx = ∫(1/u) du Agora, podemos calcular a integral em relação a u: ∫(1/u) du = ln|u| + C Substituindo u de volta, temos: ∫(ex / (e2x + 3ex + 2)) dx = ln|e2x + 3ex + 2| + C Portanto, a resposta para a integral é ln|e2x + 3ex + 2| + C. Para a segunda parte da pergunta, a integral ∫xe^(-x) dx de 0 a infinito pode ser resolvida usando integração por partes. Aplique a fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv - ∫v du Vamos escolher u = x e dv = e^(-x) dx. Então, du = dx e v = -e^(-x). Aplicando a fórmula, temos: ∫xe^(-x) dx = -xe^(-x) - ∫(-e^(-x)) dx ∫xe^(-x) dx = -xe^(-x) + e^(-x) + C Agora, vamos calcular o valor da integral de 0 a infinito: ∫∞0 xe^(-x) dx = lim┬(a→∞)⁡(-ae^(-a) + e^(-a)) - (-0e^(-0) + e^(-0)) ∫∞0 xe^(-x) dx = lim┬(a→∞)⁡(-ae^(-a) + e^(-a)) + 1 Agora, vamos analisar o limite: lim┬(a→∞)⁡(-ae^(-a) + e^(-a)) = lim┬(a→∞)⁡e^(-a)(-a + 1) Como o termo e^(-a) tende a zero quando a tende ao infinito, temos: lim┬(a→∞)⁡(-ae^(-a) + e^(-a)) = 0 Portanto, a integral de 0 a infinito de xe^(-x) dx é igual a 0 + 1 = 1. Espero ter ajudado!