Gabarito da Lista 5 Geometria Analítica e Álgebra Linear I

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GABARITO DA 5ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR I 
 
1. Equação vetorial: ( ) ( ) ( ) Rt,4,2,1t0,2,1vtAz,y,x ∈−+−=+= r . 
Equações paramétricas: Rt,
t4z
t22y
t1x
∈





−=
+=
+−=
. 
Equações simétricas: 
4
z
2
2y1x
−
=
−
=+ . 
2. Um vetor diretor de r é o vetor ( )2,2,1ABAB −−=−=→ . Portanto, a equação vetorial da reta r 
é ( ) ( ) ( ) .Rt,2,2,1t4,3,2ABtAz,y,x ∈−−+−=+= → Como ( ) ( )2,2,1
2
14,3,25,4,
2
5
−−−−=





− , temos que 
RP∈ e como Rt ∈∃ tal que ( ) ( ) ( )2,2,1t4,3,24,3,1 −−⋅+−=− , temos que .RQ∉ 
3. A abscissa x é igual à ordenada y do ponto P procurado. Logo, 1tt4t2 −=⇒+=− e o ponto 
procurado é 
( )
( )
( )
( )3,3,3P
3121z
314y
312x
⇒





=−−=
=−+=
=−−=
. 
4. Temos r:
t t
m t
n t
m
n
3 1 2 1
3
4
3 1 2
4 1 5
= − ⇒ = −
= − −
= − +





⇒
= − + = −
= − − = −



. 
Portanto, para que o ponto P pertença à reta r, m e n= − = −2 5. 
5. a) Temos 5 32
1
1 2
1
1 1
2 1
2 2
−
=
+
−
=
−
⇒
+
−
=
−
=






⇒ = − = −
y z
y
z y e z . 
Portanto, o ponto da reta r de abscissa 5 é ( )P 5 2 2, , .− − 
b) Temos x z
x
z x e z
−
=
+
−
=
−
⇒
−
= −
−
= −






⇒ = − =
3
2
4 1
1 2
3
2 5
2 5
7 10. 
Portanto, o ponto da reta r de ordenada 4 é ( )Q −7 4 10, , . 
c) Temos x y
x
y x e y
−
=
+
−
=
−
⇒
−
= −
+
−
= −






⇒ = = −
3
2
1
1
1
2
3
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2. 
Portanto, o ponto da reta r de cota 1 é R 2 12 1, , .−





 
 
 
2 
6. 
( )
( )

=
⇒==
1,1,1v:vetor
0,0,0P:ponto
zyx)a r ( )( )







−=
−
⇒
−=
−=
=
1,0,2v:vetor
2,1,0P:ponto
t2z
1y
t2x
)b r 
( )
( )

=
−
⇒




=
−
=
+
4,0,3v:vetor
3,1,1P:ponto
1y
4
3z
3
1x
)c r 
7. a) Como um vetor diretor da reta dada é o vetor ( )rv = 1 0 0, , , temos 
( ) ( )



=
−=





=
−=
+=
+−= .
4z
2y
:rou
4z
2y
t1x
:rou0,0,1t4,2,1P:r 
b) Como um vetor diretor da reta dada é o vetor ( )rv = 0 1 0, , , temos 
( ) ( )r P t ou r
x
y t
z
ou r
x
z
: , , , , : : .= +
=
= +
=





=
=



3 2 1 0 1 0
3
2
1
3
1
 
c) Como um vetor diretor da reta dada é o vetor ( )MN N M→ = − = −0 2 1, , , temos 
( ) ( )




=
−
−
=
+





−=
+−=
=
−+−= .
2x
1
4z
2
3y
:rou
t4z
t23y
2x
:rou1,2,0t4,3,2P:r 
8. Como a reta r é paralela à reta s dada, um vetor diretor de r é o mesmo da reta s, ou seja, 
( )rv = − −1 3 1, , . Logo, a reta r é dada por .
t1z
t32y
t1x
:r





−=
−−=
+=
 
Se ( ) rn,m,3-P ∈ , então .
5n
10m
t1n
t32m
4tt13



=
=
⇒





−=
−−=
−=⇒+=−
 
9. Um vetor diretor da reta r é ( )rv m= 1 1, , e um vetor diretor da reta s que passa pelos pontos 
A e B é dado por ( )AB B A m m→ = − = − 3 2, , .Como r e s são ortogonais, temos 
( )r s v AB m m m m m m ou m⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒ + − = ⇒ = = −→r 0 1 3 2 1 0 2 3 0 1 322 . 
10. a) Diretamente das equações das retas, temos que um vetor diretor da reta r é 
( )2,1,1u −−=r e um vetor diretor da reta s é ( ).1,1,2v =r 
Portanto, o ângulo dos vetores veu rr e, conseqüentemente, das retas r e s é dado por 
.
3
2
ou120
2
1
arccos
2
1
66
3
|v||u|
vu
cos
pi
=





−=θ⇒−=
⋅
−
=
⋅
=θ orr
rr
 
b) Diretamente das equações das retas, temos que um vetor diretor da reta r é ( )2,1,2u −−=r e 
um vetor diretor da reta s é ( ).3,4,0v =r 
 
3 
Portanto, o ângulo dos vetores veu rr e, conseqüentemente, das retas r e s é dado por 
.81,131
3
2
arccos
3
2
53
10
|v||u|
vu
cos orr
rr
=





−=θ⇒−=
⋅
−
=
⋅
=θ 
11. Os vetores diretores das retas r e s são, respectivamente, ( ) ( ).2,n,1ve3,5,4v 21 ==
→→
 
Temos 5n2n1|v|e50354|v|,10n523n514vv 22222222121 +=++==++=+=⋅+⋅+⋅=⋅
→→→→
. 
Logo, o ângulo entre as retas r e s será o30 se, e só se, 
07n8n20n105n150
5n50
10n5
2
3
|v||v|
vv30cos 22
2
21
21
=+−⇔+=+⇔
+
+
=⇔
⋅
⋅
=
→→
→→
o
 
 7nou1n ==⇔ . 
12. Um vetor diretor da reta r é ( )2,1,2u=r e um da reta s é ( )0,1,3v −=r (diretamente das 
equações). Logo, um vetor que é simultaneamente ortogonal às duas retas é 
.k5j6i2
013
212
kji
vu
rrr
rrr
rr
−+=
−
=∧ Portanto, as equações procuradas são .Rt,
t5z
t6y
t2x
:r ∈





−=
=
=
 
13. a) Vetores diretores do plano podem ser dados por ( )0,1,1ABAB −=−=→ e 
( )0,0,1ACAC −=−=→ . Logo, temos as equações: 
Vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Rt,t,0,0,1t0,1,1t0,1,2z,y,x 2121 ∈−⋅+−⋅+= 
Paramétricas: ;Rt,t,
0z
t1y
tt2x
211
21
∈





=
+=
−−=
 Geral: .0z0
001
011
z1y2x
=⇒=
−
−
−−
 
b) Temos as equações: 
Vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Rt,t,0,2,3t1,2,1t1,0,0z,y,x 2121 ∈⋅+−⋅+= 
Paramétricas: ;Rt,t,
t1z
t2t2y
t3tx
21
1
21
21
∈





−=
+=
+=
 Geral: .04z4y3x20
023
121
1zyx
=+−−⇒=−
−
 
c) Um vetor diretor do plano é dado por ( )1,1,2ABAB −−=−=→ . O outro é o vetor diretor da reta, 
pois ela e o plano são paralelos. Logo, ( ).1,1,1v −=r Assim, temos as equações: 
Vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Rt,t,1,1,1t1,1,2t1,2,2z,y,x 2121 ∈−⋅+−−⋅+−= 
Paramétricas: ;Rt,t,
tt1z
tt2y
tt22x
21
21
21
21
∈





+−−=
−+=
+−=
 Geral: .01zy0
111
112
1z2y2x
=−+⇒=
−
−−
+−−
 
 
4 
d) Vetores diretores do plano podem ser dados por ( )2,0,1ABAB −=−=→ e ( )2,1,2ACAC −=−=→ . 
Logo, temos as equações: 
Vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Rt,t,2,1,2t2,0,1t1,1,1z,y,x 2121 ∈−⋅+−⋅+= 
Paramétricas: ;Rt,t,
t2t21z
t1y
t2t1x
21
21
2
21
∈





−−=
++=
++=
 Geral: .01zy2x20
212
201
1z1y1x
=−+−⇒=
−
−
−−−
 
e) Um vetor diretor do plano é dado por ( )2,3,2ABAB −−=−=→ . Como o plano é paralelo ao 
eixo Oz, o outro vetor diretor pode ser ( )1,0,0v =r . Temos, então, equações: 
Vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Rt,t,1,0,0t2,3,2t1,3,0z,y,x 2121 ∈⋅+−−⋅+= 
Paramétricas: ;Rt,t,
tt21z
t33y
t2x
21
21
1
1
∈





+−=
−=
=
 Geral: .06y2x30
100
232
1z3yx
=+−−⇒=−−
−−
 
14. a) Se 3ye4x == , temos .2z01z3342 −=⇒=++−⋅ Portanto, o ponto procurado é 
( ).2,3,4 − 
b) Se x = 1 e z = 2, então .9y0123y12 =⇒=+⋅+−⋅ Portanto, o ponto procurado é ( ).2,9,1 
c) ( ) .2k01k31k22P −=⇔=+⋅++−⋅⇔pi∈ 
d) Se ,z2ye0x == temos .1z01z3z202 −=⇒=+⋅+−⋅ Portanto, o ponto procurado é 
( ).1,2,0 −− 
15. Um ponto e dois vetores diretores do plano pi dado são, respectivamente, ( ),3,0,1A 
( ) ( )1,1,1ve0,2,1v 21 −−== . Logo, a equação geral do plano é dada por 
.07z3yx20
111
021
3zy1x
=−++−⇒=
−−
−−
 
16. Um ponto e um vetor diretor da reta r dada são ( ) ( ),1,1,2ve2,1,0A −=−− r respectivamente. 
Assim, um outro vetor diretor do plano é ( )1,2,2ABAB =−=→ . Logo, a equação geral do plano é 
dada por .0z2y4x30
122
112
2z1yx
=+−⇒=−
++
 
17. a) Um vetor nr normal ao plano é dado por k5j6i14
241
411
kji
ACABn
rrr
rrr
r
−+−=
−−−
−−=∧=
→→
 
( ),5,6,14 −−= pois ( ) ( ).2,4,1ACe4,1,1ABAB −−−=−−=−= →→ 
 
 
5 
b) Um vetor nr normal ao plano é dado por ( )0,6,0j6
202
201
kjiACABn ==
−−
−=∧=
→→ r
rrr
r
, pois 
( ) ( ).2,0,2ACe2,0,1ABAB −−=−=−= →→ 
18. a) Como ( ) ( )1,2,3ve1,1,2v 21 −−=−=
→→
 são vetores diretores de pi , um vetor normal a pi é 
dado por ( ).7,1,3k7ji3
123
112
kji
vvn 21 −−−=−−−=
−−
−=∧=
→→ rrr
rrr
r
 
b) Como ( ) ( )0,3,1ve1,1,2v 21 =−=
→→
 são vetores diretores de pi , um vetor normal a pi é dado 
por ( ).7,1,3k7ji3
031
112
kji
vvn 21 −=++−=−=∧=
→→ rrr
rrr
r
 
c) Diretamente da equação, temos que um vetor normal a pi é dado por ( ).1,1,2n −=r 
19. a) Como ( ) ( )3,1,0ve3,0,1v 21 ==
→→
 são vetores diretores de 1pi , um vetor normal a 1pi é dado 
por ( ).1,3,3kj3i3
310
301
kji
vvn 211 −−=+−−==∧=
→→→ rrr
rrr
 De igual modo, como 
( ) ( )0,1,1ue6,1,1u 21 −==
→→
 são vetores diretores de 2pi , um vetor normal a 2pi é dado por 
( ).2,6,6k2j6i6
011
611
kji
uun 212 −=−+=
−
=∧=
→→→ rrr
rrr
 
Uma vez que ( ) ( ) ( ) 038216363nn 21 ≠−=−⋅+⋅−+⋅−=⋅
→→
, os vetores 
→→
21 nen não são 
ortogonais e, portanto, os planos dados não são perpendiculares. 
b) Como ( ) ( )1,1,1ve1,0,1v 21 −−==
→→
 são vetores diretores de 1pi , um vetor normal a 1pi é dado 
por ( ).1,2,1kj2i
111
101
kji
vvn 211 −−=−−=
−−
=∧=
→→→ rrr
rrr
 Um vetor normal a 2pi é dado, diretamente 
da equação, por ( ).16,7,2n2 −=
→
 Como ( ) ( ) ( ) 01617221nn 21 =⋅−+−⋅−+⋅=⋅
→→
, os vetores 
→→
21 nen são ortogonais e, portanto, os planos dados são perpendiculares. 
 
6 
c) Diretamente das equações dadas, temos que ( ) ( )1,1,1ne2,2,4n 21 −=−=
→→
 são vetores 
normais aos planos 21 e pipi , respectivamente. Como ( ) ( ) 0121214nn 21 =−⋅+⋅−+⋅=⋅
→→
, os 
vetores 
→→
21 nen são ortogonais e, portanto, os planos dados são perpendiculares. 
d) Como ( ) ( )0,1,3ve1,0,1v 21 =−−=
→→
 são vetores diretores de 1pi , um vetor normal a 1pi é dado 
por ( ).1,3,1kj3i
013
101
kji
vvn 211 −−=−−=−−=∧=
→→→ rrr
rrr
 Um vetor normal a 2pi é dado, diretamente 
da equação, por ( ).3,1,0n2 −=
→
 Como ( ) ( ) ( ) 0311301nn 21 =−⋅−+⋅−+⋅=⋅
→→
, os vetores 
→→
21 nen 
são ortogonais e, portanto, os planos dados são perpendiculares. 
20. Se o plano procurado é paralelo ao plano 07zyx3 =−++ , então um vetor normal desse 
plano é igual a um vetor normal do plano dado, ou seja, o plano procurado é da forma 
0dzyx3 =+++ . Como o ponto A dado pertence ao plano, temos ( ) 5d0d3113 −=⇒=++−+⋅ . 
Portanto, o plano procurado tem equação 05zyx3 =−++ . 
21. Diretamente das equações dadas, temos que ( ) ( )2,5,3ne4,b,an 21 −−==
→→
 são vetores 
normais aos planos 21 e pipi , respectivamente. Os planos dados serão paralelos se, e somente 
se, seus respectivos vetores normais o forem. Assim, 
.10be6a
2
4
5
b
3
a
n//n// 2121 =−=⇔
−
=
−
=⇔⇔pipi
→→
 
22. Um vetor diretor da reta r é ( )1,0,1v −=r e um vetor normal ao plano pi é dado por 
( ).2,0,2k2i2
111
020
kji
vvn 211 −=−==∧=
→→→ rr
rrr
 Portanto, pi⊥⇒⇒= rv//nv2n rrrr . 
23. a) Diretamente das equações dadas, temos que ( ) ( )2,1,mne4,2,1v −−== rr são os vetores 
diretor de r e normal ao plano pi , respectivamente. Assim, 
10m082m0nvnv//r =⇔=−−⇔=⋅⇔⊥⇔pi rrrr e .
2
1
m
2
4
1
2
m
1
n//vr −=⇔
−
=
−
=⇔⇔pi⊥
rr
 
b) Diretamente das equações dadas, temos que ( ) ( )m,2,3ne1,m,2v =−= rr são os vetores 
diretor de r e normal ao plano pi , respectivamente. Assim, 
e6m0nvnv//r −=⇔=⋅⇔⊥⇔pi rrrr .n//vr rr⇔pi⊥ Como ,m
m
1
2
m
3
2 ∀−≠= a reta r nunca 
será perpendicular ao plano pi . 
 
7 
24. 06zyx)a =−++ 
Intersecções com os planos coordenados: 
06zy:0x =−+= (reta) 
06zx:0y =−+= (reta) 
06yx:0z =−+= (reta) 
Esboço do gráfico: 
 
04z4yx2)b =−++ 
Intersecções com os planos coordenados: 
04z4y:0x =−+= (reta) 
04z4x2:0y =−+= (reta) 
04yx2:0z =−+= (reta) 
Esboço do gráfico: 
 
01zx)c =−− 
Intersecções com os planos coordenados: 
1z:0x −== (reta) 
01zx:0y =−−= (reta) 
 
8 
1x:0z == (reta) 
Esboço do gráfico (note que, como o coeficiente de y é 0, o plano será paralelo ao eixo Oy): 
 
 
 
04z2y)d =−+ 
Intersecções com os planos coordenados: 
04z2y:0x =−+= (reta) 
04z2:0y =−= (reta) 
04z2y:0z =−+= (reta) 
Esboço do gráfico (note que, como o coeficiente de x é 0, o plano será paralelo ao eixo Ox):