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Questões Maximização do Lucro- Profa. Eveline Carvalho-UFC-FEAAC-DTE 1. Suponha que você seja administrador de uma empresa fabricante de relógios de pulso, operando em um mercado competitivo. Seu custo de produção é expresso pela equação: C = 100 + Q2, em que Q é o nível de produção e C é o custo total. (O custo marginal de produção é 2Q. O custo fixo de produção é de $100.) a. Se o preço dos relógios for $60, quantos relógios você deverá produzir para maximizar o lucro? Os lucros são máximos quando o custo marginal é igual à receita marginal. No caso em questão, a receita marginal é igual a $60; tendo em vista que, em um mercado competitivo, o preço é igual à receita marginal: 60 = 2Q, ou Q = 30. b. Qual será o nível de lucro? O lucro é igual à receita total menos o custo total: = (60)(30) - (100 + 302) = $800. c. Qual será o preço mínimo no qual a empresa apresentará uma produção positiva? A empresa deve produzir no curto prazo se as receitas recebidas forem superiores a seus custos variáveis. Lembre que a curva de oferta de curto prazo da empresa é o trecho de sua curva de custo marginal acima do ponto de custo variável médio mínimo. O custo variável médio é dado por: . Além disso, o CMg é igual a 2Q. Logo, o CMg é maior do que o CVMe para qualquer nível de produção acima de 0 e, conseqüentemente, a empresa produz no curto prazo para qualquer preço acima de zero. 2. Suponha que o custo marginal de uma empresa competitiva para obter um nível de produção q seja expresso pela equação: CMg(q) = 3 + 2q. Se o preço de mercado do produto da empresa for $9, então: a. Qual será o nível de produção escolhido pela empresa? A empresa deve igualar a receita marginal ao custo marginal para maximizar seu lucro. Dado que a empresa opera em um mercado competitivo, o preço de mercado com que se defronta é igual à receita marginal. Logo, a empresa deve escolher um nível de produção tal que o preço de mercado seja igual ao custo marginal: 9 = 3 + 2q, ou q = 3. 3. Suponha que o custo variável médio da empresa do Exercício (3) seja expresso pela equação: CVMe(q) = 3 + q. Suponha que o custo fixo da empresa seja de $3. A empresa estará auferindo lucro positivo, negativo ou zero a curto prazo? O lucro é igual à receita total menos o custo total. O custo total é igual ao custo variável total mais o custo fixo total. O custo variável total é dado por (CVMe)(q). Logo, para q = 3, CV = (3 + 3)(3) = $18. O custo fixo é igual a $3. Logo, o custo total, dado por CV mais CF, é CT = 18 + 3 = $21. A receita total é dada pela multiplicação do preço pela quantidade: RT = ($9)(3) = $27. O lucro, dado pela receita total menos o custo total, é: = $27 - $21 = $6. Logo, a empresa aufere lucro econômico positivo. A solução poderia ser obtida de forma alternativa. O lucro é igual ao excedente do produtor menos o custo fixo; dado que, na questão 3, o excedente do produtor foi calculado em $9, o lucro deve ser igual a 9-3, ou seja, $6. 4.Uma empresa produz y utilizando dois fatores de produção x1 e x2 de acordo com a função de produção: Y = 100x1½x21/4. A empresa se depara com os preços p,w1 e w2 para y, x1 e x2, respectivamente. Encontre a demanda por fatores de produção e a oferta de produto. Para encontrar a demanda por fatores de produção: Max Py–w1x1–w2x2 ∏ =P(100x1½x21/4)-w1x1–w2x2 ∂∏/∂x1= 50Px21/4/x1½ = w1 (1) ∂∏/∂x2= 25Px1½/x23/4= w2 (2) (1)/(2)= 50Px21/4/x1½ = 2x2/x1=w1/w2 x1=2x2w2/w1 (3) 25Px1½/x23/4 Substituindo em (1): 50Px21/4/(2x2w2/w1)½ = w1 x2*=(50P)4/(2w2w1)2 Que é a demanda ótima pelo fator de produção x2. Substituindo em (3): x1={2[(50P)4/(2w2w1)2]w2}/w1 x1*=(50P)4/2w2w13 Que é a demanda ótima pelo fator de produção x1. Para encontrar a oferta de produto substitui-se x1* e x2* na função de produção. Então: Y = 100[(50P)4/2w2w13]½ [(50P)4/(2w2w1)2]1/4 Y* = 504P3/w2w12 Que é o nível de produto ofertado. 5. Encontre a oferta ótima quando o custo é C(r1,r2,y)=r11/3r21/3y2. Sendo r o preço dos fatores de produção x1 e x2 utilizados na produção do bem y. Você pode fazer isso de duas maneiras: 1º.: Considere y = f(x1,x2) a função de produção. Então: Max ∏ = P.y-r11/3r21/3y2 ∂∏/∂y=P-2r11/3r21/3y = 0, P=2r11/3r21/3y, y*= P/2r11/3r21/3 2º.: Se for considerado mercado competitivo ∂C/∂y= 2r11/3r21/3y = Custo Marginal Sabe-se que Custo Marginal (CMg)=Receita Marginal(RMg) é a condição de primeira ordem para maximização de lucro e que em concorrência perfeita RMg=P, então: 2r11/3r21/3y=P y*= P/2r11/3r21/3 6. Considerando o problema de maximização de lucro e a função de produção y = f(x1,x2), forneça as condições de primeira ordem para maximização de lucro e interprete. Sendo y = f(x1,x2)a função de produção e assumindo competição perfeita: Max ∏ = P.f(x1,x2)-r1x1-r2x2 x1,x2 ∂∏/∂x1 = P.f1 – r1 = 0 ∂∏/∂x2 = P.f2 – r2 = 0 Interpretação: f1 e f2 são respectivamente o produto marginal 1 e 2 r1 e r2 são o custo marginal do fator de produção. Então pode-se concluir que a razão dos produtos marginais 1 e 2 é igual à razão do preço dos fatores de produção. 7. Uma empresa utiliza um único fator de produção H para fazer seu produto Q. A empresa é tomadora de preços nos mercados de fatores e do produto. Suponha que p seja o preço do produto, w seja o preço do fator de produção ou insumo e que a função de produção da empresa seja Q = (H-1)1/2. Derive uma expressão que descreva a oferta de produto da empresa. Max P.Q – wH Max P. (H-1)1/2 – wH H Condição de primeira ordem: ∂∏/∂H = 1/2P(H-1)-1/2-w = 0 1/2P(H-1)-1/2=w P(H-1)-1/2=2w ou P/(H-1)1/2=2w ou P/2w=(H-1)1/2 ou Q = P/2w Que é a oferta de produto pela empresa. b)Derive uma expressão que descreva como a oferta do produto da empresa se modifica com um pequeno aumento no preço do insumo. Essa resposta é positiva ou negativa? Q = P/2w ou Q = P.w-1/2 ∂Q/∂w = - P.w-2/2 = -P/2w2 < 0 8.Uma empresa tomadora de preços tem a seguinte função de produção Q = 3K1/2+4L1/2. Onde os fatores de produção K e L tem preços r e w respectivamente e o produto gerado pela empresa tem preço p. No curto prazo K é fixo. No longo prazo ambos os fatores são variáveis. a) Derive a função de custo total no curto prazo b) Derive a função de custo marginal no curto prazo c) Derive a função de custo total no longo prazo d) Derive a função de custo marginal no longo prazo a)Min rK+wL sujeito a Q = 3K1/2+4L1/2 L1/2 = (Q-3K1/2)/4 ou L*=(Q-3K1/2)2/16 Custo Total no curto prazo:rK + w[(Q-3K1/2)2/16] b)∂CT/∂Q = Custo Marginal = ∂{rK + w[(Q-3K1/2)2/16]}/∂Q = w/8(Q-3K1/2) c)No longo prazo: Min rK+wL sujeito a Q = 3K1/2+4L1/2 = rK+wL-(3K1/2+4L1/2-Q) ∂/∂K=r-3/2K-1/2 = 0 (1) ∂/∂L=w-2L-1/2 = 0 (2) ∂/∂=3K1/2+4L1/2=Q (3) (1)/(2): r/w = 3L1/2/4K1/2 4rK1/2=3wL1/2 então K = (3w/4r)2L, substituindo em (3): 3.3w/4r.L1/2 + 4L1/2 = Q ou (9w/4r+4)L1/2 = Q L*= [Q/((9w/4r)+4)]2 K*= (3w/4r)2[Q/((9w/4r)+4)]2 Custo Total(CT)= r 3w 2 Q 2+w Q__ 2 4r 9w+4 9w+4 4r 4r d) Custo Marginal = 2r 3w 2 Q +2w Q__ 4r 9w+4 2 9w+4 2 4r 4r 9.Uma empresa competitiva opera com duas plantas ambas produzindo bens idênticos. Para a primeira planta os custos são C1 = 10 + q12 e para a segunda C2 = 3 + 1/2q22 Mostre os custos marginais de cada planta Se o preço de mercado é $20,00. Quanto cada planta deve produzir? Qual é o lucro de cada planta? Respostas CMg1 = 2q1 e CMg2 = q2 A condição ótima é: CMg1 = CMg2 = 20, então: 2q1 = 20, q1 = 10 e q2 = 20 Lucro da planta 1: ∏1 = 20q1 – (10 + q12) = 20(10)–10- (10)2 = 90 Lucro da planta 2: ∏2 = 20q2 – (3 + 1/2q22) = 20(20)–3- ½(20)2 = 197 10.Considerando o Custo total C = 10 + y + 2y2 e sendo y o nível de produção e o preço competitivo por unidade de $17,00, determine o nível ótimo de y e o lucro da empresasob referência. Respostas ∏ = 17y – (10 + y + 2y2) = 16y – 10 – 2y2 ∂∏/∂y = 16 -4y = 0, que é a condição para lucro máximo, então y* = 4. Substituindo na função lucro tem-se que: ∏ = 16(4) – 10 – 2(4)2 = $22. Ou seja o lucro da firma é $22,00.
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