Lista Geometria II Unidade II

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Lista de Exerc´ıcios - Unidade II
Fundamentos de Geometria II
Departamento de Matema´tica - 2018.2
1. Prove que se semiplanos sa˜o bissetores de dois diedros adjacentes e suplementares, enta˜o eles formam um diedro
reto.
2. Prove que dois diedros opostos pela aresta sa˜o congruentes.
3. Prove que o interior de um diedro αr̂β e´ um conjunto convexo.
4. Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um aˆngulo de 50
o
com o plano bissetor. Quanto mede
o diedro?
5. Um ponto M da face de um diedro dista 15 cm da outra face. Encontre a distaˆncia de M a` aresta do diedro,
sabendo que a medida do diedro e´ de 60
o
.
6. Um segmento AB de 75 cm tem extremidades nas faces de um diedro reto. Sendo AD e BC as respectivas
projec¸o˜es de AB sobre as faces do diedro, a medida de AC igual a 50 cm e a de BD igual a 55 cm, calcule a
medida de CD.
7. Seja αr̂β um diedro. A distaˆncia de dois pontos de dois pontos de α ao plano β sa˜o, respectivamente, 9 cm e
12 cm. A distaˆncia do segundo ponto a` aresta r e´ de 20 cm. Encontre a distaˆncia do primeiro ponto a` aresta r.
8. Num triedro duas faces medem respectivamente 110
o
e 140
o
. Determine o intervalo de variac¸a˜o da medida dda
terceira face.
9. Determine o intervalo de variac¸a˜o de x, sabendo que as faces de um triedro medem f1 = x, f2 = 2x − 60o e
f3 = 30
o
.
10. Prove que pelo menos uma face de um triedro V (a, b, c) possui medida menor do que 120
o
.
11. Demonstre que num aˆngulo polie´drico convexo, a medida de qualquer face e´ menor que a soma das medidas
das demais faces.
12. Qual e´ o intervalo de variac¸a˜o de x para que 20
o
, 30
o
, 120
o
e x sejam as medidas das faces de um aˆngulo
polie´drico convexo?
13. Qual e´ o nu´mero ma´ximo de arestas de um aˆngulo polie´drico convexo cujas faces medem todas 70
o
? Por queˆ?
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