Aplicações de derivadas

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Aplicações de derivadas: Problemas envolvendo 
otimização. 
1. Ache dois números positivos cuja soma é 16 e cujo 
produto é o maior possível. 
2. De todos os retângulos com perímetro dado, qual o que 
tem área máxima? 
3. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro 
de 100 m, cuja área seja a maior possível. 
4. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, 
deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em 
seus cantos quadrados iguais e dobrando 
convenientemente a parte restante. Determine o lado dos 
quadrados que devem ser cortados de modo que o volume 
da caixa seja o maior possível. (Resp.: ) 
5. Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão 
medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos 
quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho 
dos quadrados para se obter uma caixa com o maior 
volume? 
6. Determine o ponto P situado sobre o gráfico da 
hipérbole , que está mais próximo da origem. (Resp.: (1, 
1) ou (-1, -1) ) 
7. Uma caixa fechada com base quadrada deverá ter um 
volume de 2000 cm3. O material da tampa e da base custa 
R$ 3,00 por cm2 e o material para o lado R$ 1,50 por cm2. 
Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do 
material seja mínimo. 
Segue abaixo alguns teoremas e proposições importantes 
sobre derivadas que poderão auxiliá-lo na resolução de 
diversos problemas e também no esboço de gráficos. 
Proposição. Seja f uma função continua no intervalo [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b). 
 (i) Se f ' (x) > O para todo x 𝜖 (a, b) então f é crescente em 
[a, b]; 
(ii) Se f '(x) < O para todo x 𝜖 (a, b) então f é decrescente 
em [a, b]. 
Teorema (Critério da derivada primeira para determinação 
de extremos). Seja f uma função contínua num intervalo 
fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do 
intervalo (a, b), exceto possivelmente num ponto c. 
 (i) Se f '(x) > O para todo x < c e f '(x) < O para todo x > c, 
então f tem um máximo relativo em c. 
 (ii) Se f '(x) < O para 'todo x<c e f'(x) > O para todo x > c, 
então f tem um mínimo relativo em c. 
Teorema (Critério da derivada 2º derivada para 
determinação de extremos de uma função). 
Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um 
ponto critico de f neste intervalo, isto e, f ' (c) = O, com a < c 
< b. Se f admite a derivada f " em (a, b), temos: 
(i) Se f "(c) < O, f tem um valor máximo relativo em c. 
(ii) Se f "(c) > O, f tem um valor mínimo relativo em c. 
Definição. Uma função f é dita côncava para cima no 
intervalo (a, b), se f ' (x) é crescente neste intervalo. 
Definição. Uma função é côncava para baixo no intervalo (a, 
b), se f ' (x) for decrescente neste intervalo. 
Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo auxilia muito no traçado de 
seu gráfico. Faremos isso, analisando o sinal da derivada f 
"(x). 
Proposição. Seja f uma função continua no intervalo [a, b] 
e derivável até 2º ordem no intervalo (a, b): 
(i) Se f "(x) > O para todo x 𝜖 (a, b), então f é côncava para 
cima em (a, b). 
(ii) Se f "(x) < O para todo x 𝜖 (a, b), então f é côncava para 
baixo em (a, b). 
Definição. Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função 
contínua f é chamado um ponto de inflexão, se existe um 
intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes 
situações ocorra: 
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em 
(c, b). 
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em 
(c, b).