Exame antigo Artur Fassoni (ED2)

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UNIFEI - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
EXAME DE MAT 022 - 2014/II - 9/12/2014
Instruc¸o˜es:
1. Preencha matrı´cula e turma na frente desta folha e o seu nome no verso.
2. Utilize um lado de cada folha de almac¸o para cada questa˜o.
3. Nas folhas de almac¸o, escreva APENAS a sua matrı´cula, sem o seu nome.
4. Justifique suas respostas e seja objetivo! Boa Prova!
Tabela para correc¸a˜o (na˜o preencher):
a) b) c) d) e) T
1)
2)
3) -
Matrı´cula:
Turma: ( ) T4 (manha˜)
( ) T1 (tarde)
Questa˜o 1) (30 pontos)
a) (20 pontos) Resolva seguinte PVI:
y′′+2y′+5y= δ(t)−u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.
b) (10 pontos) Considere o oscilador harmoˆnico amortecido e forc¸ado
mx′′+ γx′+ kx= f (t).
Mostre que a resposta forc¸ada deste sistema, quando e´ aplicado um impulso unita´rio, e´ igual a` resposta
natural do mesmo, quando ele parte da posic¸a˜o de equilı´brio x(0) = 0 com uma velocidade x′(0) = 1m .
Questa˜o 2) (30 pontos) Considere o seguinte sistema na˜o-linear, que descreve a interac¸a˜o entre duas
populac¸o˜es de ce´lulas num tecido do corpo humano, onde x(t) e y(t) representam, respectivamente, as
quantidades de ce´lulas normais e ce´lulas cancerosas no tecido (medidas em bilho˜es de ce´lulas):
dx
dt
= rN−µNx−α x y
dy
dt
= rCy
(
1− y
KC
−β x
) ,
com
rN = 2, µN = 1, α= 6, rC = 1, KC = 1, β= 1.
a) (5 pontos) Encontre os pontos de equilı´brio do sistema.
b) (10 pontos) Linearizando o sistema, determine a estabilidade de cada ponto de equilı´brio,
c) (5 pontos) Interprete o significado biolo´gico da ana´lise de estabilidade de cada ponto.
d) (5 pontos) Esboce o retrato de fase do sistema.
e) (5 pontos) Suponha que estamos num contexto onde o tecido possui apenas ce´lulas normais, e esta´ em
um estado de equilı´brio. O que acontece se surgir uma quantidade y0 de ce´lulas cancerosas no tecido?
Se houver algum valor limiar para y0, indique-o no retrato de fase do item anterior.
Questa˜o 3) (25 pontos) Considere uma corda ela´stica de comprimento L, com as duas extremidades presas,
solta de uma posic¸a˜o f (x). Seja u(x, t) a func¸a˜o que descreve o deslocamento vertical da corda, em cada
ponto x ∈ [0,L] da mesma, em cada instante de tempo t.
a) (20 pontos) Escreva as equac¸o˜es apropriadas que descrevem este fenoˆmeno (EDP, condic¸o˜es de contorno
e condic¸o˜es iniciais) e resolva este problema utilizando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. Assuma
que o PVC encontrado durante a resoluc¸a˜o so´ possui autovalores positivos.
b) (10 pontos) A energia mecaˆnica total nesta corda vibrante e´ dada em func¸a˜o do tempo por
E(t) =
∫ L
0
{
1
2
ρu2t (x, t)+
1
2
Tu2x(x, t)
}
dx.
O primeiro termo representa a energia cine´tica devida a` velocidade da corda, e o segundo termo repre-
senta a energia potencial ela´stica criada pelo deslocamento da corda de sua posic¸a˜o de equilı´brio. As
constantes ρ e T sa˜o propriedades do material da corda, e satisfazem a relac¸a˜o a2 = T/ρ. Sem utilizar
a soluc¸a˜o do problema, mas apenas utilizando a EDP e as condic¸o˜es de contorno, mostre que E(t) e´
preservada ao longo do tempo.
Questa˜o 4) (15 pontos) Considere a func¸a˜o f (t) definida por
f (t) =
{
1− t, 0≤ t < 1,
t+1, −1≤ t < 0, , f (t+2) = f (t), t ∈ R,
1. (5 pontos) Esboce o gra´fico de f (t) e verifique que ela satisfaz todas as hipo´teses do Teorema de
Convergeˆncia de Fourier.
2. (10 pontos) Calcule a se´rie de Fourier de f (t). Dica: para economizar tempo, calcule primeiro a
integral
∫ 1
0 t coswt dt.
2