6. Para que valores de a o limite de todas as soluções (x1(t), x2(t)) do sistema{ x′1(t) = x1(t)− ax2(t) x′2(t) = x1(t)− 3x2(t) é (0, 0) quando ...

6. Para que valores de a o limite de todas as soluções (x1(t), x2(t)) do sistema{ x′1(t) = x1(t)− ax2(t) x′2(t) = x1(t)− 3x2(t) é (0, 0) quando t→∞? Solução. É necessário e suficiente que os autovalores da matriz A = ( 1 −a 1 −3 ) tenham parte real negativa (note que nessa frase estou incluindo o caso dos reais negativos como caso particular dos complexos com parte real negativa). O polinômio caracteŕıstico da matriz é det(λI − A) = (λ− 1)(λ+ 3) + a = λ2 + 2λ− 3 + a, cujas ráızes são dadas por λ = −2± √ 4 + 4(3− a) 2 . Para que a parte real das duas ráızes seja negativa é necessário que 4 + 4(3− a) < 4, e isso ocorre se a > 3.